Giải toán trong sách bài tập lớp 9

Bài 24 trang 160 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình bên, trong đó MN = PQ. Chứng minh rằng:

a. AE = AF b. AN = AQ

Lời giải:

a. Nối OA

Ta có: MN = PQ (gt)

Suy ra: OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OAE và OAF, ta có:

∠(OEA) = ∠(OFA) = 90o

OA chung

OE = OF (chứng minh trên)

Suy ra: ΔOAE = ΔOAF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AE = AF

b. Ta có: OE ⊥ MN (gt)

Suy ra EN = (1/2).MN (đường kính vuông góc với dây cung) (1)

OF ⊥ PQ (gt)

Suy ra FQ = (1/2).PQ (đường kính vuông góc với dây cung) (2)

Mặt khác: MN = PQ (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EN = FQ (4)

Mà AE = QF (chứng minh trên) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: AN + NE = AQ + QF (6)

Từ (5) và (6) suy ra: AN = AQ

Bài 25 trang 160 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hình bên, trong đó có hai dây CD, EF bằng nhau và vuông góc với nhau tại I, IC = 2cm, ID = 14cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây

Lời giải:

Kẻ OH ⊥ CD, OK ⊥ EF

Vì tứ giác OKIH có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Ta có: CD = EF (gt)

Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Suy ra tứ giác OKIH là hình vuông.

Ta có:

CD = CI + ID = 2 + 14 = 16(cm)

HC = HD = CD/2 = 8 (cm) (đường kính dây cung)

IH = HC - CI = 8 - 2 = 6 (cm)

Suy ra: OH = OK = 6 (cm) (OKIH là hình vuông)

Bài 26 trang 160 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD, AB < CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O; OK) cắt KA và KC tại M và N. Chứng minh rằng KM < KN.

Lời giải:

Kẻ OI ⊥ AB, OE ⊥ CD

Trong (O; OA) ta có: AB < CD (gt)

Suy ra : OI > OE (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Trong (O ; OK) ta có : OI > OE (cmt)

Suy ra : KM < KN (dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

Bài 27 trang 160 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.

Lời giải:

Gọi CD là dây bất kì đi qua I và CD không vuông góc với OI.

Kẻ OK ⊥ CD

Tam giác OKI vuông tại K nên OI > OK

Suy ra : AB < CD (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Vậy dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.

Bài 28 trang 160 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có ∠A > ∠B > ∠C . Gọi OH, OI, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến BC, AC, AB. So sánh các độ dài OH, OI, OK.

Lời giải:

Tam giác ABC có ∠A > ∠B > ∠C nên suy ra :

BC > AC > AB (cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn)

Ta có AB, BC, AC lần lượt là các dây cung của đường tròn (O)

Mà BC > AC > AB nên suy ra:

OH < OI < OK (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Câu 4 trang 5 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x không âm, biết :

a) $\sqrt x = 3;$

b) $\sqrt x = \sqrt 5 ;$

c) $\sqrt x = 0;$

d) $\sqrt x = - 2.$

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt x = 3 \Rightarrow x = {3^2} \Rightarrow x = 9$

b) $\sqrt x = \sqrt 5 \Rightarrow x = {(\sqrt 5 )^2} \Rightarrow x = 5$

c) $\sqrt x = 0 \Rightarrow x = {0^2} \Rightarrow x = 0$

d) Căn bậc 2 số học là số không âm nên không tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn $\sqrt x = - 2.$

Câu 5 trang 6 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

a) 2 và $\sqrt 2 + 1;$

b) 1 và $\sqrt 3 - 1;$

c) $2\sqrt {31} $ và 10;

d) $ - 3\sqrt {11} $ và -12.

Gợi ý làm bài

a) Ta có : $1 < 2 \Rightarrow \sqrt 1 < \sqrt 2 \Rightarrow 1 < \sqrt 2 $

Suy ra : $1 + 1 < \sqrt 2 + 1$

Vậy $2 < \sqrt 2 + 1$

b) Ta có: $4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4 > \sqrt 3 \Rightarrow 2 > \sqrt 3 $

Suy ra: $2 - 1 > \sqrt 3 - 1$

Vậy $1 > \sqrt 3 - 1$

c) Ta có : $31 > 25 \Rightarrow \sqrt {31} > \sqrt {25} \Rightarrow \sqrt {31} > 5$

Suy ra: $2.\sqrt {31} > 2.5$

Vậy $2\sqrt {31} > 10$

d) Ta có: $11 < 16 \Rightarrow \sqrt {11} < \sqrt {16} \Rightarrow \sqrt {11} < 4$

Suy ra: $ - 3.\sqrt {11} > - 3.4$

Vậy $ - 3\sqrt {11} > - 12$

Câu 6 trang 6 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm những khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Căn bậc hai của 0,36 là 0,6 ;

b) Căn bậc hai của 0,36 là 0,06 ;

c) $\sqrt {0,36} = 0,6;$

d) Căn bậc hai của 0,36 là 0,6 và -0,6 ;

e) $\sqrt {0,36} = \pm 0,6.$

Gợi ý làm bài

Câu a và c đúng

Giaibaitap.me

Page 2

Câu 7 trang 6 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Trong các số $\sqrt {{{( - 5)}^2}} $; $\sqrt {{5^2}} $; $ - \sqrt {{5^2}} $; $ - \sqrt {{{( - 5)}^2}} $, số nào là căn bậc hai số học của 25 ?

Gợi ý làm bài

Căn bậc hai số học của 25 là $\sqrt {{{( - 5)}^2}} $ và $\sqrt {{5^2}} $

Câu 8 trang 6 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh :

\(\eqalign{& \sqrt {{1^3} + {2^3}} = 1 + 2; \cr & \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3}} = 1 + 2 + 3; \cr

& \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}} = 1 + 2 + 3 + 4. \cr} \)

Viết tiếp một số đẳng thức tương tự.

Gợi ý làm bài

Ta có : $\sqrt {{1^3} + {2^3}} = \sqrt {1 + 8} = \sqrt 9 = 3$

1 + 2 = 3

Vậy $\sqrt {{1^3} + {2^3}} = 1 + 2$

Ta có :

\(\eqalign{& \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3}} = \sqrt {1 + 8 + 27} \cr

& = \sqrt {36} = 6 \cr} \)

Vậy $\sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3}} = 1 + 2 + 3$

Ta có :

\(\eqalign{& \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}} \cr & = \sqrt {1 + 8 + 27 + 64} \cr

& = \sqrt {100} = 10 \cr} \)

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Vậy

\(\eqalign{& \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}} \cr

& = 1 + 2 + 3 + 4 \cr} \)

Một số đẳng thức tương tự:

\(\eqalign{& \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \cr

& \sqrt {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \cr} \)

Câu 9 trang 6 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :

a) Nếu a

b) Nếu $\sqrt a < \sqrt b $ thì a<b.

Gợi ý làm bài

a) $a \ge 0;b \ge 0$ và $a < b \Rightarrow b > 0$

Ta có: $\sqrt a \ge 0;\sqrt b > 0$

Suy ra: $\sqrt a + \sqrt b > 0$ (1)

Mặt khác:

\(\eqalign{& a - b = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - \left( {\sqrt b } \right) \cr

& ^2 = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) \cr} \)

Vì a < b nên a - b

Từ (1) và (2) suy ra: $\sqrt a - \sqrt b < 0 \Rightarrow \sqrt a < \sqrt b $

b) $a \ge 0;b \ge 0$ và $\sqrt a < \sqrt b \Rightarrow \sqrt b > 0$

Suy ra: $\sqrt a + \sqrt b > 0$ và $\sqrt a - \sqrt b < 0$

$\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) < 0$

\(\eqalign{& \Rightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {\left( {\sqrt b } \right)^2} < 0 \cr

& \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow a < b \cr} \)

Giaibaitap.me

Page 3

Giải bài 36, 37, 38 trang 10, 11 Sách bài tập...
Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 9 Sách bài tập Toán...
Giải bài 30, 31, 32 trang 9, 10 Sách bài tập Toán...
Giải bài 12, 13, 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 18, 19, 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 1, 2, 3 trang 5 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 7, 8, 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập...
Giải bài 48, 49, 50, 51 trang 108 Sách bài tập...

Page 4

Câu 12 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x để căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt { - 2x + 3} $

b) $\sqrt {{2 \over {{x^2}}}} $

c) $\sqrt {{4 \over {x + 3}}} $

d) $\sqrt {{{ - 5} \over {{x^2} + 6}}} $

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $\sqrt { - 2x + 3} $ có nghĩa khi và chỉ khi:

$ - 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 2x \ge - 3 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}$

b) Ta có: $\sqrt {{2 \over {{x^2}}}} $ có nghĩa khi và chỉ khi:

${2 \over {{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \ne 0$

c) Ta có: $\sqrt {{4 \over {x + 3}}} $ có nghĩa khi và chỉ khi:

${4 \over {x + 3}} > 0 \Leftrightarrow x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 3$

d) Ta có: ${x^2} \ge 0$ với mọi x nên x2 + 6 > 0 với mọi x

Suy ra ${{ - 5} \over {{x^2} + 6}} < 0$ với mọi x

Vậy không có giá trị nào của x để $\sqrt {{{ - 5} \over {{x^2} + 6}}} $ có nghĩa

Câu 13 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn rồi tính:

a) $5\sqrt {{{( - 2)}^4}} $

b) $ - 4\sqrt {{{( - 3)}^6}} $

c) $\sqrt {\sqrt {{{( - 5)}^8}} } $

d) $2\sqrt {{{( - 5)}^6}} + 3\sqrt {{{( - 2)}^8}} $

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& 5\sqrt {{{( - 2)}^4}} = 5\sqrt {{{\left[ {{{( - 2)}^2}} \right]}^2}} \cr

& = 5.\left| {{{( - 2)}^2}} \right| = 5.4 = 20 \cr} \)

b) \(\eqalign{& - 4\sqrt {{{( - 3)}^6}} = - 4\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right]}^2}} \cr & = - 4.\left| {{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right| = - 4.\left| { - 27} \right| \cr

& = - 4.27 = - 108 \cr} \)

c) \(\eqalign{& \sqrt {\sqrt {{{( - 5)}^8}} } = \sqrt {\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^4}} \right]}^2}} } \cr & = \sqrt {{{( - 5)}^4}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^2}} \right]}^2}} \cr

& = \left| {{{( - 5)}^2}} \right| = 25 \cr} \)

d) \(\eqalign{& 2\sqrt {{{( - 5)}^6}} + 3\sqrt {{{( - 2)}^8}} \cr

& = 2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^3}} \right]}^2}} + 3.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^4}} \right]}^2}} \cr} \)

\(\eqalign{& = 2.\left| {{{( - 5)}^3}} \right| + 3.\left| {{{( - 2)}^4}} \right| \cr & = 2.\left| { - 125} \right| + 3.\left| {16} \right| \cr

& = 2.125 + 3.16 = 298 \cr} \)

Câu 14 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}} $;

b) $\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}^2}} $;

c) $\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {17} } \right)}^2}} $;

d) $2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} $.

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {4 + \sqrt 2 } \right| = 4 + \sqrt 2 $

b) $\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 3 } \right| = 3 - \sqrt 3 $

c) $\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {17} } \right)}^2}} = \left| {4 - \sqrt {17} } \right| = \sqrt {17} - 4$

d) \(\eqalign{& 2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 3 + \left| {2 - \sqrt 3 } \right| \cr

& = 2\sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 = \sqrt 3 + 2 \cr} \)

Giaibaitap.me

Page 5

Câu 15 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) $9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}$;

b) $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = - 2$;

c) ${\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = 23 - 8\sqrt 7 $;

d) $\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 = 4.$

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

VT = \(\eqalign{& 9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr

& = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

VT = $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5 + 4} - \sqrt 5 $

\(\eqalign{& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} - \sqrt 5 \cr

& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} - \sqrt 5 \cr} \)

$\left| {\sqrt 5 - 2} \right| - \sqrt 5 = \sqrt 5 - 2 - \sqrt 5 = - 2$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

c) Ta có:

VT = \(\eqalign{& {\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = {4^2} - 2.4.\sqrt 7 + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr

& = 16 - 8\sqrt 7 + 7 = 23 - 8\sqrt 7 \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

d) Ta có:

VT = \(\eqalign{& \sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 \cr

& = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 \cr} \)

= \(\eqalign{& \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr

& = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr} \)

= $\left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7 = 4 + \sqrt 7 - \sqrt 7 = 4$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 16 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x ?

a) $\sqrt {(x - 1)(x - 3)} $;

b) $\sqrt {{x^2} - 4} $;

c) $\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} $;

d) $\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} $.

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $\sqrt {(x - 1)(x - 3)} $ xác định khi và chỉ khi :

$(x - 1)(x - 3) \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\left\{ \matrix{x - 1 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge 1 \hfill \cr

x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{x - 1 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le 1 \hfill \cr

x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 1\)

Vậy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 3 thì $\sqrt {(x - 1)(x - 3)} $ xác định.

b) Ta có: $\sqrt {{x^2} - 4} $ xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{& {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 4 \cr & \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x \ge 2 \hfill \cr

x \le - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy với x ≤ -2 hoặc x ≥ 2 thì $\sqrt {{x^2} - 4} $ xác định.

c) Ta có: $\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} $ xác định khi và chỉ khi:

Trường hợp 1:

\(\left\{ \matrix{x - 2 \ge 0 \hfill \cr x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge 2 \hfill \cr

x > - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{x - 2 \le 0 \hfill \cr x + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le 2 \hfill \cr

x < - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 3\)

Vậy với x < -3 hoặc x ≥ 2 thì $\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} $ xác định.

d) Ta có: $\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} $ xác định khi và chỉ khi ${{2 + x} \over {5 - x}} \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{2 + x \ge 0 \hfill \cr 5 - x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - 2 \hfill \cr x < 5 \hfill \cr} \right. \cr

& \Leftrightarrow - 2 \le x < 5 \cr} \)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{2 + x \le 0 \hfill \cr 5 - x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le - 2 \hfill \cr

x > 5 \hfill \cr} \right.\)

$ \Leftrightarrow $ vô nghiệm.

Vậy với -2 ≤ x < 5 thì $\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} $ xác định

Câu 17 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) $\sqrt {9{x^2}} = 2x + 1$;

b) $\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x - 1$;

c) $\sqrt {1 - 4x + 4{x^2}} = 5$;

d) $\sqrt {{x^4}} = 7$.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {9{x^2}} = 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} = 2x + 1 \cr

& \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 2x + 1 \cr} \) (1)

Trường hợp 1:

$3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = 3x$

Suy ra:

$3x = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x - 2x = 1 \Leftrightarrow x = 1$

Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

Trường hợp 2:

$3x < 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = - 3x$

Suy ra :

\(\eqalign{& - 3x = 2x + 1 \Leftrightarrow - 3x - 2x = 1 \cr

& \Leftrightarrow - 5x = 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 5} \cr} \)

Giá trị $x = - {1 \over 5}$ thỏa mãn điều kiện x < 0.

Vậy $x = - {1 \over 5}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy x = 1 và $x = - {1 \over 5}$

b) Ta có :

$\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x - 1$

\(\eqalign{& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 3x - 1 \cr

& \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 3x - 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)

Trường hợp 1:

\(\eqalign{& x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 3 \cr

& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = x + 3 \cr} \)

Suy ra :

\(\eqalign{& x + 3 = 3x - 1 \cr & \Leftrightarrow x - 3x = - 1 - 3 \cr

& \Leftrightarrow - 2x = - 4 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3.

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2).

Trường hợp 2:

\(\eqalign{& x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < - 3 \cr

& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = - x - 3 \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{& - x - 3 = 3x - 1 \cr & \Leftrightarrow - x - 3x = - 1 + 3 \cr

& \Leftrightarrow - 4x = 2 \Leftrightarrow x = - 0,5 \cr} \)

Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3 : loại.

Vậy x = 2.

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {1 - 4x - 4{x^2}} = 5 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} = 5 \cr

& \Leftrightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 5 \cr} \) (3)

Trường hợp 1:

\(\eqalign{& 1 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 1 \Leftrightarrow x \le {1 \over 2} \cr

& \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 1 - 2x \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{& 1 - 2x = 5 \Leftrightarrow - 2x = 5 - 1 \cr

& \Leftrightarrow x = - 2 \cr} \)

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện $x \le {1 \over 2}$

Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình (3).

Trường hợp 2:

\(\eqalign{& 1 - 2x < 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > {1 \over 2} \cr

& \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 2x - 1 \cr} \)

Suy ra:

$2x - 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 5 + 1 \Leftrightarrow x = 3$

Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện $x > {1 \over 2}$

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (3).

Vậy x = -2 và x = 3.

d) Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{x^4}} = 7 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} = 7 \cr

& \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \cr} \)

Vậy $x = \sqrt 7 $ và $x = - \sqrt 7 $

Giaibaitap.me

Page 6

Câu 18 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Phân tích thành nhân tử:

a) ${x^2} - 7$;

b) ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2$;

c) ${x^2} + 2\sqrt {13} x + 13$.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{& {x^2} - 7 = {x^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr

& = \left( {x + \sqrt 7 } \right)\left( {x - \sqrt 7 } \right) \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{& {x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 \cr & = {x^2} - 2.x.\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr

& = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \)

c) Ta có:

\(\eqalign{& {x^2} + 2\sqrt {13} x + 13 \cr & = {x^2} + 2.x.\sqrt {13} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} \cr

& = {\left( {x + \sqrt {13} } \right)^2} \cr} \)

Câu 19 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các phân thức:

a) ${{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }}$ (với $x \ne - \sqrt 5 $)

b) ${{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}}$ (với $x \ne \pm \sqrt 2 $ )

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& {{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }} = {{{x^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \over {x + \sqrt 5 }} \cr

& = {{\left( {x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)} \over {x + \sqrt 5 }} = x - \sqrt 5 \cr} \)

(với $x \ne - \sqrt 5 $)

b) \(\eqalign{& {{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}} \cr & = {{{x^2} + 2.x.\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)}} \cr

& = {{x + \sqrt 2 } \over {x - \sqrt 2 }} \cr} \)

(với $x \ne \pm \sqrt 2 $ )

Câu 20 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) $6 + 2\sqrt 2 $ và 9;

b) $\sqrt 2 + \sqrt 3 $ và 3;

c) $9 + 4\sqrt 5 $ và 16;

d) $\sqrt {11} - \sqrt 3 $ và 2.

Gợi ý làm bài

a) $6 + 2\sqrt 2 $ và 9

Ta có : 9 = 6 + 3

So sánh: $2\sqrt 2 $ và 3 vì $2\sqrt 2 $ > 0 và 3 > 0

Ta có: ${\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8$

${3^2} = 9$

Vì 8 < 9 nên ${\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3$

Vậy $6 + 2\sqrt 2 < 9.$

b) $\sqrt 2 + \sqrt 3 $ và 3

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr

& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \)

${3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2$

So sánh: $\sqrt 2 .\sqrt 3 $ và 2

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr

& = 2.3 = 6 \cr} \)

${2^2} = 4$

Vì 6 > 4 nên ${\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}$

Suy ra:

\(\eqalign{& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr & \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr

& \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \)

\(\eqalign{& \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr

& \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \)

Vậy $\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3$

c) $9 + 4\sqrt 5 $ và 16

So sánh $4\sqrt 5 $ và 5

Ta có: $16 > 5 \Rightarrow \sqrt {16} > \sqrt 5 \Rightarrow 4 > \sqrt 5 $

Vì $\sqrt 5 > 0$ nên:

\(\eqalign{& 4.\sqrt 5 > \sqrt 5 .\sqrt 5 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 5 \cr

& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 5 + 9 \cr} \)

Vậy $9 + 4\sqrt 5 > 16$.

d) $\sqrt {11} - \sqrt 3 $ và 2

Vì $\sqrt {11} > \sqrt 3 $ nên $\sqrt {11} - \sqrt 3 > 0$

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr

& = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \)

So sánh 10 và $2.\sqrt {11} .\sqrt 3 $ hay so sánh giữa 5 và $\sqrt {11} .\sqrt 3 $

Ta có: ${5^2} = 25$

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr

& = 11.3 = 33 \cr} \)

Vì 25 < 33 nên ${5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}$

Suy ra : $5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 $

Suy ra : \(\eqalign{& 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr

& \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \)

Vậy $\sqrt {11} - \sqrt 3 < 2$

Giaibaitap.me

Page 7

Câu 21 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } - \sqrt 3 $;

b) $\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } - 3 + \sqrt 2 $;

c) $\sqrt {9{x^2}} - 2x$ với x < 0 ;

d) $x - 4 + \sqrt {16 - 8x + {x^2}} $ với x < 4.

