search

Coo bao nhiêu sô chia hê t cho 1111 năm 2024

4 thángs trước
Trả lời: 0
Lượt xem: 90

See other formats

CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT HAY VÀ KHÓ Tạp chí và tư liệu toán học Tiếp nối thành công của sô trước, trong số này chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu các bài toán đếm - xác suất hay và khó. Bên cạnh các phưong pháp tính xác suất co bản như trong sách giáo khoa, trong bài viết này mình sẽ giới thiệu cho các bạn một vài công cụ mạnh nữa để giải quyết các bài toán xác suất. Bản pdf được đăng trên blog Chinh phục Oỉympic toán các bạn chú ý đón đọc nhé!

Show
  1. HAI BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG
  2. BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER Bài toán chia kẹo của Euler là bài toán nổi tiếng trong Lý thuyết tổ hợp. Với những học sinh chuyên Toán cấp 3 thì đây là bài toán quen thuộc và có nhiều ứng dụng. Dưới đây là một cách tiếp cận bài toán chia kẹo của Euler cho học sinh lớp 6 & 7 để thấy rằng các bài toán đếm nói riêng và các bài toán tổ hợp nói chung luôn là những bài toán mà lời giải của nó chứa đựng sự hồn nhiên và ngây tho. Trước hết, xin phát biểu lại bài toán chia kẹo của Euler Bài toán chia kẹo của Euler: Có n cái kẹo (giống nhau) chia cho k em bé, hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho em nào cũng có kẹo. Một cách hợp lí, ta hãy xét bài toán trong trường hợp cụ thể, đon giản hon để từ đó định hướng đưa ra lời giải cho bài toán tổng quát. Bài toán 1. Có 20 cái kẹo (giống nhau) chia cho 3 em bé, hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho
  3. Mỗi em có ít nhất 1 cái kẹo.
  4. Mỗi em có ít nhất 2 cái kẹo.
  5. Em thứ nhất có ít nhất 1 cái kẹo, em thứ hai có ít nhất 2 cái kẹo và em thứ ba có nhiều nhất 3 cái kẹo. Lời giải.
  6. Nhận thấy rằng, vì mỗi em có ít nhất một cái kẹo nên số kẹo của em thứ nhất nhận được ít nhất là 1 và nhiều nhất là 18 Xét các trường hợp Trường hợp 1. Em thứ nhất nhận được 1 cái kẹo, thì số kẹo của em thứ hai có thể là 1,2,3,...,18 em thứ ba nhận sô kẹo còn lại sau khi chia cho em thứ nhất và em thứ hai xong, nghĩa là trong trường hợp này có 18 cách chia kẹo. Trường họp 2. Em thứ nhất nhận được 2 cái kẹo, khi đó sô kẹo của em thứ hai có thể là 1,2,3,...,17 em thứ ba nhận số kẹo còn lại, nghĩa là trong trường hợp này có 17 cách chia kẹo Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 1 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Hoàn toàn tưong tự cho các trường hợp còn lại, ta nhận thấy số cách chia 20 cái kẹo cho 3 em bé sao cho em nào cũng có kẹo là 18 + 17 +... + 2 +1 = 171 Phát hiểu tổng quắt. Nếu k = 1 thì chỉ có 1 cách chia kẹo Nếu k > 2 ta trải n chiếc kẹo thành dàn hàng ngang, tiếp theo ta dùng (k -1) chiếc thuớc đặt vào (n -1) khe giữa các viên kẹo để nó chia thành k phần. Nhu vậy có tất cả cách. Cả 2 truờng hợp ta đều có cách chia kẹo. Trên đây là lời giải của bài toán chia kẹo Euler - bài toán đếm nổi tiếng với nhiều ứng dụng trong các bài toán đếm khác. Bài này tác giả sẽ trình bày bài toán gốc co bản và một số bài toán đếm dạng ứng dụng mà nếu đếm theo cách thông thường sẽ rất khó khăn, nhưng khi hiểu theo các đếm của bài toán Euler thì bài toán lại trở thành đon giản. Sau đây ta sẽ cùng tìm hiểu một ứng dụng rất lớn trong việc đếm số nghiệm nguyên của phưong trình. k Bài toán 1. Phưong trình Xị = n(n > k) có bao nhiêu nghiệm nguyên dưong? i=l Coi Xị là phần kẹo của em nhỏ thứ i trong bài toán chia kẹo thì số nghiệm của phưong trình chính là số cách chia n chiếc kẹo cho k em nhỏ. Vậy phưong trình có C^lỊ nghiệm nguyên dưong. k Bài toán 2. Phưong trình Xị = n(n > k) có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm? i=l Ta có x a +x 2 + ... + x k = n (x a +l) + (x 2 +l) + ... + (x k +1) = n + k Đặt Xị 1 = Xị +1 thì Xị 1 là các số nguyên dưong. Áp dụng bài toán gốc ta có tất cả c“ k a nghiệm nguyên không âm của phưong trình k Bài toán 3. Bất phưong trình Xị < n(n > k + 1) có bao nhiêu nghiệm nguyên dưong? i=l k k Ta luôn CÓ ^Xị <n<>x i +x' = n(x'>l). Vậy có tất cả c nghiệm nguyên dưong của i=l i=l phưong trình. k Bài toán 4. Bất phưong trình Xị<n(n>k)có bao nhiêu nghiệm nguyên dưong? i=l k k k Ta CÓ ^Xị <n<^^Xị +x' = n(x'>0)<>x i + x" = n + l(x" = x'+l) i=l i=l i=l Áp dụng bài toán Euler ta có nghiệm k Bài toán 5. Phưong trình ^Txị =n có bao nhiêu nghiệm nguyên thỏa mãn đồng thời 2 i=i k điều kiện Xị >dị(dị >0),n>^dị(k>l)? i=l 2 I ổhỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Đặt Xj 1 = Xj - d; + 1 => < V>1 Ề x i , = n + k “Ề d i ’ i=l i=l k Đặt D = thì theo bài toán chia kẹo, phưong trình có C D _ 1 nghiệm. i=l
  7. BÀI TOÁN ĐẾM HÌNH HỌC. Bài toán 1. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác • Có đúng 1 cạnh chung với đa giác n(n - 4) • Có đúng 2 cạnh chung với đa giác n • Không có cạnh chung với đa giác c^ - n - n (n - 4) Bài toán 2. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Số tam giác vuông có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác làn(2n -2) Bài toán 3. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác tù đuợc tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là n = 2k —» n.C _2 ~i— n = 2k +1 —» n.C Bài toán 4. Cho đa giác đều có n đỉnh, số tam giác nhọn đuợc tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác = c 3 n - (số tam giác tù + số tam giác vuông). Bài toán 5. Cho đa giác đều có n đỉnh. Công thức tổng quát tính số tam giác tù: • Nếu n chẵn —»n.C „2 • Nếu n lẻ —»n.C* 1 Bài toán 6. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác • Có đúng 1 cạnh chung với đa giác n X c^ 4 - (n - 5)] = A • Có đúng 2 cạnh chung với đa giác n(n - 5) 4——- = B • Có đúng 3 cạnh chung với đa giác n = c • Không có cạnh chung với đa giác c^ - (A 4- B 4- c) Và ta có thể chứng minh đuợc c^ - (A 4- B 4- c) = c 5 Bài toán 7. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT là c*. Bài toán 8. Cho đa giác đều có 4n đỉnh. Sô tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VUỒNG là n Chúng minh. Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 3 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách. Chọn 2 đỉnh còn lại trong n - 4 đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có c^ 4 nhưng 2 đỉnh này không được liên tiếp nên trừ cho n - 5 (vì 2 đỉnh liên tiếp sẽ tạo nên 1 cạnh mà có n-4 đỉnh còn lại nên có n-5 cạnh). Vậy trong trường hợp này có n X cjy 4 - (n - 5)] tứ giác. Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác. Chọn 1 đỉnh còn lại trong n - 5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ). Do đó trường hợp này có n(n - 5) tứ giác. Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách. Trong n - 4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn, tham khảo hình vẽ) sẽ tạo nên n - 5 cạnh. Chọn 1 cạnh trong n - 5 cạnh đó nên có n - 5 cách. Tuy nhiên trong trường hợp này sô tứ giác mình đếm đến 2 lần. v V , n(n-5) , , n(n-5) Do đó trường hợp này có ——- tứ giác. Vậy có n(n - 5) H——- tứ giác thỏa mãn. 4 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số: (1;2;3;4), (2;3;4;5), (n-3;n-2;n-l;n), (n-2;n-l;n;l), (n-l;n;l;2), (n;l;2;3). Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn. II. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP. Câu 1: Cho tập A = {l; 2; 3;...; 2018} và các số a,b,ceA. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng abc sao cho a<b<c và a + b + c = 2016. Lời giải Xét phưong trình a + b + c = 2016. Ta biết phưong trình trên có C 2 015 nghiệm nguyên dưong. • THI: Xét các cặp nghiệm 3 sô trùng nhau: a = b = c = 672. • TH2: Xét các cặp nghiệm có a = b, c^a=>2a + c = 2016 . Suy ra c là số chẵn thỏa 0 < c < 2016 nên có 1007 giá trị c. Do đó có 1007 cặp, mà có cặp trừ cặp (672,672,672) (loại). Do đó có 1006 cặp. • Tưong tự ta suy ra có 1006.3 cặp nghiệm có 2 trong 3 số trùng nhau. Do số tập hợp gồm ba phần tử có tổng bằng 2016 là — 31006 —1 3376 g 2 3 ĩ (Chia cho 3! là do a < b < c nên không tính hoán vị của bộ ba (a, b, c)) Câu 2: Cho tập A = Ịl;2;3;...; 100}. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập A. Tính xác suất để 3 số được chọn ra không có 2 sô nào là 2 sô nguyên liên tiếp. Lời giải Số cách chọn ngẫu nhiên 3 số là Cj 0 Ta tìm số cách chọn bộ 3 số (a; b; c) thỏa mãn, theo giả thiết ta có l<a<b-l<c-2<8 Đặt b' = b-l;c' = c-2=>l<a<b'<c'<8. Mỗi cách chọn ra bộ 3 (a;b';c') từ tập Ịl;2;...;8} tưong ứng với một bộ ba số (a;b;c) thỏa d 7 mãn. Vậy có tất cả cổ cách chọn thỏa mãn. Xác suất cần tìm là — cỉo 15 Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 5 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £>ẾM khó Câu 3: Gọi s là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số được lập thành từ tập X = Ịl; 2;8}. Rút ngẫu nhiên từ tập X một sô tự nhiên. Tính xác suất để sô rút được sô mà trong số đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ sô đứng trước? Lời giải Số các số thuộc tập s là 8.9.9 = 648 Số rút ra có dạng abc với l<a<b<c< 8 . Đặt a' = a-l;c' = c + l=>0<a'<b<c'<9. Mỗi cách chọn ra bộ 3 (a;b';c') từ tập {0;1;2;...;9} tương ứng với một bộ ba số (a;b;c) thỏa mãn. Vậy có tất cả CỊ 0 cách chọn thỏa mãn. 5 Vậy xác suất cần tính là —- J 27 Câu 4: Gọi s là tập họp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Tính xác suất để số rút được số mà trong số đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước và ba chữ số đứng giữa đôi một khác nhau? Lời giải Số các số thuộc tập s là 9.10 4 Sô chọn ra có dạng abcde với l<a<b<c<d<e<9 Đặt a' = a-l;e' = e + l=>0<a l <b<c<d<e'<10 Đến đây thực hiện tương tự câu trên ta tìm được Ci! số. 77 Vậy xác suất cần tính là . J 1500 Câu 5: Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. Lời giải Ta có số phần tử không gian mẫu là n(Q) = C12-C5.Cg.C3 . Đánh số 4 nhóm là A, B, C, D • Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có 4! cách. • Bước 2: xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi. Chọn nhóm có 2 học sinh giỏi có 4 cách, chọn 2 học sinh giỏi có C 5 cách, xếp 3 học sinh giỏi còn lại có 3! cách. • Bước 3: xếp 3 học sinh trung bình có 3! cách. Đáp số: 4!.4.c*.3!.3! 36 C 3 /* 3 /» 3/ , '--'3 QO[T 12 v 9 Vw '6 v "3 6 I ổhỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ t)ê' số 2 NỐÀy 27/8/2018 Câu 6: Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình "Hãy chọn giá đúng" của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15100 với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau: • Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được. • Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được. • Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100 . Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác. An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm sô là 75. Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này. Lời giải Cách 1: Ta có n(Q) = 10 ° 5 ~ 5 +1 = 20 ■ Để Bình thắng ta có ba trường hợp. • Trường hợp 1. Bình quay một lần ra điểm số lớn hơn 75, ta có 5 khả năng thuộc tập hợp {80; 85; 90; 95; 100}. Do đó xác suất là • Trường hợp 2. Bình quay lần đầu ra điểm số là a < 75, ta có 15 khả năng. Do đó xác suất là P 2 = = Ệ.

