Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm0989552911Bài toán tìm giá trị nguyên cho biểu thứcI. Phương pháp. Bước 1: Rút gọn biểu thức. Bước 2. Biến đổi biểu thức tối giản vừa tìm được thành một phần nguyên và mộtphần phân số(phân số ở dạng số trên ẩn). Biểu thức nguyên khi phầnZB(x) Ư(A) . Tìm giá trị của ẩn (cho B(x) = các giá trị của ước). Kết luận: kết hợp với điều kiện của đề bài.II. Bài tập vận dụng.với x > 0, x ≠ 1Bài 1: Cho biểu thức: N =a) Rút gọn biểu thức N.b) Tìm các giá trị nguyên của x để N nhận giá trị nguyên.Hướng dẫnRút gọn N:N =là ước của 2∈ZN có giá trị nguyên khiƯ(2) = {±2, ±1}x–12211x1302KLLoạiTMLoạiTMVậy với các giá trị của x =thì N có giá trị nguyên.Vậy với các giá trị của x =thì N có giá trị nguyên.với x > 0, x 1, x 2.Bài 2: Cho biểu thức: P =a) Rút gọn P.b) Tìm số nguyên x lớn nhất để P có giá trị nguyên.Hướng dẫnTa có: P == 2 P nhận giá trị nguyên(a + 2) là Ư(8)Ư(8) = {±8,±4,±2, ±1}x+288442211x106624031KLLoạiTMLoạiLoạiLoạiLoạiLoạiLoạiThầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm0989552911Vậy với x = 6 thì P có giá trị nguyên. Đó là giá trị cần tìma) Rút gọn P =đk: x ≠ 1, x ≥ 0–Bài 3: Cho biểu thức P =.b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.Hướng dẫnP Z+P =Do đó:3 Z+x 31+Bài 4: Cho biểu thức B = 3 là ước dương của 3a) Rút gọn B =điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1.+Ư(3) = {1,3}.b) Tìm các số tự nhiên của x đểlà số tự nhiên.Hướng dẫnB là số tự nhiênvới đk x ≥ 0N= 1 +là Ư(2) kết hợpƯ(2) = {1,3}kết hợp điều kiện x = 0Bài 5: Cho biểu thức: N =a) Tìm điều kiện để N có nghĩa, rút gọn biểu thức N =+ 1.b) Tính giá trị của N với x = 4 – 2c) Tìm các số tự nhiên x đểBài 6: Cho biểu thức:là số tự nhiên.A=a) Tìm giá trị của x biết A = 5.b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số tự nhiên.Hướng dẫn Rút gọn: A = Với A = 5 ANđiều kiện: x ≥ 0, x ≠ 2, x ≠ 3= 5= 1++ 1 = 5N––là Ư(4)x = 16 (TM)Ư(4) = {±1, ±2, ±4}Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm0989552911442211171524x49125416P2 (TM)1 (Loại)3 (TM)Loại5 (TM)Vậy Để P có giá trị là một số tự nhiên thì x (16, 25, 49)Bài 7: Cho biểu thức M =với x ≠ 1, x > 0.a) Rút gọn M =b) Tìm x để 18M là số chính phương.Hướng dẫn Ta có: 1 +>0M=khi và chỉ khi Ư(36) là các số chính phương Vậy 1 +là Ư(36)là số chính phương> 0 nên 18M =1+Ư(36) = {1, 4, 9, 36}= 1, 4, 9, 36Bài 8: Cho biểu thức: P =a) Rút gọn biểu thức P =b) Tìm giá trị của x để P < 1c) Tìm giá trị của x để P là số nguyên.d) Tìm giá trị của x để 12P là số chính phương.Bài 9: Cho biểu thức A =a) Rút gọn A =và B =và B =.b) Biết P = A.B tìm x Z để P Zc) Xác định các giá trị nguyên của x để (x – 1).P 5= 1.9Hướng dẫnTa có: P = A.B =5(đk: x ≥ 0, x ≠ 1) thay vào đẳng thức: (x – 1).P =1x3= 0Bài 10: Cho biểu thức B =với x > 0d) Rút gọn biểu thức B.e) Tìm giá trị của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.Hướng dẫn:Rút gọn BThầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm0989552911B =Theo đề BDo đónguyên khinhận các giá trị:Như vậy với x = 1 thì B đó giá trị cần tìm.là số nguyênBài 11: ho iểu thức: B =a..+với x ≥ 0, x ≠ 16.út gọn B.b. Với mọi giá trị của x là B có nghĩa, chức minh biểu thức chỉ nhận đúng haigiá trị nguyênHướng dẫn:Rút gọn BB =∈B=Do đónhận các giá trị:Vậy với x =thì B nhận hai giá trị nguyên.(với x ≥ 0, x ≠16).Bài 12: Cho biểu thức: B =và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trịVới các biểu thức A =của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.Hướng dẫnRút gọn P:P =Theo đề bài ta có: B(A – 1) =là số nguyênx 16 là ước của 2 với x ≥ 0 .Do đó x 16 nhận các giá trị: x 16 = ±1, ±2Như vậy với các giá trị của x =Bài 13: Cho biểu thức: P =dương của x để biểu thức Q =+ 3(1 là các giá trị cần tìm.)với x ≥ 0. Tìm các giá trị nguyên2Pnhận giá trị nguyên.1 PHướng dẫn:Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ DiệmRút gọn biểu thức P =Theo đề bài ta có: Q =2P=1 P0989552911 14:40:0715/07/2020 Tìm giá tị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán. Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) qua một số bài tập minh họa cụ thể. ° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: * Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số) - Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số). * Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A. ° Lời giải: - Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4 - Vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1 - Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1. * Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tìm GTLN của A. ° Lời giải: - Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2 - Vì (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 - Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3. * Ví dụ 3: Cho biểu thức:  - Tìm x để Amax; tính Amax =? ° Lời giải: - Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất. - Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4 - Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 4 ≥ 4 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1 Vậy
° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn: * Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số) - Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:
- Dấu "=" xảy ra khi A = 0. * Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: ° Lời giải: - Ta thấy:
Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3 nên * Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: - Ta có:
Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5 nên
* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: - Ta có:
* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: - Điều kiện: x≥0 - Để A đạt giá trị lớn nhất thì - Ta có:
Lại có: Dấu"=" xảy ra khi - Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4. ° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số) - Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối. * Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: ° Lời giải: - Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1 * Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3 ° Lời giải: - Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3 Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9 Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm: * Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ° Lời giải: - Vì a,b>0 nên - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).
Dấu "=" xảy ra khi - Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b. * Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ° Lời giải: - Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:
Dấu "=" xảy ra khi Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0. - Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.
Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này. Việc vận dụng vào mỗi bài toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của các em, kỹ năng này có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập, chúc các em học tốt. |
