Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là dạng toán thường liên quan đến phần đồ thị hàm số bậc 3 hoặc hàm số phân tuyến tính. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn cách tìm tâm đối xứng của hàm số bậc 3 và hàm số phân tuyến tính. Các em học sinh cùng theo dõi nhé! Show
Nội Dung
TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÀ GÌCho hàm số y=f(x) xác định trên K có đồ thị (C) và điểm I. Với mọi điểm M thuộc (C) mà điểm đốι xứng với M qua I cũng thuộc (C). Khi đó điểm I được gọi là tâm đốι xứng của đồ thị hàm số y=f(x). Từ đó cũng suy ra tâm đối xứng có thể nằm trên đồ thị hoặc không nằm trên.  Hiện nay chương trình toán THPT đã giảm tải hơn. Vì vậy dạng toán tìm tâm đối xứng được cụ thể ở hai loại hàm số: Hàm số bậc 3 và hàm số phân tuyến tính. CÁCH TÌM TÂM ĐỐΙ XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3Cho hàm số bậc ba y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) có đồ thị (C). Khi đó tâm đối xứng của (C) là điểm I(−b/3a;y(−b/3a)). Điểm I đồng thời là điểm uốn của (C). Ví dụ minh họa (Trắc nghiệm): Lời giải: Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số CÁCH TÌM TÂM ĐỐΙ XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN TUYẾN TÍNHCho hàm số phân tuyến tính y=(ax+b)/(cx+d) (ad−bc≠0, c≠0) có đồ thị (C). Khi đó tâm đối xứng của (C) là điểm I(−d/c;a/c). Điểm I đồng thời là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C). Ví dụ minh họa (Tự luận): Cho hàm số Tìm giá trị của m để tâm đối xứng của (C) cách đều hai trục tọa độ. Lời giải: Trên đây là hai hàm số cơ bản mà chúng ta cần phải biết và ghi nhớ công thức tâm đối xứng của chúng. Chúc các em thành công! Hàm số -
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là một dạng toán thường gặp trong chương trình toán thi THPT Quốc Gia. Vậy tâm đối xứng là gì? Đồ thị có tâm đối xứng khi nào? Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị? Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số?… Trong nội dung bài viết dưới đây, honamphoto.com sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé! Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?Cho hàm số \( y=f(x) \) có đồ thị \( (C) \). Giả sử \( I \) là một điểm thỏa mãn tính chất: bất kì một điểm \( A \) thuộc đồ thị \( (C) \) nếu lấy đối xứng qua \( I \) ta được điểm \( A’ \) cũng thuộc \( (C) \) thì ta nói \( I \) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y=f(x) \) Tính chất: Cho hàm số \( y=f(x) \). Khi đó hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ \( O(0;0) \Leftrightarrow f(x) \).hàm hàm số lẻ : \( f(-x) = -f(x) \) Giả sử hàm số \( y=f(x) \) nhận điểm \( I(x_0;y_0) \) làm tâm đối xứng thì khi đó ta có tính chất:\( f(x+x_0)+f(-x+x_0) =2y_0 \) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ***Chú ý: Tâm đối xứng có thể nằm ngoài hoặc nằm trên đồ thị hàm số. Nếu hàm số \( f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì tâm đối xứng của nó (nếu có) là một điểm thuộc đồ thị hàm số đó.Không phải hàm số nào cũng có tâm đối xứng, chỉ có một vài hàm số nhất định mới có tâm đối xứng. Bạn đang xem: Tâm đối xứng là gì Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?