Giải bài tập Toán 10 trang 153 154

Bài 3: Công thức lượng giác

Bài 1 (trang 153 SGK Đại số 10)

Tính :

Lời giải

Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10

Ở những bài viết trước chúng ta đã được tìm hiểu về cung và góc lượng giác hay cách giải bài giá trị lượng giác của một cung khá rõ ràng, bài viết hôm nay chúng ta cùng tham khảo nội dung Giải bài tập trang 153, 154, 155 SGK Đại Số 10 Công thức lượng giác với hệ thống bài giải bài tập được cập nhật đầy đủ và dễ hiểu nhất. Tất cả các bài giải được cập nhật chi tiết tại tài liệu giải Toán lớp 10 mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm chi tiết.

=> Tìm nhanh mục lục Giải toán lớp 10 tại đây: Giải Toán lớp 10

Tài liệu giải toán lớp 10 chủ đề Công thức lượng giác giúp các bạn nắm bắt được các công thức lượng giác từ cơ bản đến nâng cao, từ đó rút ra được cách giải bài Công thức lượng giác theo đúng với công thức và bài giảng trên lớp. Tất cả hệ thống bài giải bài tập được trình bày bám sát với nội dung SGK toán 10, giờ đây việc giải bài tập trang 153, 154 SGK Toán 10 không còn gặp khó khăn nữa. Cùng với đó các em học sinh lớp 10 cũng có thể đưa ra những phương pháp giải toán hợp lý nhất để học tốt toán 10 cũng như nâng cao trình độ học tập của mình.

Còn rất nhiều các bài giải bài tập hữu ích được cập nhật trên Taimienphi.vn, mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm chi tiết.

Bài hướng dẫn Giải bài tập trang 153, 154, 155 SGK Đại Số 10 trong mục giải bài tập toán lớp 10. Các em học sinh có thể xem lại phần Giải bài tập trang 148 SGK Đại Số 10 đã được giải trong bài trước hoặc xem trước hướng dẫn Giải bài tập trang 155, 156 SGK Đại Số 10 để học tốt môn Toán lớp 10 hơn.

Giải Toán 10 trang 153, 154, 155 thuộc Chương VI, các em cần ôn tập lại Chương II với bài Bài 2. Hàm số y = ax + b và cùng xem gợi ý Giải Toán 10 trang 41, 42 để nắm rõ kiến thức của Bài 2. Hàm số y = ax + b.

Bài 3. Hàm số bậc hai là phần học tiếp theo của Chương II Đại số lớp 10 cùng xem gợi ý Giải Toán 10 trang 49 để nắm vững kiến thức cũng như học tốt Toán 10.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 152 sgk Đại số 10

Từ các công thức cộng, hãy suy ra các công thức trên.

Trả lời:

♦ Từ: $cos⁡(a – b) = cosa cosb + sina sinb$

$cos⁡(a + b) = cosa cosb – sina sinb$

$⇒ cos⁡(a – b) + cos⁡(a + b) = 2cosa cosb$

$⇒ cosa cosb =$ \({1 \over 2}\)$[cos⁡(a – b) + cos⁡(a + b)]$

♦ Từ: $cos⁡(a – b) – cos⁡(a + b) = 2sina sinb$

$⇒ sinasinb =$ \({1 \over 2}\) $[cos⁡(a – b) – cos⁡(a + b) ]$

♦ Từ: $sin⁡(a – b) = sina cosb – cosa sinb$

$sin⁡(a + b) = sina cosb + cosa sinb$

$⇒ sin⁡(a – b) + sin⁡ (a + b) = 2 sina cosb$

$⇒ sina cosb =$ \({1 \over 2}\) $[sin⁡(a – b)+ sin⁡(a + b)]$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 152 sgk Đại số 10

Bằng cách đặt $u = a – b, v = a + b$, hãy biến đổi $cosu + cosv, sinu + sinv$ thành tích.

