Phân phối xác suất rời rạc là gì

Bảng băm trong ví dụ ở bài trước được chia thành 8 ô đánh số ô từ 1 đến 8, biến ngẫu nhiên X là số của ô mà khi mũ trùm một khóa vào bảng thì từ khóa rơi vào ô đó. 80 keys of the table are used as allow to try to done 80 times lock and we are sample with the size is 80

Sự định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối đều Rời rạc trên tập A={a, a+1, … , b-1, b}, ký hiệu là U{a, b}, nếu, với k thuộc

ở đâu

• a, b and n are integers, b ≥ a
• n = b – a + 1, n là số phần tử của tập hợp A

định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rời X được gọi là có phân bố đồng đều rời thúy trên tập A={a, a+1, … , b-1, b}, ký hiệu U{a,b}, nếu có k thuộc A

in which

• a, b and n are integers, b ≥ a
• n = b – a + 1, is a elemental section of A file

Biến ngẫu nhiên X nhận và chỉ nhận n giá trị rời với xác định như nhau, bằng 1/n. Reback ví dụ bảng băm, phân bố từ khóa đồng đều rời rạc của bảng là phân bố U{1,8}. Số giá trị rời rạc n = 8-1+1 = 8. Trong bài kiểm toán kiểm tra bảng băm chúng ta chỉ quan tâm đến bảng phân bố từ khóa có đều không, chứ không cần giá trị của các biến ngẫu nhiên nên các tham số a và b không có ý nghĩa đầy đủ. Ví dụ nếu đánh số ô của bảng từ 2 đến 9 thì phân bố là U{2,9}, kết quả bài toán không thay đổi, miễn sao n vẫn là 8

Kỳ vọng (Giá trị kỳ vọng, Giá trị trung bình)

Vì n = b – a + 1 nên b = a + n -1

Phương sai (Variance)

Trung vị (Median)

Sơ đồ khối lượng xác định hàm trong hình bên trên cho thấy trung vị rất rõ ràng, đường thẳng thẳng đứng đi qua trung vị chia tổng khối lượng xác định thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 0. 5

Cho đến thời điểm này, ta đã có các khái niệm quan trọng trong xác định như sự kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất và các đặc trưng của phân phối. Bây giờ là lúc ta đề cập đến một số biến phân phối phổ biến để có thể áp dụng vào thực tế khi quan sát các cấu hình chuẩn.

1. 1. Phân phối đều - Rời rạc Phân phối thống nhất

Là sự phân phối mà sự xác nhận xuất hiện của các sự kiện là giống nhau. Biến ngẫu nhiên $X$ trả theo phân phối đều rời $X \sim \mathcal{Unif}(a, b)$ with tham số $a, b \in \mathbb Z;

Thường thì người ta hay lấy $a=1$ và khi đó phân phối đồng đều của $X$ sẽ được ký hiệu là $X \sim \mathcal{Unif}(n)$. Lúc đó chức năng phân phối CDF sẽ là. $F(k;n)=\dfrac{k}{n}$

1. 2. Phân phối Béc-nu-li - Phân phối Bernoulli

Như đã đề cập về việc cho phép thử Béc-nu-li rằng mọi phép thử của nó chỉ cho 2 kết quả duy nhất là $A$ với xác định $p$ và $\bar A$ với xác định $q=1-p . Biến ngẫu nhiên $X$ chạy theo phân phối Béc-nu-li $X \sim \mathcal{Bern}(p)$ with tham số $p \in \mathbb{R}, 0 \le p \le 1$ is

1. 3. Phân phối nhị thức - Phân phối nhị thức

Bec-nu-li là phân phối của phép thử với biến ngẫu nhiên $X$ thể hiện số lần xuất hiện sự kiện $A$. Biến ngẫu nhiên $X$ trả theo phân phối nhị thức $X \sim \mathcal{Bin}(n,p)$ with tham số $n \in \mathbb N$ is number of output of $A$ and $p

$\dbinom{n}{x}=\dfrac{n. {x. (n-x). }$ được gọi là hệ số nhị thức và tên của phân phối này cũng xuất phát từ điểm này. )

Như vậy ta có thể thấy Béc-nu-li được phép thử có thể coi là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức với $n=1$, nên phân phối Béc-nu-li còn có thể ký hiệu là. $X \sim \mathcal{Bin}(1,p)$

1. 4. Phân phối đa thức - Phân phối đa thức

Là phân phối tổng số hóa của phân phối nhị phân. Giả sử ta có $n$ phép thử độc lập và mỗi phép thử sẽ cho kết quả thành công là một trong số $k$ nhóm với mỗi nhóm có kết quả xác định tương ứng. Khi đó, phân phối đa thức sẽ mô hình hóa hiệu suất phân phối của số lần thành công của sự kiện. Như vậy, khi $(n=1,k=2)$ ta sẽ có Béc-nu-li phân phối, còn khi $(n>1,k=2)$ ta có phân phối thức

