- 1. SỐ PHỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC =========================== HUỲNH ĐỨC KHÁNH - 0975.120.189 BÀI TẬP SỐ PHỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC QUY NHƠN - 2012
- 2. DẠNG 1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 1 Bài 1. Tìm số phức z, nghịch đảo của số phức , số phức liên hợp z, số phức đối −z. z √ 1 3 1 1. Cho số phức z = − + i. Tính ; z; z 2 ; (z)3 ; 1 + z + z 2 . 2 2 z √ 3 2−i 2. Tìm số phức z, biết z = √ . 1 + 2i 3. Tìm số phức z sao cho z.z + 3(z − z) = 1 − 4i. |z| = 1 4. Tìm z, biết i . z+ =2 z Bài 2. Tìm phần thực, phần ảo của số phức. √ 1. Xác định phần ảo của số phức z, biết z −1 = 1 − 2i. 2. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z = (2 − 2i) (3 + 2i) (5 − 4i) − (2 + 3i)3 . 3. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 − 2z2 và z1 z2 . √ 3 1 + 3i 4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = . 1+i k + 9i 5. Tìm số thực k, để bình phương của số phức z = là số thực. 1−i Bài 3. Tính môđun của số phức. 1−i (2 − 3i) z 1. Tìm môđun của số phức z, biết = + 2 − i. z |z|2 1 + 2i − (1 − i)3 2. Cho các số phức z1 = 4 − 3i + (1 − i)3 , z2 = . Tính môđun của 1+i số phức z = z1 .z2 . 1 − 5i 3. Tính môđun của số phức z, biết z = + (2 − i)3 . 1+i 6 4. Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 6z + 13 = 0. Tính z + . z+i √ 3 1 − 3i 5. Cho số phức z thỏa mãn z = . Tìm môđun của số phức z + iz. 1−i 6. Tìm môđun của số phức z, biết z 3 + 12i = z và z có phần thực dương. 7. Tính môđun của số phức z, biết (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i. √ x2 − y 2 + 2xyi x2 + y 2 + i 2xy 8. Tìm môđun của số phức z = √ và z = √ . xy 2 + i x4 + y 4 (x − y) + 2i xy 1
- 3. √ 2 √ 2 Bài 4. Tính giá trị của biểu thức P = (1 + 3i) + (1 − 3i) . i−m 1 Bài 5. Xét số phức z = , m ∈ R. Tìm m để z.z = . 1 − m (m − 2i) 2 √ Bài 6*. Cho z1 , z2 ∈ C, sao cho |z1 + z2 | = 3; |z1 | = |z2 | = 1. Tính |z1 − z2 |. z √ Bài 7*. Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa 2 là số thực và |z − z| = 2 3. Tính |z|. z 4 4 z1 z2 Bài 8**. Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − z2 | = |z1 | = |z2 | > 0. Tính A = + . z2 z1 DẠNG 2. TÍNH in VÀ ÁP DỤNG Nếu n nguyên dương thì : i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i. −n −1 −n 1 n Nếu n nguyên âm thì : i = i = (−i)−n . i Bài 1. Tính các giá trị biểu thức. 1. Tính S = in + in+1 + in+2 + in+3 , (n ∈ N). 2. Tính S = i105 + i23 + i20 − i34 . i2 + i4 + ... + i2008 3. Tính giá trị biểu thức P = . i + i2 + i3 + ... + i2009 i5 + i7 + i9 + ... + i2009 4. Tính giá trị biểu thức Q = 4 . i + i5 + i6 ... + i2010 Bài 2. Cho z = a + bi. Tính z 2012 và z 2013 , biết 1. Phần thực bằng phần ảo (Rez = Imz). 2. Phần thực và phần ảo đối nhau (Rez = −Imz). Bài 3. Tính toán rồi tìm phần thực, phần ảo của số phức. 1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1 + i + i2 + ... + i2010 . 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)20 . 3. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , n ∈ N. Trong đó n thỏa mãn log4 (n − 3) + log5 (n + 6) = 4. 4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (z + 2 − 3i) (1 − i) = (1 + i)2011 . 11 8 1+i 2i Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn iz = + . Tính mô đun của số phức 1−i 1+i z + iz. Bài 5. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 −4z +5 = 0. Tính (z1 − 1)2012 + (z2 − 1)2012 . √ Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn 1 + 3i z = 4i. Tính z 2012 . 2