Trả lời:

Ta đặt:

\(\left\{ \matrix{ u = a – b \hfill \cr v = a + b \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = {{u + v} \over 2} \hfill \cr

b = {{v – u} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & + )\,\,\,\cos u + \cos v = \cos (a – b) + \,\cos (a + b) \cr & = \cos a\cos b = \cos {{u + v} \over 2}.cos{{v – u} \over 2} \cr & + )\,\sin u + \sin v = \sin (a – b) + \sin (a + b) \cr

& = \sin a\cos b = \sin {{u + v} \over 2}.cos{{v – u} \over 2} \cr} \)

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 153 154 155 sgk Đại số 10. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 10 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 153 154 155 sgk Đại số 10 của Bài §3. Công thức lượng giác trong Chương VI – Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

1. Giải bài 1 trang 153 sgk Đại số 10

Tính

a) \(\cos {225^0}, \sin {240^0}, cot( – {15^0}), tan{75^0}\);

b) \(\sin \frac{7\pi}{12}\), \(\cos \left ( -\frac{\pi}{12} \right )\), \(\tan\left ( \frac{13\pi}{12} \right )\)

Bài giải:

a) \(\cos{225^0} = \cos({180^0} +{45^0}) = – \cos{45^{0}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin{240^0} = \sin({180^0} +{60^0}) = – \sin{60^0} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cot( – {15^0}) = – \cot{15^0} = – \tan{75^0} = – \tan({30^0} +{45^0})\)

\( = \frac{-\tan30^{0} – \tan45^{0}}{1 – \tan30^{0}\tan45^{0}} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}}-1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=-\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{2} = -2 – \sqrt 3\)

\(\tan 75^0= \cot15^0= 2 + \sqrt3\)

b) \(\sin \frac{7\pi}{12} = \sin \left ( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} \right ) \)

\(=\sin\frac{\pi }{3}\cos\frac{\pi}{4}+ \cos \frac{\pi }{3}\sin\frac{\pi}{4}\)

\( =\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}\right )\)

\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

\(\cos \left ( -\frac{\pi }{12} \right ) = \cos \left ( \frac{\pi }{4} -\frac{\pi }{3}\right ) \)

\(= \cos \frac{\pi }{4}\cos\frac{\pi }{3} + sin \frac{\pi }{3}sin \frac{\pi }{4}\)

\( =\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}\right )\)

\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

\(\tan \left ( \frac{13\pi }{12} \right ) = \tan(π + \frac{\pi }{12}) = \tan \frac{\pi }{12} = \tan \left ( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi}{4} \right )\)

\(= \frac{\tan\frac{\pi }{3}-\tan\frac{\pi }{4}}{1+\tan\frac{\pi }{3}\tan\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}= 2 – \sqrt3\)

2. Giải bài 2 trang 154 sgk Đại số 10

Tính

a) \(\cos(α + \frac{\pi}{3}\)), biết \(\sinα = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α < \frac{\pi }{2}\).

b) \(\tan(α – \frac{\pi }{4}\)), biết \(\cosα = -\frac{1}{3}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π\)

c) \(\cos(a + b), \sin(a – b)\) biết \(\sin a = \frac{4}{5}\), \(0^0< a < 90^0\) và \(\sin b = \frac{2}{3}\), \(90^0< b < 180^0\)

Bài giải:

a) Vì \(0 < α < \frac{\pi}{2}\) nên \(\sinα > 0, \cosα > 0\)

\(\cosα = \sqrt{1-\sin^{2}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

Vậy: \(cos(α + \frac{\pi}{3}) \)

\(= \cosα\cos \frac{\pi }{3} – \sinα\sin \frac{\pi}{3}\)

\(=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{6}-3}{6}\)

b) Vì \( \frac{\pi}{2}< α < π\) nên \(\sinα > 0, \cosα < 0, \tanα < 0, \cotα < 0\)

\(\tanα = -\sqrt{\frac{1}{cos^{2}\alpha }-1}=-\sqrt{3^{3}-1} = -2\sqrt2\)

Vậy: \(tan(α – \frac{\pi}{4}) \)

