§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiểu ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB . Góc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CDI. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuối là OD. Kí 3. Đường tròn lượng giác y Trong mặt phẳng toạ độ Oxy B(0; 1) đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm 0 / bán kính R = 1. / \\ A'(-1; 0) Ị ỊA(1;0)~ \ ° / x B'(0;-1) Độ và rađian Đơn vị rađian Trên đường tròn tuỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. Quan hệ giữa độ và radian -0 n <180? 1° = -?-rad và 1 rad = —— 180 V 71 ) Với 71 ~ 3,14 thi 1° « 0,01745 rad và 1 rad = 57°17'45”. Bảng chuyển đổi thông dụng Độ 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Radian 71 7Ĩ 71 71 2ĩt 371 571 71 6 4 3 2 3 4 6 d) Độ dài của một cung tròn Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là 71 rad và có độ dài là 7iR. Vậy Cung có số đo là a rad của đường tròn bán kính R có độ dài I = Ra. Sô đo của một cung lượng giác Số đo của một cung lượng giác AM' (A * M) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu sô' đo của cung AM là sđ AM . sđ AM = a + k2n, k Ẽ z = a° + k.360°, k e z Số đo của một góc lượng giác Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là sô' đo của cung lượng giác AC tương ứng. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có sô' đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđAM - a. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trưởng hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trưởng hợp này xảy ra? íTj’đ’ Lời: Các điểm cuối trùng nhau khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2ti. c) -25°; d) -125°45'. Đổi số đo của các góc sau đây ra radian a) 18°; b) 57°30’; tsỊiải Ta có: 1° « 0,01745 18° « 18.0,01745 « 0,3142 rad 57°30' « 57,5.0,01745 « 1,0036 rad -25° « -25.0,01745 « -0,4363 rad -125°45' « -125,75.0,01745 « -2,1948 rad. 3. Đổi các sô’ đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây c) -2; a)Ẫ; b) 16 d)í Ốịiải a) 180u 18 18 = 10° ->0 b)^ = ^-=33°45' 16 16 c) -2 = -2 180° 114°35'30" 3 3 180 42°58'19" 4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tim độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo: a) b) 1,5; c) 37°. ốjiàl Áp dụng công thức 1 = R.a a) 1 = 20.-ị* 4,19cm; 15 b) 1 = 20.1,5 = 30cm c) a = 37° = 37.0,01745 « 0,65 rad => 1 = 20.0,65 = 12,91 cm. 5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo b) 135°; a) Cung - 571 ốýiái là AM (M là trung điểm 4 của A'B). Cung 135° cũng là cung AM ở trên. A Cung là ẤN (với AN = |ẤB') 3 3 Cung -225° cũng là cung AN ở trên. 1071 6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có sô’ đo tương ứng là (trong đỏ k là một số nguyên tuỳ ỷ). a) kỉt; b) k|; 7. Ố^iải Cung AM có sô' đo là kĩi (k e Z) thì điểm M trùng với A (nếu k chẵn) hoặc trùng với A' (nếu k lẻ). Cung AM có số đo (k e Z) thì điểm M trùng với A nếu k = 4n, n e Z; M trùng với B nếu k = 4n + 1; M trùng với A' nếu k = 4n + 2; M trùng với B' nếu k = 4n + 3, n e z. Cung AM có sô' đo (k e Z) thì 3 điểm M trùng với A nếu k = 6n (n e Z); M trùng với M] nếu k = 6n + 1; M trùng với Mọ nếu k = 6n + 2; M trùng với A' nếu k = 6n + 3; M trùng với M3 nếu k = 6n + 4; M trùng với M., nếu k = 6n + 5. Trên đường tròn Lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM = a (0 <a < ^). Gọi M,, M2, M3 lần lượtlà điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc toạ độ. Tìm số đo của các cung am', AIM,, AIM,. sđAM = a ^0 < a < suy ra sđAM, = -a + k27t, k e z sđAM, = 7t - a + k27t, k e z sđAM:ỉ = a + 71 + k27t, k e z c. BÀI TẬP LÀM THÊM a) Đổi số đo độ của các cung tròn sau thành số đo rađian (chính xác đến hàng phần nghìn) 21°30' và 75°54'. Đổi sô' đo rađian của các cung tròn sau ra số đo độ (chính xác đến 2 phút): 2,5 rad và — rad (có thể dùng máy tính bỏ túi). 