Bài 3: Cấp số cộngBài 3.24: Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau: Show Lời giải: Vì u(n+1) - un = 5. Chọn đáp án: C Bài 3.25: Cho cấp số cộng u1 = -2; u19 = 52. Tổng của 20 số hạng đầu là:
Lời giải: Trước hết tìm d, sau đó tìm S20. Chọn đáp án: C Bài 3.26: Cho cấp số cộng 5, x, y, 17. Khi đó:
Lời giải: Nhận xét x + y = 5 + 17 = 22 để loại các phương án A, C. Tiếp đó loại phương án B vì x – 5 = 8 – 5 = 3 còn y – x = 6. Có thể kiểm tra trực tiếp sẽ thấy D đúng. Chọn đáp án: D + Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai. + Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\). + Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\). Ví dụ 1: Cho CSC \(({u_n})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)
Hướng dẫn: Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\) Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3n - 2\). Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},...,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d' = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d'} \right) = 673015\) Ví dụ 2: Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right.\).
Hướng dẫn: Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 7\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.\).
Vấn đề 2: Chứng minh tính chất của cấp số cộng- Phương pháp: + Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội. + Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\) Ví dụ 3: Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC Hướng dẫn: Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\). Ta có: \(\sqrt 3 = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{{u_p} - {u_n}}}{{{u_n} - {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p - n)}}{{{u_1}(n - m)}} = \frac{{p - n}}{{n - m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p - n}}{{n - m}}\) là số hữu tỉ. Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộngPhương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\) Ví dụ 4: Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng. Hướng dẫn: Ta có: \({x^2} + 1,x - 2,1 - 3x\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 - 3x = 2(x - 2) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\) Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm. Ví dụ 5: Xác định m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Hướng dẫn: Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Khi đó:\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\) Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\). Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \) |