    2 20 4 Khi đó để thắng Bình cần phải có tổng hai lần quay lớn hơn 75, ta có 5 khả năng thuộc tập hợp {80 - a;85 - a; 90 - a;95 - a; 100 -a}. Do đó xác suất là P 3 = ^ = 4 •

    131 7 Vậy xác suất để Bình thắng ngay trong lượt là p = P 1 + P 2 .P 3 + Cách 2: • THI: Bình quay một lần và thắng luôn. Vì An quay ở vị trí 75 nên Bình chỉ có thể quay vào 5 trong số 20 vị trí để có thể thắng. Do đó P(A 1 ) = Ậ = ị. v 1J 20 4 • TH2: Bình quay hai lần mới thắng. Nghĩa là lần một Bình quay được kết quả nhỏ hơn hoặc bằng 75 và quay tiếp để tổng hai lần quay lớn hơn 75 đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng 100 . Giả sử lần 1 Bình quay được a điểm, lần 2 quay được b điểm. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 7 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó /-~T Ậ /

    Cân có: a <75 a + be{80,85,90,95,100}' Khi đó: Chọn a có 15 cách, chọn b có 5 cách. Suy ra chọn cặp {a,b} có 15.5 = 75 cách. Không gian mẫu cho TH2 có 20.20 cách. Do đó P(A 2 ) Kết luận: p(A) = P(A,) + P(A 2 ) = ỉ + it = -C 75 20.20

    3 16 Câu 7: Một số tự nhiên đuợc gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau đuợc lập thành tự tập {l;2;...;8} và số đó chia hết cho 1111. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thú vị nhu thế? Lời giải Số cần tìm có dạng i = a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 . Ta có tổng các chữ số của số cần tìm là tổng các chữ số từ 1 đến 8 bằng 36 chia hết cho 9 nên số cần tìm chia hết cho 9. Do 9 và 1111 có uớc chung lớn nhất là 1 nên theo giả thiết thì i chia hết cho 9999. Đặt X = a 4 a 2 a 3 a 4 , y = b 1 b 2 b 3 b 4 . Ta có i = X.10 4 + y = 9999x + X + y chia hết cho 9999 từ đó suy ra (x + y) chia hết cho 9999. Mặt khác 0 < X + y < 2.9999 => X + y = 9999. Do đó a 4 + b 4 = a 2 + bn = a 3 + b 3 = a 4 + b 4 = 9 Từ các chữ số 1,2,3,4,5, 6 ,7 ,8 có 4 cặp (l; 8 ),(2;7),(3; 6 ),(4;5) nên có 8 cách chọn a 4 ; 6 cách chọn a 2 ; 4 cách chọn a 3 và 2 cách chọn a 4 tức chọn a k có luôn b k . Vậy số các số thú vị là 8 .6.4.2 = 384 số Câu 8 : Cho tập A = Ịl;2;3;...;18} . Chọn ngẫu nhiên 5 số từ tập A. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của 2 sô bất kì trong 5 số đó cí trị tuyệt đối không nhỏ hơn 2 ? Lời giải Các số chọn ra luôn sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Giả sử dãy 5 số đuợc chọn ra thỏa mãn là a 4 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 . Theo giả thiết ta có: l<a 1 <a 2 -l<a 3 -2<a 4 -3<a 5 -4<14 Đặt a 2 1 = a, -1, a 3 1 = a 3 - 2, a 4 1 = a 4 - 3, a 5 1 = a 5 - 4 Đến đây thực hiện tuơng tự câu 2, ta có số cách chọn là C 44 cách chọn. Câu 9: Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu nhu nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là Lời giải Gọi A là biến cố không có hai nguời liền kề cùng đứng. 8 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 2 8 = 256 . Rõ ràng nếu nhiều hơn 4 đồng xu ngửa thì biến cố A không xảy ra. Để biến cô A xảy ra có các truờng hợp sau: • THI: Có nhiều nhất 1 đồng xu ngửa. Kết quả của truờng hợp này là 1 + 8 = 9. • TH2: Có 2 đồng xu ngửa. Hai đồng xu ngửa kề nhau: có 8 khả năng. Suy ra số kết quả của truờng hợp này là Cg - 8 = 20. • TH3: Có 3 đồng xu ngửa. Cả 3 đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả. Trong 3 đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có 8.4 = 32 kết quả. Suy ra số kết quả của truờng hợp này là Cg - 8 - 32 = 16 . • TH4: Có 4 đồng xu ngửa. Truờng họp này có 2 kết quả thỏa mãn biến cố A xảy ra. Nhu vậy n(A) = 9 + 20 + 16 + 2 = 47 . Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là p n(A) 47 n(Q) 256 Câu 10: Cho đa giác đều 20 cạnh. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật những không phải là đỉnh của hình vuông có các đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho? Lời giải 20 Sô hình vuông có các đỉnh của đa giác đều là = 5 Đa giác đều này có tất cả 10 đuờng chéo qua tâm, một hình chữ nhật tạo bởi hai đuờng chéo qua tâm nên có tất cả Cj 0 hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật không phải là hình vuông có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho là 45-5 = 40 Chú ý: Số đa giác đều có m cạnh có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều n cạnh có thể có là — m Câu 11: Từ các chữ số thuộc tập hợp s = {l;2;3;...;8;9} có bao nhiêu số có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng truớc chữ số 2, chữ số 3 đứng truớc chữ số 4 và chữ số 5 đứng truớc chữ số 6 ? Lời giải Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 1, 2 (số 1 đứng truớc 2): có Cy cách. Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 3, 4 (số 3 đứng truớc 4): có Cy cách. Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 5, 6 (số 5 đứng truớc 6 ): có c 2 - cách. 3 chữ số còn lại có 3! cách. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 9 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Vậy có 3i.Cg.C7.C5 =45360 số. Câu: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'8'C'D, tại đỉnh A có một con sâu, mỗi lần di chuyển nó bò theo cạnh của hình hộp chữ nhật và đi đến đỉnh kề với đỉnh nó đang đứng. Tính xác suất sao cho 9 lần di chuyển nó dừng tại đỉnh C' Lời giải Không mất tính tổng quát giả sử tọa độ đỉnh A(0;0;0) và C'(l;l;l). Ta thay: mỗi lần sâu di chuyển là cộng thêm 1 tại 1 trong 3 vị trí hoành độ, tung độ và cao độ từ vị trí sâu đang đứng. Do đó số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 3 9 = 19683. Sau 9 lần di chuyển sau đứng tại vị trí (l;l;l) khi và chỉ khi sâu di chuyển số lần tại các tọa độ thành phần hoành độ ; tung độ, cao độ là : (3; 3; 3) ; các hoán vị của bộ (l;3;5) ; các hoán vị của bộ (7;l;l). Do đó số truờng hợp thuận lợi của biến cố A : sâu ở C' sau 9 buớc di chuyển là n(A) = cịcịq; +6.c 5 9 .cl.c\ +3.CịCịCỊ = 4920 Câu 12: Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh đuợc chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng bao nhiêu? Lời giải Ta có số tam giác đuợc tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh: Cj 2 . • Sô tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3 đỉnh liên tiếp cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác, (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa truờng hợp này) • Sô tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Truớc tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn). Do đó trong truờng hợp này có 8.12 tam giác. n(n) = c; 2 n(A) = CỈ,-12-8.12 Ta có c\ 2 - 12 - 12.8 CÁ Câu 13: Cho đa giác (H) có n đỉnh (n e N, n > 4 ). Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng 1 cạnh là cạnh của (H). Khẳng định nào sau đây đúng?
  8. ne [4;12]. B.ne [13; 21 ]. c. ne[22;30]. D, ne [31; 38]. Lời giải 10 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN một chủ £>Ề - CHỦ í)ề số 2 NỐÀy 27/8/2018 Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n Sô tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n(n-4) (điều kiện neN và n < 4) Suy ra sô tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là c Theo giả thiết, ta có c(’ -n-n(n-4) = 5.n(n-4) <=> n = 35(t / m) n = 4(L) 3 n -n-n(n-4). Chọn ỷ D. Câu 14: Cho đa giác đều gồm 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ra 3 đỉnh, xác suất để 3 đỉnh đuợc chọn là 3 đỉnh của một tam giác tù là bao nhiêu? Lời giải Đánh số các đỉnh là A 1 ,A 2 ,...,A 100 . Xét đuờng chéo A 1 A 51 của đa giác là đuờng kính của đuờng tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đuờng tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A 2 đến A 50 và A 52 đến A 10ũ . Khi đó, mỗi tam giác có dạng A 1 A i Aj là tam giác tù nếu A | và Aj cùng nằm trong nửa đuờng tròn • Chọn nửa đuờng tròn: có 2 cách chọn. • Chọn hai điểm A;, Aj là hai điểm tùy ý đuợc lấy từ 49 điểm A 2 ,A 3 ,...,A 50 có C 2 49 = 1176 cách chọn. Giả sử A; nằm giữa A 1 và Aj thì tam giác A^ịA. tù tại đỉnh Aị. Mà AAjA i A 1 = AA 1 A i A j nên kết quả bị lặp hai lần. Có 100 cách chọn đỉnh. Vậy số tam giác tù là- Ỹ -= 117600. Chú ý: Cho đa giác đều có n đỉnh. Công thức tổng quát tính số tam giác tù: • Nếu n chẵn thì số tam giác tù là n.c _2 • Nếu n lẻ thì số tam giác tù n.c Áp dụng công thức nhanh ta có n.c 2 n 2 = lOO.C^g = 117600. Câu 15: Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, xác suất để chọn đuợc 1 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H) bằng bao nhiêu? Lời giải Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 11 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Ta có • |x| = cị 2 = 1540 n(Q) = CỈ 54ũ = 1185030 n (A) - -22x18 x '1540-(22xl8+22) =^P = =444312 748 1995 Câu 16: Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n>2, neN). Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh đuợc chọn tạo thành một tam giác vuông là —. Tìm n. 5 Lời giải Ta có không gian mẫu n(Q) = c, n . Để ba đỉnh đuợc chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đuờng kính của đuờng tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số (2n-2) đỉnh còn lại của đa giác. Đa giác có 2n đỉnh nên có = n đuờng kính. • Sô cách chọn 1 đuờng kính là c* * = n. • Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong (2n - 2) đỉnh là cị n 2 = 2n - 2 . Suy ra n(A) = n(2n-2). Theo đề bài ta có phuong trình n(2n-2)l c? - 5 <=> n = 8. Câu 17: Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, xác suất để tam giác đuợc chọn là một tam giác cân nhung không phải là tam giác đều là bao nhiêu? Lời giải • Gọi o là tâm đuờng tròn ngoại tiếp của đa giác đều. Xét một đỉnh A bất kỳ của đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đuờng thẳng OA, hay có 7 tam giác cân tại đỉnh A. Nhu vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân. 15 • Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là A- = 5 tam giác. • Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều đuợc đếm 3 lần. Suy ra n(A) = 7.15 - 3.5 = 90. Ta có n(Q) = CỈ s =455 90 18 n(A) = 7.15-3.5 = 90 => - 455-91 12 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ t)ê' số 2 NỐÀy 27/8/2018 Câu 18: Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh đuợc chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là bao nhiêu? Lời giải • Số tam giác vuông là 10.18. • Sô tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đuờng kính là có 2 tam giác cân (2 điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đuờng thẳng qua tâm vuông góc với đuờng kính đã chọn với đuờng tròn). Do đó có 10.2 tam giác vuông cân. Câu 19: Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn đuợc số tự nhiên có dạng a 1 aTa 3 a 4 a 5 mà a 1 < a, +1 < a 3 - 3 < a 4 < a 5 + 2 bằng bao nhiêu? Vì a 2 +1 < a 3 -3 a 2 < 5 a 3 >4 Số có dạng 1042a 5 có 10 cách chọn a 5 . Số có dạng 1043a 5 có 9 cách chọn a 5 . Lời giải Số có dạng 1049a 5 có 3 cách chọn a 5 . • Vậy những số có dạng 104a 4 a 5 có 3 + 4 + ... + 10 = 52số. Số có dạng 1053a 5 có 9 cách chọn a 5 . Số có dạng 1054a 5 có 8 cách chọn a 5 . Số có dạng 1059a 5 có 3 cách chọn a 5 . • Vậy những số có dạng 105a 4 a 5 có 52 -10 = 42 số. • Vậy những số có dạng 106a 4 a 5 có 42 - 9 = 33 số. • Vậy những số có dạng 107a 4 a 5 có 33-8 = 25 số. • Vậy những số có dạng 108a 4 a 5 có 25 - 7 = 18 số. • Vậy những số có dạng 109a 4 a 5 có 18-6 = 12 số. Kết luận: Những số có dạng 10a 3 a 4 a 5 có 12 +18 + 25 + 33 + 42 + 52 = 182 số. Những số có dạng lla 3 a 4 a 5 (a 3 > 5) có 12 +18 + 25 + 33 + 42 = 130 số. Những số có dạng 12a 3 a 4 a 5 (a 3 > 6) có 12 +18 + 25 + 33 = 88 số. Những số có dạng 13a 3 a 4 a 5 (a 3 > 7) có 12 +18 + 25 = 55 số. Những số có dạng 14a 3 a 4 a 5 (a 3 > 8) có 12 +18 = 30 số. Những số có dạng 15a 3 a 4 a 5 (a 3 > 9) có 12 số. Kết luận: Những số có dạng la 2 a 3 a 4 a 5 có 12 + 30 + 55 + 88 +130 +182 = 497 số. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 13 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Từ đó ta lập luận như sau: Những số có dạng 2a 2 a 3 a 4 a 5 (a 2 > l) có 12 + 30 + 55 + 88 +130 = 315 số. Những số có dạng 3a^a 3 a 4 a 5 (a, > 2) có 12 + 30 + 55 + 88 = 185 số. Những số có dạng 4a 2 a 3 a 4 a 5 (a 2 > 3) có 12 + 30 + 55 = 97 số. Những số có dạng 5a,,a 3 a 4 a 5 (a 2 > 4) có 12 + 30 = 42 số. Những số có dạng 6a,,a 3 a 4 a 5 (a 2 > 5) có 12 số. Vậy những số thỏa yêu cầu bài toán là 12 + 42 + 97 +185 + 315 + 497 = 1148 . Vậy xác suất cần tìm là 1148 90000 Câu 20: Cho một đa giác đều n đỉnh (n lẻ, n > 3). Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác , 45 đều đó. Gọi p là xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết p = ~z- Số ỡ 62 các ước nguyên dưong của n là bao nhiêu? Lời giải Chọn ngẫu nhiên ra 3 đỉnh có n(Q) = C„ cách. Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với góc A nhọn, B tù và c nhọn. Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có n cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn, chia đường tròn thành hai phần (trái và phải chẳng hạn). Để tạo thành tam giác tù thì hai đỉnh còn lại được chọn sẽ hoặc cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải. • Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có C„_1 cách. Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có C^_1 cách. Vr Vậy có thể có tất cả n r \ c 2 , +C 2 ., v 'n-l TV -n-l V 7T TT J tam giác tù, tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và c như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo n thành là f \ cĩ , +CĨ , '“n-l T v 'n-l V 2 2 J = nCL- nC Mà xác suất p = n-l 2 c n 45 62 (l). Do n lẻ nên đặt n = 2k + l (k>l)=>k = n-1 <=> 62(2k + 1)C^ = 45C <=> 62(2k + 1) k! 3 2k+l = 45- (2k + l)! 2!(k-2)! 3!(2k-2)! <=>31(k-l) = 15(2k-l)<=>k = 16 14 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Vậy n = 2k +1 = 33. Do đó số các ước nguyên dương của n là 4 . Câu 21: Biển số xe máy tỉnh K gồm hai dòng • Dòng thứ nhất là 68 XY, trong đó X là một trong 24 chữ cái, Y là một trong 10 chữ số. • Dòng thứ hai là abc.de , trong đó a, b, c, d, e là các chữ số. Biển số xe được cho là "đẹp" khi dòng thứ hai có tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 và có đúng 4 chữ sô giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 biển số trong các biển số "đẹp" để đem bán đấu giá? Lời giải Chọn X từ 24 chữ cái và chọn Y từ 10 chữ số, ta có 24.10 = 240 (cách chọn). Chọn 4 chữ sô giống nhau từ các chữ số ta có 10 cách chọn; Mỗi bộ gồm 4 chữ sô giống nhau, ta có một cách chọn duy nhất 4 chữ số còn lại để tổng các số là số có chữ số tận cùng bằng 8 , chẳng hạn: 4 chữ số 0, chữ số còn lại sẽ là 8 ; 4 chữ số 1, chữ số còn lại sẽ là 4;...; 4 chữ số 9 , chữ số còn lại sẽ là 2). Sắp xếp 5 chữ số vừa chọn có 5 cách xếp. Do đó, có tất cả 10.5 = 50 (cách chọn số ở dòng thứ hai). Suy ra có tất cả 240.50 = 12000 (biển số đẹp). Chọn 2 biển số trong các biển số " đẹp" ta có c( 2f)00 = 71994000 (cách). Câu 22: Có 8 bì thư được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 8 tem thư cũng được đánh số 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8. Dán 8 tem thư lên 8 bì thư (mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư). Hỏi có thể có bao nhiêu cách dán tem thư lên bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư có số trùng với sô của bì thư đó. Lời giải Ta xét bài toán tổng quát n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó. Đánh số các tem thư là Tj, T 2 ,..., T n và các bì thư là B 1 , B 2 ,...,B n . Bài toán được giải quyết bằng nguyên lý phần bù: Lấy hoán vị n phần tử trừ đi trường hợp xếp mà không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư. Để giải quyết bài toán không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư. Ta xây dựng dãy số f (n) như sau: Công việc dán n tem thư vào n bì thư sao cho không có bì thư nào được dán vào tem thư có sô trùng với sô của bì thư đó. Công việc này gồm có hai bước sau: • Bước 1: Dán tem T 2 lên một bì thư Bj khác B ,, có n-1 cách. • Bước 2: Dán tem thư Tj vào bì thư nào đó, có hai trường hợp xảy ra như sau: Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 15 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó
  9. THI: tem thư Tj được dán vào bì thư B, . Khi đó còn lại n-2 tem (khác T, và Tj ) là T 2 ,...,Tj_i,T j+1 ,...,T n phải dán vào n-2 bì thư (khác B 1 và Bj). Quy trình được lập lại giống như trên. Nên TH này có số cách dán bằng f (n - 2).
  10. TH2: tem thư Tj không được dán vào bì thư B!. Khi đó các tem là T, / ... / T j 1/ Tj,T j+1/ ...,T n sẽ được đem dán vào các bì B 2 ,...,B j 1 ,B j+1 ,...,B n (mà tem thư Tj không được dán vào bì thư BQ. Thì Tj lúc này bản chất giống T, , ta đánh số lại Tj = T,. Nghĩa là n-1 tem T, T 1, T| /Tj +1 ,...,T n sẽ được đem dán vào n-1 bì Bj, B 7 ,...,B j 1/ Bj +1 ,...,B n với việc đánh số giống nhau. Công việc này lại được lập lại như từ ban đầu. Nên TH này có số cách dán bằng f (n -1). Uj = 0 Ta xét dãy u n = f (n) như sau: ị u 2 = 1 u n=( n - 1 )( u n-i+u n _ 2 ) Như vậy kết quả của bài toán: n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó sẽ là P n - u n . Áp dụng với n = 8, ta được kết quả là 8!-14833 = 25487. Câu 23: Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A(-2;0), B(-2;2), c(4;2), D(4;0) (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M(x;y) mà x + y < 2. y B \ E c r > 1 1
  11. 1