\(= \frac{\tan\alpha -\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan\alpha tan\frac{\pi}{4}}\)

\(=\frac{-2\sqrt{2}-1}{1-2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-1}\)

c) Vì \(0^0< a < 90^0\Rightarrow \sin a > 0, \cos a > 0\)

\(90^0< b < 180^0\Rightarrow \sin b > 0, \cos b < 0\)

\(\cos a = \sqrt{1-sin^{2}a}=\sqrt{1-\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}}=\frac{3}{5}\)

\(\cos b = -\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}\)

Ta lại có:

\(\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\)

\(=\frac{3}{5}\left ( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right )-\frac{4}{5}.\frac{2}{3}\)

\(=-\frac{3\sqrt{5}+8}{15}\)

\(\sin(a – b) = \sin a\cos b – \cos a\sin b \)

\(= {4 \over 5}.\left( { – {{\sqrt 5 } \over 3}} \right) – {3 \over 5}.{2 \over 3} \)

\(= – {{4\sqrt 5 + 6} \over {15}} \)

3. Giải bài 3 trang 154 sgk Đại số 10

Rút gọn các biểu thức

a) \(\sin(a + b) + \sin(\frac{\pi}{2}- a)\sin(-b)\).

b) \(cos(\frac{\pi }{4} + a)\cos( \frac{\pi}{4} – a) + \frac{1 }{2} \sin^2a\)

c) \(\cos( \frac{\pi}{2} – a)\sin( \frac{\pi}{2} – b) – \sin(a – b)\)

Bài giải:

a) \(\sin(a + b) + \sin\left ( \frac{\pi }{2} – a \right )\sin(-b) \)

\(= \sin a\cos b + \cos a\sin b – \cos a\sin b \)

\(= \sin a\cos b\)

b) \(\cos( \frac{\pi }{4} + a)\cos(\frac{\pi }{4}- a) + \frac{1 }{2}\sin^2a\)

\( =\frac{1 }{2}\cos\left [ \frac{\pi }{4}+a+\frac{\pi}{4} -a\right ]+\frac{1}{2}\cos\left [ \left ( \frac{\pi }{4} +a\right ) -\left ( \frac{\pi}{4}-a \right )\right ]+\frac{1}{2}\left ( \frac{1-\cos 2a}{2} \right )\)

\( =\frac{1}{2}\cos 2a + \frac{1}{4}(1 – \cos 2a) \)

\(= \frac{1+\cos 2a}{4 }= \frac{1 }{2}\cos^2 a\)

c) \(\cos( \frac{\pi}{2} – a)\sin( \frac{\pi}{2} – b) – \sin(a – b) \)

\(= \sin a\cos b – \sin a\cos b + \sin b\cos a\)

\(= \cos a\sin b\)

4. Giải bài 4 trang 154 sgk Đại số 10

Chứng minh các đẳng thức

a) \( \frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}\)

b) \(\sin(a + b)\sin(a – b) = \sin^2a – \sin^2b = \cos^2b – \cos^2a\)

c) \(\cos(a + b)\cos(a – b) = \cos^2a – \sin^2b = \cos^2b – \sin^2a\)

Bài giải:

a) \(VT = {{\cos a\cos b+\sin a\sin b}\over{\cos a\cos b-\sin a\sin b}}\)

\(=\frac{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}+1}{\frac{\cos a\cos b}{\sin a\sin b}-1}\)

\(=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}=VP\) (đpcm)

b) \(VT = [\sin a\cos b + \cos a\sin b][\sin a\cos b – \cos a\sin a]\)

\(= (\sin a\cos b)^2– (\cos a\sin b)^2\)

\(=sin^2\,a\,cos^2\,b-cos^2\,a\,sin^2\,b\)

\(= \sin^2 a(1 – \sin^2 b) – (1 – \sin^2 a)\sin^2 b\)

\(= \sin^2a – \sin^2b \)

\(= \cos^2b( 1– \cos^2a) – \cos^2 a(1 – \cos^2 b) \)

