Chương 7 Show ####### PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 7. Phương trình vi phân cấp 1 7.1. Các khái niệm Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát: / / F(x,y,y ) 0 hay y f(x,y) (7) Hàm số y (x) xác định và khả vi trên khoảng I được gọi là nghiệm của phương trình (*) trên I, nếu / (x, (x)) G, x I (x) f (x, (x)), x I với G là tập xác định của hàm f(x,y) Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y (x) là nghiệm của phương trình (*) thỏa mãn điều kiện đầu y 0 (x ). 0 7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng tách biến Có 3 dạng sau: / y f(x)g(y) (7) f(x)dx g(y)dy 0 (7) f (x)g (y)dx f (x)g (y)dy 0 1 1 2 2 (7) Phương pháp giải Phân ly biến số x và dx về một vế; y và dy về một vế rồi lấy tích phân hai vế Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân sau / x y e
4 x sin x dx 5y dy 0 / 2 y xy 2xy Giải / x x y e dy e dx (1) Lấy tích phân 2 vế của phương trình (1) x y e C (C là hằng số)
4 x sin x dx 5y dy 0 (2) Lấy tích phân 2 vế của phương trình (2) 4 x sinx dx 5y dy C 125 x cosx y C 2 (với C là hằng số) / 2 y xy 2xy (3) Phương trình (3) được viết lại như sau dy 2 xy 2xy xy(y 2) dy xy(y 2)dx dx (4) Trường hợp 1: Nếu y 0, 2 là nghiệm của phương trình Trường hợp 2: Nếu y 0, 2 , chia hai vế của phương trình (4) cho y(y 2) , ta được dy xdx y(y 2) , Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có dy 1 1 1 xdx C dy xdx C y(y 2) 2 y y 2 112 ln y ln y 2 x C 2 2 y 2 ln x C y 2 (với C là hằng số) 7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng đẳng cấp Phương trình đẳng cấp có dạng: / y y f x (7) Phương pháp giải Đặt y / / u y ux y u x u x Thay vào (7), ta được: / F x,u,u 0 (7) Giải (7) được u rồi suy ra y Đặt v / / t v tu v t u t u thế vào (3), ta được 2 / 3 t / 2 t t t u t t u 1 t 1 t 2 1 t 1 dt du 2 t t u Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có 2 1 t 1 dt du C 2 t t u 1 2 1 dt ln u C 3 t 1 t 2 ####### 1 2ln t 1 ln t 2 ln u C 3 Vậy y 2 y 2 2ln 1 ln 2 3ln x 1 C x 1 x 1 7.1. Phương trình vi phân cấp 1 dạng tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: / y a(x)y b(x) (7) Trong đó a(x), b(x) là các hàm số liên tục. Phương pháp giải Bước 1: Tìm một nguyên hàm của a(x) u(x) a(x)dx Bước 2: Chọn thừa số tích phân u(x) v(x) e Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho thừa số tích phân: v(x) (v(x) 0, x) thì ta có / v(x)y a(x)v(x)y v(x)b(x) / v(x)y v(x)b(x) (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*), ta được 1 v(x)y v(x)b(x)dx y v(x)b(x)dx v(x) Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân sau / 1
với x 0, y(1) 1 . / x 2 2) y 2xy xe. Giải / 1
với x 0, y(1) 1 Bước 1: 1 x có nguyên hàm là ln x ln x (vì x 0 ) Bước 2: Chọn thừa số tích phân: ln x e x Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho x, thì ta có / / xy y x xy x (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 1 1 2 x C xy xdx C y x C x 2 2 x Với điều kiện đầu 1 C 1 y(1) 1 1 C 2 1 2 Vậy nghiệm của phương trình: . x 1 y 2 2x 2 / x 2) y 2xy xe Bước 1: 2x có nguyên hàm là 2 x Bước 2: Chọn thừa số tích phân: 2 x e Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho 2 x e , thì ta có 2 2 2 / x / x x e y 2xe y x e y x (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 2 2 x x 12 e y xdx C y e x C 2 2 2 2 2 2 2 2 x 3 x x 2 x x 1 2 x 2 x e u 4x e dx u 2e x e e C 1 y 2x 2 Ce y 2x 2 Ce b) / 2x 3 y y e y Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho 3 y ta được / 3 2 2x y y y