    \ 1 \ 1 1 1 1 \ 1 \ 1 1 \ i r Ả 0 1 D i x+y=2\ Lời giải Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3 = 21 điểm vì X e {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} ye{0;l;2} 16 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Để con châu chấu đáp xuống các điểm M(x,y) có x + y<2 thì con châu chấu sẽ nhảy xe{-2;-l;0;l;2} trong khu vực hình thang BEIA. Để M(x,y)có tọa độ nguyên thì y e{0;l;2} • Nếu xe{-2;-l|thì y e {0;1;2} => có 2.3 = 6 điểm. • Nếu X = 0 thì y e {0; 1} => có 2 điểm. • Nếu x = l=>y = 0=>cól điểm. Suy ra có tất cả 6 + 2 +1 = 9 điểm thỏa mãn.

    9 3 Vậy xác suất cần tính p = —. J 21 7 Câu 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hon hay bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác suất đuợc chọn nhu nhau, vậy thì xác suất để chọn đuợc một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hon hoặc bằng 2 là bao nhiêu? Lời giải Gọi tọa độ điểm M(x;y) thỏa x,y eZ và < |x| < 4 jy|<4 nên X G {-4;-3;-2;-l;0;l;2;3;4} y S {-4;-3;-2;-l;0;l;2;3;4Ị' Suy ra n(Q) = 9.9 = 81. Gọi điểm M'(x;y) thỏa x,yeZ và theo giả thiết ta có: OM <!<=> Ưx 2 +y 2 <2 1 x 2 +y 2 <4 ì <=> 1 [x,yeZ x,y e z x,yeZ X = 0; ±1;±2. y 2 < 4-x 2 • Nếu X = 0- >Ỵ = 0;±1;±2 . Do đó có 1x5 = 5 cách chọn. • Nếu x = ±l-»y = 0;±l. Do đó có 2x3 = 6 cách chọn • Nếu X = ±2- >y = 0. Do đó có 2x1 = 2 cách chọn. Suy ra n(A) = 5 + 6 + 2 = 13. Vậy xác suất cần tính p = 81 Câu 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ỏ góc phần tu thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tu thứ hai, thứ ba, thứ tu ta lần luợt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. Lời giải Không gian mẫu là sô cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n| = c 2 4 = 91. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 17 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Gọi A là biến cố "Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ". Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư. • Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có C2C4 cách. • Hai đầu đoạn thẳng ỏ góc phần tư thứ hai và thứ tư, có C3C5 cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là |Q a I = C2C4 + C3C5 = 23. Vậy xác suất cần tính p (A) = n 'A |Q 23 91 Câu 26: Cho hai đường thẳng song song d-L và d 2 . Trên d 1 có 6 điểm phân biệt, trên d 2 có n điểm phân biệt (n > 3, neN). Tìm n, biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Lời giải Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác. Do đó sô tam giác được tạo thành từ n + 6 điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc d , và n điểm (thẳng hàng) thuộc d 2 là C^ +6 -Cị-Cị. Theo giả thiết, ta có C^ +6 - Cg - C^ = 96 <=> n = 4(N) n = -8(L) Bài tập tưong tự. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt (n > 3, neN) khác A, B, c, D. Tìm n, biết số tam giác lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439. Đáp số n = 10. Hướng dẫn. Theo giả thiết, ta có Cf 1+6 - C3 - c^ = 439. Câu 27: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng abc thỏa a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân ( kể cả tam giác đều )? Lời giải Gọi độ dài cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân là X, y => < 0<y <2x 0<y <9 0<x<9 THI: 0<y <9 5 < X < 9 suy ra có 9.5 = 45 cặp số. TH2: X = i 1 < y < 2i -1 với 1 < X < 4 . Với mỗi giá trị của i , có 2i - 1 số. Do đó, trường hợp này có: (2.1-1) +(2.2-1)+ (2.3-1)+ (2.4-1) = 16 cặp số Suy ra có 61 cặp số (x;y). Với mỗi cặp (x;y) ta viết số có 3 chữ số trong đó có 2 chữ số X, một chữ số y. 18 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Trong 61 cặp có:
  12. 9 cặp X = y, viết được 9 số.
  13. 52 cặp X = y, mỗi cặp viết được 3 số nên có 3.52 = 156 số. Vậy tất cả có 165 số. Câu 28: Gọi A là tập các sô tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A . Tính xác suất để sô được chọn chia hết cho 45. Lời giải Gọi số cần tìm có dạng: abcdetgh ta có a có 9 cách chọn Các chữ số còn lại có Áị Nên số phần tử của không gian mẫu: 9.Aạ = 1632960 Gọi B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ta có: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45:9 Ta có các bộ số mà tổng chia hết cho 9: B{0,9} B{2,7},B{3,6} r B{4, 5 }. Xét B \ {0,9} = {1,2,3,4,5,6,7,8} Gọi số cần tìm có dạng: abcdetgh Chọn h có một cách. Chọn 7 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí có: 7!. Nên trường hợp này có 7! cách. Xét B\ {1,8} = {0,2,3,4,5,6,7,9} • Tận cùng là chữ số 0 : có 7! cách • Tận cùng là chữ số 5 : a có 6 cách; các chữ số còn lại có: 6! cách Suy ra: 7!+6.6! = 9360 Các trường hợp B \ { 2 , 7 }, B \ { 3 ,6} tưong tự như B \ { 1 ,8}. Xét B\ {4,5} = {0,1,2,3,6,7,8,9} Gọi số cần tìm có dạng: abcdetgh Chọn h có một cách. Chọn 7 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí có: 7!. Nên trường hợp này có 7! cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là: 7! .2 + 9360.3 = 38160. Vậy xác suat cứa biển cố A là: - ——7— = ——- J 1632960 2268 Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 19 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £>ẾM khó Câu 29: Cho tập X = |6;7;8;9}, gọi E là tập các số tự nhiên khác nhau có 2018 chữ số lập từ các số của tập X . Chọn ngẫu nhiên một số trong tập E, tính xác suất để chọn đuợc số chia hết cho 3 . Lời giải Gọi A n , B n lần luợt là tập các số chia hết, không chia hết cho 3 . Với mỗi số thuộc A n có hai cách thêm vào cuối một chữ số 6 hoặc một chữ số 9 để đuợc A n+1 và hai cách thêm một chữ số 7 hoặc một chữ số 8 để đuợc B n+1 . Với mỗi số thuộc B n có một cách thêm vào cuối một chữ số 7 hoặc một chữ sô 8 để đuợc A n+1 và có ba cách thêm một chữ số để đuợc B n+1 . Nhu vậy A„, =2A„ + B n B„„ =3A„, -4B„ |B,„ 1 | = 2|A„| + 3|B„ Hay|A„| = 5|A„ 1 |-4|A„ 2 |. Xét dãy số a n = IA n I, ta có a 1 = 2, a 2 = 6, a n = 5a n 1 - 4a n _2; n > 3 . Nên a n = a + Ị3.4 n =| + ị-4 n . 3 3 4 2018 | 2 Suy ra có -—-— số chia hết cho 3. A„ ư | = 5|A„|-4|A„, Mà E = 4 I 2018 12018 Vậy p =
  14. 2 1 3.4 2018 1 + 1 (4035 Câu 30: Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập s = Ịl;2;3;...;20}. Xác suất để chọn đuợc 2 số mà tích của chúng là một số chính phuong bằng bao nhiêu ? Lời giải Sô cách chọn ra ngẫu nhiên 2 số là c 2 0 Ta cần tìm số cách chọn ra cặp số (a;b) thỏa mãn 1 < a < b < 20,ab = c 2 ,2 < c < 19 11 11 Có tất cả 11 cặp số nhu thế. Xác suất cần tính là C 2 0 190 Câu 31: Cho tập A = {l;2;3;...;2018}, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 số từ tập A mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng và công bội là một số nguyên duong ? Lời giải 5 số đuợc chọn ra xếp đuợc duy nhất dãy tăng, giả sử X2<X2<X3<X4< x 5 Theo giả thiết các số đó là x t , qx a , q 2 X 2 , q 3 X 2 , q 4 X 2 , q e N, q > 2 Ta có q\ < 2018 => q < < ^/2018 => q e {2; 3; 4; 5; 6} 20 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Mặt khác 1 < X 1 < q 1<Xj < 2018 . Với mỗi số nguyên q e {2; 3; 4; 5; 6} ta có tất cả 2018 cách chọn X 1 và các số còn lại có tương ứng duy nhất một cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng và quy tắc nhân ta có tất cả: Ẻ k=2 2018 2018
  15. 2018
  16. 2018
  17. 2018
  18. 2018 = 161 Bài tập tiĩơng tự Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập A = Ịl;2;...;100}. Tính xác suất để chọn được 3 số mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương? Câu 32: Cho tập A = {1;2;3;...;30}. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của A, tính xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng ? Lời giải Số cách chọn ngẫu nhiên 3 phần tử là Cgo Ta tìm số các bộ số (a;b;c) thỏa mãn a,b,ceA;l<a<b<c< 30;a + c = 2b Ta có a, c sẽ cùng tính chẵn lẻ. • Nếu a, c cùng chẵn có c\ 5 cách chọn a, c và b có duy nhất một cách chọn • Nếu a, c cùng lẻ có c\ 5 cách chọn a, c và b có duy nhất một cách chọn Vậy có tất cả 2CỊ 5 cách chọn. Câu 33: Cho tập s = ị2 1 ,2 2 ,...,2 10 J . Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử a, b của s, tính xác suất để log a b là một số nguyên bằng ? Lời giải Số phần tử của không gian mẫu CỊ 0 Ta thấy rằng nếu log a b là một sô nguyên dương thì đó phải là số nguyên dương lớn hơn 1. Thật vậy vì a,b > 1 => log a b > 0 mặt khác 2 số này khác nhau nên log a b phải là một số nguyên lớn hơn 1. Vậy log a b = keZ,k>2=>b = a k • Nếu a = 2 1 => b e |2 2 ;2 3 ;...;2 10 j, có 9 cách chọn • Nếu a = 2 2 => b e |2 4 ;2 6 ;2 8 ;2 10 |, có 4 cách chọn • Nếu a = 2 3 => b e |2 6 ;2 9 j, có 2 cách chọn • Nếu a = 2 4 => b e Ị2 8 |, có 1 cách chọn • Nếu a = 2 5 => b e Ị2 10 j, có 1 cách chọn ........ 17 Vậy có tất cả 17 cách chọn. Xác suất cần tính là Vr y 45 Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 21 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £>ẾM khó Câu 34: Chọn ngẫu nhiên 3 số phân biệt a,b,c từ tập s = Ịl;2;3;...;30}. Tính xác suất để a 2 + b 2 + c 2 chia hết cho 3 ? Lời giải Số phần tử của không gian mẫu Co 0 Ta có nhận xét: • n = 3k => n 2 = 9k 2 = 0(mod3) • n = 3k + 1 => n 2 = 9k 2 +6k + l = l(mod3) • n = 3k + 2 => n 2 = 9k 2 +12k+ 4 = l(mod3) Vậy để a 2 +b 2 +c 2 chia hết cho 3 thì a,b,c cùng chia hết cho 3 hoặc a,b,c cùng không chia hết cho 3. Tập s có 10 phần tử chia hết cho 3, 20 phần tử không chia hết cho 3. Vậy số cách chọn là c 2 0 + C 20 . Xác suất cần tính là Câu 35: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2018 chữ số và tổng các chữ số chia hết cho 3 ? Lời giải Vì tổng các chữ số bằng 3 nên chữ số lớn nhất trong dãy này có thể bằng 3, ta xét các truờng hợp sau: • Sô tạo thành từ 1 sô 3 và 2017 sô 0, có duy nhất 1 số thỏa mãn • Số tạo thành từ 1 số 1 và 1 số 2 có 2.CỊ, Ũ17 = 4034 số thỏa mãn • Số tạo thành từ 3 số 1 có l.C 2017 số thỏa mãn Vậy có tất cả 2037171 số. Bài tập tương tự Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hon 10 2018 và tổng các chữ số bằng 3? Đap so: C 201g +A 201g +C 201g Câu 36: Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Nguời ta bắt ngẫu nhiên lần luợt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt đuợc cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là? Lời giải Cách 1. Xét biến cố đối A : "bắt đuợc 3 thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần". • THI: Bắt đuợc 3 con thỏ trắng trong 3 lần đầu: Ta có n(íl) = 7.6.5 và n^A 1 j = 3!. Suy ra pỊA 1 j • 7.6.5 • TH2: Bắt được 3 con thỏ trắng trong 4 lần đầu: Suy ra lần 4 bắt được con trắng; lần 1, 2 và 3 bắt được 2 con trắng và 1 con nâu. T 22 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Ta có n(Q) = 7.6.5.4 và n(A 2 ) = c 4 .c 2 .3!. Suy ra P ( A 2 ) = %^ ! - 7 . 6 . 5.4 Suy ra P(Ã) = P(y) + P(Ã) = T => p(A) = Cách 2. Ta mô tả không gian của biến cố A như sau {TTT; TNNN; NTNN; NNTN} SuyraP(Ã) = !=.P(A) = ! Câu 37: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Gọi s là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ s, xác suất để số được chọn chia hết cho 6 bằng bao nhiêu? Lời giải Tập s có 9 4 phần tử. Gọi số thỏa mãn biến cố là a 4 a 9 a 3 a 4 . Do a^a^iỏ- >a 1 a n a 3 a i \2. Suy ra a 4 e {2,4,6,8}: có 4 cách; và ã 1 , a 2 có 9 2 cách chọn. • Nếu a 4 +a 2 +a 4 = 3k => a 3 e {3; 6; 9} nên a 3 có 3 cách chọn. • Nếu a 4 +a 2 +a 4 = 3k + l => a 3 e {2; 5; 8} nên a 3 có 3 cách chọn. • Nếu a 4 +a 2 +a 4 = 3k + 2 => a 3 e |l;4;7| nên a 3 có 3 cách chọn. Vậy a 3 luôn luôn có 3 cách chọn nên n(A) = 4.9 2 .3 = 972. Ta có n(Q) = 9 4 „ 4 ) { ^P = N- n(A) = 4.9 2 .3 27 Câu 38: Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Hoa và Vinh cùng một nhóm là bao nhiêu? Lời giải Không gian mẫu là số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm và phải đảm bảo mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. Giả sử • Nhóm thứ nhất có 2 nữ và 2 nam, có C 4 .Cg cách. • Nhóm thứ hai có 1 nữ và 3 nam, có C 2 .Cg. • Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì còn lại 1 nữ và 3 nam nên nhóm thứ ba có duy nhất 1 cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = C 4 .Cg.C 2 .Cg = 6720. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 23 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Gọi A là biến cố " Hoa và Vinh cùng một nhóm". Ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau: • Trường hợp 1. Hoa và Vinh cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành một nhóm nên có C 7 .C 3 cách. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có cị.cị . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường hợp này có C 7 .C 3 .Cg.C 2 =840 cách. • Trường hợp 2. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên có c 2 cách. Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có C5.C3 . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường hợp này có C 7 .C 5 .C 3 =630 cách. • Trường hợp 3. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ. Suy ra nhóm thứ ba có 2 bạn nam và 2 bạn nữ. Trường hợp này trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính. Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A) = 840 + 630 = 1470. 1470 7 Vậy xác suất cần tính p = = . J 6720 32 Câu 39: An và Bình cùng tham gia kì thi THPTQG năm 2018, ngoài thi ba môn Toán, Văn, Tiếng Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng kí thi them đúng hai môn tự chọn khác trong ba môn Vật lí, Hóa học và Sinh học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển Đại học. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 8 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề. Lời giải Gọi A là biến cố: "An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề". Sô khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là c 2 . 8 2 . Sô khả năng Bình chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là C 3 . 8 2 . Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = c 2 . 8 2 .c 2 . 8 2 . Bây giờ ta đếm số khả năng để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề: Sô khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là c 2 . 8 2 . Sau khi An chọn thì Bình có 2 cách chọn 2 môn thi tự chọn để có đúng một môn thi tự chọn với An, để chung mã đề với An thì số cách chọn mã đề 2 môn thi của Bình là 1.8 = 8 cách. Như vậy, số cách chọn môn thi và mã đề thi của Bình là 2.8 . Do đó: n(A) = C 2 .8 2 .2.8. 24 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐÀy 27/8/2018 Bởi vậy: P(A) = 7 v ’ n(Q) C 2 .8 2 .2.8 1 C 2 . 8 2 .C 2 . 8 2 12 ■ Câu 40 : Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n > 4, n e N), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2 n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng. Tìm n sao cho từ 2 n điểm đã cho tạo ra đúng 201 mặt phẳng phân biệt Lời giải Cách 1. Sô cách chọn 3 điểm trong 2n điểm phân biệt đã cho là c 3 2n . Số cách chọn 3 điểm trong n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là cị . Số mặt phẳng được tạo ra từ 2 n điểm đã cho là c] n - cị +1. , , 2 n( 2 n-l)( 2 n- 2 ) n(n-l)(n- 2 ) Như vậy: ơ 2n - cị +1 = 201 <=> —-i-- L -I- tA - L = 200 6 6 2 n( 2 n-l)( 2 n- 2 ) n(n-l)(n- 2 ) 6 6 «7n 3 -9n 2 +2n-1200 = 0 <»(n-6)(7n 2 +33n + 200) = 0 «n = 6 Vậy n = 6 . Cách 2. Có các trường hợp sau : • THI : n điểm đồng phẳng tạo ra 1 mặt phẳng. • TH2 : n điểm không đồng phẳng tạo ra cị mặt phẳng. • TH3 : 2 điểm trong n điểm đồng phẳng kết hợp với 1 điểm trong n điểm không đồng phẳng tạo ra C 2 C 3 = n.c 2 mặt phẳng. • TH4 : 1 điểm trong n điểm đồng phẳng kết hợp với 2 điểm trong n điểm không đồng phẳng tạo ra c 2 c 2 = n.c 2 mặt phẳng. Vậy có 1 + c 3 + 2nC 2 = 201 n = 6 . Câu 41: Tung một đồng xu không đồng chất 2020 lần. Biết rằng xác suất xuất hiện mặt sấp là 0,6 . Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện đúng 1010 lần. Lời giải Ta có C 2020 cách chọn 1010 vị trí trong 2020 lần tung đồng xu để mặt xấp xuất hiện, các lần tung còn lại không xuất hiện mặt sấp. ứng với mỗi cách chọn cố định 1010 vị trí xuất hiện mặt xấp ta có xác suất của trường hợp đó tính như sau: • Tại những lần mặt xấp xuất hiện thì xác suất xảy ra là 0,6. • Tại những lần mặt ngửa xuất hiện thì xác suất xảy ra là 1-0,6. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 25 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Do có 1010 lần xuất hiện mặt sấp và 1010 xuất hiện mặt ngữa nên ứng với mỗi cách chọn cố định 1010 vị trí xuất hiện mặt xấp thì có xác xuất là 0,6 1010 (l - 0,6) 1010 = (0,24) 1010 . Vậy xác xuất cần tính là C}o}°.(0,24) 1010 . Câu 42 : Cho 5 chữ số 1, 2 , 3, 4 , 6 . Lập các sô tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập đuợc. Lời giải Mỗi số số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 6 là một chỉnh hợp chập 3 của các chữ số này. Do đó, ta lập đuợc Ag = 60 số. Do vai trò các sô 1, 2 , 3, 4 , 6 nhu nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số này ở mỗi hàng (hàng đon vị, hàng chục, hàng trăm) là nhu nhau và bằng 60 : 5 = 12 lần. Vậy, tổng các số lập đuợc là s = 12.(1 + 2 + 3+ 4 +6)(100 +10+ 1) = 21312. Câu 43: Cho tập hợp A = {l;2;3;4...; 100}. Gọis là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của s. Xác suất chọn đuợc phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng? Lời giải Giả sử tập con bất kì {a,b,c} e s => 1 < a,b,c < 100 ;a,b,c phân biệt và a + b + c = 91. Đây là bài toán chia kẹo Euler nên số bộ a, b, c là Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 chữ số giống nhau, số bộ có 2 chữ số giống nhau là 3.45 = 135 ( bộ). Vậy n(Q) = (Cg 0 -3.45}: 3! = 645 . Gọi A là biến cố: " a, b, c lập thành cấp số nhân" Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q > 0 a + aq + aq 2 =91 <=> a(l + q + q 2 ) = 1.91 = 13.7 • Truông hợp 1: < • Truờng hợp 2: < • Truông hợp 3: ‘ • Truờng hợp 3: • Vậy n(A) = 3=>P(A) a = 1 1 + q + q 2 =91 a = 91 1 + q + q 2 =1 a = 13 1 + q + q 2 =7 a = 7 1 + q + q 2 =13 <+> <+> a = 1 q = 9 a = 91 q = 0 a = 13 q = 2 a = 7 q = 3 3 645' (loại) (thỏa mãn) (thỏa mãn). 26 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ t)ề số 2 NỐÀy 27/8/2018 Câu 44: Một tòa nhà có n tầng, các tầng được đánh số từ 1 đến n theo thứ tự từ dưới lên. Có 4 thang máy đang ở tầng 1. Biết rằng mỗi thang máy có thể dừng ở đúng 3 tầng (không kể tầng 1) và 3 tầng này không là 3 số nguyên liên tiếp và với hai tầng bất kỳ ( khác tầng 1) của tòa nhà luôn có một thang máy dừng được ở cả hang tầng này. Hỏi giá trị lớn nhất của n là bao nhiêu? Lời giải Giả sử 4 thang máy đó là A,B,C,D . Do khi bốc hai thang bất kỳ luôn có một thang máy dừng được nên: • Khi bốc hai tầng 2,3 có một thang dừng được giả sử đó là thang A, nên tầng 4 không phải thang A dừng. • Khi bốc hai tầng 3,4 có một thang dừng được giả sử đó là thang B, nên tầng 5 không phải thang B dừng. • Khi bốc hai tầng 4,5 có một thang dừng được giả sử đó là thang c, nên tầng 6 không phải thang c dừng. • Khi bốc hai tầng 5,6 có một thang dừng được giả sử đó là thang D . • Khi bốc hai tầng 6,7 có một thang dừng được khi đó không thể là thang A,B,C vì sẽ dừng 4 (mâu thuẫn), thang D không thể ỏ tầng 7 do không thể ỏ ba tầng liên tiếp. Vậy khách sạn có tối đa sáu tầng. Câu 45: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd, trong đó l<a<b<c<d<9. Lời giải Cách 1: Sô tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd Ta có a e Ịl; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} suy ra có 9 cách chọn, bcdcó 10 3 cách chọn Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 9.10 3 = 9000. Gọi A là biến cố “số được chọn có dạng abcd, trong đó l<a<b<c<d<9“ • Số dạng aaaa có 9 số. • Số dạng abcd (a < b < c < d ) có Cg số. • Số dạng aaab có Cg số. • Số dạng aabb có Cg số. • Số dạng abbc có Cg số. • Số dạng abbc có Cg số. • Số dạng abcc có Cg số. =>n(A) = 9 + Cg + 3.Cg + 3.Cg = 495 . Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 27 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Vậy p (A) = — 77 ! = = 0-55. J v ' n(Q) 9000 Cách 2: Số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 9.10 3 = 9000. Từ giả thiết l<a<b<c<d<9=>l<a<b + l<c + l<d + l<9 + 3 = 12. Số cách chọn a , b , c, d và sắp xếp chúng theo một thứ tự duy nhất là Cj 2 = 495. Vậy P(A) = í = -- = 0.55. J v ' n(Q) 9000 Câu 46 : Gọi s là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập s, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau. Lời giải Sô chia hết cho 9 có dạng: 9m, với m e z. Ta có 1000000 < 9m < 10000000 <=> 111111 < m < 1111111. Do đó có 1000000 số có 7 chữ số và chia hết cho 9 . Từ các chữ số 0;1;2;...;9 ta có các bộ gồm7 số có tổng chia hết cho 9 là (0;2;3;4;5;6;7); (0;1;3;4;5;6;8); (0;1;2;4;5;7;8); (0;1;2;3;6;7;8); (0;3;4;5;7;8;9); (0;2;4;6;7;8;9); (0;1;5;6;7;8;9); (0;1;2;3;4;8;9); (0;1;2;3;5;7;9); (2;3;4;5;6;7;9); (1;3;4;5;6;8;9); (l;2;4;5;7;8;9); (l;2;3;6;7;8;9). • Có 9 bộ số gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 trong đó có số 0 nên từ các bộ số này lập đuợc: 9x6x6! = 38880 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 . • Có 4 bộ số gồm7 số có tổng chia hết cho 9 tuong tự nhu bộ số (2;3;4;5;6;7;9), nên từ các bộ số này lập đuợc 4x7! = 20160 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 . Vậy, xác suất chọn một số từ tập s để đuợc một số có các chữ số của số đó đôi một khác nhau là p = 38880 + 20160 1000000 369 6250' Câu 47: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M(0;10), N(100; 10), P(100;0) Gọi s là tập hợp tất cả các điểm A(x;y) với X, yeZ nằm bên trong kể cả trên cạnh của hình chữ nhật OMNP. Lấy ngẫu nhiên 1 điểm A(x;y)eS. Tính xác suất để X + y < 90 . Lời giải Cách 1: Tập hợp s gồm có 11.101=1111 điểm. Ta xét S' = |(x; y): X + y > 90| với 0 < X < 100 và 0 < y < 10 • Khi y = 0 => x>90=>x = 91; 100 =>Có 10 giá trị của X • Khi y = 1 => x>89 =>x = 90;100 =>Có 11 giá trị của X 28 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐÀy 27/8/2018 • Khi y = 10 => x>90 => X = 91; 100 => có 20 giá trị của X