Định nghĩa điểm uốn của đồ thị hàm sốCho hàm số \( y=f(x) \). Khi đó điểm \( U( x_0; y_0) \) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng \( (a;b) \) chưa điểm \( x_0 \) sao cho trên một trong hai khoảng \( (a;x_0) \) và \( (x_0;b) \) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \( U \) nằm phía trên đồ thị và trên khoảng còn lại tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. Định lý về điểm uốn của đồ thị hàm sốNếu hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm cấp \( 2 \) trên một khoảng chứa điểm \( x_0 \) thỏa mãn: \( f’’(x_0) =0 \) và \( f’’(x) \) đổi dấu khi đi qua điểm \( x_0 \) thì điểm \( (x_0;f(x_0)) \) là điểm uốn của đồ thị hàm số \( f(x) \) Như vậy để xác định điểm uốn của đồ thị hàm số \( f(x) \) thì ta chỉ cần giải phương trình : \( f’’(x) =0 \). Nghiệm của phương trình đó chính là hoành độ của điểm uốn hàm số ***Chú ý: Tọa độ tâm đối xứng của hàm bậc 3 chính là điểm uốn của đồ thị hàm bậc 3 đó. Như vậy một hàm số bậc 3 luôn có tâm đối xứng. Xem thêm: Giám Đốc, Tổng Giám Đốc Là Gì ? Quyền Hạn Và Trách Nhiệm Vụ, Chức Năng, Quyền Hạn Của Tổng Giám Đốc Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độTrong các bài toán về tâm đối xứng thì ta cần tịnh tiến trục tọa độ về điểm tâm đối xứng. Vì thế nên ta cần nắm vững các công thức chuyển trục hệ tọa độ: Giả sử \( x;f(x_0) \) là một điểm trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \). Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OI}\) biến hệ tọa độ \( Oxy \) thành hệ tọa độ \( IXY \) Giả sử \( M \) là một điểm bất kỳ của mặt phẳng. \( (x;y) \) là tọa độ của \( M \) đối với hệ tọa độ \( Oxy \)\( (X;Y) \) là tọa độ của \( M \) đối với hệ tọa độ \( IXY \) Ta có công thức chuyển hệ tọa độ: \(\left\{\begin{matrix} X=x-x_0\\ Y=y-y_0 \end{matrix}\right.\) Bài tập về tâm đối xứng của đồ thị hàm sốXác định tâm đối xứng của đồ thị hàm sốĐể xác định tâm đối xứng của hàm số \( y=f(x) \) ta thực hiện các bước sau đây : Bước 1: Giả sử \( I(a;b) \) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) \). Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ \(Oxy \rightarrow IXY\):\(\left\{\begin{matrix} x=X+a \\y=Y+b \end{matrix}\right.\)Bước 2: Viết công thức hàm số mới trong hệ tọa độ mới:Ta được hàm số có dạng : \( Y+b = f(X+a) \Leftrightarrow Y=g(X) \)Bước 3: Tìm \( a;b \) để hàm số \( g(X) \) là hàm số lẻ :\( g(-X) = -g(X) \) Khi đó ta chứng minh được đồ thị hàm số nhận điểm \( I (a;b) \) là tâm đối xứng Ví dụ: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số : \(y=\frac{2x}{x+1}\) Cách giải: Giả sử hàm số nhận điểm \( I(a;b) \) làm tâm đối xứng. Khi đó tịnh tiến trục tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow{OI}\) Ta có : \(\left\{\begin{matrix} x=X+a\\y=Y+b \end{matrix}\right.\) Vậy hàm số đã cho tương đương với : \(Y+b = \frac{2(X+a)}{X+a+1}\) \(\Leftrightarrow Y=2-b-\frac{2}{X+a+1}\) Để hàm số trên là hàm số lẻ thì : \(\left\{\begin{matrix} 2-b=0\\ a+1=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=2 \end{matrix}\right.\) Vậy \( I (-1;2) \) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Tổng kết: Hàm số \( y=ax^3+bx^2+cx+d \) với \( a\neq 0 \) có tâm đối xứng là điểm \((-\frac{b}{3a};y(-\frac{b}{3a}))\). Đây chính là điểm uốn của hàm số bậc 3Hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) với \( c \neq 0 ; ad \neq bc \) có tâm đối xứng là điểm \((-\frac{d}{c};\frac{a}{c})\)Hàm số \(y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\) với \( a,d \neq 0 \) có tâm đối xứng là điểm \((-\frac{e}{d};y(-\frac{e}{d}))\) Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận một điểm cho trước làm tâm đối xứngBài toán: Cho hàm số \( y=f(x) \) chưa tham số \( m \) . Xác định giá trị của \( m \) để hàm số đã cho nhận điểm \( I(a;b) \) cho trước làm tâm đối xứng Để giải bài toán trên ta thực hiện các bước sau : Bước 1: Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ \(Oxy \rightarrow IXY\):\(\left\{\begin{matrix} x=X+a \\y=Y+b \end{matrix}\right.\)Bước 2: Viết công thức hàm số mới trong hệ tọa độ mới:Ta được hàm số có dạng: \( Y+b = f(X+a) \Leftrightarrow Y=g(X) \)Bước 3: Từ hàm số trên tìm điều kiện của \( m \) để hàm số \( g(X) \) là hàm số lẻ:\( g(-X) = -g(X) \) Ví dụ: Tìm giá trị của \( m \) để hàm số \( y= x^3-3x^2+3mx+3m+2 \) có tâm đối xứng là điểm \( I(1;2) \) Cách giải: Do đây là hàm số bậc \( 3 \) nên tâm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm uốn của hàm số Ta có : \( y’=3x^2-6x+3m \Rightarrow y’’ = 6x-6 \) \(y”=0 \Leftrightarrow x=1\) Vậy thay vào ta được tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \( (1; 6m) \) Vậy để \( I(1;2) \) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số thì \(6m=2 \Leftrightarrow m=\frac{1}{3}\) Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua một điểm cho trướcBài toán: Cho hàm số \( y=f(x) \). Tìm hai điểm \( A;B \) thuộc đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng với nhau qua điểm \( I (a;b) \) cho trước. Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất: Nếu hai điểm \(A(x_A;y_A); B(x_B;y_B)\) đối xứng với nhau qua điểm \( I(x_0;y_0) \) thì \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=2x_0\\y_A+y_B=2y_0 \end{matrix}\right.\) Ví dụ: Cho hàm số \(y=\frac{x}{x-3}\). Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm \( A,B \) sao cho chúng đối xứng với nhau qua điểm \( I(0;-1) \) Cách giải: Giả sử hai điểm \( A,B \) cần tìm có tọa độ là : \(A(a;\frac{a}{a-3}); B(b;\frac{b}{b-3})\) Để hai điểm đối xứng với nhau qua \( I(0;-1) \) thì : \(\left\{\begin{matrix} a+b=0\\\frac{a}{a-3} +\frac{b}{b-3} =-1 \end{matrix}\right.\) Thay phương trình \( (1) \) vào phương trình \( (2) \) ta được : \(\frac{a}{a-3}+\frac{a}{a+3}=-1 \Leftrightarrow \frac{2a^2}{a^2-9}=1\) \(\Leftrightarrow 2a^2=9-a^2 \Leftrightarrow a^2=3 \Leftrightarrow a=\pm \sqrt{3}\) Vậy ta được hai điểm cần tìm là (\sqrt{3}; \frac{1}{1-\sqrt{3}}) và (-\sqrt{3};- \frac{1}{1+\sqrt{3}}) Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã biết qua một điểm cho trướcBài toán: Cho hàm số \( y=f(x) \) và điểm \( I(a;b) \). Tìm hàm số \( y=g(x) \) sao cho đồ thị hàm số đó đối xứng với đồ thị hàm số \( f(x) \) qua điểm \( I \) Để giải bài toán này thì ta thực hiện các bước như sau : Bước 1: Gọi \( M(x;y) \) là một điểm bất kì thuộc hàm số \( g(x) \) cần tìm. Khi đó luôn tồn tại điểm \( M’( x_0;y_0) \) thuộc đồ thị hàm số \( f(x) \)Bước 2: Lập mối quan hệ \( M \) và \( M’ \) \(\left\{\begin{matrix} x_0=2a-x\\ y_0=2b-y \end{matrix}\right.\) Bước 3: Thay vào biểu thức : \( y_0 =f(x_0) \) ta được hàm số cần tìm Ví dụ: Cho đường cong \((C) : \frac{x^2+x-3}{x+2}\) và điểm \( I(-1;1) \). Lập phương trình đường cong \( (C’) \) đối xứng với đường cong \((C) \) qua điểm \( I \) Cách giải: Gọi \( M(x;y) \) là một điểm bất kì thuộc đường cong \( (C’) \) cần tìm. Khi đó luôn tồn tại điểm \( M’( x_0;y_0) \) thuộc đường cong \((C) : \frac{x^2+x-3}{x+2}\) Vì \( M,M’ \) đối xứng với nhau qua \( I(-1;1) \) nên ta có : \(\left\{\begin{matrix} x_0=-2-x\\ y_0=2-y \end{matrix}\right.\) Do \( M’ \in (C) \) nên : \( y_0 = f(x_0) \). Thay vào ta được : \(2-y =f(-2-x) \Leftrightarrow y=2-\frac{(x+2)^2-(x+2)-3}{-2}\) \(\Leftrightarrow y=\frac{(x+2)^2-x-1}{2}=\frac{x^2+3x+3}{2}\) Vậy phương trình đường cong \( (C’) \) là : \(y=\frac{x^2+3x+3}{2}\) Các dạng toán về tâm đối xứng của đồ thị hàm sốBài viết trên đây của honamphoto.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và một số dạng bài tập về chuyên đề tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề tâm đối xứng của đồ thị. Chúc bạn luôn học tốt! Tu khoa lien quan: đồ thị có tâm đối xứng khi nàotoạ độ tâm đối xứng của hàm bậc 3tìm m để đồ thị c nhận điểm i 2 1 làm tâm đối xứngđồ thị hàm số nào dưới đây có tâm đối xứng là điểm i(1;-2)cách tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhấtcách tìm tâm đối xứng đồ
thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất |
