Bài viết hướng dẫn phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số. Kiến thức và các ví dụ minh học có trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu chuyên đề giới hạn đăng tải trên TOANMATH.com. Phương pháp: Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số, ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng $f\left( x \right) = 0.$ + Bước 2: Tìm hai số $a$ và $b$ $(a<b)$ sao cho $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0.$ + Bước 3: Chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$ Từ đó suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {a;b} \right).$ Chú ý: + Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) \le 0$ thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc $\left[ {a;b} \right].$ + Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {a; + \infty } \right)$ và có $f\left( a \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {a; + \infty } \right).$+ Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left( { – \infty ;a} \right]$ và có $f\left( a \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( { – \infty ;a} \right).$ Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m . Bài 3.11 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 – Bài 3. Hàm số liên tục
Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m : a) \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\) ; b) \(m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\) a) \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\) \(f\left( x \right) = \left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1] Quảng cáoTa có \(f\left( { – 1} \right) = – 1 < 0\) và \(f\left( { – 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { – 1} \right)f\left( { – 2} \right) < 0\) với mọi m. Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m. b) \(m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\) HD : Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) – 2\sin 5x – 1\) trên đoạn \(\left[ { – {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right]\)
Với mọi giá trị thực của tham số m, chứng minh phương trình x5+x2-m2+2x-1=0 luôn có ít nhất ba nghiệm thực
Trả lời
Hi Hi đang đợi giúp đỡ của bạn. Viết câu trả lời Thêm câu trả lời sẽ cộng điểm.
LIVESTREAM 2K4 ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
Toán
Tiếng Anh (mới)
Vật lý
Toán
Hóa học Xem thêm ...
+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b). +) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm. - Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0. - Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0 - Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự. +) Một số chú ý: - Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b]. - Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; + ∞) và có f(a) . < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a; +∞).- Nếu hàm số f(x) liên tục trên (-∞; a] và có f(a) . < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-∞; a).Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + x - 1 Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục) Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1) Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1 ⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục). Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). Hướng dẫn giải: + Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 - x - 3 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R. Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1]. + Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 - (-1) - 3 = 4 f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3 f(1) = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2 + Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0) Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Vì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộcVì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảngVì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảngVì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảngVì f(1) . f(3) = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 3). Do các khoảng không giao nhau nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm.Mà phương trình f(x) = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 5 nghiệm (đpcm). Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 Ta có: Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0] Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0). Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + ax2 + bx + c thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: ⇒∃ x1 > 0 để f(x1) > 0Tương tự: ⇒∃ x2 < 0 để f(x2) < 0Như vậy có x1 ; x2 để f(x1) . f(x2) < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ (x1; x2) Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |