Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 10;10 để bất phương trình

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -10;10 \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x\in \mathbb{R}:{{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x}}\ge 0\)?

• A. 10
• B. 9
• C. 12
• D. 11

Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({{2}^{x}}>0\) ta được: \({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right)\ge 0\)

Nhận xét: \({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=1\), do đó khi ta đặt \(t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\).

Phương trình trở thành: \(t+\left( 2-m \right)\frac{1}{t}-\left( m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2-m\ge 0\)

\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t+2\ge m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}=f\left( t \right)\text{ }\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}\left( t>0 \right)\) ta có: \(f'\left( t \right)=\frac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-{{t}^{2}}+t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-3 \\ \end{align} \right.\)

BBT

Từ BBT \(\Rightarrow m\le 1\).

Kết hợp điều kiện đề bài \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\in \mathbb{R} \\ & m\in \left[ -10;1 \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow \)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}:{\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\)?