- 4. 7. Tìm số n nguyên nếu : 1. (1 + i)n = (1 − i)n . n n 1+i 1−i 2. √ + √ = 0. 2 2 2013 1+i Bài 8. Cho z = . Chứng minh rằng z k + z k+1 + z k+2 + z k+3 = 0, k ∈ N. 1−i DẠNG 3. TÌM CÁC SỐ THỰC x, y THỎA MÃN ĐẲNG THỨC Bài 1. Tìm các số thực x, y thỏa mãn x (3 + 5i) + y(1 − 2i)3 = 9 + 14i. x(3 − 2i) Bài 2. Tìm các số thực x, y thỏa mãn + y(1 − 2i)3 = 11 + 4i. 2 + 3i Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (3x − 2) + (2y + 1) i = (x + 1) − (y − 5) i. √ √ Bài 4. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức (1 − 2x) − i 3 = 5 + (1 − 3y) i. Bài 5. Tìm các số thực x, y thỏa mãn (2x + y) + (2y − x) i = (x − 2y + 3) + (y + 2x + 1) i. DẠNG 4. TÌM SỐ PHỨC z THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện cho trước. 1. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 = z. √ 2. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z − (2 + i)| = 10 và z.z = 25. z−1 z − 3i 3. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời = 1 và = 1. z−i z+i 4. Tìm số phức z thỏa mãn |z|2 + 2z.z + |z|2 = 8 và z + z = 2. 5. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 1| = 5 và 17 (z + z) − 5z.z = 0. 6. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời |z| = 1 và z 2 + (z)2 = 1. z z 7. Tìm số phức z sao cho |z| = 1 và + = 1. z z 8. Tìm số phức z thỏa mãn |z − 2 + i| = 2. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước và đồng thời nó là số thực (hoặc số thuần ảo). √ 1. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = 2 và z 2 là số ảo. z − 2i 2. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z − 2 − 2i| và là số thuần ảo. z−2 z − 2i 3. Tìm số phức z thỏa mãn |z + 1 − 2i| = |z + 3 + 4i| và là một số ảo. z+i z + 7i 4. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = 5 và là số thực. z+1 3
- 5. 5. TÌM TẬP HỢP SỐ PHỨC z TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Oxy Bài 1. Số phức z chạy trên đường thẳng. 1. Tìm tất cả các số phức z sao cho (z − 2) (z + i) là số thực. 2. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện |z| = |¯ − 3 + 4i|. z z+i 3. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho là z+i một số thực. 4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa z+i mãn điều kiện = 1. z − 3i Bài 2. Số phức z chạy trên đường tròn. 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = 2. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − i| = |(1 + i) z|. 3. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (2 − z) (z + i) là số thuần ảo. 1 4. Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = . z 1 5. Tìm các điểm biểu diễn số phức z sao cho z + = 2 (*). z Bài 3. Tìm tập hợp số phức z thông qua điều kiện cho trước của số phức z. 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức √ z = (1 + i 3)z + 2 biết rằng số phức z thỏa mãn |z − 1| = 2. 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức √ z = (1 + i 3)z + 2 biết rằng số phức z thỏa mãn |z − 1| ≤ 2. 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức √ √ 2 2zz z = (1 + 2i)z + 3 với z + 3 = . 5 4. Trong mặt phẳng phức Oxy xác định tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z = (1 + i)z + 1 biết rằng |z − 1| ≤ 1. Bài 4. Số phức z chạy trên Elip. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện. 1. |z − 2| + |z + 2| = 5. 2. |z + i| + 2 |z − i| = 4. 3. |z − i + 1| + |z + i − 1| = 9. 4