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } - \sqrt 3 \cr

& = \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} - \sqrt 3 \cr} \)

\(\eqalign{& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 3 \cr & = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| - \sqrt 3 \cr

& = \sqrt 3 - 1 - \sqrt 3 = - 1 \cr} \)

\(\eqalign{& b)\,\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } - 3 + \sqrt 2 \cr

& = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} - 3 + \sqrt 2 \cr} \)

\(\eqalign{& = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} - 3 + \sqrt 2 \cr

& = 3 + \sqrt 2 - 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \cr} \)

\(\eqalign{& c)\,\,\sqrt {9{x^2}} - 2x = \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} - 2x \cr

& = \left| {3x} \right| - 2x = - 3x - 2x = - 5x \cr} \)

( với x < 0)

\(\eqalign{& d)\,\,x - 4 + \sqrt {16 - 8x + {x^2}} \cr

& = x - 4 + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} \cr} \)

\(\eqalign{& = x - 4 + \left| {x - 4} \right| \cr

& = x - 4 + x - 4 = 2x - 8 \cr} \)

( với x > 4).

Câu 22 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:

$\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = {(n + 1)^2} - {n^2}$

Gợi ý làm bài

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = \left| {n + 1} \right| + \left| n \right| \cr

& = n + 1 + 1 = 2n + 1 \cr} \)

\(\eqalign{& {(n + 1)^2} - {n^2} \cr & = {n^2} + 2n + 1 - {n^2} \cr

& = 2n + 1 \cr} \)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Với n = 1, ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{(1 + 1)}^2}} + \sqrt {{1^2}} = {(1 + 1)^2} - {1^2} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 4 - 1 \cr} \)

Với n = 2, ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{(2 + 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = {(2 + 1)^2} - {2^2} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt 9 + \sqrt 4 = 9 - 4 \cr} \)

Với n = 3, ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{(3 + 1)}^2}} + \sqrt {{3^2}} = {(3 + 1)^2} - {3^2} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt {16} + \sqrt 9 = 16 - 9 \cr} \)

Với n = 4, ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{(4 + 1)}^2}} + \sqrt {{4^2}} = {(4 + 1)^2} - {4^2} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt {25} + \sqrt {16} = 25 - 16 \cr} \)

Với n=5, ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{5^2}} = {\left( {5 + 1} \right)^2} - {5^2} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt {36} + \sqrt {25} = 36 - 25 \cr} \)

Với n=6, ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{\left( {6 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{6^2}} = {\left( {6 + 1} \right)^2} - {6^2} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt {49} + \sqrt {36} = 49 - 36 \cr} \)

Với n=7, ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{7^2}} = \left( {7 + 1} \right) - {7^2} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt {64} + \sqrt {49} = 64 - 49 \cr} \)

Câu 2.1 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Đẳng thức nào đúng nếu x là số âm:

(A) $\sqrt {9{x^2}} = 9x$

(B) $\sqrt {9{x^2}} = 3x$

(D) $\sqrt {9{x^2}} = - 3x.$

Hãy chọn đáp án đúng

Gợi ý làm bài

Chọn (D)

Giaibaitap.me

Page 8

Câu 30 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các biểu thức:

$A = \sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 3} $ và $B = \sqrt {(x + 2)(x - 3)} .$

a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x của B có nghĩa.

b) Với giá trị nào của x thì A = B ?

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $A = \sqrt {x + 2} .\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - 2 \hfill \cr

x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

$B = \sqrt {(x + 2)(x - 3)} $ có nghĩa khi và chỉ khi:

$(x + 2)(x - 3) \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\left\{ \matrix{x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - 2 \hfill \cr

x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{x + 2 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le - 2 \hfill \cr

x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2\)

Vậy với x ≥ 3 hoặc x ≤ -2 thì B có nghĩa

b) Để A và B đồng thời có nghĩa thì x ≥ 3

Vậy với x ≥ 3 thì A = B.

Câu 31 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Biểu diễn $\sqrt {{\rm{ab}}} $ ở dạng tích các căn bậc 2 với a < 0 và b < 0.

Áp dụng tính $\sqrt {( - 25).( - 64)} $

Gợi ý làm bài

Vì a < 0 nên –a > 0 và b < 0 nên –b > 0

Ta có: $\sqrt {ab} = \sqrt {( - a).( - b)} = \sqrt { - a} .\sqrt { - b} $

Áp dụng: $\sqrt {( - 25).( - 64)} = \sqrt {25} .\sqrt {64} = 5.8 = 40$

Câu 32 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt {4{{(a - 3)}^2}} $ với a ≥ 3 ;

b) $\sqrt {9{{(b - 2)}^2}} $ với b < 2 ;

c) $\sqrt {{a^2}{{(a + 1)}^2}} $ với a > 0 ;

d) $\sqrt {{b^2}{{(b - 1)}^2}} $ với b < 0 .

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& \sqrt {4{{(a - 3)}^2}} = \sqrt 4 .\sqrt {{{(a - 3)}^2}} \cr

& = 2.\left| {a - 3} \right| = 2(a - 3) \cr} \) (với a ≥ 3)

b) \(\eqalign{& \sqrt {9{{(b - 2)}^2}} = \sqrt 9 \sqrt {{{(b - 2)}^2}} \cr

& = 3.\left| {b - 2} \right| = 3(2 - b) \cr} \) (với b < 2)

c) \(\eqalign{& \sqrt {{a^2}{{(a + 1)}^2}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{(a + 1)}^2}} \cr

& = \left| a \right|.\left| {a + 1} \right| = a(a + 1) \cr} \) (với a > 0)

d) \(\eqalign{& \sqrt {{b^2}{{(b - 1)}^2}} = \sqrt {{b^2}} .\sqrt {{{(b - 1)}^2}} \cr

& = \left| b \right|.\left| {b - 1} \right| = - b(1 - b) \cr} \) (với b < 0)

Giaibaitap.me

Page 9

Câu 23 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

a) $\sqrt {10} .\sqrt {40} ;$

b) $\sqrt 5 .\sqrt {45} ;$

c) $\sqrt {52} .\sqrt {13} ;$

d) $\sqrt 2 .\sqrt {162} .$

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt {10} .\sqrt {40} = \sqrt {10.40} = \sqrt {400} = 20$

b) $\sqrt 5 .\sqrt {45} = \sqrt {5.45} = \sqrt {255} = 15$

c) \(\eqalign{& \sqrt {52} .\sqrt {13} = \sqrt {4.13.13} \cr

& = \sqrt {{{\left( {2.13} \right)}^2}} = 2.13 = 26 \cr} \)

d) \(\eqalign{& \sqrt {2.162} = \sqrt {2.2.81} \cr

& = \sqrt {{{\left( {2.9} \right)}^2}} = 2.9 = 18 \cr} \)

Câu 24 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt {45.80} $;

b) $\sqrt {75.48} $;

c) $\sqrt {90.6,4} $;

d) $\sqrt {2,5.14,4} $.

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& \sqrt {45.80} = \sqrt {9.5.5.16} \cr

& = \sqrt 9 .\sqrt {{5^2}} .\sqrt {16} = 3.4.5 = 60 \cr} \)

b) \(\eqalign{& \sqrt {75.48} = \sqrt {25.3.3.16} \cr

& = \sqrt {25} .\sqrt {{3^2}} .\sqrt {16} = 5.3.4 = 60 \cr} \)

c) \(\eqalign{& \sqrt {90.6,4} = \sqrt {9.64} \cr

& = \sqrt 9 .\sqrt {64} = 3.8 = 24 \cr} \)

d) \(\eqalign{& \sqrt {2,5.14,4} = \sqrt {25.1,44} \cr

& = \sqrt {25} .\sqrt {1,44} = 5.1,2 = 6 \cr} \)

Câu 25 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn rồi tính:

a) $\sqrt {6,{8^2} - 3,{2^2}} $;

b) $\sqrt {21,{8^2} - 18,{2^2}} $;

c) $\sqrt {117,{5^2} - 26,{5^2} - 1440} $;

d) $\sqrt {146,{5^2} - 109,{5^2} + 27.256} $.

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& \sqrt {6,{8^2} - 3,{2^2}} \cr & = \sqrt {\left( {6,8 + 3,2} \right)\left( {6,8 - 3,2} \right)} \cr

& = \sqrt {10.3,6} = \sqrt {36} = 6 \cr} \)

b) \(\eqalign{& \sqrt {21,{8^2} - 18,{2^2}} \cr

& = \sqrt {\left( {21,8 + 18,2} \right)\left( {21,8 - 18,2} \right)} \cr} \)

\(\eqalign{& = \sqrt {40.3,6} = \sqrt {4.36} \cr

& = \sqrt 4 .\sqrt {36} = 2.6 = 12 \cr} \)

c) \(\eqalign{& \sqrt {117,{5^2} - 26,{5^2} - 1440} \cr

& = \sqrt {\left( {117,5 + 26,5} \right)\left( {117,5 - 26,5} \right) - 1440} \cr} \)

$ = \sqrt {144.91 - 1440} = \sqrt {144.\left( {91 - 10} \right)} $

$ = \sqrt {144.81} = \sqrt {144} .\sqrt {81} = 12.9 = 108$

d) $\sqrt {146,{5^2} - 109,{5^2} + 27.256} $

$ = \sqrt {\left( {144,5 + 109,5} \right)\left( {146,5 - 109,5} \right) + 27.256} $

\(\eqalign{& = \sqrt {256.37 + 27.256} \cr & = \sqrt {256.(36 + 27)} \cr

& = \sqrt {256} .\sqrt {64} = 16.8 = 128 \cr} \)

Câu 26 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) $\sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } = 8$

b) $2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 = 9$

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \cr

& = \sqrt {\left( {9 - \sqrt {17} } \right)\left( {9 + \sqrt {17} } \right)} \cr} \)

$ = \sqrt {81 - 17} = \sqrt {64} = 8$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

$2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 $

\(\eqalign{& = 2\sqrt 6 - 4\sqrt 2 + 1 + 4\sqrt 2 + 8 - 2\sqrt 6 \cr

& = 1 + 8 = 9 \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Giaibaitap.me

Page 10

Câu 27 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn:

a) ${{\sqrt 6 + \sqrt {14} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt {28} }}$;

b) ${{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$.

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& {{\sqrt 6 + \sqrt {14} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt {28} }} = {{\sqrt {2.3} + \sqrt {2.7} } \over {2\sqrt 3 + \sqrt 4 .\sqrt 7 }} \cr

& = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)} \over {2\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

b) \(\eqalign{& {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} \cr

& = {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + 4} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} \cr} \)

$= {{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 + \sqrt 4 + \sqrt 6 + \sqrt 8 } \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$

$ = {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right) + \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}$

$= {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \over {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }} = 1 + \sqrt 2 $

Câu 28 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi):

a) $\sqrt 2 + \sqrt 3 $ và $\sqrt {10} $;

b) $\sqrt 3 + 2$ và $\sqrt 2 + \sqrt 6 $;

c) 16 và $\sqrt {15} .\sqrt {17} $;

d) 8 và $\sqrt {15} + \sqrt {17} $.

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt 2 + \sqrt 3 $ và $\sqrt {10} $

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt 6 + 3 \cr

& = 5 + 2\sqrt 6 \cr} \)

${\left( {\sqrt {10} } \right)^2} = 10 = 5 + 5$

So sánh $2\sqrt 6 $ và 5:

Ta có: ${\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 4.6 = 24$

${5^2} = 25$

Vì ${\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} < {5^2}$ nên $2\sqrt 6 < 5$

Vậy:

\(\eqalign{& 5 + 2\sqrt 6 < 5 + 5 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} < {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \cr

& \Rightarrow \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt {10} \cr} \)

b) $\sqrt 3 + 2$ và $\sqrt 2 + \sqrt 6 $

Ta có:

${\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} = 3 + 4\sqrt 3 + 4 = 7 + 4\sqrt 3 $

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2} = 2 + 2\sqrt {12} + 6 \cr

& = 8 + 2\sqrt {4.3} = 8 + 2.\sqrt 4 .\sqrt 3 = 8 + 4\sqrt 3 \cr} \)

Vì $7 + 4\sqrt 3 < 8 + 4\sqrt 3 $ nên ${\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} < {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)^2}$

Vậy $\sqrt 3 + 2$ < $\sqrt 2 + \sqrt 6 $

c) 16 và $\sqrt {15} .\sqrt {17} $

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {15} .\sqrt {17} = \sqrt {16 - 1} .\sqrt {16 + 1} \cr

& = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} = \sqrt {{{16}^2} - 1} \cr} \)

$16 = \sqrt {{{16}^2}} $

Vì $\sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} $ nên $16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} $

Vậy $16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} $.

d) 8 và $\sqrt {15} + \sqrt {17} $

Ta có: ${8^2} = 64 = 32 + 32$

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} = 15 + 2\sqrt {15.17} + 17 \cr

& = 32 + 2\sqrt {15.17} \cr} \)

So sánh 16 và $\sqrt {15.17} $

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {15.17} = \sqrt {(16 - 1)(16 + 1)} \cr

& = \sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \cr} \)

Vì $16 > \sqrt {15.17} $ nên $32 > 2\sqrt {15.17} $

Suy ra:

\(\eqalign{& 64 > 32 + 32 + 2.\sqrt {15.17} \cr

& \Rightarrow {8^2} > {\left( {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right)^2} \cr} \)

Vậy $8 > \sqrt {15} + \sqrt {17} $.

Câu 29 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi):

$\sqrt {2003} + \sqrt {2005} $ và $2\sqrt {2004} $

Gợi ý làm bài

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} = 4.2004 \cr

& = 4008 + 2.2004 \cr} \)

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2} \cr

& = 2003 + 2\sqrt {2003.2005} + 2005 \cr} \)

$ = 4008 + 2\sqrt {2003.2005} $

So sánh 2004 và $\sqrt {2003.2005} $

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {2003.2005} \cr & = \sqrt {(2004 - 1)(2004 + 1)} \cr

& = \sqrt {{{2004}^2} - 1} < \sqrt {{{2004}^2}} \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{& 2004 > \sqrt {2003.2005} \cr

& \Rightarrow 2.2004 > 2.\sqrt {2003.2005} \cr} \)

$ \Rightarrow 4008 + 2.2004 > 4008 + 2\sqrt {2003.2005} $

$ \Rightarrow {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} > {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2}$

Vậy $2\sqrt {2004} > \sqrt {2003} + \sqrt {2005} $.

Giaibaitap.me

Page 11

Câu 33 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:

a) $\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} $;

b) $3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} $.

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $\sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} $ có nghĩa khi và chỉ khi:

${x^2} - 4 \ge 0$ và $x - 2 \ge 0$

Ta có: ${x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\left\{ \matrix{x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - 2 \hfill \cr

x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{x + 2 \le 0 \hfill \cr x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le - 2 \hfill \cr

x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2\)

$x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$

Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

\(\eqalign{& \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr

& = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}\)

$= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)$

b) Ta có: $3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} $ có nghĩa khi và chỉ khi:

$x + 3 \ge 0$ và ${x^2} - 9 \ge 0$

Ta có: $x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

${x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\left\{ \matrix{x + 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - 3 \hfill \cr

x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{x + 3 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le - 3 \hfill \cr

x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\)

Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

\(\eqalign{& 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr

& = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr} \)

$= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)$

Câu 34 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) $\sqrt {x - 5} = 3$;

b) $\sqrt {x - 10} = - 2$;

c) $\sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 $;

d) $\sqrt {4 - 5x} = 12$.

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt {x - 5} = 3$ điều kiện: $x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5$

Ta có: $\sqrt {x - 5} = 3 \Leftrightarrow x - 5 = 9 \Leftrightarrow x = 14$

b) $\sqrt {x - 10} = - 2$ điều kiện: $x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10$

Vì $\sqrt {x - 10} \ge 0$ nên không có giá trị nào của x để $\sqrt {x - 10} = - 2$

$\sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 $ điều kiện: $2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0,5$

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {2x - 1} = \sqrt 5 \Leftrightarrow 2x - 1 = 5 \cr

& \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3 \cr} \)

d) $\sqrt {4 - 5x} = 12$ điều kiện: $4 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {4 \over 5}$

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {4 - 5x} = 12 \Leftrightarrow 4 - 5x = 144 \cr

& \Leftrightarrow - 5x = 140 \Leftrightarrow x = - 28 \cr} \)

Câu 35 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với n là số tự nhiên, chứng minh:

${(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )^2} = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} $

Viết đẳng thức trên khi n bằng 1, 2, 3, 4.

Gợi ý làm bài

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr & = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr

& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)

\(\eqalign{& = \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr

& = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)

\(\eqalign{& = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr

& = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)

\(\eqalign{& = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr

& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

- Với n = 1, ta có: ${\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8 $

- Với n = 2, ta có: ${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25} - \sqrt {24} $

- Với n = 3, ta có: ${\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49} - \sqrt {48} $

- Với n = 4, ta có: ${\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81} - \sqrt {80} $

Câu 3.1 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Giá trị của $\sqrt {1,6} .\sqrt {2,5} $ bằng:

(A) 0,20 ;

(B) 2,0 ;

(D) 0,02;

Hãy chọn đáp án đúng.

Gợi ý làm bài

Chọn (B)

Giaibaitap.me

Page 12

Câu 36 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc khai phương một thương , hãy tính:

a) $\sqrt {{9 \over {169}}} $;

b) $\sqrt {{{25} \over {144}}} $;

c) $\sqrt {1{9 \over {16}}} $;

d) $\sqrt {2{7 \over {81}}} $.

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt {{9 \over {169}}} = {{\sqrt 9 } \over {\sqrt {169} }} = {3 \over {13}}$

b) $\sqrt {{{25} \over {144}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {144} }} = {5 \over {12}}$

c) $\sqrt {1{9 \over {16}}} = \sqrt {{{25} \over {16}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {16} }} = {5 \over 4}$

d) $\sqrt {2{7 \over {81}}} = \sqrt {{{169} \over {81}}} = {{\sqrt {169} } \over {\sqrt {81} }} = {{13} \over 9}$

Câu 37 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

a) ${{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }}$

b) ${{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }}$

c) ${{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }}$

d) ${{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }}$

Gợi ý làm bài

a) ${{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }} = \sqrt {{{2300} \over {23}}} = \sqrt {100} = 10$

b) ${{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }} = \sqrt {{{12,5} \over {0,5}}} = \sqrt {25} = 5$

c) ${{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }} = \sqrt {{{192} \over {12}}} = \sqrt {16} = 4$

d) ${{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }} = \sqrt {{6 \over {150}}} = \sqrt {{1 \over {50}}} = {1 \over 5}$

Câu 38 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các biểu thức:

A= $\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} $ và B = ${{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}$

a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa .

b) Với giá trị nào của x thì A=B ?

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} $ có nghĩa khi và chỉ khi ${{2x + 3} \over {x - 3}} \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{2x + 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{2x \ge 3 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr

x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3 \cr} \)

Trường hợp 2:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{2x + 3 \le 0 \hfill \cr x - 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{2x < - 3 \hfill \cr x < 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le - {3 \over 2} \hfill \cr

x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - {3 \over 2} \cr} \)

Vậy với x > 3 hoặc x $ \le $ $ - {3 \over 2}$ thì biểu thức A có nghĩa.

Ta có: ${{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{2x \ge - 3 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr

x > 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 3 \cr} \)

Vậy x > 3 thì biểu thức B có nghĩa.

b) Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa.

Vậy với x > 3 thì A = B.

Giaibaitap.me

Page 13

Câu 39 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Biểu diễn $\sqrt {{a \over b}} $ với a < 0 và b < 0 ở dạng thương của hai căn thức.

