Với Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phân tích vectơ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.  A. Lí thuyết. - Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ Ôn lại các quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ, quy tắc hình bình hành. Ôn lại các tính chất: Tính chất phép cộng vectơ, tích của vectơ với một số, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác. B. Các dạng bài. Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải: Phân tích và biến đổi các vectơ để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng. Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Chứng minh rằng : Giải: +) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ ⇒ ⇔ ⇒ +) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ ⇒ Mà D là trung điểm của AM ⇒ ⇒ ⇒ Bài 2: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng: Giải: Ta có:
⇔ ⇔ ⇔ Dạng 2: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Phương pháp giải: Áp dung định nghĩa về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm. Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm của AD và EF. Phân tích Giải: +) Có FE là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ FE // BC. ⇒ Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC. Mà AD là trung tuyến của tam giác ABC ⇒ AI là trung tuyến của tam giác AFE. ⇒ I là trung điểm của FE. ⇔ ⇔ Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho Giải: Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Phương pháp giải: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D sao cho Giải: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy B, C, D thẳng hàng. Bài 2: Cho 4 điểm A, B, I, J. Biết Giải: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy B, I, J thẳng hàng. Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau. Phương pháp giải: Để chứng minh M và M’ trùng nhau, ta chứng minh Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ANP trùng với trọng tâm của tam giác CMQ.
Giải: Gọi trọng tâm của tam giác ANP là G. Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy G vừa là trọng tâm của tam giác ANP vừa là trọng tâm của tam giác CMQ. Bài 2: Biết Giải: Khi Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I là tâm hình bình hành ABCD. Trung điểm của AC và BD trùng nhau ( cùng là I). Dạng 5: Quỹ tích điểm. Phương pháp giải: Đối với bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau: Nếu Nếu Nếu Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn: Giải: Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ Chọn điểm I sao cho ⇒ ⇒ (1) ⇔ Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính R =
Bài 2: Cho tam giác ABC. Biết Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC. Ta có: ⇔ ⇔ Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GD.
C. Bài tập tự luyện. Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh rằng: Đáp án: Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M nằm trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
Đáp án: Bài 3: Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng
Đáp án: Bài 4: Cho AK và BM là trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích vectơ
Đáp án: Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của AG. Phân tích vectơ
Đáp án: Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = Đáp án: ⇒ Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy điểm J sao cho Đáp án: Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh trọng tâm tam giác MPR trùng với trọng tâm tam giác NQS.
Đáp án: Bài 9: Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.
Đáp án: Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Vậy điểm G và G’ trùng nhau. Bài 10: Cho tam giác ABC. Biết Đáp án: Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF (E, F là trung điểm của AB, AC)
Bài 11: Cho tứ giác ABCD với k là số tùy ý thuộc đoạn [0;1], lấy các điểm M, N sao cho Đáp án: Tập hợp trung điểm I là đoạn thẳng PQ.
|