Giả sử $p_i,\text{for }i=\overline{1,k}$ là xác định rơi vào nhóm $i$ tương ứng trong nhóm $k$, ta có. $$\sum_{i=1}^kp_i=1$$

If Random variable $X_i \in \{0,1,…,n\},\text{for }i=\overline{1,k}$ can't current the output of the event group $i$, ta . $$\sum_{i=1}^kx_i=n$$

Set $X=[X_1,X_2,…,X_k]^{\intercal}$ là véc-to ngẫu nhiên với xác định tương ứng $p=[p_1,p_2,…,p_k]^{\intercal}$. Khi đó, $X$ chạy theo phân phối đa thức $X \sim \mathcal{Mult}(n,p)$ với tham số $n \in \mathbb N$ là số lần thành công và $p \in \mathbb

in which. $\dbinom{n}{x}=\dfrac{n. }{\prod_{i=1}^kx_i. }$ call is đa thức hệ thống. $\otimes$ could be allow the kernel. $Var(X_i)=np_i(1-p_i)$

1. 5. Phân phối Poa-xông - Phân phối Poisson

Là phân phối nhị thức đạt được khi $n$ rất lớn và $p$ rất nhỏ. Set $\lambda=np$, ta has. $$ \begin{aligned} p(x)&=\dfrac{n. {x. (n-x). }p^x(1-p)^{n-x} \cr\ &=\dfrac{n. {x. (n-x). }\bigg(\frac{\lambda}{n}\bigg)^x\bigg(1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{n-x} \cr\ &=\dfrac{n. }{n^x(n-x). }\frac{\lambda^x}{x. }\bigg(1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{n-x} \end{aligned} $$

Khi $n$ rất lớn thì $\bigg(1-\dfrac{\lambda}{n}\bigg)^x \approx 1$, $\bigg(1-\dfrac{\lambda}{n}\bigg) . }{n^x(n-x). } \xấp xỉ 1 đô la

nên $p(x) \approx \dfrac{\lambda^x}{x. }e^{-\lambda}$

Từ đây, khi ta có tham số $\lambda$ thì biến ngẫu nhiên $X$ trả theo phân phối Poa-xông $X \sim \mathcal{Poi}(\lambda)$ sẽ có đặc tính

1. 6. Phân phối hình học - Phân phối hình học

Là sự phân phối của xác thực xuất hiện lần đầu tiên của sự kiện $A$ trong lần thử Béc-nu-li được phép. Phân phối hình học được ký hiệu là $X \sim \mathcal{Geo}(p)$, trong đó tham số $p$ là xuất hiện của sự kiện $A$ trong mỗi lần được phép thử

1. 7. Phân phối nhị thức âm - Phân phối nhị thức âm

Bec-nu-li là phân phối xác thực xuất hiện lần thứ $r$ của sự kiện $A$ trong phép thử Béc-nu-li. Như vậy đây là tổng phân phối của phân phối hình học và phân phối hình học là phân phối nhị thức với $r=1$. Ký hiệu phân phối này là $X \sim \mathcal{NegBin}(r,p)$ with tham số $r$ là số lần xuất hiện của $A$ cùng với $p$ là kết quả xuất hiện của $A

2. 1. Phân phối đều - Liên tục Phân phối đồng đều

Tương tự như đối với trường hợp là biến rời rạc thì với phân phối đều liên tục, bất kỳ giá trị nào của biến ngẫu nhiên trong miền xác định cũng cho xác định là như nhau. Biến ngẫu nhiên $X$ trả lời theo phân phối đều liên tục $X \sim \mathcal{Unif}(a, b)$ with tham số $a, b \in \mathbb R;

2. 2. Phân phối chuẩn - Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn hay còn được gọi là phân phối Gao-xo (Gauss) là một trong những phân phối quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Ở đây ta sẽ khảo sát phân phối chuẩn cho 1 biến ngẫu nhiên hay nói cách khác là biến ngẫu nhiên một chiều và cho cả nhiều biến ngẫu nhiên hay véc-to ngẫu nhiên - biến ngẫu nhiên nhiều chiều

2. 2. 1 Đối với biến 1 chiều (Đơn biến)

Biến ngẫu nhiên $X$ chạy theo phân phối chuẩn $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ với tham số kỳ vọng $\mu$ và phương sai $\sigma^2$, ta

$\Phi\bigg(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\bigg)$ ở đây là 1 phân phối chuẩn đã được tính toán từ trước

Biểu đồ của hàm mật khẩu xác thực, nhiệm vụ theo phân phối chuẩn có định dạng như sau

Hàm mật độ xác suất. Nguồn. https. // vi. wikipedia. org/wiki/Normal_distribution