e (2) Bước 2: Đặt 2 / 3 / u y u 2y y Phương trình (2) trên tương đương / 2x u 2u 2e (3) Giải (3) Bước 1: 2 có nguyên hàm là 2x Bước 2: Chọn thừa số tích phân: 2x e Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho 2x e , thì ta có / 2x / 2x 4x 2x 4x e u e 2u 2e e u 2e (*) Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 2x 4x 2x 2x 2 2x 2x 2 2x 2x 1 e u 2e dx u e Ce 2 1 2 y e Ce y 2 e 2Ce 7. Phương trình vi phân cấp 2 7.2. Các khái niệm chung Phương trình vi phân cấp hai có dạng / // F x,y,y ,y 0 hay // / y f x,y,y (7) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 chứa hai tham số C , C1 2 Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y (x) thỏa điều kiện đầu // / / 0 0 0 1 (x) f x, (x), (x) x y , (x ) y 7.2. Phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp được Có dạng: // F(x, y ) 0 (7) / // F(x, y , y ) 0 (7) / // F(y, y , y ) 0 (7) Phương pháp giải Đặt / / // u y u y thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình vi phân cấp 1. Giải phương trình vi phân cấp 1, ta được u rồi suy ra y. Ví dụ 5. Giải phương trình vi phân sau: a) // y x cosx b) // 2 / 2 y y x x Giải a) // y x cos x (1) Đặt / / // u y u y thế vào phương trình (1) / u xcosx du xcosxdx Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có 1 du xcosxdx C u xsin x cosx C 1 Thay / u y , ta có / y xsin x cosx C 1 dy xsin x cosx C dx 1 Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có dy xsin x cosx C dx C 1 2 1 2 y xcosx 2sin x C x C (với 1 2 C , C là hai hằng số) b) // 2 / 2 y y x x (2) Đặt / / // u y u y thế vào phương trình (2) / 22 u u x x (Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) a) // / y 4y 3y 0 Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 1 k 4k 3 0 k 3 Nghiệm tổng quát của phương trình x 3x 0 y (x) Ae Be (Với A, B là hai hằng số) b) // / y 4y 4y 0 Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 4k 4 0 k 2 Nghiệm tổng quát của phương trình 2x y (x) A Bx e 0 (Với A, B là hai hằng số) c) // / y 2y 5y 0 Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 2k 5 0 k 1,2 1 2i Nghiệm tổng quát của phương trình x y (x) e Asin 2x Bcos2x 0 (Với A, B là hai hằng số) 7.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất có dạng // / ay by cy f (x) (7) Trong đó a, b, c là hằng số. Nghiệm tổng quát của phương trình (7) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (7) cộng cho nghiệm riêng của phương trình (7).
Trương hợp 1: x f(x) e P (x)n ( với P (x)n là đa thức bậc n của x)
Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng x y (x) e Q (x)r n (Với Q (x)n là đa thức tổng quát của P (x)n ) ii) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (7) Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng x r n y (x) xe Q (x) (Với Q (x)n là đa thức tổng quát của P (x)n ) iii) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (7) Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng 2 x r n y (x) x e Q (x) (Với Q (x)n là đa thức tổng quát của P (x)n ) Trương hợp 2: x f (x) e P (x)sin x Q (x)cos xn n (với P (x), Q (x)n n là hai đa thức bậc n của x)
Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng x y (x) e A (x)sin x B (x)cos xr n n (Với A (x), B (x)n n là hai đa thức tổng quát của P (x), Q (x)n n ) ii) Nếu i là nghiệm của phương trình đặc trưng (7) Ta tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng x y (x) xe A (x)sin x B (x)cos xr n n (Với A (x), B (x)n n là hai đa thức tổng quát của P (x), Q (x)n n ).
Từ nghiệm tổng quát của (7) ta thay A A(x), B B(x) . Tìm nghiệm riêng của (7) dưới dạng y (x) A(x)y (x) B(x)y (x)r 1 2 thỏa điều kiện / / 1 2 / / / / 1 2 A (x)y (x) B (x)y (x) 0 A (x)y (x) B (x)y (x) f (x) Nghiệm tổng quát của (7) y(x) y (x) y (x) 0 r
Nếu y 1 là nghiệm riêng của phương trình vi phân // / 1 ay by cy f (x) Nếu y 2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân // / ay by cy f (x) 2 2 r 1 8 26 y (x) x x 3 9 27 Vậy nghiệm tổng quát của (1) x 3x 2 0 r 1 8 26 y(x) y (x) y (x) Ae Be x x 3 9 27 (Với A, B là hai hằng số) b) // / y 2y 2x 3 (1) Phương trình thuần nhất // / y 2y 0 (2) Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 0 k 2k 0 k 2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) 2x y (x) A Be 0 (Với A, B là hai hằng số) Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng 0, n 1 2 y (x) ax bxr Ta có / // r r y (x) 2ax b; y (x) 2a Thế / // y (x), y (x), y (x)r r r vào (1), ta được 4ax 2a 2b 2x 3 Đồng nhất, ta có 1 4a 2 a 2 2a 2b 3 b 2 Nghiệm riêng của (1) 2 r 1 y (x) x 2x 2 Vậy nghiệm tổng quát của (1) 2x 2 0 r 1 y(x) y (x) y (x) A Be x 2x 2 (Với A, B là hai hằng số) c) // / x y 2y 5y e sin 2x (1) Phương trình thuần nhất // / y 2y 5y 0 (2) Phương trình đặc trưng tương ứng 2 k 2k 5 0 k 1,2 1 2i Nghiệm tổng quát của phương trình (2) x y (x) e Asin 2x Bcos2x 0 (Với A, B là hai hằng số) Tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng 0, n 1 x y (x) e C sin 2x C cos2xr 1 2 Ta có / x y (x) e C 2C sin2x 2C C cos2xr 1 2 1 2 // x y (x) e 3C 4C sin2x 4C 3C cos2xr 1 2 1 2 Thế / // y (x), y (x), y (x)r r r vào (1), ta được x x e 4C 8C sin 2x 8C 4C cos2x e sin 2x 1 2 1 2 Đồng nhất, ta có 1 1 2 1 2 2 1 C 4C 8C 1 20 8C 4C 0 1 C 10 Nghiệm riêng của (1) x r 1 1 y (x) e sin2x cos2x 20 10 Vậy nghiệm tổng quát của (1) x x 0 r 1 1 y(x) y (x) y (x) e Asin 2x Bcos2x e sin2x cos2x 20 10 (Với A, B là hai hằng số) Ví dụ 8. Giải phương trình vi phân sau: // / y 3y 2y sin x (1) Giải Bước 1: Giải phương trình thuần nhất: // / y 3y 2y 0 Phương trình đặc trưng x x r 1 2 1 y (x) y (x) y (x) (x 1)e e 2 Nghiệm tổng quát của (1) x x 0 r 1 y(x) y (x) y (x) Asin x Bcosx (x 1)e e 2 , (A, B là hằng số) 7. Một số ứng dụng trong kinh tế 7.3. Tìm hàm y f(x) khi biết hệ số co dãn Giả sử x và y là hai đại lượng kinh tế có quan hệ với nhau bằng một hàm khả vi y f(x) thì ta có hệ số co dãn Ey x là một hàm của x được xác định bởi y x dy x E dx y (7) Vậy nếu ta biết hệ số co dãn y x E là một hàm theo x ta có phương trình vi phân như sau : y x x dy E y dx (7) hay y x dy dx E y x (7) Giải phương trình vi phân này, ta có Ey x x ln y dx ####### (7) 7.3. Mô hình cân bằng thị trường với kỳ vọng về giá Xét hàm cung và hàm cầu tổng quát như sau / // Q (t) D P(t), P (t), P (t)D (7) / // Q (t) S P(t), P (t), P (t)S (7) Trong đó +) P(t) : Xu thế giá tại thời điểm t +) / P (t) : Giá tăng / P (t) 0 hoặc / P (t) 0 giá giảm tại thời điểm t. +) // P (t): Giá tăng ngày một nhanh // P (t) 0 hoặc tốc độ tăng giá giảm dần // P (t) 0. Mô hình cân bằng tại mọi thời điểm / // / // Q (t) Q (t) D P(t), P (t), P (t) S P(t), P (t), P (t)D S (7) Đây là phương trình vi phân cấp 2 của P. Ví dụ 10. Cho hệ số co dãn của hàm cầu là D 2P E 2000 2P Tìm hàm cầu QD biết rằng Q(0) 2000. Giải Từ hệ số co dãn ta có dQ P 2P dQ dP dP Q 2000 2P Q 1000 P Suy ra ln Q ln 1000 P C Q A(1000 P) mà Q(0) 2000 2000 1000A A 2 Vậy Q 2000 2P . Ví dụ 11. Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng / // S D Q (t) 6 8P(t); Q (t) 42 4P(t) 4P (t) P (t) Với giá ban đầu P(0) 6 và / P (0) 4. Tìm sự biến động của giá P(t) theo thời gian và giả thiết cung cầu thỏa mãn tại mọi thời điểm. Giải Cho lượng cung bằng lượng cầu ta được / // Q (t) Q (t)S D 6 8P(t) 42 4P(t) 4P (t) P (t) (1) Ta được phương trình vi phân // / P (t) 4P (t) 12P(t) 48 Phương trình đặc trưng 2 k 4k 12 0 k 2 k 6 1 2 Nghiệm riêng của (1) : P (t) 4r Nghiệm tổng quát của (1) : 2t 6t P(t) 4 Ae Be (A, B là hai hằng số) 7. Bài tập Bài số 1. Chứng minh rằng hàm số 15 y ax bx 12x là nghiệm của phương trình 2 // / 1 x y 5xy 5y x Hướng dẫn: Tính đạo hàm rồi thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh. Bài số 2. Chứng minh rằng hàm số 1 3 2x y a bx x e 6 là nghiệm của phương trình // / 2x y 4y 4y xe Hướng dẫn: Tính đạo hàm rồi thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh. Bài số 3. Giải các phương trình vi phân cấp 1 / y 2y 4x 2 / x y 2xy xe / y y cosx
/ x y 2 y x y 4 / y ysin x sin xcosx / 2 y 1 x y arcsin x , y(0) 0 / y y xln x xln x , 12 y(e) e 2 2 / 2523 y 9x y (x x )y , y(0) 0 / 1 y ytan x , y(0) 0 cosx / y sin x 3 y y. 2x 2x Đáp số : 2 2 2x 1 2 x x 1
y 1 2 2 4) ln xy x y C x 0 y 0; 5) arctan ln (y 1) (x 3) C; x 3 cosx 12 6) y(x) cosx 1 Ce ; 7) y(x) arcsin x 1;8) y(x) x ln x; 2 3 3 1 x 6 3 x 2 9) y(x) e (x 2x ) ; 10) y(x) ;11) y a cosx x hay y 0. 18 cosx Bài số 4. Giải các phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất sau // / y y 2y 0 // y 9y 0 // / y 4y 0 // y y 0 // / y 6y 13y 0 // / y 10y 25y 0 // / y y 6y 0 // y 4y 0 // / y 6y 12y 0 // / y 2y 5y 0 // / y 2y y 0 // / 4y 20y 25y 0 Đáp số : 1) x 2x y(x) Ae Be ; 2) 3x 3x y(x) Ae Be ; 3) 4x y(x) Ae B ;
3x y(x) e Asin 2x Bcos2x ; x 5x y(x) Ae Be ; 7) 2x 3x y(x) Ae Be ; 8) y(x) Asin 2x Bcos2x; 9) 3x y(x) e Asin 3x Bcos 3x ; 10) x y(x) e Asin 2x Bcos2x ; (1 2)x (1 2)x y(x) Ae Be ; 12) 5 x 2 y(x) Ax B e . Bài số 5. Giải các phương trình vi phân với điều kiện đầu sau: // / / y 4y 3y 0, y(0) 6, y (0) 14 // / / 4y 4y y 0, y(0) 2, y (0) 0 // / / y 4y 29y 0, y(0) 0, y (0) 15 // x / y xe , y(0) 1, y (0) 1 // / 5x / y 4y 3y e , y(0) 3, y (0) 9 // 1 / y 4y sin 2x 1, y(0) , y (0) 0 4 Đáp số : 1 x x 3x 2 2x
|