    Như vậy s có 165 phan tứ. Vậy xác suât can tìm là ———— = ——. J 1111 101 Cách 2: y 10

    p

    0 100 X Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên các đường thẳng y = m, m = 0; 10. Dễ thấy trên các đường thẳng y = 0, y = l, y = 2.„, y = 10 có lần lượt 91, 90, 89...,81 điểm. Vậy xác suất cần tìm là p(A) = 91 + 90 + ... + 81 86 11.101 101 Ta có n(Q) = 11.101 = 1111. Ta thấy X + y < 90 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa điểm o . Sô điểm thuộc hình chữ nhật ENPD là 21.11 = 231. Sô điểm thuộc AEDK tính cả cạnh EK là 55 + 11 = 66. Suy ra x + y>90 có 231-66 = 165 điểm và x + y<90 có 1111-165 = 946 V J lm 101 Câu 48: Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là bao nhiêu? Lời giải Không gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 29 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó • Thí sinh A có c 3 0 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. • Thí sinh B có c 3 0 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là fì = CỊg.CỊg. Gọi X là biến cố "3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau". Để tìm số phần tử của X, ta đi tìm số phần tử của X nhu sau • Giả sử A chọn truớc nên có c 3 0 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. • Để B chọn khác A thì B phải chọn 3 trong 7 câu hỏi còn lại từ bộ 10 câu hỏi nên có c 7 cách chọn. Suy ra số phần tử của biến cố X là n_ X

    /—'3 ỵ>3 — 10 . 7 Vậy xác suất cần tính p(x) Q x Q — Q - X s-<?> /»3 /»3 C^ 17 10 •'~10 — 10*10 _ 17