- 6. DẠNG 6. TÌM SỐ PHỨC z CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Bài 1. Số phức z chạy trên đường thẳng, tìm số phức có môđun nhỏ nhất. 1. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − i| = |z − 2 − 3i|, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |iz − 3| = |z − 2 − i|, hãy tìm số phức có |z| nhỏ nhất. 3. Tìm số phức z thỏa mãn (z − 1) (z + 2i) là số thực và |z| nhỏ nhất. 4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − i| = |z + 1|, hãy tìm số phức có |z − (3 − 2i)| nhỏ nhất. Bài 2*. Số phức z chạy trên đường tròn, tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất. √ 1. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 2 + 2i| = 2 2, hãy tìm số phức có |z| nhỏ nhất ; lớn nhất. (1 + i) z 2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn + 2 = 1, hãy tìm số phức z có 1−i môđun nhỏ nhất ; lớn nhất. 3. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 2 + 2i| = 1, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất ; lớn nhất. √ 4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z − 2 − 4i| = 5, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất ; lớn nhất. Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i| = 5. √ 5, và điểm A(4; −1). Hãy tìm số phức z sao cho M A nhỏ nhất ; lớn nhất. |z − 3 + 4i| + 1 6. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn log 1 = 1, hãy tìm 3 2 |z − 3 + 4i| + 8 số phức có môđun nhỏ nhất ; lớn nhất. 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z + i| = |z − 2 + i| và zz ≤ 5. Tìm môđun nhỏ nhất ; lớn nhất của |z − 5|. i−m Bài 3*. Xét số phức z = , m ∈ R. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất. 1 − m (m − 2i) DẠNG 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - ỨNG DỤNG VI-ET Bài 1. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực. 1. Giải phương trình : 8z 2 − 4z + 1 = 0 trên tập số phức. 2. Giải phương trình : z 2 − 4z + 7 = 0 trên tập số phức. 3. Giải phương trình : x2 − 4x + 7 = 0 trên tập số phức. 4. Giải phương trình : 3x2 − 2x + 1 trên tập số phức. 5. Giải phương trình : 2y 2 − 5y + 4 = 0 trên tập số phức. 6. Giải phương trình : y 2 + 5y + 6 trên tập số phức. 5
- 7. 2. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 4z + 20 = 0. Tính giá trị các biểu thức. 1. A = |z1 |2 + |z2 |2 . 2 2 z1 + z2 2. B = . |z1 |2 + |z2 |2 |z1 |2 + |z2 |2 3. C = . (z1 + z2 )2012 4. D = |z1 |4 + |z2 |4 . Bài tập rèn luyện, như các câu hỏi bài trên với phương trình 2z 2 − 4z + 11 = 0. √ Bài 3. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 1 + i 2 z + 2 − 3i = 0. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau. 2 2 1. A = z1 + z2 . 2 2 2. B = z1 z2 + z1 z2 . 3 3 3. C = z1 + z2 . 