Lưu ý rằng phương sai $\sigma^2$ càng lớn thì mức độ phân tán xác suất cũng càng rộng, đỉnh thấp hơn và trải rộng hơn. Đường màu đỏ với $\mu=0$ và $\sigma^2=1$ thể hiện phân phối chuẩn tắc $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\bigg(- . Phân phối này thường được sử dụng để tính toán các phân phối chuẩn khác nhau thông qua các biến đổi tuyến tính cho phép

Thường thì các phân phối chuẩn được tính toán theo các biến đổi trực tuyến tính tức thời được phép dựa trên các chuẩn phân phối dễ tính và được tính toán từ trước (giống như các quy tắc phân phối chuẩn) để ước lượng cho các phân phối cần tính. Giờ ta sẽ tìm cách biểu diễn 1 phân phối bất kỳ thông qua quy tắc phân phối tiêu chuẩn

Giả sử $Y=aX+b$ thì $Y$ cũng sẽ là phân phối chuẩn có luật phân phối là. $Y \sim \mathcal{N}(a\mu+b, a^2\sigma^2)$

Ta has Z-score of standard distribution is. $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$. Nếu đặt $a=\dfrac{1}{\sigma}$ và $b=-\dfrac{\mu}{\sigma}$ ta sẽ biểu diễn được $Z$ tính tuyến theo $X$ với định dạng. $Z=aX+b$. Như vậy $Z$ sẽ tuân thủ theo tiêu chuẩn phân phối. $$ \begin{aligned} Z &\sim \mathcal{N}(a\mu+b, a^2\sigma^2) \cr\ &\sim \mathcal{N}\bigg(\dfrac{1}

Do đó, $Z$ tuân theo tiêu chuẩn phân phối nên ta có thể biến đổi ngược lại để được phép biểu diễn phân phối thông qua phân phối của $Z$. $$ \begin{aligned} F_X(x) &= P(X \le x) \cr\ &= P\bigg(\dfrac{X-\mu}{\sigma} \le \dfrac{x-\mu

Phân phối lệ thuộc chuẩn tắc $\Phi\bigg(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\bigg)$ có thể tra cứu việc sử dụng các bảng tính có sẵn nên ta hoàn toàn có thể tính được các phân phối chuẩn

2. 2. 2 Đối với biến đa chiều (Multivariate)

Đây là tổng số hóa của phân phối chuẩn đối với một biến ngẫu nhiên một chiều và sử dụng cho sự hợp nhất của nhiều biến ngẫu nhiên - vécto ngẫu nhiên. The method of véc-tơ Random has the dimensions is $k$. $X=[X_1, X_2, …,X_k]^{\intercal}$. Lúc đó phân phối chuẩn của nó sẽ được tham số hóa bởi

• Vector kỳ vọng. $\mu=E[X]=[E[X_1], E[X_2], …,E[X_k]]^{\intercal}$
• sai hiệp phương ma trận. $\Sigma=E[(X-\mu)(X-\mu)^{\intercal}]=[Cov(X_i,X_j)~~~,1 \le i,j \le k]$

This Distribution will be sign is. $X \sim \mathcal{N}_k(\mu, \Sigma)$ hoặc rút gọn $k$ là. $X \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ và có chức năng xác định mật độ. $$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\det(2\pi\Sigma)}}exp\bigg(-\dfrac{1}{2}(x-\mu)^{\intercal

Ví dụ với trường hợp có 2 biến ngẫu nhiên $x,y$ ($k=2$) ta sẽ có véc-to kỳ vọng $\mu=\begin{bmatrix}\mu_X \cr \mu_Y\end{bmatrix} . Hàm mật khẩu lúc đó sẽ có định dạng. $$f(x)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}exp\bigg(-\dfrac{1}{2(1-\rho^2

2. 3. Distribution Distribution - Phân phối lũy thừa

is a palextributionation the option time between the times of asự kiện xảy ra. Biến ngẫu nhiên $X$ theo tuần phân phối $X \sim \mathcal{Exp}(\lambda)$ with tham số $\lambda$ là tỷ lệ xảy ra của sự kiện $A$

Nếu đặt $\beta=\dfrac{1}{\lambda}$ là kỳ vọng ta có thể sử dụng $\beta$ là tham số của phân bổ phụ. Khi đó phân phối này có thể ký hiệu là. $X \sim \mathcal{Exp}(\beta)$ and have $f(x)=\dfrac{1}{\beta}exp(-\dfrac{x}{\beta})$

Phần này đã tóm tắt sơ lược về một số phân phối thông thường được sử dụng để có thể áp dụng khi mô hình hóa dữ liệu. Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách ước lượng các tham số của mô hình phân phối xác định để có thể xây dựng tòa nhà được quan hệ của các tính chất trong tệp dữ liệu mẫu

Phân phối xác suất đồng nhất rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên đồng nhất rời rạc là gì?

Phân phối xác suất thống nhất là gì?

Phân phối nhị thức có nghĩa là gì?