    n Q c 3 c 3 24

    -10 ,v -10 Câu 49: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phuong án lựa chọn; trong đó có 1 phuong án đúng, làm đúng mỗi câu đuợc 0,2 điểm. Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không duới 19 điểm là bao nhiêu? Lời giải Cách 1. Thí sinh A không duới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ả cả hai môn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu. Không gian mẫu là số phuong án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 4 10 . Gọi X là biến cố "Thí sinh A làm đuợc ít nhất 5 câu trong 10 đuợc cho là chọn ngẫu nhiên" nên ta có các truờng hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X . Mỗi câu đúng có 1 phuong án trả lời, mỗi câu sai có 3 phuong án trả lời. • 5 câu đúng - 5 câu sai: có c 3 0 .(3) 5 khả năng thuận lợi. • 6 câu đúng - 4 câu sai: có c^ 0 .(3) 4 khả năng thuận lợi. • 7 câu đúng - 3 câu sai: có Cj 0 .(3) 3 khả năng thuận lợi. • 8 câu đúng - 2 câu sai: có c® 0 .(3) 2 khả năng thuận lợi. • 9 câu đúng - 1 câu sai: có CỈ0-3 khả năng thuận lợi. • 10 câu đúng: có C ỊỊỊ khả năng thuận lợi. Suy ra n(x) = c 3 0 .(3) 5 +Cj 0 .(3) 4 +Cj 0 .(3) 3 +c® 0 .(3) 2 +Cj 0 .3 + CỊo =81922. 30 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Vậy xác suất cần tính p = 81922 lĩõ , 1 3 Cách 2. Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là trả lời sai là . Ta có các truờng hợp: Xác suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 câu là c Xác suất thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu là c í-ị\ è 10 Xác suất thí sinh A trả lời đúng 7 trên 10 câu là c 7 10 Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 câu là c 10 Xác suất thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu là c 10 • Xác suất thí sinh A trả lời đúng 10 trên 10 câu là c Cộng các xác suất trên ta đuợc xác suất cần tính. v4y 1 v4y 1 v4y 1 v4y 1 A iY v4, 3 v4y 3 v4y 3 v4y 3 4 CiV Ca \ 3 í 1 x a ( oX 2 C-|V° Câu 50 : Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệm Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phuong án lựa chọn; trong đó có 1 phuong án đúng, làm đúng mỗi câu đuợc 0,2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ đuợc mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất bạn An đuợc 9,4 điểm là bao nhiêu? Lời giải Ta chỉ quan tâm 8 câu còn lại. Trong 8 câu còn lại mình chia làm 2 loại: • Loại 1: gồm 3 câu có 3 đáp án A, B, c Suy ra xác suất chọn đáp án đúng là d-, xác suất chọn đáp án đúng là T. 3 3 • Loại 2: gồm 5 câu có 4 đáp án A, B, c, D 1 v 3 Suy ra xác suất chọn đáp án đúng là T ' xác suất chọn đáp án đúng là . Để bạn An đạt đuợc 9,4 điểm (tức cần đúng thêm 5 câu trong 8 câu còn lại) thì xảy ra một trong các khả năng sau • Đúng 0 câu loại 1 & Đúng 5 câu loại 3 suy ra xác suất 3 4 CN 1 ó xCl D v 4 J 1 "2" 2 í 1 ] xCÍ. 3' ũJ D uJ Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán I 31 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Đúng 2 câu loại 1 & Đúng 3 câu loại 3 suy ra xác suất C 3 . Đúng 3 câu loại 1 & Đúng 2 câu loại 3 suy ra xác suất C 3 . Í-T ri Y vT .ịxCị 3 5 X 3 ín \ 2 1 v4y 3 v4y X 2 7aX 3 xq. 1 v4y 3 v4y v 499 Cộng các xác suất lại ta đuợc xác suất cần tính p = _ . ô 13824 Câu 51: Có 12 nguời xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi nguời trong hàng là cố định), Chọn ngẫu nhiên 3 nguời trong hàng. Tính xác suất để 3 nguời đuợc chọn không có 2 nguời đứng nào cạnh nhau. Lời giải • Số phần tử của không gian mẫu: n(Q) = Cj 2 = 220 . • Giả sử chọn ba nguời có số thứ tự trong hàng lần luợt là m, n, p . Theo giả thiết ta có: m < n < p a = m n-m > 1 • Đặt b = n -1 => < p-n>l m,n,pe{l; 2 ;...; 12 } n KJ a < b < c b-a > 1 c-b> 1 l<a<b<c=p- 2<10 =>a,b,c là ba số bất kì trong tập Ịl;2;3;...;10} =>Có CỊ 0 cách chọn hay n(A) = C 4 O =120 Vậy xác suất là P(A) = = -ỹ-. J v ’ n(Q) 220 11 Câu 52: Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp c xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng nhu vậy? Lời giải Xét các truờng hợp sau: • THI: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2! . 8 ! cách. • TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp c có 2 i.A 4 . 7 i cách. • TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp c có 2 i.A 4 . 6 l cách. • TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp c có 2 i.A 4 . 5 i cách. • TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp c có 2 i.A 4 . 4 i cách. Vậy theo quy tắc cộng có 2l(8!+ A 2 7!+A 2 6 !+A 2 5!+ AịA\^j = 145152 cách. Câu 53: Từ các số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 } viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . Tính xác suất để viết đuợc số thoả mãn điều kiện di-y + 3_2 — 3.3 + 3-ị — CÌ 5 + 3.^ . Lời giải 32 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Ta dễ có số phần tử của không gian mẫu là Q = 6.Ag = 4320. Gọi A là biến cô "chọn được số thoả mãn yêu cầu bài toán". Khi đó ta có 3 phương án để chọn số a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 như sau: • Phương án 1: a 4 + a 2 = a 3 + a 4 = a 5 + a 6 = 5 . Khi đó {(a 1 ,a 2 );(a 3 ,a 4 );(a 5 ,a 6 )}c={(0,5);(l,4);(2,3)}.
  19. Phương án 1.1: (a 4 ,a 2 ) = (0,5) =>có 2.(2!) 2 cách chọn.
  20. Phương án 1.2: (a 4 ,a 2 ) (0,5) => có 4.(2!) 3 cách chọn. Vậy có 2.(2 !) 2 +4.(2!) 3 = 40 cách chọn. • Phương án 2 : a 4 + a 2 = a 3 + a 4 = a 5 + a 6 = 6 . Khi đó {(a 1 ,a 2 );(a 3 ,a 4 );(a 5/ a 6 )}cz{(0,6);(K5);(2,4)}. Phương án này hoàn toàn tương tự phương án 1 do đó có 2. (2! ) 2 + 4. (2 !) 3 = 40 cách chọn. Phương án 3 : a 4 + a 2 = a 3 + a 4 = a 5 + a 6 = 7 . Khi đó {(a 1 ,a 2 );(a 3 ,a 4 );(a 5/ a 6 )}cz{(l / 6);(2 / 5);(3 / 4)} Suy ra có 3!. (2 !) 3 = 48 cách chọn. Vậy số phần tử của A : A = 40.2 + 48 = 128. Suy ra p = Ị—Ị = * . J ỵ J r Q 4320 135 Câu 54: Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bi cùng màu không cạnh nhau? Lời giải • Xếp 3 bi xanh trước: có 1 cách (tạo ra 4 khoảng trống kể cả hai đầu). Tiếp theo xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống: có C 4 cách. Bây giờ có tất cả 6 viên bi (gồm 3 bi xanh và 3 bi đỏ) tạo nên 7 khoảng trống, tiếp tục xếp 3 bi trắng vào 7 khoảng trống: có Cy cách. Thời điểm này có tất cả 9 viên bi (gồm 3 bi xanh, 3 bi đỏ và 3 bi trắng), tiếp tục xếp 3 bi vàng vào 10 khoảng trống: có C 40 cách. Vậy có l.C 4 .C 2 .C 4ũ cách. • Tuy nhiên khi xếp 3 bi xanh xong, kế tiếp xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống như đã trình bày ở trên thì có 2 trường hợp mà 2 bi xanh cạnh nhau Đ X X Đ X Đ Đ X Đ X X Đ ứng với mỗi trường hợp này sẽ kéo theo việc xếp bi trắng không thỏa mãn là Cg và việc xếp bi vàng không thỏa mãn là C 4Ũ . Vậy số trường hợp không thỏa mãn (cần phải trừ ra) là l.cị.cị cách. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 33 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Ta có n 1 ? I (Q) = — v ' 3!.3!.3!.3! n(A) = l.q.q.CỈ 0 -2.q.C F = Ề 55 Câu 55: Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng (các viên bi bán kính khác nhau). Tính xác suất để khi xếp 6 bi trên thành một hàng ngang thì không có hai viên bi cùng màu nào đứng cạnh nhau. Lời giải Truờng hợp 1. Có 3 cặp cạnh nhau: có 3! .2! .2! .2! = 48 cách. Truờng hợp 2. Có 2 cặp cạnh nhau • Khả năng thứ nhất: Cặp xanh cạnh cặp đỏ Ta xem cặp xanh nhu 1 vị trí, cặp đỏ nhu 1 vị trí cùng với 2 viên bi vàng nên có 4! cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách, hai viên bi trong cặp bi đỏ đổi vị trí nên có 2! cách. Nhung ta đếm thế này là thừa truờng hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có 4! .2! .2!— 48 = 48 cách. • Khả năng thứ hai: Cặp xanh cạnh cặp vàng có 48 cách. • Khả năng thứ ba: Cặp đỏ cạnh cặp vàng có 48 cách. Vậy truờng hợp 2 có 48 + 48 + 48 = 144 cách. Truông hợp 3. Có 1 cặp cạnh nhau • Khả năng thứ nhất: Chỉ có 2 viên bi xanh cạnh nhau Ta xem cặp xanh nhu 1 vị trí, cùng với 2 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng nên có 5! cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách. Nhung ta đếm thế này là thừa truờng hợp 2 cặp bi cạnh nhau (cặp xanh cạnh cặp đỏ & cặp xanh cạnh cặp vàng) và truờng hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có 5! .2!- (2.48) - 48 = 96 cách. • Khả năng thứ hai: Chỉ có 2 viên bi đỏ cạnh nhau có 96 cách. • Khả năng thứ ba: Chỉ có 2 viên bi vàng cạnh nhau có 96 cách. Vậy truờng hợp 3 có 96 + 96 + 96 = 288 cách. Suy ra số cách xếp 6 bi thỏa mãn bài toán là 6!- 48 -144 - 288 = 240 cách. Nhận xét. Bài này ta không thể làm nhu bài truớc đuợc vì các viên bi khác nhau. Ta có n(Q) = 6! _ 1 )' =>p = i n(A) = 240 3 Câu 56: Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng nhu vậy ? Lời giải Gọi k là sô học sinh lớp C ở giữa hai học sinh lớp A với k = 0; 1; 2; 3; 4. 34 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Trước tiên ta đếm cách tạo thành cụm ACC...C A. V k • Chọn 2 học sinh lớp A xếp 2 đầu có 2! cách. Chọn k học sinh lớp c xếp vào giữa hai học sinh lớp A có A 4 cách. Do đó có 2 LA 4 cách tạo ra cụm ACC...CA. -V- k • Coi cụm ACC...CA là một vị trí cùng với 9-(k + 2) học sinh còn lại thành 8 -k vị -V- k trí. Xếp hàng cho các vị trí này có (8 - k)! cách. Vậy với mỗi k như trên có 2!.A.(8-k)! cách xếp hàng. Suy ra số cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là: 2!.A.(8-k)! = 145152 cách. k =0 Câu 57: Cho một đa giác lồi (H) có 30 đỉnh. Gọi ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Gọi p là xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của (H). Tìm p. Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = C 30 . Gọi A: " 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của (H)". Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau: • Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có 30 cách. • Bước 2: Chọn 3 đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tưong đưong với việc ta phải chia m = 30 chiếc kẹo cho n = 4 đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất k = 2 cái, có C ” 1 n(k 1) 1 = C 25 cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần. 30.CL => Số phần tử của biến cố A là n(A) = —. 30 G 25 Vậy xác suất của biến cố A là p(A) = I I = —-4 ~ 0,6294. n ( Q ) C 30 1827 Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 35 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £>ẾM khó Câu 58: Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hon 100° ? Lời giải Gọi A 1 , A 2 A 2018 là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh. Gọi (o) là đuờng tròn ngoại tiếp đa giác đều A 1 A 2 ...A 201g . Các đỉnh của đa giác đều chia (o) thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số . 360° đo băng _ . ô 2018 Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của (o). Suy ra góc lớn hon 100° sẽ chắn cung có số đo lớn hon 200°. cố định một đỉnh Aị. Có 2018 cách chọn A í . Gọi A i ,A j/ A k là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho cung nhỏ AịA k < 160° thì cung lớn AjA k > 360-160° = 200° => A;AjA k > 100° và tam giác AjAjA k là tam giác cần đếm. Khi đó AjA k là hợp liên tiếp của nhiều nhất 160 360 2018 = 896 cung tròn nói trên. 896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh Aị thì còn 896 đỉnh. Do đó có Cg 96 cách chọn hai đỉnh Aj, A k . Vậy có tất cả 2018.Cg 96 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chú ý: Phân tích sai lầm khi giải bài tập này: Giả sử A m A n A p > 100° thì cung A m A p (không chứa điểm A n ) sẽ có số đo lớn hon 200°. 36 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Tức là cung A m A (không chứa điểm A n ) sẽ là hợp liên tiếp của ít nhất 200 360 2018
  21. 1=1122 cung tròn bằng nhau nói trên. Từ đó ta có cách dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán nhu sau: • Buớc 1: Đánh dấu một cung tròn là hợp liên tiếp của 1122 cung tròn bằng nhau nói trên. Có 2018 cách đánh dấu. • Buớc 2: Trong 2018 -1121 = 897 điểm không thuộc cung tròn ỏ buớc 1 (bao gồm cả hai điểm đầu mút của cung), chọn ra 3 điểm bất kì, có Cg 97 cách chọn, 3 điểm này sẽ tạo thành tam giác có một góc lớn hon 100°. Vậy có tất cả 2018.Cg 97 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách lập luận này là không chính xác, vì ta chua trừ đi các truờng hợp trùng nhau! Câu 59: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ? Lời giải Vì5 = 4 + l = 3 + 2 = 2 + 2 + l = 3 + l + l = 2 + l + l + l = l + l + l + l + l nên ta có các truờng hợp sau: • Truông hợp 1: Sô tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 sô 0 đứng sau: Có 1 số. • Truông hợp 2: số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 số 0 .