3 3 4. D = z1 z2 + z1 z2 . z1 z2 5. E = + . z2 z1 1 2 1 2 6. F = z1 + + z2 + . z2 z1 z1 z2 Bài 4*. Cho số phức z là nghiệm của phương trình z 2 + z + 1 = 0. Rút gọn biểu thức 2 2 2 2 1 1 1 1 P = z+ + z2 + + z3 + + z4 + . z z2 z3 z4 Bài 5. Tính căn bậc hai của các số phức : 24 + 70i ; −63 − 16i ; −56 − 90i và 72 + 54i. Bài 6. Giải phương trình bậc hai với hệ số phức. 1. z 2 + 3(1 + i)z − 6 − 13i = 0. 2. z 2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0. Bài 7. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng −1 − 2i và tích của chúng bằng 1 + 7i. Bài 8. Trên tập số phức cho phương trình z 2 + az + i = 0. Tìm a để phương trình trên có tổng các bình phương của hai nghiệm bằng −4i. Bài 9. Tìm a, b ∈ R để phương trình z 2 + az + b = 0 có nhận số phức z = 1 + i làm nghiệm. Bài 10. Tìm m ∈ R để phương trình 2z 2 + 2 (m − 1) z + 2m + 1 = 0 có hai nghiệm phân √ biệt z1 , z2 ∈ C thỏa mãn |z1 | + |z2 | = 10. 6
- 8. DẠNG 8. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc hai. Tìm z, biết 1. z 2 + z = 0. 2. z 2 + |z| = 0. 3. z 2 = |z|2 + z. 2+i −1 + 3i 4. z= . 1−i 2+i 5. z − (2 + 3i)z = 1 − 9i. 1 6. |z| − z = + i. 2 25 7. z + = 8 − 6i. z 8. z |z| − 3z − i = 0. √ 5+i 3 9. z − − 1 = 0. z √ 5 2 (1 − i)10 3 + i 10. z = √ 10 . −1 − i 3 Bài 2. Phương trình bậc ba.Tìm z, biết 1. z 3 − 8 = 0. 2. z 3 + 27 = 0. 3. z 3 − 1 = 0 4. z 3 − i = 0. 5. z 3 + i = 0. 3 z+i 6. = 1. i−z 7. z 3 − 2 (1 + i) z 2 + 3iz + 1 − i = 0. 8. z 3 − 2(1 + i)z 2 + 4(1 + i)z − 8i = 0, biết phương trình có một nghiệm thuần ảo. 9. z 3 − (5 + i)z 2 + 4(i − 1)z − 12 + 12i = 0, biết phương trình có một nghiệm thực. 10. Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn z 3 + (2 − i)z 2 + 2(1 − i)z − 2i = (z − ai)(z 2 + bz + c). Từ đó, hãy giải phương trình z 3 + (2 − i)z 2 + 2(1 − i)z − 2i = 0. Bài 3. Phương trình bậc bốn.Tìm z, biết 1. z 4 + 16 = 0. 2. z 4 − 16 = 0. 4 z+i 3. = 1. z−i 4. z 4 − z 3 + 6z 2 − 8z − 16 = 0. z2 5. z 4 − z 3 + + z + 1 = 0. 2 7
- 9. 6. Tìm các số thực a, b thỏa mãn z 4 −4z 2 −16z −16 = (z 2 − 2z − 4) (z 2 + az + b). Từ đó, hãy giải phương trình z 4 − 4z 2 − 16z − 16 = 0. 2 7. (z 2 + 3z + 6) + 2z (z 2 + 3z + 6) − 3z 2 = 0. 8. (z 2 − z)(z + 3)(z + 2) = 10. 9. (z + 1)4 + 2(z + 1)2 + (z + 4)2 + 1 = 0. 10. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4 − 2z 3 + 6z 2 − 8z + 8 = 0. 1 1 1 1 Tính tổng 4 + 4 + 4 + 4 . z1 z2 z3 z4 DẠNG 9. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Giải các hệ phương trình. z1 + z2 = 4 + i 1. 2 2 z1 + z2 = 5 − 2i z1 z2 = −5 − 5i 2. 2 2 z1 + z2 = −5 + 2i z1 + z2 = 2i 3. 2 2 z1 + z2 + 4z1 z2 = 0 2 z1 − z2 + 1 = 0 4. 2 z2 − z1 + 1 = 0 z z = 1 1 2 5. 2 z + 2z = √3 1 2 z1 − z2 = 2 − 2i 6. 1 1 1 3 − = − i z z1 5 5 2 z1 + z2 = 3 − i 7. 1 1 3+i + = z1 z2 5 Bài 2. Giải các hệ phương trình. z−w =i 1. iz − w = 1 z + w = 4 + 3i 2. z − iw = 3 − 2i z − w − zw = 8 3. z 2 + w2 = −1 z + w = 3 (1 + i) 4. z 3 + w3 = 9 (−1 + i) 8
- 10. 3. Giải các hệ phương trình. z−1 =1 z−i 1. z − 3i =1 z+i z − 12 5 = z − 8i 3 2. z−4 =1 z−8 Bài 4. Giải các hệ phương trình. 2 |z − i| = |z − z + 2i| 1. z 2 − (z)2 = 4 |z − 2i| = |z| 2. |z − i| = |z − 1| (1 − 2i) z + (1 + 2i) z = 6 3. |z|2 + 2i (z − z) + 3 = 0 ——— HẾT ——— 9
|
