Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 5: bài toán bằng cách lập hệ phương trình giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Lời giải: Gọi x, y là hai số cần tìm. Vì tổng của hai số bằng 59 nên ta có phương trình: x + y = 59 Vì hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7 nên ta có phương trình: 3y – 2x = 7. Ta có hệ phương trình:  Vậy hai số cần tìm là 34 và 25. Lời giải: Gọi x và y lần lượt là số tuổi năm nay của mẹ và con. Điều kiện: x, y ∈N*; x > y > 7 Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên ta có: x = 3y Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có: x – 7 = 5(y – 7) + 4 Ta có hệ phương trình: (thỏa mãn điều kiện) Vậy tuổi hiện nay của mẹ là 36, của con là 12. Lời giải: Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện x ∈N* và x ≤ 9; y ∈N* và y ≤ 9. Số có hai chữ số Đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 63, ta có: (10y + x) – (10x + y) = 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99, ta có: (10x + y) + (10y + x) = 99 Ta có hệ phương trình: Ta thấy x = 1, y = 8 thỏa điều kiện bài toán. Vậy số cần tìm là 18. Lời giải: Gọi x, y (triệu đồng) lần lượt là số tiền lãi mà anh Quang và anh Hùng nhận được. Điều kiện: 0 < x < 7; 0 < y < 7 Vì số tiền lãi mà hai anh nhận được là 7 triệu đồng nên ta có: x + y = 7 Vì số tiền lãi tỉ lệ với số vốn đã góp nên ta có:
Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy số tiền lãi anh Quang nhận được là 3.750.000 đồng, số tiền lãi anh Hùng nhận được là 3.250.000 đồng. Lời giải: Gọi giá của một quả trứng gà là x(đồng), giá của một quả trứng vịt là y (đồng). Điều kiện: x > 0; y > 0 Vì mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hể 10000 đồng nên ta có: 5x + 5y = 10000 Vì mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9600 đồng nên ta có: 3x + 7y = 9600. Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy giá một quả trứng gà là 1100 đồng giá một quả trứng vịt là 900 đồng. Lời giải: Gọi x, y (m) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của sân trường. Điều kiện: 0 < x < 170; 0 < y < 170. Vì chu vi của sân trường bằng 340 m nên ta có:n 2(x + y) = 340 Vì ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m nên ta có: 3y – 4x = 20 Ta có hệ phương trình:
Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy chiều rộng của sân trường là 70m, chiều dài của sân trường là 100m. Lời giải: Gọi x (đồng) là giá tiền của 1kg sắt φ 8, y (đồng) là khoản chi phí làm trần của tầng một. Điều kiện: x > 0, y > 0 Khi đó giá tiền của 1kg sắt là φ 18 là 22x (đồng) Vì tầng một dùng 30 cây sắt φ 18 và 350kg sắt φ 8 hết y đồng nên ta có: 30.22x + 350x = y Vì tầng hai dùng 20 cây sắt φ 18 và 250kg sắt φ 8 hết ít hơn tầng một 1440000 đồng nên ta có: 20.22x + 250x = y – 1440000 Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy giá 1kg sắt φ8 là 4500 đồng, giá 1kg sắt φ18 là 4500.22 = 99000 đồng. Lời giải: Gọi số ghế trong phòng học là x (ghế), số học sinh của lớp là y (học sinh). Điều kiện x, y ∈N* Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ, ta có phương trình: 3x + 6 = y Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế, ta có phương trình: (x – 1)4=y Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy trong phòng học có 10 ghế và 36 học sinh. Lời giải: Gọi x, y (tấn) lần lượt là năng suất của giống lúa mới và giống lúa cũ trên 1ha. Điều kiện: x > 0, y > 0. Vì 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc ta có: 60x + 40y = 460 Vì 3ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4ha trồng lúa cũ là 1 tấn nên ta có: 4y – 3x = 1 Ta có hệ phương trình:
Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy năng suất lúa giống mới là 5 tấn/ha, năng suất lúa giống cũ là 4 tấn/ha. Lời giải: Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian mà người thứ nhất và người thứ hai một mình xây xong bức tường. Điều kiện: Như vậy, trong 1 giờ người thứ nhất xây được 1/x (bức tường), người thứ hai xây được 1/y (bức tường). Trong 1 giờ, cả hai người xây được 1: 36/5 = 5/36 (bức tường) Ta có phương trình: 1/x + 1/y = 5/36 Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được 3/4 bức tường, ta có phương trình: 5/x + 6/y = 3/4 Ta có hệ phương trình: Đặt m = 1/x , n = 1/y , ta có:
Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy người thứ nhất làm một mình xong bức tường trong 12 giờ, người thứ hai làm một mình xong bức tường trong 18 giờ. Lời giải: Gọi x, y (ngày) lần lượt là thời gian mà người thứ nhất và người thứ hai làm riêng xong công việc. Điều kiện: x > 4, y > 4. Như vậy, trong 1 ngày người thứ nhất làm được 1/x (công việc), người thứ hai làm được 1/y (công việc). Trong 1 ngày, cả hai người làm được 1 : 4 = 1/4 (công việc) Ta có phương trình: 1/x + 1/y = 14 Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc, ta có phương trình: 10/x + 1/y = 1 Ta có hệ phương trình: Ta có: 1/x = 1/12 ⇔ x = 12 1/y = 1/6 ⇔ y = 6 Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12 ngày, người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6 ngày. Lời giải: Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian mà một cần cẩu lớn và một cần cẩu nhỏ làm xong công việc. Điều kiện: y > x > 12 Như vậy, trong 1 giờ cần cẩu lớn làm được 1/x (công việc), cần cẩu nhỏ làm được 1/y (công việc). Trong 1 giờ, hai cần cẩu lớn và năm cần cẩu nhỏ làm được 1 : 4 = 1/4 (công việc) Ta có phương trình: 2/x + 5/y = 1/4 Hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ và năm cần cẩu nhỏ làm trong 3 giờ nữa thì xong việc, ta có phương trình: 12/x + 15/y = 1 Ta có hệ phương trình: Ta có: 1x = 1/24 ⇔ x = 24 1y = 1/30 ⇔ y = 30 Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy một cần cẩu loại lớn làm xong công việc trong 24 giờ, một cần cẩu loại nhỏ làm xong công việc trong 30 giờ. Lời giải: Gọi x, y (km/h) lần lượt là vận tốc của bác Toàn và cô ba Ngần đi. Điều kiện: x > 0, y > 0. Vì hai người đi ngược chiều nhau, bác Toàn đi 1 giờ 30 phút, cô ba Ngần đi 2 giờ thì gặp nhau nên ta có phương trình: 1,5x + 2y = 38 Quãng đường bác Toàn đi trong 1 giờ 15 phút là: Quãng đường cô ba Ngần đi trong 1 giờ 15 phút là: Sau 1 giờ 15 phút, hai người còn cách nhau 10,5km nên ta có phương trình: ⇔ 5x + 5y = 110 Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy vận tốc của bác Toàn là 12km/h, vận tốc của cô ba Ngần là 10km/h. Lời giải: Gọi x, y (km/h) lần lượt là vận tốc của xe khách và xe hàng. Điều kiện: x > y > 0. Sau khi xe khách đi được 24 phút = 2/5 giờ thì xe hàng đi được: 24 + 36 = 60 (phút) = 1 (giờ) Hai xe đi ngược chiều nhau nên ta có phương trình: (2/5)x + y = 65 ⇔ 2x + 5y = 325 Hai xe khởi hành đồng thời cùng đi Hà Nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau, ta có phương trình: 13x – 13y = 65 ⇔ x – y = 5 Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy vận tốc của xe khách là 50km/h, vận tốc của xe hàng là 45km/h. Lời giải: Gọi x (người) là số thợ cần thiết để sửa xong ngôi nhà, y (ngày) là thời gian dự định để làm xong. Điều kiện: x ∈N*, y > 0. Số ngày công để hoàn thành công việc là xy (ngày). Nếu giảm 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày, ta có phương trình: (x – 3)(y + 6) = xy ⇔ xy + 6x – 3y – 18 = xy ⇔ 2x – y = 6 Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày, ta có phương trình: (x + 2)(y – 2) = xy ⇔ xy – 2x + 2y – 4 = xy ⇔ -x + y = 2 Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy cần 8 người thợ làm việc trong 10 ngày thì xong ngôi nhà. Tính x và y để diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng 100 + 4√(13) (cm). Lời giải: Vì E thuộc cạnh AB nên EB < AB hay 2x < y Ta có: AE = AB – EB = y – 2x (cm) AG = AD + DG = y + (3/2) EB = y + (3/2) .2x = y + 3x (cm) Diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông nên ta có phương trình: (y – 2x)(y + 3x) = y2 Theo định lí Pitago, ta có: FC2 = EB2 + DG2 Chu vi ngũ giác ABCFG: PABCFG = AB + BC + CF + FG + GA = AB + BC + CF + FG + GD + DA = y + y + x√(13) + y – 2x + 3y + y = x(1 + √(13) ) + 4y Vì chu vi ngũ giác ABCFG bằng 100 + 4√(13) (cm) nên ta có phương trình: x(1 + √(13) ) + 4y = 100 + 4√(13) Ta có hệ phương trình: Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán. Vậy x = 4 (cm), y = 24 (cm). Lời giải: Gọi tuổi của tôi năm nay là x (tuổi), x nguyên, dương. Thế thì tuổi của em tôi hiện nay là 26 – x (tuổi). Khi mà tổng số tuổi của chúng tôi bằng 5 lần tuổi của tôi hiện nay chính là khi mà tổng số tuổi của chúng tôi bằng 5x. Vì 26 – x < x hay 26 < 2x nên phải thêm một số năm nữa, chẳng hạn là thêm y năm nữa, y nguyên, dương thì tổng số tuổi của hai chúng tôi mới bằng 5x. Khi đó tuổi của tôi là x + y và tuổi của em tôi là 26 – x + y. Theo đầu bài ta có hệ phương trình: Giải hệ này ta được x = 14, y = 22. Vậy hiện nay tuổi tôi là 14 và tuổi em tôi là 12. Lời giải: Ta gọi vận tốc của người đi xe đạp là y km/phút và vận tốc của xe khách là z km/phút. Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với người đi xe đạp. Giả sử khi xe khách thứ nhất vượt người đi xe đạp tại điểm B thì xe thứ hai ở điểm A. Như vậy quãng đường AB là quãng đường mà xe khách phải đi trong x phút và AB = xz (km) Gọi điểm mà xe thứ hai vượt người đi xe đạp là C thì quãng đường BC là quãng đường người đi xe đạp đi trong 15 phút; tức là BC = 15y (km). Quãng đường AC là quãng đường xe khách đi trong 15 phút nên AC = 15z (km). Ta có phương trình: 15z = xz + 15y. (1) Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với người đi xe đạp. Giả sử khi người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất đi ngược chiều tại M thì xe khách thứ hai đi ngược chiều đang ở điểm N. Quãng đường MN = xz (km). Sau đó 10 phút người đi xe đạp gặp xe khách thứ hai. Do đó ta có phương trình: 10y + 10z = xz. (2) Ta có hệ phương trình: Vậy cứ 12 phút lại có một chuyến xe khách xuất phát từ bến và vận tốc của xe khách gấp 5 lần vận tốc của người đi xe đạp. |