Áp dụng tính $\sqrt {{{ - 49} \over { - 81}}} $

Gợi ý làm bài

Ta có: a < 0 nên –a > 0; b < 0 nên –b > 0

$\sqrt {{a \over b}} = \sqrt {{{ - a} \over { - b}}} = {{\sqrt { - a} } \over {\sqrt { - b} }}$

Áp dụng: $\sqrt {{{ - 49} \over { - 81}}} = {{\sqrt {49} } \over {\sqrt {81} }} = {7 \over 9}$

Câu 40 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ${{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }}$ (y>0);

b) ${{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }}$ (x > 0);

c) ${{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }}$ (m > 0 và n > 0);

d) ${{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }}$ (a < 0 và b ≠ 0).

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& {{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }} = \sqrt {{{63{y^3}} \over {7y}}} = \sqrt {9{y^2}} \cr

& = \sqrt 9 .\sqrt {{y^2}} = 3.\left| y \right| = 3y \cr} \) (y>0)

b) \(\eqalign{& {{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }} = \sqrt {{{48{x^3}} \over {3{x^5}}}} \cr

& = \sqrt {{{16} \over {{x^2}}}} = {4 \over {\left| x \right|}} = {4 \over x} \cr} \) (x > 0)

c) \(\eqalign{& {{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }} = \sqrt {{{45m{n^2}} \over {20m}}} \cr

& = \sqrt {{{9{n^2}} \over 4}} = {{\sqrt {9{n^2}} } \over {\sqrt 4 }} = {{3\left| n \right|} \over 2} = {{3n} \over 2} \cr} \) (m > 0 và n > 0)

d) \(\eqalign{& {{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }} = \sqrt {{{16{a^4}{b^6}} \over {128{a^6}{b^6}}}} = \sqrt {{1 \over {8{a^2}}}} \cr

& = {{\sqrt 1 } \over {\sqrt {4{a^2}.2} }} = {1 \over {2\left| a \right|\sqrt 2 }} = {{ - 1} \over {2a\sqrt 2 }} \cr} \)

(a < 0 và b ≠0)

Câu 41 trang 11,12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} $ (x ≥ 0);

b) ${{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{(y - 2\sqrt y + 1)}^2}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} $ (x ≠1, y ≠ 1 và y ≥ 0).

Gợi ý làm bài

a) Vì x ≥ 0 nên $x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}$

Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr & = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr

& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \)

$ = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}} }} = {{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\left| {\sqrt x + 1} \right|}} = {{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}}$

- Nếu $\sqrt x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$ thì $\left| {\sqrt x - 1} \right| = \sqrt x - 1$

Ta có: ${{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}$ (với x ≥ 1)

- Nếu $\sqrt x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ thì $\left| {\sqrt x - 1} \right| = 1 - \sqrt x $

Ta có: ${{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x + 1}}$ (với 0 ≤ x < 1)

b) Vì y ≥ 0 nên $y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}$

Ta có:

\(\eqalign{& {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr

& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \)

\(\eqalign{& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\left| {y - 2\sqrt y + 1} \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr

& = {{\left| {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - 2\sqrt y + 1} \right|} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} = {{\left| {{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}} \right|} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} \cr} \)

$ = {{{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt y - 1} \right)(x - 1)}} = {{\sqrt y - 1} \over {x - 1}}$ (x ≠ 1, y ≠ 1, y ≥ 0)

Câu 42 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó:

a) $\sqrt {{{{{(x - 2)}^4}} \over {{{(3 - x)}^2}}}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}}$

(x < 3); tại x = 0,5 ;

b) $4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }}$

(x > -2); tại x = $ - \sqrt 2 $

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{{{(x - 2)}^4}} \over {{{(3 - x)}^2}}}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr & = {{\sqrt {{{(x - 2)}^4}} } \over {\sqrt {{{(3 - x)}^2}} }} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr

& = {{{{(x - 2)}^2}} \over {\left| {3 - x} \right|}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr} \)

\(\eqalign{& = {{{x^2} - 4x + 4} \over {3 - x}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr

& = {{ - {x^2} + 4x + 4} \over {x - 3}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr} \)

$ = {{4x - 5} \over {x - 3}}$ (x<3)

Với x = 0,5 ta có:

\(\eqalign{& {{4.0,5 - 5} \over {0,5 - 3}} = {{ - 3} \over { - 2,5}} \cr

& = {3 \over {2,5}} = {6 \over 5} = 1,2 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{& 4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }} \cr

& = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^3} + 2{x^2}} \over {x + 2}}} \cr} \)

\(\eqalign{& = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^2}(x + 2)} \over {x + 2}}} \cr

& = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{x^2}} = 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr} \) (x > -2)

- Nếu x > 0 thì $\left| x \right| = x$

Ta có:

\(\eqalign{& 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr

& = 4x - \sqrt 8 + x = 5x - \sqrt 8 \cr} \)

Với $x = - \sqrt 2 $ ta có:

$5\left( { - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 8 = - 5\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - 7\sqrt 2 $

- Nếu -2 < x < 0 thì $\left| x \right| = - x$

Ta có:

$4x - \sqrt 8 + \left| x \right| = 4x - \sqrt 8 - x = 3x - \sqrt 8 $

Với $x = - \sqrt 2 $ ta có: $3\left( { - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 8 = - 3\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - 5\sqrt 2 $

Giaibaitap.me

Page 14

Câu 43 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x thỏa mãn điều kiện

a) $\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2$

b) ${{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2$

c) $\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3$

d) ${{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.$

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

$\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} $ xác định khi và chỉ khi ${{2x - 3} \over {x - 1}} \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge 1,5 \hfill \cr

x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)

Trường hợp 2:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{2x - 3 \le 0 \hfill \cr x - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{2x \le 3 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \le 1,5 \hfill \cr

x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr} \)

Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr

& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr

& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)

Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.

b) Ta có: ${{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }}$ xác định khi và chỉ khi:

x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)

Với x ≥ 1,5 ta có:

\(\eqalign{& {{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr

& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr

& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)

Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để ${{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2$

c) Ta có: $\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} $ xác định khi và chỉ khi ${{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0$

Trường hợp 1:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - 0,75 \hfill \cr

x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \)

Trường hợp 2:

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{4x + 3 \le 0 \hfill \cr x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{4x \le - 3 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - 0,75 \hfill \cr

x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr} \)

Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:

\(\eqalign{& \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr

& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr

& \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \)

Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.

d) Ta có : ${{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}$ xác định khi và chỉ khi:

x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \)

Với x ≥ -0,75 ta có:

\(\eqalign{& {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr

& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr

& \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \)

Vậy không có giá trị nào của x để ${{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.$

Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

${{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} $

(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên $\sqrt a $ xác định, b ≥ 0 nên $\sqrt b $ xác định

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr

& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \)

$ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} $

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

$\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}$

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên $\sqrt a $ xác định, b ≥ 0 nên $\sqrt b $ xác định

Ta có:

\(\eqalign{& {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr

& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \)

$ \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} $

$ \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}$

\(\eqalign{& \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \cr

& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4} \cr} \)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \cr} \)

Giaibaitap.me

Page 15

Giải bài 36, 37, 38 trang 10, 11 Sách bài tập...
Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 9 Sách bài tập Toán...
Giải bài 30, 31, 32 trang 9, 10 Sách bài tập Toán...
Giải bài 12, 13, 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 18, 19, 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 1, 2, 3 trang 5 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 7, 8, 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập...
Giải bài 48, 49, 50, 51 trang 108 Sách bài tập...

Page 16

Giải bài 36, 37, 38 trang 10, 11 Sách bài tập...
Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 9 Sách bài tập Toán...
Giải bài 30, 31, 32 trang 9, 10 Sách bài tập Toán...
Giải bài 12, 13, 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 18, 19, 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 1, 2, 3 trang 5 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 7, 8, 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập...
Giải bài 48, 49, 50, 51 trang 108 Sách bài tập...

Page 17

Câu 56 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) $\sqrt {7{x^2}} $ với x > 0;

b) $\sqrt {8{y^2}} $ với y < 0;

c) $\sqrt {25{x^3}} $ với x > 0;

d) $\sqrt {48{y^4}} $

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt {7{x^2}} = \left| x \right|\sqrt 7 = x\sqrt 7 $ (với x > 0)

b) \(\eqalign{& \sqrt {8{y^2}} = \sqrt {4.2{y^2}} \cr

& = 2\left| y \right|\sqrt 2 = - 2y\sqrt 2 \cr} \) (với y < 0)

c) \(\eqalign{& \sqrt {25{x^3}} = \sqrt {25{x^2}x} \cr

& = 5\left| x \right|\sqrt x = 5x\sqrt x \cr} \) (với x > 0)

d) $\sqrt {48{y^4}} = \sqrt {16.3{y^4}} = 4{y^2}\sqrt 3 $

Câu 57 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $x\sqrt 5 $ với $x \ge 0$;

b) $x\sqrt {13} $ với x < 0 ;

c) $x\sqrt {{{11} \over x}} $ với x > 0;

d) $x\sqrt {{{ - 29} \over x}} $ với x < 0.

Gợi ý làm bài

a) $x\sqrt 5 = \sqrt {{x^2}.5} = \sqrt {5{x^2}} $ (với $x \ge 0$)

b) $x\sqrt {13} = - \sqrt {{x^2}.13} = - \sqrt {13{x^2}} $ (với x < 0)

c) $x\sqrt {{{11} \over x}} = \sqrt {{x^2}{{11} \over x}} = \sqrt {11x} $ (với x > 0)

d) $x\sqrt {{{ - 29} \over x}} = \sqrt {{x^2}{{ - 29} \over x}} = - \sqrt { - 29x} $ (với x < 0)

Câu 58 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức :

a) $\sqrt {75} + \sqrt {48} - \sqrt {300} $;

b) $\sqrt {98} - \sqrt {72} + 0,5\sqrt 8 $;

c) $\sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {49a} $ với $a \ge 0$;

d) $\sqrt {16b} + 2\sqrt {40b} - 3\sqrt {90b} $ với $b \ge 0$.