71 1 Otĩ 3 . 22n . và thì có 3 Chứng minh rằng: Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là cùng tia cuối. Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là 645° và -435° thì có cùng tia cuối. Công thức tính độ dài cung tròn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9. Vậy cung tròn là gì? Cách tính độ dài cung tròn ra sao? Mời các bạn hãy cùng Mobitool theo dõi bài viết dưới đây nhé. Cung tròng chính là đoạn đóng của một đường cong khả vi trong một đa tạp. Cung tròn là một phần của đường tròn hay là một phần của chu vi (biên) của hình tròn. Đường tròn là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.  Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R) Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi “đường tròn” ranh giới của hình, “hình tròn” bao gồm cả ranh giới và phần bên trong. Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương. – Độ dài đường tròn (hay chu vi đường tròn) kí hiệu là C (với R, d lần lượt là bán kính đường tròn) – Đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung tròn n0 được tính theo công thức: Ví dụ: a. Tính chu vi đường tròn biết đường kính là 12cm b. Tính độ dài cung 600 của đường tròn bán kính 10cm. Hướng dẫn giải a. Chu vi đường tròn: b. – Diện tích S của hình tròn bán kính R là: – Diện tích hình quạt bán kính R, cung tròn n0 là: Bài tập 1: Một hình tròn có số đo góc là 40 độ, chu vi là 20cm. Hỏi độ dài cung tròn bằng bao nhiêu? Lời giải Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn ta có: 40/360 = L/20 <=> 360L = 800 => L = 2,2cm Bài tập 2: Tính độ dài cung 140ο của đường tròn có bán kính bằng 6cm Lời giải Ta có : L = ᴨRn/180 = (ᴨ x 6 x 140) /180 = 840ᴨ /180 = 14,65cm Đáp số: 14,65cm Bài tập 3: Tính độ dài cung 40ο của một đường tròn có bán kính bằng 4dm Lời giải Áp dụng công thức ta có: L = ᴨRn/180 = (ᴨ x 4 x 40) / 180 = 160ᴨ / 180 = 8ᴨ/9 = 2.8dm = 28cm Đáp số: 28cm Công thức tính độ dài cung tròn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9. Vậy cung tròn là gì? Cách tính độ dài cung tròn ra sao? Mời các bạn hãy cùng Mobitool theo dõi bài viết dưới đây nhé. Cung tròng chính là đoạn đóng của một đường cong khả vi trong một đa tạp. Cung tròn là một phần của đường tròn hay là một phần của chu vi (biên) của hình tròn. Đường tròn là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn. Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R) Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi “đường tròn” ranh giới của hình, “hình tròn” bao gồm cả ranh giới và phần bên trong. Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương. – Độ dài đường tròn (hay chu vi đường tròn) kí hiệu là C (với R, d lần lượt là bán kính đường tròn) – Đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung tròn n0 được tính theo công thức: Ví dụ: a. Tính chu vi đường tròn biết đường kính là 12cm b. Tính độ dài cung 600 của đường tròn bán kính 10cm. Hướng dẫn giải a. Chu vi đường tròn: b. – Diện tích S của hình tròn bán kính R là: – Diện tích hình quạt bán kính R, cung tròn n0 là: Bài tập 1: Một hình tròn có số đo góc là 40 độ, chu vi là 20cm. Hỏi độ dài cung tròn bằng bao nhiêu? Lời giải Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn ta có: 40/360 = L/20 <=> 360L = 800 => L = 2,2cm Bài tập 2: Tính độ dài cung 140ο của đường tròn có bán kính bằng 6cm Lời giải Ta có : L = ᴨRn/180 = (ᴨ x 6 x 140) /180 = 840ᴨ /180 = 14,65cm Đáp số: 14,65cm Bài tập 3: Tính độ dài cung 40ο của một đường tròn có bán kính bằng 4dm Lời giải Áp dụng công thức ta có: L = ᴨRn/180 = (ᴨ x 4 x 40) / 180 = 160ᴨ / 180 = 8ᴨ/9 = 2.8dm = 28cm Đáp số: 28cm |
