Table of ContentsTrong chương trình Toán lớp 9, các em đã được tìm hiểu về các phép tính liên quan đến căn bậc hai. Vậy làm cách nào để so sánh các căn bậc hai? Khi so sánh các căn bậc hai ta cần chú ý điều gì? Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ và chi tiết nhất các phương pháp so sánh căn bậc hai, mỗi phương pháp đều có ví dụ và hướng dẫn giải cụ thể. Để từ đó các em có thể vận dụng và giải các bài tập liên quan một cách nhanh và chính xác nhất. Chúng ta cùng nhau theo dõi nhé! Show
I. Định nghĩa căn bậc haiCăn bậc hai số học của một số q ≥ 0 là một số x sao cho bình phương của nó bằng q: Với q ≥ 0 ta có: Một số dương q bất kỳ có đúng hai căn bậc hai là và . Lưu ý: Căn bậc hai của số 0 là 0. Số âm không có căn bậc hai. Ví dụ. Ta có: vì 6 ≥ 0 và 62 = 36. II. Các dạng bài so sánh căn bậc hai từ cơ bản đến nâng cao1. Dạng 1: Dạng toán đưa về so sánh hai căn bậc hai và*Phương pháp giải. Để so sánh căn bậc hai số học của hai số m và n không âm ta dựa vào tính chất: Nếu m < n thì . Ví dụ 1. Để so sánh 5 và ta làm như sau: Ta có: Vì 25 > 23 nên . Vậy . 2. Dạng 2: Dạng toán đưa về so sánh và*Phương pháp giải. Để so sánh các căn bậc hai có dạng như trên ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau: • Cách 1: Khi các căn bậc hai có thể tính được (nghĩa là tổng m + n là một số chính phương, m và n cũng là số chính phương). Đầu tiên, ta tính trực tiếp từng căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả thu được và đưa ra kết luận. • Cách 2: Khi các căn bậc hai không tính được (nghĩa là một trong các số: m + n, m, n không phải là số chính phương). Ta thực hiện bình phương hai số rồi so sánh kết quả sau khi bình phương theo tính chất sau: Với a, b là các số không âm ta có: suy ra . Ngoài ra, một số tính chất bất đẳng thức thường được dùng trong dạng này là: + a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c (Cộng hai vế với số c bất kỳ) + a ≤ b ⇔ a.m ≤ b.m (Nhân hai vế với số dương m) + a ≤ b ⇔ a.n ≥ b.n (Nhân hai vế với số âm n) Để nắm rõ được hai cách làm trên thì chúng ta cùng nhau theo dõi hai ví dụ dưới đây nhé! Ví dụ 2. So sánh và Hướng dẫn: Đầu tiên, chúng ta quan sát thấy 16; 9 là hai số chính phương và tổng 16 + 9 cũng là số chính phương. Nghĩa là ta có thể tính trực tiếp các căn bậc hai này. Như vậy trong ví dụ này ta áp dụng cách 1 để so sánh các căn bậc hai. Ta có: Vì 5 < 7 nên Ví dụ 3. So sánh và Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta thấy 2001; 2002 và tổng 2001 + 2002 không phải là số chính phương. Nghĩa là ta không thể tính trực tiếp các căn bậc hai. Vì thế trong ví dụ này ta phải áp dụng cách 2 để so sánh các căn bậc hai. Đầu tiên, chúng ta tính bình phương hai số và so sánh hai kết quả thu được. Ta có: Vì Nên Suy ra Vậy . 3. Dạng 3: Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh căn bậc hai*Phương pháp giải. Khi chúng ta không thể so sánh trực tiếp hai căn bậc hai theo các cách trên thì ta tìm một số trung gian (lớn hơn số này và bé hơn số kia, thông thường chúng ta chọn các căn bậc hai của số chính phương làm trung gian) sau đó áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh: Nếu a < b và b < c thì a < c. Ví dụ 4. So sánh và . Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta nên chọn căn bậc hai của số chính phương là làm số trung gian. Ta có: Vì nên Theo tính chất bắc cầu, ta có: . Vậy . 4. Dạng 4: Sử dụng các phương pháp so sánh căn bậc hai để chứng minh bất đẳng thứcVí dụ 5. Qua hai ví dụ 2 và 3 hãy chứng minh công thức tổng quát sau: Với hai số m và n không âm ta có . Giải. Ta có: Vì với m,n ≥ 0 Nên Vậy . III. Bài tập vận dụng về so sánh căn bậc haiBài 1. Chọn câu trả lời đúng. Kết quả nào sau đây là đúng? A. B. C. D. ĐÁP ÁNChọn đáp án B. A. Sai. Vì -15 < -12 nên . B. Đúng. Vì nên . Suy ra . C. Sai. Vì 7 < 8 nên . Suy ra . D. Sai. Vì Ta có: 10 = 2.5 = . Vì 25 < 31 nên Suy ra . Vậy . Bài 2. So sánh: a) và 11 b) và 12 c) và d) 8 và e) và f) và ĐÁP ÁNa) Ta có nên Vậy b) Ta có Vì nên Vậy . c) Ta có: Vì nên Suy ra Vậy . d) Ta có 8 = 3 + 5 = Vì nên Vậy . e) Ta có: Vì nên Suy ra Vậy . f) Ta có: Mà ( Vì 81 < 82) Theo tính chất bắc cầu, ta có: Vậy . Bài 3. Chứng minh: a) Nếu a > 1 thì . b) Nếu thì . ĐÁP ÁNa) Ta có a > 1 ⇔ a - 1 > 0 ⇔ Vì với mọi số a > 1 Suy ra(nhân hai vế với ) Vậy với a > 1 thì . b) Ta có ⇔ ⇔ . Vì với mọi số Suy ra(nhân hai vế với ) Vậy với thì . Như vậy, bài viết đã cung cấp đầy đủ lý thuyết về căn bậc hai và các bài toán so sánh căn bậc hai. Đây là một trong các dạng toán thường xuất hiện trong các bài thi. Chính vì thế các em cần nắm vững kiến thức về căn bậc hai và các cách so sánh căn bậc hai để làm tốt các bài tập trên lớp. Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang Với giải bài 2 trang 6 sgk Toán lớp 9 Tập 1 được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:
 Ở lớp 7, ta đã học căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x² = a. Tức là, ví dụ căn bậc hai của 64 là √64 và −√64 hay là ±8. Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0. Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau:
Số âm không có căn bậc hai. 1.Định nghĩa Căn bậc hai số họcVới số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0. Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương. Để khai phương một số, ta có thể dùng máy tính bỏ túi. Ví dụ: Căn bậc hai số học của 16 là √16 = 4. Căn bậc hai số học của 6 là √6. Chú ý: Với a ≥ 0, ta có: Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x² = a. Nếu x ≥ 0 và x² = a thì x = √a. Ta có thể viết như sau: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121 => căn bậc hai của 121 là ±11 b) 1,21: căn bậc hai số học của 1,21 là 1,1 vì 1,1 ≥ 0 và 1,1² = 1,21. => căn bậc hai của 1,21 là ±1,1
