Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Hàm số ( )f x xác định và cĩ liên tục trên đoạn ;a b thì ( )'f x xác định trên khoảng ( );a b . • Hàm số ( )f x xác định và cĩ liên tục trên nửa đoạn ) ( ; ;a b hay a b thì ( )'f x xác định trên khoảng ( );a b . • Hàm số cĩ thể khơng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2 ; ; max max , , ... , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b ∈ ∈ • = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2 ; ; min min , , ... , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b ∈ ∈ • = ( ) ( )( ) 0 0 , max ,x D x D f x M M f x x D f x M∈ ∀ ∈ ≤ • = ⇔ ∃ ∈ = ( ) ( )( ) 0 0 , min ,x D x D f x m m f x x D f x m∈ ∀ ∈ ≥ • = ⇔ ∃ ∈ = Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: ( ) 4 4) sin cosa f x x x= + ( ) 2) 4b f x x x= + − Giải : ( ) 4 4) sin cosa f x x x= + Hàm số đã cho xác định trên ℝ . Ta cĩ ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 21 1sin cos sin cos 2 sin .cos 1 2 2. sin .cos 1 sin 2 2 2 f x x x x x x x x x x = + = + − = − = − Với mọi x ∈ ℝ , ta cĩ ( )2 2 21 1 1 1 10 sin 2 1 0 sin 2 1 1 sin 2 1 2 2 2 2 2 x x x hay f x≤ ≤ ⇒ ≥ − ≥ − ⇒ ≥ − ≥ ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 11 minmin s in2 1 2 4 22 max 1 s in2 0 max 1 2 f x khi x kf x khi x hay f x khi x f x khi x k π π π = = += = ⇒ = = = = ( ) 2) 4b f x x x= + − Hàm số đã cho xác định trên đoạn 2;2 − . Ta cĩ ( ) ( ) 2 2 2 4 ' 1 , 2;2 4 4 x x x f x x x x − − = − = ∈ − − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 0 24 0 4 ' 0 2 4 22;2 2;2 x xx x x x f x x x x xx x < < < <− − = − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − = =∈ − ∈ − Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bảng biến thiên của ( )f x trên đoạn 2;2 − x 2− 2 2 ( )'f x − 0 + ( )f x 2− 2 2 2 Từ bảng biến thiên , ta được ( ) ( ) 2;2 2;2 max 2 2 2 min 2 2 x x f x khi x f x khi x ∈ − ∈ − = = = − = − Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: ( ) 4 2) sin cos 2a f x x x= + + ( )) sin2b f x x x= − trên đoạn ; 2 π π − Giải : ( ) 4 2 4 2) sin cos 2 sin sin 3a f x x x x x= + + = − + Hàm số đã cho xác định trên ℝ . ðặt 2sin , 0 1t x t= ≤ ≤ Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( )2 13, 0;1 ' 2 1, 0;1 ' 0 2 f t t t t f t t t f t t = − + ∈ = − ∈ = ⇔ = ( ) ( ) 1 110 1 3 , 2 4 f f f = = = ( ) ( ) 0;1 11 3 min min 2 4 4t f x f t ∈ = = = ( ) ( ) 0;1 ax max 3 t m f x f t ∈ = = ( )) sin2b f x x x= − trên đoạn ; 2 π π − Hàm số đã cho xác định trên đoạn ; 2 π π − Ta cĩ : ( ) ( ) 5' 1 2 cos2 , ' 0 , , 2 6 6 6 f x x x f x x π π π π π= − − < < ⇒ = ⇔ = − ( )3 3 5 5 3; ; ; ; 6 6 2 6 6 2 6 6 2 2 2 f f f f f π π π π π π π π π π − = − + = − = + − = − = Vậy ( ) ( ) ; ; 2 2 5 3 5 max ; min 6 2 6 2 2x x f x khi x f x khi x π π π π π π π π ∈ − ∈ − = + = = − = − Ví dụ 3:Cho parabol ( ) 2:P y x= và điểm ( )3;0A − . Xác định điểm M thuộc ( )P sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất ; tìm khoảng cách ngắn nhất đĩ. Giải : Gọi ( ) ( ) ( )20 0 0 0; ;M x y P M x x∈ ⇒ Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ( ) ( ) ( )22 2 4 20 0 0 0 0 03 6 9d x AM x x x x x= = + + = + + + ( ) ( ) 3 0 0 0 0 04 2 0 0 0 2 3 ' ' 1 6 9 x x d x d x x x x x + + = ⇔ = − + + + ( )0'd x đổi dấu từ âm sang dương khi 0x đi qua 0 1x = − . Hàm số ( )0d x đạt cực tiểu tại 0 1,x = − ( )1 5d − = . ðiểm ( ) ( )1;1M P− ∈ là điểm để khoảng cách 5AM = là ngắn nhất. Ví dụ 4: Người ta định làm một cái hộp kim loại hình trụ cĩ thể tích V cho trước . Tìm bán kính đáy r và đường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất Giải : Gọi x là bán kính đáy . ðể hộp kim loại hình trụ cĩ thể tích 2V x hπ= thì hiều cao của hộp là 2 V h xπ = . Lượng kim loại để làm hộp bằng diện tích tồn phần của hộp : ( ) 2 22 2 . , 0 V S x x x x x π π π = + > Sự biến thiên của ( ) ( ) ( ) 32' 2 2 , ' 0 2 V V S x S x x S x x x π π = − = ⇔ = ( )'S x đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số ( )S x đạt điểm cực tiểu tại 3 2 V x π = .Vậy : 3 3 4 , 2 V V r h π π = = Ví dụ 5 : Chu vi của một tam giác là ( )16 cm , độ dài của một cạnh tam giác là ( )6 cm . Tìm hai cạnh cịn lại của tam giác sao cho tam giác cĩ diện tích lớn nhất . Giải : Gọi một cạnh cịn lại của tam giác là x , cạnh cịn lại thứ hai là y , ta cĩ 6 16 10x y y x+ + = ⇒ = − Diện tích tam giác : (theo cơng thức hêrơng). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26 4 8 8 4 10 16,0 10S x p p p x p y x y x x x= − − − = − − = − + − < < ( ) ( ) 2 5 ' 4 ' 0 5 10 16 x S x S x x x x − = = ⇔ = − + − ( )'S x đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số ( )S x đạt điểm cực đại tại 5x = . Diện tích tam giác lớn nhất khi mỗi cạnh cịn lại dài ( )5 cm .Khi đĩ diện tích lớn nhất : ( ) 12S x = Ví dụ 6:Một hộp khơng nắp được làm từ một mảnh cáctơng . Hộp cĩ đáy là hình vuộng cạnh ( )x cm , đường cao là ( )h cm và cĩ thể tích là 3500cm . Gọi ( )S x là diện tích của mảnh cáctơng. Tìm ( )x cm sao cho ( )S x nhỏ nhất . Giải: Thể tích hình hộp là ( )2 3 2 500 500 , 0V x h cm h x x = = ⇒ = > Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Diện tích của mảnh cáctơng dùng làm hình hộp là : ( ) 2 2 20004 , 0S x x xh x x x = + = + > Bài tốn trở thành tìm 0x > sao cho tại đĩ ( )S x đạt giá trị nhỏ nhất . Ta cĩ ( ) ( ) 3 2 2 2 10002000 ' 2 , 0 x S x x x x x − = − = > ( )' 0 10S x x= ⇔ = Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng ( )0;+∞ x 0 10 +∞ ( )'S x − 0 + ( )S x 300 Vậy ( )10x cm= thì min ( ) 300S x = . Ví dụ 7: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ cĩ cạnh MN nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác định vị trí điểm M sao cho hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đĩ. Giải : ðặt , 0 2 2 2 a BM x x NM BC BM a x= < < ⇒ = − = − Trong tam giác vuơng BMQ cĩ tan .tan 3 QM QBM QM BM QBM x BM = ⇒ = = Diện tích hình chữ nhật MNPQ là ( ) ( ). 2 3S x MN QM a x x= = − Bài tốn quy về : Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 3, 0; 2 a S x a x x x = − ∈ ( ) ( )' 4 3 3, 0; ' 0 2 4 a a S x x a x S x x = − + ∈ = ⇔ = Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng 0; 2 a x 0 4 a 2 a ( )'S x + 0 − ( )S x 2 3 8 a 0 0 Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 2 3 8 a khi 4 a x = Ví dụ 8: Khi nuơi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ cĩ n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng ( ) ( )480 20P n n gam= − . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều nhất ? Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Giải : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ cĩ n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng : ( ) ( ) ( ) *. 480 20 ,f n n P n n n n N= = − ∈ ( ) ( )' 480 40 ' 0 12f n n f n n= − = ⇔ = Vậy để thu được nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi đơn vị diện tích mặt hồ là 12n = con cá. Ví dụ 8: Trong các hình chữ nhật cĩ chu vi là ( )40 cm , hãy các định hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất. Giải : Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật cĩ chiều dài ( )x cm . Tổng chiều dài hai cạnh là ( )20 cm . Chiều dài cạnh kia là ( )20 x cm− . Diện tích hình chữ nhật là : ( ) ( )20 ,0 20S x x x x= − ≤ ≤ ( ) ( )' 20 2 , 0 20 ' 0 10S x x x S x x= − < < = ⇔ = Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi 10x = . Trong các hình chữ nhật chu vi ( )40 cm , hình vuơng cạnh ( )10 cm cĩ diện tích lớn nhất bằng ( )2100 cm Ví dụ 9: Cho một tấm nhơm hình vuơng cạnh a . Người ta cắt ở bốn gĩc bốn hình vuơng bằng nhau , rồi gập tấm nhơm lại để được một cái hộp khơng nắp . Tính cạnh của các hình vuơng bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất . Giải : Gọi 0 2 a x x < < là độ dài của cạnh của hình vuơng bị cắt . Thể tích của khối hộp là ( ) ( ) ( )22 , 0 ' 2 6 , 0 2 2 a a V x a x x V a x a x x= − < < ⇒ = − − < < ( ) ( ) 3 0 2 2 6 0 2 ' 0 max6 6 270 2 0 2 a x aa x a x a ax V V Va x a x < < − − = = ⇒ = ⇔ ⇔ ⇒ = = Ví dụ 10: 1) Trong số các hình chữ nhật cĩ cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất . 2) Trong số các hình chữ nhật cĩ cùng diện tích 248m , hãy tìm hình chữ nhật cĩ chu vi nhỏ nhất . Giải : 1) Gọi ,x y là độ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta cĩ : ( ) , 0 0 , 8 82 16 x y x y y xx y > < < ⇔ = −+ = Diện tích hình chữ nhật là ( ) 2 0 8 8 8 ,0 8 max 16 4 x S xy x x x x x S khi x y < < = = − = − < < ⇒ = = = 2) Gọi ,x y là độ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta cĩ : , 0, 0 4848 x yx y xy y x > > ⇔ = = Chu vi của hình chữ nhật là ( ) ( ) 0 48 2 2 , 0 min 4 3 16 3 x p x y x x p p x > = + = + > ⇒ = = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây : Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt ( ) 2) 2 5a f x x x= + − trên đoạn 2;3 − ( ) 3 2) 2 3 4 3 x b f x x x= + + − trên đoạn 4;0 − ( ) 1)c f x x x = + trên khoảng ( )0;+∞ ( ) 2) 2 4d f x x x= − + + trên đoạn 2;4 ( ) 22 5 4 ) 1 x x e f x x + + = + trên đoạn 0 : 1 ( ) 1)f f x x x = − trên nửa khoảng (0 : 2 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây : ( ) 3 2) 3 9 1a f x x x x= + − + trên đoạn 4;4 − ( ) 3) 5 4b f x x x= + − trên đoạn 3;1 − ( ) 4 2) 8 16c f x x x= − + trên đoạn 1;3 − ( ) 3) 3 3d f x x x= − + trên đoạn 33; 2 − ( )) 2 x e f x x = + trên nửa khoảng ( 2;4− ( ) 1) 2 1 f f x x x = + + − trên khoảng ( )1;+∞ ( ) 2) 1g f x x x= − trên đoạn 1;1 − ( )) sin2h f x x x= − trên đoạn ; 2 π π − 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây : ( ) 2) 2 sin sin 1a f x x x= + − ( ) 2) cos 2 sin .cos 4b f x x x x= − + ( ) 3 2) cos 6 cos 9 cos 5c f x x x x= − + + ( ) 3) sin cos2 sin 2d f x x x x= − + + 5. ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi cơng thức ( ) ( )20,025 30G x x x= − trong đĩ ( )x mg là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân . Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đĩ . Hướng dẫn ( ) ( )' 0 0, 20 , '' 20 0G x x x G= ⇔ = = < . Lượng thuốc cần tiêm để giảm huyết áp nhiều nhất là ( )20 mg . ðộ giảm huyết áp là ( )20 100G = . 6. Một con cá hồi bơi ngược dịng để vượt một khoảng cách là 300km . Vận tốc nước là 6 /km h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là ( )/v km h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi cơng thức ( ) 3 ,E v cv t= trong đĩ c là một hằng số , ( )E J . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. Hướng dẫn : Vận tốc cá khi dịng nước đứng yên là ( )/v km h , thì vận tốc của cá khi ngược dịng nước là ( )6 /v km h− Thời gian của cá bơi ngược dịng với khoảng cách 300s km= là 300 6 t v = − Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Năng lượng tiêu hao của cá ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 300 2 18 , 6 ' 300 min 9 6 6 v v E v cv t cv J v E v c E v khi v v v − = = > ⇒ = ⇒ = − − 7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là ( ) 2 345 , 0;25f t t t t = − ∈ . Nếu coi ( )f t là hàm số xác định trên đoạn 0;25 thì đạo hàm ( )'f t được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểmt . )a Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm . )b Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đĩ. )c Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600 . )d Xét chiều biến thiên của hàm số ( )f t trên đoạn 0;25 . Hướng dẫn : ( ) 2 345 , 0;25f t t t t = − ∈ )a ( ) ( ) ( )' 3 30 ' 5 375f t t t f= − ⇒ = )b ( ) ( ) ( )'' 90 6 max ' ' 15 675f t t f t f= − ⇒ = = )c ( ) ( )' 3 30 600 10 20f t t t t= − > ⇔ < < )d ( ) ( )' 3 30 0, 0 25f t t t t= − > < < ⇒Hàm số ( )f t đồng biến trên đoạn 0;25 . 8. Hình thang cân ABCD cĩ đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m . Tính gĩc DAB CBAα = = sao cho hình thang cĩ diện tích lớn nhất . Tính diện tích lớn nhất đĩ.Giả sử , 0 2 ADC x x π = < < Hướng dẫn : ( ), sin ; cos ; 1 2 cos 1 cos sin , 0 2 2 AB CD AH CD AH x DH x DC x S AH x x x π+ ⊥ = = = + ⇒ = = + < < 9. Trong các tam giác vuơng mà cạnh huyền cĩ độ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác định tam giác cĩ diện tích lớn nhất . Hướng dẫn : Gọi ,x y là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 10cm , 0 10,x< < 0 10y< < và ( ) ( ) ( )22 2 2 21 1 1 100 ,0 100 2 4 4 S xy cm S xy x x x= ⇒ = = − < < với 2 2 100x y+ = 10. Một hành lang giữa hai nhà cĩ hình dạng của một lăng trụ đứng . Hai mặt bên ' ', ' 'ABB A ACC A là hai tấm kính hình chữ nhật ( ) ( ) ( )' 20 , ' ' 5 ,AA m A B m BC x m= = = . )a Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x )b Tìm x sao cho hình lăng trụ cĩ thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất đĩ . Hướng dẫn : ( ) ( )2 0;105 100 ,0 10 max 5 2 250xV x x x V V∈= − < < ⇒ = = |