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& \sqrt {75} + \sqrt {48} - \sqrt {300} \cr

& = \sqrt {25.3} + \sqrt {16.3} - \sqrt {100.3} \cr} \)

$ = 5\sqrt 3 + 4\sqrt 3 - 10\sqrt 3 = - \sqrt 3 $

b) \(\eqalign{& \sqrt {98} - \sqrt {72} + 0,5\sqrt 8 \cr

& = \sqrt {49.2} - \sqrt {36.2} + 0,5\sqrt {4.2} \cr} \)

$ = 7\sqrt 2 - 6\sqrt 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 $

c) \(\eqalign{& \sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {49a} \cr

& = 3\sqrt a - 4\sqrt a + 7\sqrt a = 6\sqrt a \cr} \) (với $a \ge 0$)

d) \(\eqalign{& \sqrt {16b} + 2\sqrt {40b} - 3\sqrt {90b} \cr

& = \sqrt {16b} + 2\sqrt {4.10b} - 3\sqrt {9.10b} \cr} \)

\(\eqalign{& = 4\sqrt b + 4\sqrt {10b} - 9\sqrt {10b} \cr

& = 4\sqrt b - 5\sqrt {10b} \cr} \) (với $b \ge 0$)

Giaibaitap.me

Page 18

Câu 59 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) $\left( {2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt 3 - \sqrt {60} $;

b) $\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)\sqrt 5 - \sqrt {250} $;

c) $\left( {\sqrt {28} - \sqrt {12} - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} $;

d) $\left( {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} $.

Gợi ý làm bài

\(\eqalign{ & a)\,\left( {2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt 3 - \sqrt {60} \cr

& = 2\sqrt {{3^2}} + \sqrt {15} - \sqrt {4.15} \cr} \)

$ = 6 + \sqrt {15} - 2\sqrt {15} = 6 - \sqrt {15} $

\(\eqalign{ & b)\,\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)\sqrt 5 - \sqrt {250} \cr

& = 5\sqrt {10} + 2\sqrt {{5^2}} - \sqrt {25.10} \cr} \)

$ = 5\sqrt {10} + 10 - 5\sqrt {10} = 10$

\(\eqalign{ & c)\,\left( {\sqrt {28} - \sqrt {12} - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \cr

& = \left( {\sqrt {4.7} - \sqrt {4.3} - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \cr} \)

$ = \left( {2\sqrt 7 - 2\sqrt 3 - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + 2\sqrt {21} $

$ = 2\sqrt {{7^2}} - 2\sqrt {21} - \sqrt {{7^2}} + 2\sqrt {21} $

$ = 14 - 7 = 7$

\(\eqalign{ & d)\,\left( {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \cr

& = \left( {\sqrt {9.11} - \sqrt {9.2} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \cr} \)

$ = \left( {3\sqrt {11} - 3\sqrt 2 - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} $

$ = 3\sqrt {{{11}^2}} - 3\sqrt {22} - \sqrt {{{11}^2}} + 3\sqrt {22} $

$ = 33 - 11 = 22$

Câu 60 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) $2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } $;

b) $2\sqrt {8\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {20\sqrt 3 } $.

Gợi ý làm bài

a) $2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } $

$ = 2\sqrt {40\sqrt {4.3} } - 2\sqrt {\sqrt {25.3} } - 3\sqrt {5\sqrt {16.3} } $

$ = 2\sqrt {80\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } $

$ = 2\sqrt {16.5\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } $

$ = 8\sqrt {5\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 6\sqrt {5\sqrt 3 } = 0$

\(\eqalign{ & b)\,2\sqrt {8\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {20\sqrt 3 } \cr

& = 2\sqrt {4.2\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {4.5\sqrt 3 } \cr} \)

\(\eqalign{ & = 4\sqrt {2\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 6\sqrt {5\sqrt 3 } \cr

& = 4\sqrt 2 - 8\sqrt {5\sqrt 3 } \cr} \)

Câu 61 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Khai triển và rút gọn các biểu thức ( với x và y không âm):

a) $\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x + x} \right)$;

b) $\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)$;

c) $\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)$;

d) $\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {{x^2} + y - x\sqrt y } \right)$.

Gợi ý làm bài

\(\eqalign{ & a)\,\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x + x} \right) \cr

& = \left( {1 - \sqrt x } \right)\left[ {1 + 1\sqrt x + {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right] \cr} \)

$ = 1 - {\left( {\sqrt x } \right)^3} = 1 - x\sqrt x $ (với $x \ge 0$)

\(\eqalign{ & b)\,\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right) \cr

& = \left( {\sqrt x + 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2 + {2^2}} \right] \cr} \)

$ = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {2^3} = x\sqrt x + 8$ (với $x \ge 0$)

c) $\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)$

$ = \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .\sqrt y + {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}} \right]$

$ = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - {\left( {\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x - y\sqrt y $ (với $x \ge 0$, $y \ge 0$)

\(\eqalign{ & d)\,\,\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {{x^2} + y - x\sqrt y } \right) \cr

& = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left[ {{x^2} - x\sqrt y + {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}} \right] \cr} \)

$ = {x^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3} = {x^3} + y\sqrt y $ (với $y \ge 0$)

Câu 62 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Khai triển và rút gọn các biểu thức (với x, y không âm):

a) $\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)$;

b) $\left( {2\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)$.

Gợi ý làm bài

a) $\left( {4\sqrt x - 2\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)$

$ = 4\sqrt {{x^2}} - 4\sqrt {2{x^2}} - \sqrt {2{x^2}} + \sqrt {4{x^2}} $

\(\eqalign{ & = 4x - 4x\sqrt 2 - x\sqrt 2 + 2x \cr

& = 6x - 5x\sqrt 2 \cr} \) (với $x \ge 0$)

b) $\left( {2\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)$

$ = 6\sqrt {{x^2}} - 4\sqrt {xy} + 3\sqrt {xy} - 2\sqrt {{y^2}} $

$ = 6x - \sqrt {xy} - 2y$ (với $x \ge 0$, $y \ge 0$)

Giaibaitap.me

Page 19

Câu 63 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) ${{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = x - y$

với x > 0 và y > 0;

b) ${{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = x + \sqrt x + 1$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

${{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = {{\left( {\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}$

$ = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)$

$ = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x - y$

(với x > 0 và y > 0)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Vì x > 0 nên $\sqrt {{x^3}} = {\left( {\sqrt x } \right)^3}$

Ta có:

${{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = {{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x - 1}} = {{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)} \over {\sqrt x - 1}}$

$ = x + \sqrt x + 1$ với \(x \ge 0$ và $x \ne 1$.

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 64 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng minh:

$x + 2\sqrt {2x - 4} = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}$ với $x \ge 2$;

b) Rút gọn biểu thức:

$\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } $ với $x \ge 2$.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{& x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} \cr

& = 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \cr} \)

$ = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}$

$ = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}$ (với $x \ge 2$)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

$\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } $

$ = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} $

$ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - \sqrt x - 2} \right)}^2}} $

$ = \left| {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|$

$ = \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|$

- Nếu $\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \ge 0$ thì

\(\eqalign{& \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr

& \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \)

Với $2 \le x \le 4$ thì $\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} $

Ta có: $\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 $

- Nếu $\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} < 0$ thì

$\sqrt {x - 2} > \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4$

Với x > 4 thì $\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 $

Ta có: $\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 = 2\sqrt {x - 2} $

Câu 65 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) $\sqrt {25x} = 35$;

b) $\sqrt {4x} \le 162$;

c) $3\sqrt x = \sqrt {12} $;

d) $2\sqrt x \ge 10$.

Gợi ý làm bài

\(\eqalign{& a)\,\sqrt {25x} = 35 \Leftrightarrow 5\sqrt x = 35 \cr

& \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49 \cr} \)

\(\eqalign{& b)\,\sqrt {4x} \le 162 \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 162 \cr

& \Leftrightarrow \sqrt x \le 81 \Leftrightarrow x \le 6561 \cr} \)

Suy ra : $0 \le x \le 6561$

\(\eqalign{& b)\,3\sqrt x = 12 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x = {2 \over 3}\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {\left( {{2 \over 3}\sqrt 3 } \right)^2} \cr

& \Leftrightarrow x = - {4 \over 3} \cr} \)

d) $2\sqrt x \ge \sqrt {10} \Leftrightarrow \sqrt x \ge {{\sqrt {10} } \over 2} \Leftrightarrow x = {5 \over 2}$

Giaibaitap.me

Page 20

Giải bài 36, 37, 38 trang 10, 11 Sách bài tập...
Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 9 Sách bài tập Toán...
Giải bài 30, 31, 32 trang 9, 10 Sách bài tập Toán...
Giải bài 12, 13, 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 18, 19, 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9...
Giải bài 1, 2, 3 trang 5 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 7, 8, 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 tập 1
Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập...
Giải bài 48, 49, 50, 51 trang 108 Sách bài tập...

Page 21

Câu 68 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Khử mẫu của mỗi biểu thức lấy căn và rút gọn ( nếu được):

a) $\sqrt {{2 \over 3}} $;

b) $\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} $ với $x \ge 0$;

c) $\sqrt {{3 \over x}} $ với x>0;

d) $\sqrt {{x^2} - {{{x \over 7}}^2}} $ với x<0.

Gợi ý làm bài

a) $\sqrt {{2 \over 3}} $ = $\sqrt {{{2.3} \over {{3^2}}}} = {1 \over 3}\sqrt 6$

b) $\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} $ $ = \sqrt {{{{x^2}} \over 5}} = \sqrt {{{{x^2}.5} \over {{5^2}}}} = {x \over 5}\sqrt 5 $ (với $x \ge 0$)

c) $\sqrt {{3 \over x}} $ $ = \sqrt {{{3x} \over {{x^2}}}} = {1 \over {\left| x \right|}}\sqrt {3x} = {1 \over x}\sqrt {3x} $ (với x>0)

d) $\sqrt {{x^2} - {{{x \over 7}}^2}} $ $ = \sqrt {{{7{x^2} - {x^2}} \over 7}} $

$ = \sqrt {{{42{x^2}} \over {49}}} = {{\left| x \right|} \over 7}\sqrt {42} = - {x \over 7}\sqrt {42} $ (với x<0)

Câu 69 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn ( nếu được):

a) ${{\sqrt 5 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}$;

b) ${{26} \over {5 - 2\sqrt 3 }}$;

c) ${{2\sqrt {10} - 5} \over {4 - \sqrt {10} }}$;

d) ${{9 - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6 - 2\sqrt 2 }}$.

Gợi ý làm bài

a) ${{\sqrt 5 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}$ $ = {{(\sqrt 5 - \sqrt 3 )\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt {10} - \sqrt 6 } \over 2}$

b) ${{26} \over {5 - 2\sqrt 3 }}$ $ = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {(5 - 2\sqrt 3 )(5 + 2\sqrt 3 )}} = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {25 - 12}}$

$ = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {13}} = 2(5 + 2\sqrt 3 ) = 10 + 4\sqrt 3 $

c) ${{2\sqrt {10} - 5} \over {4 - \sqrt {10} }}$ $ = {{2\sqrt {2.5} - \sqrt {{5^2}} } \over {2\sqrt {{2^2}} - \sqrt {2.5} }}$

$ = {{\sqrt 5 (2\sqrt 2 - \sqrt 5 )} \over {\sqrt 2 (2\sqrt 2 - \sqrt 5 )}} = {{\sqrt 5 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 5 .\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}}$ $ = {{\sqrt {10} } \over 2}$

d) ${{9 - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6 - 2\sqrt 2 }}$ $= {{3\sqrt {{3^2}} - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt {3.2} - 2\sqrt 2 }}$

$ = {{\sqrt 3 (3\sqrt 3 - 2)} \over {\sqrt 2 (3\sqrt 3 - 2)}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt {3.} \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt 6 } \over 2}$

Câu 70 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ${2 \over {\sqrt 3 - 1}} - {2 \over {\sqrt 3 + 1}}$

b) ${5 \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 )}}$

c) ${{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}$

d) ${{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1}}$

Gợi ý làm bài

a) ${2 \over {\sqrt 3 - 1}} - {2 \over {\sqrt 3 + 1}}$ $= {{2(\sqrt 3 + 1) - 2(\sqrt 3 - 1)} \over {(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 - 1)}}$

$ = {{2\sqrt 3 + 2 - 2\sqrt 3 + 2} \over {3 - 1}} = {4 \over 2} = 2$

b) ${5 \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 )}}$

$ = {{5(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 ) - 5(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )} \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 )}}$

\(\eqalign{& = {{10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 - 10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 } \over {12(20 - 18)}} \cr

& = {{ - 30\sqrt 2 } \over {12.2}} = - {{5\sqrt 2 } \over 4} \cr} \)

c) ${{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}$ $= {{{{(5 + \sqrt 5 )}^2} + {{(5 - \sqrt 5 )}^2}} \over {(5 + \sqrt 5 )(5 - \sqrt 5 )}}$

$ = {{25 + 10\sqrt 5 + 5 + 25 - 10\sqrt 5 + 5} \over {25 - 5}} = {{60} \over {20}} = 3$

d) ${{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1}}$

$ = {{\sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1) - \sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1)} \over {(\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1)(\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1)}}$

\(\eqalign{& = {{\sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 - \sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1 - 1}} \cr

& = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr} \)

Câu 71 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh đẳng thức:

$\sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ với n là số tự nhiên.

Gợi ý làm bài

Ta có: ${1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ $ = {{\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \over {(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )}}$

$ = {{\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \over {{{(\sqrt n + 1)}^2} - {{(\sqrt n )}^2}}}$

$ = {{\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \over {n + 1 - n}} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n $

(với n là số tự nhiên)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Giaibaitap.me

Page 22

Câu 76 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Trục căn thức ở mẫu:

a) ${1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1}}$

b)${1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 2}}$

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{ & {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1}} = {1 \over {\sqrt 3 + (\sqrt 2 + 1)}} \cr

& = {{\sqrt 3 - (\sqrt 2 + 1)} \over {\left[ {\sqrt 3 + (\sqrt 2 + 1)} \right]\left[ {\sqrt 3 - (\sqrt 2 + 1)} \right]}} \cr} \)

$ = {{\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1} \over {3 - {{(\sqrt 2 + 1)}^2}}} = {{\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1} \over {3 - (2 + 2\sqrt 2 + 1)}} = {{\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1} \over { - 2\sqrt 2 }}$

$ = {{ - \sqrt 2 (\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1)} \over {2{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{ - \sqrt 6 + 2 + \sqrt 2 } \over 4}$

b) ${1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 2}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {\left[ {\sqrt 5 - (\sqrt 3 - 2)} \right]\left[ {\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \right]}}$

$ = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {5 - {{(\sqrt 3 - 2)}^2}}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {5 - (3 - 4\sqrt 3 + 4)}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {4\sqrt 3 - 2}}$

$= {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 2} \over {2(2\sqrt 3 - 1)}} = {{(\sqrt 5 + \sqrt 3 - 2)(2\sqrt 3 + 1)} \over {2\left[ {(2\sqrt 3 - 1)(2\sqrt 3 + 1)} \right]}}$

\(\eqalign{ & = {{2\sqrt {15} + \sqrt 5 + 6 + \sqrt 3 - 4\sqrt 3 - 2} \over {2(12 - 1)}} \cr

& = {{2\sqrt {15} + \sqrt 5 + 4 - 3\sqrt 3 } \over {22}} \cr} \)

Câu 77 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) $\sqrt {2x + 3} = 1 + \sqrt 2 $

b) $\sqrt {10 + \sqrt {3x} } = 2 + \sqrt 6 $

c) $\sqrt {3x - 2} = 2 - \sqrt 3 $

d) $\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 - 3$

Gợi ý làm bài

\(\eqalign{ & \sqrt {2x + 3} = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2x + 3 = {(1 + \sqrt 2 )^2} \cr

& \Leftrightarrow 2x + 3 = 1 + 2\sqrt 2 + 2 \cr} \)

b) $\sqrt {10 + \sqrt {3x} } = 2 + \sqrt 6 $

$ \Leftrightarrow 10 + \sqrt {3x} = {(2 + \sqrt 6 )^2}$

$ \Leftrightarrow 10 + \sqrt {3x} = 4 + 4\sqrt 6 + 6 \Leftrightarrow \sqrt {3x} = 4\sqrt 6 $

$ \Leftrightarrow x = {{4\sqrt 6 } \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = 4\sqrt 2 $

\(\eqalign{ & \sqrt {3x - 2} = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3x - 2 = {(2 - \sqrt 3 )^2} \cr

& \Leftrightarrow 3x - 2 = 4 - 4\sqrt 3 + 3 \cr} \)

$ \Leftrightarrow 3x = 9 - 4\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {{9 - 4\sqrt 3 } \over 3}$

d) $\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 - 3$

Ta có:

$\sqrt 5 $ < $\sqrt 9 $ $ \Leftrightarrow \sqrt 5 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 3 < 0$

Không có giá trị nào của x để $\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 - 3$

Câu 78 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số:

a) $\sqrt {x - 2} \ge \sqrt 3 $

b) $\sqrt {3 - 2x} \le \sqrt 5 $

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: $x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$

Ta có: $\sqrt {x - 2} \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow x - 2 \ge \Leftrightarrow x \ge 5$

Giá trị $x \ge 5$ thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện: $3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 3 \ge 2x \Leftrightarrow x \le 1,5$

Ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt {3 - 2x} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow 3 - 2x \le 5 \cr

& \Leftrightarrow - 2x \le 2 \Leftrightarrow x \ge - 1 \cr} \)

Kết hợp với điều kiện ta có: $ - 1 \le x \le 1,5$

Câu 79 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các số x và y có dạng: $x = {a_1}\sqrt 2 + {b_1}$ và $x = {a_2}\sqrt 2 + {b_2}$, trong đó ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x,y cũng có dạng $a\sqrt 2 + b$ với a và b là số hữu tỉ.

b) ${x \over y}$ với $y \ne 0$ cũng có dạng $a\sqrt 2 + b$ với a và b là số hữu tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{ & x + y = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr

& = ({a_1} + {a_2})\sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) \cr} \)

Vì ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ nên ${a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}$ cũng là số hữu tỉ.

Lại có:

\(\eqalign{ & xy = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr

& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 + {b_1}{b_2} \cr} \)

$ = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\sqrt 2 + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2})$

Vì ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ nên ${a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}$, $2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}$ cũng là số hữu tỉ.

b) Ta có:

\(\eqalign{ & {x \over y} = {{{a_1}\sqrt 2 + {b_1}} \over {{a_2}\sqrt 2 + {b_2}}} \cr

& = {{({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 - {b_2})} \over {{{({a_2}\sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} \cr} \)

$ = {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$

$= \sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$

Vì $y \ne 0$ nên ${a_2}$ và ${b_2}$ không đồng thời bằng 0

Suy ra: $2{a_2}^2 - {b_2}^2$ $ \ne 0$

Nếu $2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0$ thì $\sqrt 2 {{{b_2}} \over {{a_2}}}$

Điều này mâu thuẫn với $\sqrt 2 $ là số vô tỉ.

Vậy ${{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$; ${{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$ đều là số hữu tỉ.

Giaibaitap.me

Page 23

Câu 72 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp:

${1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}$

Gợi ý làm bài

Ta có: ${1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}$

$ = {{\sqrt 2 - \sqrt 1 } \over {(\sqrt 2 + \sqrt 1 )(\sqrt 2 - \sqrt 1 )}} + {{\sqrt 3 - \sqrt 2 } \over {(\sqrt 3 + \sqrt {2)} (\sqrt 3 - \sqrt 2 )}} + {{\sqrt 4 - \sqrt 3 } \over {(\sqrt 4 + \sqrt 3 )(\sqrt 4 - \sqrt 3 )}}$

$ = {{\sqrt 2 - \sqrt 1 } \over {2 - 1}} + {{\sqrt 3 - \sqrt 2 } \over {3 - 2}} + {{\sqrt 4 - \sqrt 3 } \over {4 - 3}}$

$ = \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 $

$ = - \sqrt 1 + \sqrt 4 = - 1 + 2 = 1$

Câu 73 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi).

$\sqrt {2005} - \sqrt {2004} $ với $\sqrt {2004} - \sqrt {2003} $

Gợi ý làm bài

Ta có:

${1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {(\sqrt {2005} + \sqrt {2004} )(\sqrt {2005} - \sqrt {2004} )}}$

$ = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {2005 - 2004}} = \sqrt {2005} - \sqrt {2004} \,(1)$$

Ta có:

${1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }} = {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {(\sqrt {2004} + \sqrt {2003} )(\sqrt {2004} - \sqrt {2003} )}}$

$ = {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {2004 - 2003}} = \sqrt {2004} - \sqrt {2003} \,(2)$

Vì $\sqrt {2005} + \sqrt {2004} $ > $\sqrt {2004} + \sqrt {2003} $ nên:

${1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} \le {1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra:

$\sqrt {2005} - \sqrt {2004} $ < $\sqrt {2004} - \sqrt {2003} $

Câu 74 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn:

${1 \over {\sqrt 1 - \sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 - \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3 - \sqrt 4 }} - {1 \over {\sqrt 4 - \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 6 }} - $

$-{1 \over {\sqrt 6 - \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 8 }} - {1 \over {\sqrt 8 - \sqrt 9 }}$

Gợi ý làm bài

Ta có:

${1 \over {\sqrt 1 - \sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 - \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3 - \sqrt 4 }} - {1 \over {\sqrt 4 - \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 6 }} -$

$ - {1 \over {\sqrt 6 - \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 8 }} - {1 \over {\sqrt 8 - \sqrt 9 }}$

$ = {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 1 )}^2} - {{(\sqrt 2 )}^2}}} - {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt 3 )}^2}}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over {{{(\sqrt 3 )}^2} - {{(\sqrt 4 )}^2}}} - {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over {{{(\sqrt 4 )}^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}}} + $

$+ {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over {{{(\sqrt 5 )}^2} - {{(\sqrt 6 )}^2}}} - {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over {{{(\sqrt 6 )}^2} - {{(\sqrt 7 )}^2}}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over {{{(\sqrt 7 )}^2} - {{(\sqrt 8 )}^2}}} - {{\sqrt 8 - \sqrt 9 } \over {{{(\sqrt 8 )}^2} - {{(\sqrt 9 )}^2}}}$

$ = {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over {1 - 2}} - {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over {2 - 3}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over {3 - 4}} - {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over {4 - 5}} + $

$ + {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over {5 - 6}} - {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over {6 - 7}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over {7 - 8}} - {{\sqrt 8 - \sqrt 9 } \over {8 - 9}}$

$= {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over { - 1}} - {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over { - 1}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over { - 1}} - {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over { - 1}} + $

$ + {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over { - 1}} - {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over { - 1}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over { - 1}} - {{\sqrt 8 - \sqrt 9 } \over { - 1}}$

$ = {{\sqrt 1 - \sqrt 9 } \over { - 1}}$ $ = {{\sqrt 1 - \sqrt 9 } \over { - 1}}$

$ = \sqrt 9 - \sqrt 1 = 3 - 1 = 2$

Câu 75 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ${{x\sqrt x - y\sqrt y } \over {\sqrt x - \sqrt y }}$ với $x \ge 0,y \ge 0$ và $x \ne y$

b) ${{x - \sqrt {3x} + 3} \over {x\sqrt x + 3\sqrt 3 }}$ với $x \ge 0$

Gợi ý làm bài

a) \(\eqalign{& {{x\sqrt x - y\sqrt y } \over {\sqrt x - \sqrt y }} = {{\sqrt {{x^3}} - \sqrt {{y^3}} } \over {\sqrt x - \sqrt y }} \cr

& = {{(\sqrt x - \sqrt y )(x + \sqrt {xy} + y)} \over {\sqrt x - \sqrt y }} \cr} \)

$ = x + \sqrt {xy} + y$ (với $x \ge 0,y \ge 0$ và $x \ne y$)

b) \(\eqalign{& {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {x\sqrt x + 3\sqrt 3 }} = {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{3^3}} }} \cr

& = {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {(\sqrt x + \sqrt 3 )(x - \sqrt {3x} + 3)}} \cr} \)

$ = {1 \over {\sqrt x + \sqrt 3 }}$(với $x \ge 0$)

Giaibaitap.me

Page 24

Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) $(2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2 - 5)^2}$;

b) $2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} $ với $a \ge 0$

Gợi ý làm bài

a) $(2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2 - 5)^2}$

$ = - 10\sqrt 2 + 5\sqrt {{2^2}} - (18 - 30\sqrt 2 + 25)$

$ = - 10\sqrt 2 + 10 - 18 + 30\sqrt 2 - 25 = 20\sqrt 2 - 33$

b) $2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} $

$ = 2\sqrt {3a} - \sqrt {25.3a} + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}} - {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} $

$ = 2\sqrt {3a} - 5\sqrt {3a} + {3 \over 2}\sqrt {3a} - 4a\sqrt {3a} $ (với a>0)

Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ${{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}$

với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$

b) ${{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}$ với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

${{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}$

$ = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b} \over {a - b}}$

$ = {{2(a + b)} \over {a - b}}$ (với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$)

b) Ta có: ${{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}$

$ = {{(a - b)(\sqrt a + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}$

$ = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}$

$ = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a - b}}$

$ = {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}$ (với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$)

Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng mình:

${x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ${x^2} + x\sqrt 3 + 1$. Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

${x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}$

\(\eqalign{& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr

& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

${x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$

Vì ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi x nên ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}$

Giá trị biểu thức ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$ bằng ${1 \over 4}$ khi ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0$

Suy ra: $x = - {{\sqrt 3 } \over 2}.$

Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:

a) ${2 \over {\sqrt 7 - 5}} - {2 \over {\sqrt 7 + 5}}$;

b) $\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 - 5}} + {{\sqrt 7 - 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.$

Gợi ý làm bài

a) Rút gọn biểu thức ta được ${{ - 10} \over {9}}$$ là số hữu tỉ.

b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ.

Giaibaitap.me

Page 25

Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

$P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}$

a) Rút gọn P với $x \ge 0$ và $x \ne 4.$

b) Tìm x để P = 2.

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: $x \ge 0,x \ne 4$

Ta có:

$P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}$

$ = {{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} - {2^2}}} + {{2\sqrt x (\sqrt x - 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} - {2^2}}} - {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}$

$ = {{x + 2\sqrt x + \sqrt x + 2} \over {x - 4}} + {{2x - 4\sqrt x } \over {x - 4}} - {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}$

$ = {{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x } \over {x - 4}}$

$ = {{3x - 6\sqrt x } \over {x - 4}} = {{3\sqrt x (\sqrt x - 2)} \over {(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}} = {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}}$

b) Ta có: P = 2 \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} = 2 \cr

& \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2(\sqrt x + 2) \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 4 \cr} \)

$ \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16$

Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

$Q = \left( {{1 \over {\sqrt a - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a - 2}} - {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a - 1}}} \right)$

a) Rút gọn Q với $a > 0,a \ne 4$ và $a \ne 1$.

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

$Q = \left( {{1 \over {\sqrt a - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a - 2}} - {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a - 1}}} \right)$

$ = {{\sqrt a - \left( {\sqrt a - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) - \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$

$ = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:{{a - 1 - 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$

$ = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt {a - 1} } \right)} \over 3}$

$ = {{\sqrt a - 2} \over {3\sqrt a }}$ (với $a > 0,a \ne 4$ và $a \ne 1$)

b) Ta có: $a \ge 0$ nên $\sqrt a > 0$

Khi đó: $Q = {{\sqrt a - 2} \over {3\sqrt a }}$ dương khi $\sqrt a - 2 > 0$

Ta có: $\sqrt a - 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a > 2 \Leftrightarrow a > 4$

Vậy khi a>4 thì Q>0

Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

$a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên và $\sqrt c $ tồn tại.

Ta có: ${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

\(\eqalign{ & a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr

& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)

${\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

\(\eqalign{ & b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr

& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)

${\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

\(\eqalign{ & c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr

& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

${{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $

$ \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $

- Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

$a + b + c + d \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} $

- Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

$a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} $

Giaibaitap.me

Page 26

Câu 88 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tính (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

$\root 3 \of { - 343} $; $\root 3 \of {0,027} $; $\root 3 \of {1,331} $; $\root 3 \of { - 0,512} $

Gợi ý làm bài

$\root 3 \of { - 343} = \root 3 \of {{{\left( { - 7} \right)}^3}} = - 7$

$\root 3 \of {0,027} = \root 3 \of {{{\left( {0,3} \right)}^3}} = 0,3$

$\root 3 \of {1,331} = \root 3 \of {{{\left( {1,1} \right)}^3}} = 1,1$

$\root 3 \of { - 0,512} = \root 3 \of {{{\left( { - 0,8} \right)}^3}} = - 0,8$

Câu 89 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) $\root 3 \of x = - 1,5$

b) $\root 3 \of {x - 5} = 0,9$

Gợi ý làm bài

\(\eqalign{& a)\,\root 3 \of x = - 1,5 \Leftrightarrow x = {\left( { - 1,5} \right)^3} \cr

& \Leftrightarrow x = - 3,375 \cr} \)

\(\eqalign{& b)\,\root 3 \of {x - 5} = 0,9 \Leftrightarrow x - 5 = {\left( {0,9} \right)^3} \cr

& \Leftrightarrow x - 5 = 0,729 \Leftrightarrow x = 5,729 \cr} \)

Câu 90 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $\root 3 \of {{a^3}b} = a\root 3 \of b $

b) $\root 3 \of {{a \over {{b^2}}}} = {1 \over b}\root 3 \of {ab} $ ($b \ne 0)$)

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $\root 3 \of {{a^3}b} = \root 3 \of {{a^3}} .\root 3 \of b = a\root 3 \of b $

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

$\root 3 \of {{a \over {{b^2}}}} = \root 3 \of {{{ab} \over {{b^3}}}} = {1 \over b}\root 3 \of {ab} $ ($b \ne 0)$)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 91 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm giá trị gần đúng của căn bậc ba mỗi số sau bằng bảng lập phương và kiểm tra bằng máy tính bỏ túi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a.12

b. 25,3

c. -37,91

d. -0,08

Gợi ý làm bài

a) $\root 3 \of {12} \approx 2,289$

b) $\root 3 \of {25,3} \approx 2,936$

c) $\root 3 \of { - 37,91} \approx - 3,359$

d) $\root 3 \of { - 0,08} \approx - 0,431$

Giaibaitap.me

Giải toán trong sách bài tập lớp 9

Page 2

Page 3

Page 4

Page 5

Page 6

Page 7

Page 8

Page 9

Page 10

Page 11

Page 12

Page 13

Page 14

Page 15

Page 16

Page 17

Page 18

Page 19

Page 20

Page 21

Page 22

Page 23

Page 24

Page 25

Page 26

Bài Viết Liên Quan

MỚI CẬP NHẬP

Xem Nhiều

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội