Dđường trung tuyến là gì

Đường trung tuyến của tam giác là một trong những kiến thức cơ bản yêu cầu học sinh phải nắm vững để có thể áp dụng vào bài tập và những bài kiểm tra. Nếu như các bạn có lỡ quên thì cũng đừng lo lắng nhé, vì bài viết này sẽ giúp các bạn ôn lại những kiến thức tổng quát về đường trung tuyến và những dạng toán thường gặp của đường trung tuyến. Cùng tìm hiểu ngay nhé

I. Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

• Đường trung tuyến là một đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó. Trung điểm là điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
• Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện và một tam giác có 3 đường trung tuyến.

Công thức tính đường trung tuyến:

Cho a, b, c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác, độ dài 3 đường trung tuyến ta có thể tính bằng cách áp dụng định lý Apollonius như sau:

II. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Tính chất về đường trung tuyến

Đường trung tuyến của một tam giác gồm có 3 tính chất đó là:

• Tính chất 1: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
• Tính chất 2: Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
• Tính chất 3: Vị trí trọng tâm của tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chú ý: Không chỉ ở tam giác thường mà ở tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng đều có tính chất của đường trung tuyến.

Đối với tam giác vuông đường trung tuyến của tam giác bao gồm 3 tính chất đó là:

• Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
• Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
• Tam giác ΔABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng BC. Ngược lại nếu AM = BC thì tam giác ΔABC sẽ vuông ở A.

Còn ở tam giác cân,tam giác đều đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy. Và chia tam giác các thành hai tam giác bằng nhau.

Đây những tính chất vô cùng quan trọng để các em có thể áp dụng vào bài tập.

Định lí của đường trung tuyến trong tam giác

Nếu đường trung tuyến trong tam giác có 3 tính chất thì định lí của đường trung tuyến cũng có 3 định lí đó là:

• Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. gọi là trọng tâm của tam giác đó.
• Định lí 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác ấy thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
• Định lí 3: Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.

Công thức độ dài của đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius:

Trong đó:

• a, b, c: là các cạnh của tam giác.
• ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

Bài tập vận dụng về đường trung tuyến

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC. Hãy chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC mà BM giao CN tại G, nên ta có:

Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM

Xét ΔBNG và ΔCGM ta có :

• BG = CN
• GN = GM

˄BGN = ˄CGM (2 góc đối đỉnh)

• → ΔBNG đồng dạng với ΔCMG
• → BN = CM (1)

Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)

Từ (1) và (2) ta có:  AB = AC => Tam giác ABC cân tại A( đpcm).

Bài tập 2: Đẳng thức nào sau đây là đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng là đáp án: 4

Vì theo tính chất 3 của đường trung tuyến trong tam giác.

Tổng kết

Như vậy qua bài viết hôm nay chúng ta đã có thể nhớ lại và ôn tập lại lí thuyết về đường trung tuyến. Hi vọng với những kiến thức bổ ích này sẽ giúp các em có thể ôn tập và rèn luyện lại kiến thức cho mình một cách tốt nhất và hiệu quả nhất.

Trọng tâm của đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến là gì lớp 7?

Ba đường trung tuyến là gì?

Trung điểm và trung tuyến khác nhau như thế nào?