KĨ THUẬT CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Cơ sở : Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trìnhcó ít nhất một nghiệmthuộc khoảng . Như vậy để chứng minh PT có nghiệm ta phải :- Tìm haisố a,b sao cho :+ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]+ f(a).f(b) < 0 Nếu vi phạm 1 trong hai điều kiện đó thì ta không kết luận đượcPT có nghiệm hay khôngcó nghiệm trong khoảng (a;b)
Để chứng minh phươngtrình có k nghiệm thuộc D ta cần tìmthuộc D, sao cho giá trị hàm số có dấu đannhau và hàm số liên tục trên đoạn chứa các số trên. Khi đó PT có ít nhất knghiệm lần lượt thuộc các khoảng Bài 1: Chứngminh phương trình sau đây có nghiệm :a)Giải : Đặt , hàm đathức này xác định trên R nên liên tục trên R ( dođó liên tục trên mọi đoạn [a;b]).Ta cóVậy PT trên có ít nhấtmột nghiệm thuộc khoảng b)Xét hàm số liên tục trên R Ta có :Vậy PT trên có nghiệm thuộc khoảng b) (1) Với đk , PT trên tương đương vớiPT(2)Đặt hàm số này liên tục trên R Mặt khác :Vậy PT (2) có nghiệm thuộc khoảngMặt khác PT (2) không nhận , nên nghiệm của PT (2) cũng là nghiệm của PT (1).Hay pt(1) có nghiệm. Chú ý : Nếuta xét hàm số thì hàm số này không liêntục trên đoạn,nên không thể áp dụng được định lí trên. Bài 2: Phương trình có nghiệm trên khoảng hay không ?Xét hàn số , hàm này liên tục trên R , nên ta không kết luận được PT cónghiệm trong khoảnghaykhông ? Nhưng nếu xét trên đoạn , ta có nên PTcó nghiệmtrên khoảng ,nên có nghiệm trên khoảng .Bài này nhắc nhở chúng ta rằng, định lí trên chỉ là một điềukiện đủ để PT có nghiệm, chứkhông phải là đk cần để một PT có nghiệm Bài 3: Chứngminh PT sau :a) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng b) có ít nhất ba nghiệmGiải :a) Xét hàm số liên tục trên R Do đó PT có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng các khoảng , hay nó có ítnhất hai ngiệm thuộc khoảng b) Xét hàm số liên tụctrên R Vậy PT trên có ít nhất ba nghiệm lần lượt thuộc các khoảng
Do pt chứa tham số dođó ta cần chọn a, b khéo léo sao cho dấu xác địnhđược không phụ thuộc vào tham số.Bài 4: Chứng minh các PT sau :a) có nghiệmvới mọi m Giải : Rõ ràng hàmsố liên tục trênR Ta chọn các số thực sao cho giá trị hàm số tại đó triệt tiêumVậy PT có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng b) có ít nhất hainghiệmc) có ít nhất hai nghiệm vớimọi giá trị Bài 5: Chứngminh PT sau có nghiệm thuộc khoảngXét hàm số , hàm này liên tục trên R |