  22. Khả năng 1: Nếu sô 4 đứng đầu thì sô 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có ^"2017 SO -
  23. Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có ''-2017 SO - • Truờng hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 số 0
  24. Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có /1 V "2017 SO -
  25. Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có c , 2017 so. • Truông hợp 4: Sô tự nhiên có hai chữ sô 2, một chữ số 1 và 2015 số 0
  26. Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ỏ hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có A 2017 số.
  27. Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có <-2017 s °- Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học ổhỉnh phục olympỉc toán I 37 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó • Trường hợp 5: số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có A 2017 + C 2017 số. • Trường hợp 6 : số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 sô 0 .
  28. Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có (-2027 s °-
  29. Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và sô 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước nó thì hai số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có C 2 Ũ16 số.
  30. Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có A 2 016 số. • Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có C 2027 số. Áp dụng quy tắc cộng ta có 1 + 4 C 2 017 + 2 (C 2 017 + A 2 017 ) + (C 2 Ũ17 +A 2 016 + C 2 016 ) + C 2027 số cần tìm. Câu 60: Có 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi có bán kính khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho các viên bi cùng màu không xếp cạnh nhau ? Lời giải Ta đánh số thứ tự các ô cần xếp bi. I II III IV V VI • Trường hợp thứ nhất. Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, V nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại II, IV, VI nên cũng có 3! cách. Do đó trong tường họp này có 3! .3! = 36 cách. • Trường hợp thứ hai (như trường hợp thứ nhất) Bi màu đỏ ở các vị trí II, IV, VI nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại I, III, V nên cũng có 3! cách. Do đó trong tường họp này có 3!.3! = 36 cách. • Trường hợp thứ ba Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, VI nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có 3! cách nhưng trong đó có vị trí II(x)-IV(v)-V(v) không thỏa mãn. Do đó trong tường họp này có 3!.(3!-2) = 24 cách. • Trường hợp thứ tư (như trường hợp thứ ba) Bi màu đỏ ở các vị trí I, IV, VI nên có 3! cách. 38 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN một chủ £>Ề - CHỦ í)ề số 2 NỐÀy 27/8/2018 Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có 3! cách nhung trong đó có vị trí Il(v)-IIl(v)-v(x) không thỏa mãn. Do đó trong tuờng hợp này có 3!.(3!-2) = 24 cách. Vậy có tất cả 36 + 24 + 36 + 24 = 120 cách thỏa mãn bài toán. Câu 61: Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội Real madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona đuợc huỏng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay nguời cản phá ngẫu nhiên đến 1 trong 4 vị trí 1, 2, 3, 4 với xác suất nhu nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán đuợc ý định của đối phuong). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí 1 (hoặc 2) thì thủ môn cản phá đuợc cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 (hoặc 4) thì xác suất cản phá thành công là 50%. Tính xác suất của biến cố "cú sút đó không vào lưới"? Lời giải Cách 1: Sô phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 4.4 = 16 Gọi biến cô A = "Cú sút đó không vào lưới" Khi đó biến cố A = "Cú sút đó vào lưới" Số phần tử của n(A) là • Trường hợp V. Cầu thủ sút vào vị trí 1 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại. Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay. Do đó, có 3 khả năng xảy ra • Trường hợp 2: Cầu thủ sút vào vị trí 2 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại. Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay. Do đó, có 3 khả năng xảy ra • Trường hợp 3: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại. Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay. Do đó, có 3 khả năng xảy ra • Trường hợp 4: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại. Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay. Do đó, có 3 khả năng xảy ra. Trường hợp 5: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3. cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay. Do đó, có 1 khả năng xảy ra • Trường hợp 6: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4. Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay. Do đó, có 1 khả năng xảy ra Khi đó n(Ã) = 4.3 + 2.1 = 14. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học ổhỉnh phục olympỉc toán I 39 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó m 2 ( 1 '] z 1 ri5 z 1 rix —
  31. —
  32. — — +— 2 2 u J Xác suất xảy ra biến cố A là p ị a) = 7 ' 2 = 16 2 trường hợp 5, 6 thì xác suất xảy ra chỉ là 50%). Vậy p(A) = l-p^A) = = ^7 • Cách 2: Gọi A 1 là biến cố "cầu thủ sút phạt vào vị trí i Bị là biến cố "thủ môn bay nguời cản phá vào vị trí thứ i " Và c là biến cố "Cú sút phạt không vào luới" Dễ thấy P(A 1 ) = P(B I ) = ỉ . Ta có P(C) = P(A 1 )P(B 1 ) + P(A 2 )P(B 2 ) + lp(A 3 )P(B 3 ) + lp(A 4 )P(B 4 ) J3_ 16 ■ Câu 62: Trong một lớp có n học sinh có ba bạn A,B,C cùng n - 3 học sinh khác. Khi xếp tùy ý n học sinh này vào một dãy ghế dài có đánh số từ 1 đến n ( mỗi học sinh ngồi một ghế). Xác suất để số ghế của A bằng trung bình cộng số ghế của B và c bằng . Tìm n ? Lời giải Số cách xếp tùy ý là n!. Ta tìm số cách xếp thỏa mãn; giả sử số ghế của A,B,C lần luợt là b + c a,b,c. Theo giả thiết ta có a = — <=ĩ> b + c = 2a. Do đó b và c cùng chăn hoặc cùng lẻ. Ta xét 2 khả năng của n. Truông hợp 1: n = 2m • Nếu b,c chẵn có A^ cách xếp B và C; 1 cách xếp A và (n-3)! cách xếp học sinh 2 khác. • Nếu b,c lẻ có A * 2 n cách xếp B và C; 1 cách xếp A và (n - 3)! cách xếp học sinh khác. 2 Vậy xác suất cần tính là: 2(n-3)!A^ 2(2^3)! 2m{mi) n! (2m)! Truờng hợp này không thỏa mãn. Truông hợp 2: n = 2m +1 • Nếu b,c chẵn có A 2 m cách xếp B và C; 1 cách xếp A và (2m-2)! cách xếp học sinh khác. • Nếu b,c lẻ có A +1 cách xếp B và C; 1 cách xếp A và (2m-2)! cách xếp học sinh khác. 40 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 13 701 2m(2m-l)(2m-2) ~ 675 <= m “ 52 " CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Vậy xác suất cần tính là: (2m-2)![A + A 2 m<1 (2m + l)! Vậy n = 27 Câu 63: Cho tam giác đều H có cạnh bằng 8 . Chia tam giác này đều thành 64 tam giác đều có cạnh bằng 1 bởi các đuờng thẳng song song với các cạnh của tam giác đều đã cho. Gọi s là tập hợp các đỉnh của 64 tam giác đều có cạnh bằng 1. Chọn Ngẫu nhiên 4 đỉnh của tập s. Tính xác suất để 4 đỉnh chọn đuợc là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong miền trong tam giác đều H . Cách 1: Ta thấy có 3 loại hình bình hành dựa vào cách chọn phuong của hai cạnh của hình bình hành. Sô hình bình hành của mỗi loại là bằng nhau nên chỉ cần tính một loại rồi nhân với
  33. Dựng thêm một đuờng thẳng song song với cạnh đáy và cách cạnh đáy một khoảng bằng khoảng cách giữa hai đuờng thẳng song song kề nhau, tạo thành một tam giác đều mở rộng nhu hình vẽ. Ta chia cạnh mới thành 9 phần bằng nhau bởi 8 , cộng thêm 2 đầu mút nữa thành 10 điểm. Các điểm đuợc đánh số từ trái sang phải từ 1 đến 10 . Khi đó, với 1 hình bình hành có hai cạnh song song với hai cạnh bên tuong ứng với bốn số l<a<b<c<d<10 theo quy tắc sau: Nối dài các cạnh của hình bình hành, cắt các cạnh
  34. = -Ị. ọ. m = 13 => n = 27 (2m + l)(2m)(2m-l) 675 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chỉnh phục olympỉc toán I 41 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó mới tại 4 điểm có số thứ tự là a, b, c, d . Ví dụ với hình bình hành màu đỏ trên ta có bộ (2,5,7,9). Ngược lại nếu có một bộ số 1 < a < b < c < d < 10 ta sẽ kẻ các đường thẳng từ điểm a, b song song với cạnh bên trái và từ c, d song song với cạnh bên phải giao nhau ra một hình bình hành. Vậy số hình bình hành loại này là số cách lấy ra bốn số phân biệt (a;b;c;d) từ 10 số tự nhiên {1,2,3,...,10} và ta được c{ 0 =210. Vậy kết quả là 3.c} () = 630 hình bình hành. Ta thấy có 1 + 2 + 3 + .. . + 9 = 45 giao điểm giữa các đường thẳng nên số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = c%. 3Ci 2 Vậy xác suất cần tính là P(A) = 10 = —Ẹ- . C 45 473 Cách 2: Để chọn được một hình bình hành mà 4 đỉnh chọn được là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong miền trong tam giác đều H ta làm như sau: Chọn 2 trong 7 điểm trên một cạnh (trừ hai điểm đầu mút của cạnh), cùng với hai điểm trong 5 điểm nằm tưong ứng trên một cạnh trong hai cạnh còn lại của tam giác (trừ mỗi đầu cạnh đi 2 điểm). Qua 4 điểm này có 4 đường thẳng tưong ứng của đầu bài sẽ cắt nhau tạo thành một hình bình hành thỏa mãn bài toán. Vì vài trò các cạnh như nhau nên số hình bình hành thu được là: C 7 .C 5.3 = 630 (hình). Ta thấy có 1 + 2 + 3 + .. . + 9 = 45 giao điểm giữa các đường thẳng nên sô phần tử của không gian mẫu là n(Q) = C 45 . 3Ci 2 Vậy xác suất cần tính là p(A) = 10 = - 7 — . v ’ c 5 473 Câu 64: Có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật trên bàn cờ vua 8x8 ? Lời giải Sô các hình chữ nhật chỉ chứa 1 ô vuông là 64. Sô cách chọn ra 2 ô vuông phân biệt trong 64 ô vuông này là Cg 4 = 2016. Trong đó số cách chọn 2 ô thuộc cùng 1 hàng hoặc 1 cột là 16Cg. Suy ra có 448 hình chữ nhật mà có chiều rộng là l(các ô vuông của nó cùng thuộc 1 hàng hoặc 1 cột). Vậy số cách chọn 2 ô vuông mà không cùng hàng hay cột là: 2016-448 = 1568 Nhận xét: Với 2 ô vuông không cùng hàng cùng cột ta có thể tạo ra 1 hình chữ nhật bằng cách chiếu B q o p 3 J Bụ 42 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Các đường song song với các cạnh của bàn cờ và đi qua 2 ô vuông đó. Cụ thể như sau: Với 2 ô vuông C5 và F3 thì ta có thể tạo thành hình chữ nhật có 4 đỉnh là: C5; C3; F3; F5. Như vậy mỗi hình chữ nhật có thể được tạo ra bởi 2 cặp ô vuông không cùng hàng cùng cột. Do đó số hình chữ nhật trong trường hợp này là = 784 hình chữ nhật. Câu 65 : Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng Lời giải • Bước 1. Ta cố định thầy giáo. • Bước 2. Chọn lấy 2 học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có Cg cách. • Bước 3. Xếp 2 học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách. • Bước 4. Cuối cùng xếp 11 người còn lại vào 11 vị trí còn lại có 11! cách. Câu 66 : Cho n giác đều nội tiếp đường tròn (o) . Hỏi có bao nhiêu hình thang không là hình chữ nhật mà 4 đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho ? Lời giải Gọi mỗi cung chứa một cạnh của đa giác đều trên đường tròn là 1 đon vị (có n cung như vậy). Xét một hình thang thỏa mãn mà đỉnh đầu tiên chứa đáy nhỏ là A;, các đỉnh tiếp theo theo thứ tự thuận chiều kim đồng hồ. Gọi x,y,z,t lần lượt là số đo các cung chứa đáy 1 < x,y,z e z nhỏ, hai cạnh bên và đáy lớn của hình thang, ta có ị X < z x + 2 y+ z = n( ) Ta có phưong trình () tưong đưong với x + z = n-2y() với mỗi y thỏa mãn điều kiện
  35. 2 l<y<—-—. Theo bài toán chia kẹo Euler phưong trình () có (n-2y-l) nghiệm nguyên dưong. Bây giờ ta đếm các nghiệm nguyên dưong của ( ) mà X < z . • Nếu n lẻ thì ( ) không có nghiệm X = z nên số nghiệm thỏa mãn điều kiện X < z là n - 2 y -1 Nếu n chẵn thì () có đúng 1 nghiệm x = z nên số nghiệm thỏa mãn điều kiện x<z là n 2ỵ 2 SỐ nghiệm của () thỏa mãn các ràng buộc đã cho là : Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học ổhỉnh phục olympỉc toán I 43 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Ỳ - 2 7 ~ =(n-l)(n-3)(n = 2m + l,meNj y=l o < n-4 ịj ——ỉf—— =^(n-2)(n-4)(n = 2m,meN) y=l o