\(= \cos^2 b – \cos^2 a =VP\) (đpcm)

c) \(VT= (\cos a\cos b – \sin a\sin b)(\cos a\cos b + \sin a\sin b)\)

\(= (\cos a\cos b)^2 – (\sin a\sin b)^2\)

\(= \cos^2 a(1 – \sin^2 b) – (1 – \cos^2 a)\sin^2 b \)

\(= \cos^2 a – \sin^2 b\)

\(= \cos^2 b(1 – \sin^2 a) – (1 – \cos^2 b)\sin^2 a \)

\(= \cos^2 b – \sin^2 a =VP\) (đpcm))

5. Giải bài 5 trang 154 sgk Đại số 10

Tính \(\sin2a, \cos2a, \tan2a\), biết

a) \(sin \,a = -0,6\) và \(π < a < {{3\pi } \over 2}\)

b) \(cos \,a = – {5 \over {13}}\) và \({\pi \over 2} < a < π\)

c) \(sin\,a + cos\,a = {1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4} < a < π\)

Bài giải:

Ta có:

\(sin\,2a=2\,sin\,a\,cos\,a\)

\(cos\,2a=cos^2\,a-sin^2\,a=2cos^2\,a-1=1-2sin^2a\)

\(tan\,2a=\frac{sin\,2a}{cos\,2a}\)

a) \(\sin a = -0,6; \pi < a < {{3\pi } \over 2}\)

\(\pi < a < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \cos\, a < 0\)

và \(\sin a = -0,6=-\frac{3}{5} \Rightarrow \cos a = – {4 \over 5}\)

\(\Rightarrow \sin 2{\rm{a}} = 2.( – 0,6).\left( { – {4 \over 5}} \right) = {{24} \over {25}}\)

\(\cos 2a = 1 – 2\sin^2a = 1 – 2{\left( { – {3 \over 5}} \right)^2} = 1 – {{18} \over {25}}= {7 \over {25}}\)

\(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = {{24} \over {25}}.{{25} \over 7} = {{24} \over 7}\)

b) \(\cos a = – {5 \over {13}}; {\pi \over 2} < a < \pi\)

\({\pi \over 2} < a < \pi \Rightarrow \sin a > 0; \tan a < 0\)

\(\cos a = – {5 \over {13}}\Rightarrow \sin {\rm{a}} = {{12} \over {13}}\)

\(\Rightarrow \sin 2{\rm{a}} = 2.{{12} \over {13}}.\left( { – {5 \over {13}}} \right) = – {{120} \over {169}}\)

\(\cos 2a = 2.{\cos ^2}a – 1 = 2.{{25} \over {169}} – 1 = – {{119} \over {169}}\)

\(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = \left( { – {{120} \over {169}}} \right).\left( { – {{169} \over {119}}} \right) = {{120} \over {119}}\)

c) \(\sin {\rm{a}} + {\mathop{\rm cosa}\nolimits} = {1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4} < a < \pi\)

\({{3\pi } \over 4} < a < \pi \Rightarrow \sin a > 0; \cos a < 0\)

\(\left\{\begin{matrix}cos^2\,a+sin^2\,a=1 & \\ sin\,a+cos\,a=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{ \matrix{\cos a = {{1 – \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr \sin a = {{1 + \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow \sin 2a = 2.{{1 + \sqrt 7 } \over 4}.{{1 – \sqrt 7 } \over 4} = {{ – 3} \over 4}\)

\(\cos 2a = 1 – 2{\sin ^2}a = 1 – 2{\left( {{{1 + \sqrt 7 } \over 4}} \right)^2} = {{ \sqrt 7 } \over 4}\)

\(\tan 2a = – {{3\sqrt 7 } \over 7}\)

6. Giải bài 6 trang 154 sgk Đại số 10

Cho \(\sin 2a = – {5 \over 9}\) và \({\pi \over 2}< a < π\).

Tính \(\sin a\) và \(\cos a\).