2.So sánh các căn bậc hai số họcNhắc lại với các em là: Nếu a < b thì √a < √b với a, b không âm. Nếu √a < √b thì a < b với a, b không âm. Ta sẽ áp dụng định lí sau để so sánh các căn bậc hai số học. Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có: a < b ⇔ √a < √b Ví dụ: So sánh các căn bậc hai số học a) 4 và √15 Đầu tiên ta viết 4 = √16 và so sánh √16 và √15. Vì 16 > 15 nên √16 > √15. Vậy 4 > √15. b) √11 và 3 Vì 11 > 9 nên √11 > √9. Vậy √11 > 3. Tìm x không âm, biết: a) √x > 2 Vì 2 = √4, nên √x > √4. Vì x ≥ 0 nên √x > √4 ⇔ x > 4. Vậy x > 4. b) √x < 3 Ta biết 3 = √9 nên √x < √9. Vì x ≥ 0 nên √x < √9 ⇔ x < 9. Vậy 0 ≤ x < 9 c) √(2x) < 4 Ta có 4 = √16 nên √2x < √16. Vì x ≥ 0 nên √2x < √16 ⇔ 2x < 16 ⇔ x < 8. Vậy 0 ≤ x < 8. Các dạng bài tập Căn bậc haiDạng 1: Tính căn bậc hai số học và căn bậc haiBài 1 SGK Toán 9 tập 1Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121 => căn bậc hai của 121 là ±11 b) 144 : căn bậc hai số học của 144 là 12 vì 12 ≥ 0 và 12² = 144 => căn bậc hai của 144 là ±12 c) 169 : căn bậc hai số học của 169 là 13 vì 13 ≥ 0 và 13² = 169 => căn bậc hai của 169 là ± 13 d) 225 : căn bậc hai số học của 225 là 15 vì 15 ≥ 0 và 15² = 225 => căn bậc hai của 225 là ± 15 e) 256 : căn bậc hai số học của 256 là 16 => căn bậc hai của 256 là ± 16 f) 324 : căn bậc hai số học của 324 là 18 => căn bậc hai của 256 là ± 18 g) 361 : căn bậc hai số học của 361 là 19 => căn bậc hai của 361 là ± 19 h) 400 : căn bậc hai số học của 400 là 20 => căn bậc hai của 400 là ± 20. Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số họcBài 2 SGK Toán 9 tập 1So sánh: a) 2 và √3 Đầu tiên ta viết 2 = √4 và so sánh √4 với √3. Vì 4 > 3 nên √4 > √3. Vậy 2 > √3. b) 6 và √41 Ta có: 6 = √36. Vì 36 < 41 nên √36 < √41. Vậy 6 < √41. c) 7 và √47 Ta có 7 = √49. Vì 49 > 47 nên √49 > √47. Vậy 7 > √47 Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc haiGiải phương trình x² = a (với a ≥ 0). Chú ý: Nếu a < 0 thì phương trình vô nghiệm. Hướng dẫn: Nghiệm của phương trình x² = a (với a ≥ 0) là các căn bậc hai của a, tức là x² = a (với a ≥ 0) ⇔ x = √a hoặc −√a. Bài 3 SGK Toán 9 tập 1Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3): a) x² = 2 ⇔ x = √2 hoặc −√2 ⇔ x = 1,414 hoặc − 1,414 b) x² = 3 ⇔ x = ±√3 = ±1,732 c) x² = 3,5 ⇔ x = ±√3,5 = ±1,87 d) x² = 4,12 ⇔ x = ±√4,12 = ±2.03 Bài 4. SGK Toán 9 tập 1Tìm số x không âm, biết: a) √x = 15 ⇒ x = 15² = 225 <<< căn bậc hai số học của 225 bằng 15 b) 2√x = 14 ⇔ √x = 7 <<< chia cả hai vế cho 2 ⇔ x = 7² = 49 <<< căn bậc hai số học của 49 là 7 c) √x < √2 ⇔ 0 ≤ x < 2 <<< kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x < 2 d) √2x < 4 Ta có 4 = √16 nên √2x < √16. Vì x ≥ 0 nên √2x < √16 ⇔ 2x < 16 ⇔ x < 8. Vậy 0 ≤ x < 8. <<< kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x < 8. Bài 5. SGK Toán 9 tập 1Đố: Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m và chiều dài 14 m. Giải: Trước tiên ta tính diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng = 14 × 3,5 = 49 m². Gọi cạnh của hình vuông cần tìm là x, với x > 0. Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh = x² = diện tích hình chữ nhật nên x² = 49. >>> Muốn tính x ta tìm căn bậc hai số học của 49. x > 0 nên x là căn bậc hai số học của 49 tức là x = √49 = 7. Vậy cạnh của hình vuông cần tìm là 7m. Tóm tắt bài học: Căn bậc hai – Căn bậc hai số họcKết thúc bài hôm nay, chúng ta cần nhớ điều gì về căn bậc hai và căn bậc hai số học? #1. Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau:
Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0. Số âm không có căn bậc hai. #2. Căn bậc hai số học của một số không âm là một số không âm >>> √a ≥ 0. Số x là căn bậc hai số học của a tức là x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = (√a)² = a. Cuối cùng, ta phải nhớ định lí sau về căn bậc hai số học:
>>> Học Toán 9 online với giáo viên liên hệ 035 3150072. Bài tập nâng cao về Căn bậc haiBài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉĐể để chứng minh một số a là số vô tỉ, ta thường dùng phương pháp phản chứng: Giả sử a là số hữu tỉ thì dẫn đến mâu thuẫn. Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ. Nhưng để dễ hiểu phương pháp làm, ta sẽ chứng minh √5 là số vô tỉ. Giải: Giả sử √5 là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng: √5 = m/n với m, n ∈ Z, n ≠ 0, ƯC (m, n) = 1. (m/n là phân số tối giản) ⇒ (√5)² = m²/n² hay 5n² = m² (1) ⇒ m² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5. Đặt m = 5k (k ∈ Z) ta có : m² = 25k² (2) Từ (1) và (2) ta có: 5n² = 25k² ⇒ n² = 5k² suy ra n² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5. m và n cùng chia hết cho 5 nên m/n không phải là tối giản, như vậy trái giải thiết ƯC(m, n) = 1. Vậy √5 không phải số hữu tỉ, do đó √5 là số vô tỉ. (đpcm) Bài 2: So sánh các căn bậc hai số họcSo sánh hai số: a) 2√3 và 3√2 Ta có (2√3)² = 2². (√3)² = 4. 3 = 12. (3√2)² = 3². (√2)² = 9.2 = 18. Vì 12 < 18 nên (2√3)² < (3√2)² ⇒ 2√3 < 3√2. b) √24 + √45 và 12 Ta so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên: Ta có 24 < 25 nên √24 < √25 45 < 49 nên √45 < √49 Vì vậy nên √24 + √45 < √25 + √49 = 5 + 7 = 12 c) √37 −√15 và 2 T a so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên: Ta có 37 > 36 nên √37 > √36 15 < 16 nên √15 < √16 ⇒ −√15 > −√16 Nên √37 −√15 > √36 −√16 = 6 − 4 = 2. Bài 3: Giải phương trình có chứa căn bậc haiĐiều kiện: x ≥ 1 Phương trình ⇒ x − 1 = 49 <<< Bình phương hai vế để mất căn bậc hai ⇔ x = 50 (thỏa mãn điều kiện) <<< Cộng cả hai vế với 1 ⇔ x² + 1 = 4 <<< Bình phương hai vế để mất căn bậc hai ⇔ x² = 3 <<< Trừ hai vế cho 1 ⇔ x = √3 hoặc −√3 ⇔ x² + 5x + 20 = 16 <<< Để bỏ căn bậc hai, ta bình phương hai vế ⇔ x² + 5x + 4 = 0 <<< Trừ cả hai vế cho 16 ⇔ (x + 1)(x + 4) = 0 <<< Phân tích đa thức thành nhân tử ⇔ x = −1 hoặc x = −4 Vì −2 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm. Các bài tập trên là những bài tập mẫu liên quan đến căn bậc hai, căn bậc hai số học mà ta vừa học. Các em hãy cố gắng đọc hiểu và tự mình làm lại rồi kiểm tra lại nhé! Nếu muốn Học Toán tiếng Anh phần này thì học tại đây. Bài tiếp theo: Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Quay lại trang: Học toán 9 Xem thêm
Ths-GV Toán Nguyễn Thùy Dung |