    Với mỗi bộ số x,y,z thỏa mãn (*) xuất phát từ 1 đỉnh của đa giác là đỉnh đầu tiên của đáy nhỏ hình thang ứng với cạnh X theo chiều thuận kim đồng hồ ta có 1 hình thang thỏa mãn. Vậy tổng số hình thang thỏa mãn là

    ■n(n-l)(n-3)(n = 2m + l,m e N)

    8

    -n(n-2)(n-4)(n = 2m,m e N*) .8 Áp dụng vào bài toán ứng với n = 20 tức đa giác đều 20 cạnh, sô hình thang không phải , 1 hình chữ nhật tạo thành từ các đỉnh của đa giác là d. .20.18.16 = 720 Câu 67: Gọi A là tập họp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A, tính xác suất để sô tự nhiên đuợc chọn chia hết cho 45. Ta có n(Q) = A 0 -Ag.

    Lời giải Gọi A là tập hợp các số a có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45. Khi đó a chia hết cho 5 và 9 (tổng các chữ số chia hết cho 9 và số hàng đon vị bằng 0 hoặc 5). • Truờng hợp 1: a có hàng đon vị bằng 0 ; 7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ SỐ {l;8}, {2;7}, {3;6}, {4;5},có 4.7! số. • Truờng hợp 2: a có hàng đon vị bằng 5; 7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số {0; 9} ,{1; 8} ,{2; 7} ,{3; 6}. Không có bộ {0;9}, có 7! số. Có bộ {0;9}, có Cj(7!-6!) số 4.7!+C?(7!-6!Ì n(A) = 4.7! + Cẫ(7!-6!) sế =»P(A)= j

    10 -^9 53 2268' Câu 68 : Một khối lập phuong có độ dài cạnh là 2cm đuợc chia thành 8 khối lập phuong cạnh lcm. Hỏi có bao nhiêu tam giác đuợc tạo thành từ các đỉnh của khối lập phuong cạnh lcm. Lời giải Có tất cả TI điểm. Chọn 3 điểm trong 27 có cị 7 = 2925. 44 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN một chủ £>Ề - CHỦ í)ề số 2 NỐÀy 27/8/2018 Có tất cả (8.2 + 6.2 + 4.2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2) = 49 bộ ba điểm thẳng hàng. Vậy có 2925 - 49 = 2876 tam giác. Câu 69: Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiên thắng là người đầu tiên thắng được năm ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng. Lời giải Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là 0,5;0,5. Xét tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai thắng 2 ván. Để người thứ nhất chiến thắng thì người thứ nhất cần thắng 1 ván và người thứ hai thắng không quá hai ván. Có ba khả năng: • THI: Đánh 1 ván. Người thứ nhất thắng xác suất là 0,5 . • TH2: Đánh 2 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ hai xác suất là (0,5) 2 . • TH3: Đánh 3 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là (0,5) 3 . Vậy P = 0,5 + (0,5) 2 +(0,5) 3 =. Câu 70: Cho 100 tờ vé số trong đó có 20 vé trúng thưởng 50 ngàn, 10 vé trúng thưởng 100 ngàn, 5 vé trúng thưởng 150 ngàn và 65 vé không trúng thưởng. Tính xác suất để mua 4 vé trúng thưởng 200 ngàn ? Lời giải Số cách mua ngẫu nhiên 4 vé số là C 40ũ Gọi x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 (o < x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 <4)lần lượt là các vé số trúng thưởng 50 ngàn, 100 ngàn, 150 ngàn và không trúng thưởng được mua trong 4 vé. Theo giả thiết ta có <; ' ■ " ‘ <=> <! X 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 X 1 +2x 2 +3x 3 = 4 x 4 +x 2 +x 3 +x 4 =4 3x 3 <4 x 3 g{0;1} Nếu X, = 1 x 4 +2x 2 = 1 x 4 + x 2 + x 4 = 4 (x 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 ) = (1;0;1;2) x 2 =x 4 X 1 +2x 2 =4 => (x 4 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = (4; 0; 0; 0); (2; 1; 0; 1); (0; 2; 0; 2) Suy ra số cách mua là c^cịcị + q o C? 0 C°C° 5 + + C 0 2Ũ CỈ 0 C“C^ 5 Nếu x a = 0 Xj +2x 2 = 4 Xj + x 2 + x 4 = 4 Vậy xác suất cần tính là 28663 261415 Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 45 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £>ẾM khó Câu 71: Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho và có một góc lớn hon 120 độ ? Lời giải 2n Số đo góc ỏ tâm ứng với mỗi cạnh của đa giác đều là (rad), góc nội tiếp bằng 1 nửa 2018 góc ở tâm. Để chọn 1 tam giác có 1 góc lớn hon 120 độ ta làm nhu sau. Chọn 1 đỉnh làm đỉnh có góc lớn hon 120° có C 2Ũ18 cách, giả sử đỉnh này là A. Với 2 đỉnh còn lại giả sử là B và C số đo góc B và C lần luợt là (x, ỵ > l), Số ô ô 2.2018 2.2018 v y ’ r 2nx 2ĩiy 'ì 271 2018
    — <»x + y <— -f- <»x + y<672-«>x + y + z = 673 với đo góc A là 71- & 2.2018 2.2018 ) 3 y 3

    z > l,z e N. Sô cách chọn hai đỉnh B và C bằng số cách chọn nghiệm nguyên duong của phuong trình X + y + z = 673 và bằng Cg 72 Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là 2018Cg 72 Câu 72: Xét một bảng ô vuông gồm 4x4 ô vuông. Nguời ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 . Hỏi có bao nhiêu cách? Lời giải Nhận xét 1: Trên mỗi hàng có 2 số 1 và 2 số -1, mỗi cột có 2 số 1 và 2 số -1 Nhận xét 2: Để tổng các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột bằng 0 đồng thời có không quá hai số bằng nhau và ba hàng đầu tiên đã đuợc xếp số thì ta chỉ có một cách xếp hàng thứ tự. Do vậy ta tìm số cách xếp ba hàng đầu tiên. Phuong pháp giải bài này là xếp theo hàng. (Hình vẽ). Các hàng đuợc đánh số nhu sau: Nếu xếp tự do thì mỗi hàng đều có 2121 = 6 cách điền số mà tổng các số bằng 0, đó là các cách xếp nhu sau (Ta gọi là các bộ số từ (l) đến (6)): 11-1-1 (1), 1-1-11 (2),-1-111 (3),-11-11 (4), 1-11-1 (5),-111-1 (6) Giả sử hàng 1 đuợc xếp nhu bộ (l). Số cách xếp hàng 2 có các khả năng sau • Khả năng V. Hàng 2 xếp giống hàng 1: Có 1 cách xếp (bộ (l)). Hàng 3 có 1 cách ( bộ (3)). Hàng 4 có 1 cách. Vậy có 1.1.1.1 = 1 cách xếp. 46 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ í>ề số 2 NỐẰy 27/8/2018 • Khả năng 2: Hàng 2 xếp đối xứng với hàng 1: Có 1 cách xếp (bộ (3)) Hàng 3 có 6 cách (lấy thoải mái từ các bộ vì tổng hai hàng trên đã bằng 0). Hàng 4 có 1 cách. Vậy có 1.1.6.1 = 6 cách xếp. • Khả năng 3: Hàng 2 xếp trùng với cách xếp hàng 1 ở 2 vị trí: Có 4 cách xếp (4 bộ còn lại) Khi đó, với mỗi cách xếp hàng thứ 2, hàng 3 có 2 cách.Hàng 4 có 1 cách. Vậy có 1 .1.6.1 = 6 cách xếp. Vì vai trò các bộ số như nhau nên số cách xếp thỏa mãn ycbt là 6. (1 + 6 + 6) = 90 cách. Câu 73: Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để sô cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn. Lời giải Gọi A là biến cố "Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn", suy ra A là biến cố "Số cuốn sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn"= "Thầy X đã lấy hết số sách của một môn học". Sô phần tử của không gian mẫu là: n (Q) = c® 5 = 6435 n(Ã)= c;.c; t +q.q 0 +q.q = 486 => p(Ã) = n => P(A)=1-P(Ã)= n Câu 74 : Một con thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B bằng cách qua các điểm nút (trong luới cho ở hình vẽ) thì chỉ di chuyển sang phải hoặc đi lên (mỗi cách di chuyển nhu vậy xem là một cách đi). Biết nếu thỏ di chuyển đến nút c thì bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến đuợc vị trí B . A B c Lời giải B /, I c Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học ổhỉnh phục olympỉc toán I 47 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Chú ý : Nếu di chuyển trên luới theo huớng lên trên hoặc sang ngang thì đi từ O(0;0) đến A(m;n) sẽ có c™ +n =C" +n cách. Số cách di chuyển từ A đến I là Cg , số cách di chuyển từ I đến B là cị. Sô phần tử không gian mẫu: n(Q) = C 5 .C 4 = 60. Gọi X là biến cố thỏ đến đuợc vị trí B . Số cách di chuyển từ A đến I là C 5 , số cách di chuyển từ I đến J là 1 cách, số cách di chuyển từ J đến B là C3 .Ta có n(x) = C5.I.C3 = 30 . VâyP(X) = n ( X ) 1 n («) 2 Câu 75: Mỗi luợt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 luợt gieo nhu vậy, có ít nhất một luợt gieo đuợc kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. Lời giải Truớc hết ta tính xác suất để trong một luợt gieo thứ k không đuợc kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. Số phần tử của không gian mẫu là cị .c\ = 12 . Số cách gieo để đuợc kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp là c\ .CỊ = 1. Vậy p (A k ) = — = ““ Gọi A là biến cố trong 3 luợt gieo có ít nhất một luợt gieo đuợc kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. Khi đó P(A) = 1-P(A^Ag) = 1 - vl2/ 397 1728 Câu 76: Lớp 12A có 25 học sinh chia thành 2 nhóm A và B sao cho mỗi nhóm đều có học sinh nam và nữ, nhóm A có 9 học sinh nam. Chọn ra ngẫu nhiên mỗi nhóm 1 học sinh, xác suất để chọn ra đuợc 2 học sinh nam bằng 0,54. Xác suất để chọn ra 2 học sinh nữ bằng bao nhiêu ? Lời giải Ta cần tìm chính xác số học sinh nam và nữ ỏ mỗi nhóm dựa vào điều kiện xác suất chọn ra 2 học sinh nam bằng 0,54. Gọi x,y lần luợt là số học sinh nữ ở nhóm A và nhóm B, khi đó (16 -x-y) là số học sinh nam ở nhóm B và có điều kiện để mỗi nhóm đều có học sinh 3x 2 - nam và nữ là x>l,y >l,16-x-y >l;x,y eZ cỉcL_ v _ v Xác suất để chọn ra 2 học sinh nam bằng —2 I = 0,54 <» y =

    'x+9^'16-x Ta có 2 cặp nghiệm nguyên thỏa mãn điều kiện là (x;y) = ( 6 ;l),(l; 6 ). 71x + 368 50 48 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Từ đây tính được xác suất chọn 2 học sinh nữ trong cả 2 trường hợp là -P 25 Câu 77: Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ 'THANH HOA" thành một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau. Lời giải Cách 1. Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau • Có Cg cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H. • Có Cg cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A. • Có 3 ! cách xếp 3 chữ cái T, o, N. Do đó số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = Cg.Cg.3!. Gọi A là biến cố "có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau" • Nếu có ba chữ H đứng cạnh nhau, có 6 cách xếp 3 chữ H. • Nếu đúng hai chữ H đứng cạnh nhau thì
  36. Khi hai chữ H ỏ hai vị trí đầu hoặc cuối có 5 cách xếp chữ cái H còn lại
  37. Khi hai chữ H đứng ỏ vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H còn lại. Do đó có 2.5 + 5.4 = 30 cách xếp 3 chữ H sao cho có đúng hai chữ H đứng cạnh nhau. Như vậy có 30 + 6 = 36 cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có Cg cách chọn vị trí và xếp 2 chữ cái A và 3! cách xếp T, o, N Suy ra n(A) = 36.Cg.3!. Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = —Ị—j = .

