Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé: Show
I. Định lý Viet - Lý thuyết quan trọng.Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra. 1. Định lý Viet thuận.Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:  Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:
2. Định lý Viet đảo.Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1). Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0 hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm. Đăng Ký Học Ngay Toán thầy Mạnh lớp 10II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.1. Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.Phương pháp: Nếu 2 số u và v thỏa mãn: thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0. Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:
Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh. Hướng dẫn: Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có: Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0. Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2) Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a. Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2) Hướng dẫn: Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:
suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2
suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3. Ví dụ 3: Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện: x≠-1 Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này. Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn. Ta đặt: Khi đó theo đề: uv=6. Ta lại có: Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0. Giải phương trình trên được:
2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.Phương pháp: Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:
Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi: Hãy chứng minh: Hướng dẫn: Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của: Hướng dẫn: Cách 1: Ta biến đổi: Lại có: Thế vào ta tính được S. Cách 2: Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý: Ta có: S=S7. Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7. 3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án. |