Bài giải:

\({\pi \over 2}< a < π \Rightarrow \sin a > 0, \cos a < 0\)

\(\cos 2a = \pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}2a} = \pm \sqrt {1 – {{\left( {{5 \over 9}} \right)}^2}} = \pm {{2\sqrt {14} } \over 9}\)

♦ Trường hợp 1: \(\cos 2a = {{2\sqrt {14} } \over 9}\)

\(\sin a = \sqrt {{{1 – \cos 2a} \over 2}} = \sqrt {{{1 – {{2\sqrt {14} } \over 9}} \over 2}} = {{\sqrt {9 – 2\sqrt {14} } } \over {3\sqrt 2 }} \)

\(= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 – \sqrt 2 } \right)}^2}} } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 7 – \sqrt 2 } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt {14} – 2} \over 6} \)

\(\cos a = – \sqrt {{{1 + \cos 2a} \over 2}} = – {{\sqrt {14} + 2} \over 6}\)

♦ Trường hợp 2: \(\cos 2a = -{{2\sqrt {14} } \over 9}\)

\(\sin a = \sqrt {{{1 – \cos 2a} \over 2}} = \sqrt {{{1 + {{2\sqrt {14} } \over 9}} \over 2}} = {{\sqrt {9 + 2\sqrt {14} } } \over {3\sqrt 2 }} \)

\(= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 2 } \right)}^2}} } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 7 + \sqrt 2 } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt {14} + 2} \over 6} \)

\(\cos a = – \sqrt {{{1 + \cos 2a} \over 2}} = {{ – \sqrt {14} + 2} \over 6} \)

7. Giải bài 7 trang 155 sgk Đại số 10

Biến đổi thành tích các biểu thức sau

Bài giải:

a) \(1 – \sin x = \sin \frac{\pi }{2} – \sin x \)

\(= 2\cos \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\sin \frac{\frac{\pi}{2}-x}{2}\)

\(= 2 \cos \left ( \frac{\pi }{4} +\frac{x}{2}\right )\sin\left ( \frac{\pi }{4} -\frac{x}{2}\right )\)

b) \(1 + \sin x = \sin \frac{\pi }{2} + \sin x = 2\sin \left ( \frac{\pi }{4} +\frac{x}{2}\right )\cos \left ( \frac{\pi }{4} -\frac{x}{2}\right )\)

c) \(1 + 2\cos x = 2\left ( \frac{1}{2} + \cos x \right )\)

\(= 2\left ( \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \right ) \)

\(= 4\cos \left ( \frac{\pi }{6} +\frac{x}{2}\right )\cos \left ( \frac{\pi }{6} -\frac{x}{2}\right )\)

d) \(1 – 2\sin x = 2\left ( \frac{1}{2} – \sin x \right ) \)

\(= 2\left ( \sin \frac{\pi}{6} – \sin x \right )\)

\(= 4\cos \left ( \frac{\pi }{12} +\frac{x}{2}\right )\sin \left ( \frac{\pi }{12} -\frac{x}{2}\right )\)

8. Giải bài 8 trang 155 sgk Đại số 10

Rút gọn biểu thức \(A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + cos3x + cos5x}}\).

Bài giải:

Ta có:

♦ \(\sin x + \sin 3x + \sin 5x \) \(= \sin x + \sin 5x + \sin 3x\)

\(= 2\sin {{x + 5x} \over 2}.\cos {{x – 5x} \over 2} + \sin 3x \)

\(= 2\sin 3x + \cos 2x + \sin 3x\) \(= \sin 3x (2\cos 2x + 1)\) (1)

♦ \(\cos x + \cos3x + \cos5x \) \(= \cos x + \cos5x +\cos3x\)

\(= 2\cos3x . \cos2x + \cos3x \) \(= \cos3x (2\cos2x + 1)\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(A = {{\sin 3x} \over {\cos 3x}} = \tan 3x\)

Vậy biểu thức \(A= \tan 3x\)

Bài trước:

• Giải bài 1 2 3 4 5 trang 148 sgk Đại số 10

Bài tiếp theo:

Xem thêm:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 10 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 153 154 155 sgk Đại số 10!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“