    Cách 2. Số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = = 3360 2 ĩ 3 ĩ Gọi A là biến cố "có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau"

    ...51 Đầu tiên ta xếp 2 chữ A và ba chữ T, o, N có Yị cách. Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp 3 chữ H và không có chữ H nào đứng liền nhau, có cị cách. Do đó n^A^ = => n(A) = n(n)-n^A^ = 2160. Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = ị—ị = . 3 v ' n(Q) 14 Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 49 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £>ẾM khó Câu 78 : Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có bốn phuơng án trả lời, trong đó chỉ có một phuong án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì đuợc 1 điểm, trả lời sai thì bị trừ 0,5 điểm. Một thí sinh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phuong án trả lời. Xác suất để thí sinh đó làm bài đuợc số điểm không nhỏ hon 7 là bao nhiêu? Lời giải Chọn ngẫu nhiên phuong án trả lời cho 10 câu hỏi ta đuợc không gian mẫu có số phần tử làn(Q) = 4 10 . Gọi A là biến cố thí sinh làm bài đuợc số điểm không nhỏ hon 7 . Một thí sinh làm bài đuợc sô điểm không nhỏ hon 7 thuộc một trong các truờng hợp sau: • Đúng 10 câu (đuợc 10 điểm) có: 1 cách chọn. • Đúng 9 câu và sai 1 câu (đuợc 8,5 điểm) có: CỊ 0 .3 = 30 cách chọn. • Đúng 8 câu và sai 2 câu (đuợc 7 điểm) có: cị 0 .3 1 2 = 405 cách chọn. Khi đó n(A) = 1 + 30 + 405 = 436. Vậy xác suất để thí sinh làm bài đuợc số điểm không nhỏ hon 7 là yavPíAì- n(A) - 436 - 109 ạy ' n(Q) 4 10 262144 ' Chú ý: Gọi X là số câu đúng (với 0 < X < 10, X e N), 10 - X là số câu sai thì điểm của thí sinh là d = x-0,5(10-x) = y-5. 3x Vì d > 7 nên ^2--5>7<=>x>8 nên xe{8;9; 10}. Do đó ta có 3 truờng hợp nhu trong lời giải-_ Câu 79: Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A . Tính xác suất để lấy đuợc số lẻ và chia hết cho 9 . Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 9000000 = 9.10 6 số. Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán. Ta đếm sô phần tử của A . Ta có các số lẻ chia hết cho 9 là dãy 1000017, 1000035, 1000053 ,.,9999999 lập thành một cấp số cộng có u t = 1000017 và công sai d = 18 nên số phần tử của dãy này là 9999999 -1000017 18 1 = 500000. Vậy n(A) = 5.10 5 . Xác suất cần tìm là P(A) = — -Ị—1 = T-rr = Ậ- Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên hai v ’ n(Q) 9.10 18 & biến cố này không đồng thời xảy ra. 50 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ t)ê' số 2 NỐÀy 27/8/2018 Câu 80: Từ 2 chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho không có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau? Lời giải • THI: Có 8 chữ số 8 . Có 1 số • TH2: Có 1 chữ số 1, 7 chữ số 8 . Có 8 cách xếp chữ số 1 nên có 8 số. • TH3: Có 2 chữ số 1, 6 chữ số 8 . xếp 6 số 8 ta có 1 cách. Từ 6 số 8 ta có có 7 chỗ trống để xếp 2 số 1. Nên ta có: Cy = 21 số. • TH4: Có 3 chữ số 1, 5 chữ số 8 . Tưong tự TH3, từ 5 chữ số 8 ta có 6 chỗ trống để xếp 3 chữ số 1. Nên có: Cg = 20 số. • TH5: Có 4 chữ số 1,4 chữ số 8 . Từ 4 chữ số 8 ta có 5 chỗ trống để xếp 4 chữ số 1. Nên có: Cg = 5. Vậy có: 1 + 8 + 21 + 20 + 5 = 55 số. Câu 81: Gọi s là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hon 10 6 được thành lập từ hai chữ số 0 và
  38. Lấy ngẫu nhiên hai số trong s. Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 bằng bao nhiêu? Lời giải Có: a 4 +0 ; a 4 , ...,a 6 e{0;l} . Số phần tử của s là: 2 + 1.2 + 1.2.2 + 1.2.2.2 + 1.2.2.2.2 + 1.2.2.2.2.2=64. Lấy ngẫu nhiên hai số trong s, có : Cg 3 (cách lấy). Gọi A là biến cô lấy được ít nhất một số chia hết cho 3 . => A là biến cố không lấy được số chia hết cho 3 . Ta xét xem trong 63 số của tập s có bao nhiêu số chia được cho 3 : • THI: Số có 1 chữ số a 4 : có 2 số và hai số này đều không chia được cho 3 . • TH2: Sô có 2 chữ số a 4 a 2 với a 1 = 1: có 2 số và 2 số này đều không chia được cho
  39. • TH3: Số có 3 chữ số a 1 a,a 3 với a 1 = 1: có 4 số và trong đó có 1 số chia được cho 3 . • TH4: Số có 4 chữ số a 1 a 2 a 3 a 4 với a 1 = 1: có 8 số và trong đó có 3 số chia được cho
  40. • TH5: Số có 5 chữ số a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 với a 1 -1: có 16 số và trong đó có 6 số chia được cho 3 . • TH6: Số có 6 chữ số a 4 a 2 a 3 a 4 a 5 ag với a 1 = 1: có 32 số và trong đó có 11 số chia được cho 3. Do đó có 21 số chia được cho 3 và có 43 số không chia được cho 3 . Do đó: P(Ã) = ậ = . Vậy P(A) = l-P(Ã) = . \ > C 2 M 96 y y ’ 1 ' 96 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chỉnh phục olympỉc toán I 51 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £>ẾM khó Câu 82: Trong lễ tổng kết năm học 2017 -2018, lớp 12T nhận được 20 cuốn sách gồm 5 cuốn sách toán, 7 cuốn sách vật lý, 8 cuốn sách Hóa học, các sách cùng môn học là giống nhau. Số sách này được chia đều cho 10 học sinh trong lớp, mỗi học sinh chỉ nhận được hai cuốn sách khác môn học. Bình và Bảo là hai trong số 10 học sinh đó. Tính xác suất để 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. Lời giải Gọi X, y , z lần lượt là số phần quà gồm sách Toán và Vật lý, Toán và Hóa học, Vật lý và Hóa học. Khi đó theo đề bài ta có hệ phưong trình x + y = 5 x + z = 7 <=> y+ z =8 X = 2 y = 3. z = 5 n = Cio.Cg.Cg = 2520. Sô phần tử không gian mẫu là Gọi A là biến cố 2 cuốn sách mà Bình nhận được giống 2 cuốn sách của Bảo. SỐ phần tử của A là n A = c 2 .c 3 .c;;+c 2 .c 2 .c;;+c 2 .c 3 .c 3 =784. Vậy xác suat cẩn tìm là p A = —— = — 3 v ’ 2520 45 Câu 83: Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n > 3,n e N), trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng. Biết rằng có đúng 505 mặt phẳng phân biệt được tạo thành từ 2n điểm đã cho. Tìm n? Lời giải Xem 3 điểm trong 2n điểm đã cho lập nên một mặt phẳng, thế thì ta có c 3 n mặt phẳng. Tuy nhiên vì trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng nên n điểm này có duy nhất 1 mặt phẳng. Vậy số mặt phẳng có được là (c 3 n - cị + 1). Theo đề bài ta có: c? - c 3 +1 = 505 <=> —ị ——— - —— — —— = 504 3!(2n-3)! 3!(n-3)! <=> 2n(2n -l)(2n-2) -n(n-l)(n-2) = 3024 7n 3 -9n 2 +2n-3024 = 0 n = 8 . Câu 84 : Gọi s là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập A = {0;1;2;3;...;9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập s. Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có tích các chữ số bằng 7875. Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là số cách lập các số có 6 chữ số từ tập A, do đó số phần tử của không gian mẫu là n n = 9.10 5 . Gọi B là biến cố chọn được số tự nhiên có tích các chữ sô bằng 7875 = 3 2 .5 3 .7 . Số phần tử của B là c 2 6 .cl = 60. 52 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Suy ra xác suất P(B) = = - . y v ’ 9.10 5 15000 Câu 85: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi p là tích ba số ở ba lần tung (mỗi số là số chấm trên mặt xuất hiện ở mỗi lần tung), tính xác suất sao cho p không chia hết cho 6 . Lời giải Số phần tử của không gian mẫu: n(Q) = 6 3 =216 Gọi A là biến cố "tích số chấm ở ba lần gieo là một số không chia hết cho 6 " • Trường hợp 1. Số chấm ỏ cả ba lần gieo đều là các chữ số thuộc tập Ịl, 2,4,5}
  41. Cả ba lần số chấm khác nhau có A 3 khả năng.
  42. Có hai lần số chấm giống nhau có cị. khả năng.
  43. Cả ba lần số chấm giống nhau có 4 khả năng. => Có 64 khả năng. • Trường họp 2. Số chấm ở cả ba lần gieo đều là các chữ số thuộc tập {1,3,5}
  44. Cả ba lần số chấm khác nhau có 3! khả năng.
  45. Có hai lần số chấm giống nhau có C3. khả năng.
  46. Cả ba lần số chấm giống nhau có 3 khả năng. => Có 27 khả năng. Tuy nhiên ở truờng hợp 1 và 2 bị trùng nhau ở khả năng:
  47. Ba lần số chấm giống nhau đối với số chấm 1 và 5 : Chỉ có 2 khả năng
  48. Có hai lần số chấm giống nhau đối với 1 và 5 : Chỉ có 6 khả năng. Do đó n(A) = 64+ 27-(2 + 6) = 83 . Vậy P(A) 83 216' Câu 86: Một nguời viết ngẫu nhiên một số có bốn chữ số. Tính xác suất để các chữ số của số đuợc viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ( nghĩa là nếu số đuợc viết duới dạng abcd thì a < b < c < d hoặc a > b > c > d). Lời giải Viết ngẫu nhiên một số có 4 chữ số nên số phần tử của không gian mẫu là n(Q) = 9.10.10.10 = 9000. Gọi A là biến cô các chữ số của số đuợc viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần Gọi số tự nhiên có 4 chữ sô mà các chữ sô của sô đuợc viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần có dạng abcd . Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học ổhỉnh phục olympỉc toán I 53 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó • Trường hợp 1: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần. Vì a>b>c>d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a, b, c, d lấy từ tập X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} và với 4 chữ số lấy ra từ X thì chỉ lập được duy nhất một sô thỏa yêu cầu bài toán. Do đó sô số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần là Cg. • Trường hợp 2: số tự nhiên có 4 chữ sô mà các chữ số của sô được viết ra có thứ tự tăng dần. Vì a<b<c<d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a, b, c, d lấy từ tập ¥ = {0,1/2,3,4,5,6,7,8,91 và với 4 chữ số lấy ra từ Y thì chỉ lập được duy nhất mọt số thỏa yêu cầu bài toán. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần dần là c{ 0 . Vậy số phần tử của biến cố A là n (A) = Cg + c{ 0 = 336 .
  49. Ạ u T,/ A \ n (A) 336 14 Xác suat cua biển cố A là p A = —7—f = —— = ——. v ’ n(Q) 9000 375 Câu 87: Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên. Xác xuất để không có phần nào gồm 3 viên cùng màu bằng Lời giải Cách 1: Vì xác suất không thay đổi khi ta coi ba phần này có xếp thứ tự 1, 2, 3 . Chia ngẫu nhiên 9 viên bi gồm 4 viên màu đỏ và 5 viên màu xanh có cùng kích thước thành ba phần, mỗi phần 3 viên như sau: • Phần 1 : Chọn 3 viên cho phần 1 có Cạ cách. • Phần 2 : Chọn 3 viên cho phần 2 có Cg cách. • Phần 3 : Chọn 3 viên lại cho phần 3 có 1 cách. Do đó sô phần tử của không gian mẫu là n(Q) = Cạ.Cg = 1680. Gọi A là biến cố không có phần nào gồm 3 viên cùng màu, khi đó ta chia các viên bi thành 3 bộ như sau: • Bộ 1: 2 đỏ, 1 xanh: Có C 4 C 5 cách chọn • Bộ 2 : 1 đỏ, 2 xanh: Có C 2 C 4 cách chọn • Bộ 3 : gồm các viên bi còn lại(l đỏ, 2 xanh). Vì bộ 2 và 3 có các viên bi giống nhau để không phân biệt hai bộ này nên có 3! ứ V — săp xẽp 3 bộ vào 3 phần trên. Do đó n(A) = ^clcịcịcl = 1080 . Ta được P(A) = ị = ^ = -. v ’ n(Q) 1680 14 54 I Chỉnh phục olympỉc toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 Cách 2: Mã hóa: • 4 viên bi đỏ giống nhau là 1, 1, 1,1. • 5 viên bi xanh giống nhau là 0, 0, 0, 0, 0 .
  50. Xếp 9 phần tử hàng ngang có Q
  51. Một cách xếp thỏa yêu cầu là 1,1,0 9! 5!.4! 1,0,0 2 = 126 (cách). 1 , 0 , 0 . 3 3!
  52. Hoán vị các nhóm có Yị = 3 (do có 2 nhóm giống nhau).
  53. Rồi hoán vị các số trong mỗi nhóm có: 3.3.3 = 27 . Do đó biến cố A có: |Q a = 3x27 = 81. Vậy P(A) = Q A 81 Q 126 14 Câu 88 : Cho đa giác đều (p) có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của (p), tính xác suất để 3 đỉnh lấy đuợc tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là cạnh của (p). Lời giải Không gian mẫu: Chọn 3 đỉnh bất kì từ 20 đỉnh để tạo thành một tam giác => n (Q) = C 20 Biến cố A : 3 đỉnh lấy đuợc tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là cạnh của (p). Ta có đa giác (p) nội tiếp một đuờng tròn, nên tam giác vuông tạo ra từ một đuờng chéo (qua tâm) bất kì và một điểm khác (tam giác nội tiếp có một cạnh là đuờng kính là tam giác vuông) Sô cách chọn đuờng chéo qua tâm là 10 cách. Một đuờng chéo đi qua 2 đỉnh, nên theo yêu cầu, đỉnh thứ ba không thể là 4 đỉnh nằm cạnh hai đỉnh đã chọn —> có 20 -2-4 = 14 cách chọn (trừ hai đỉnh tạo thành đuờng chéo nữa) Vậy n(A) = 10 X14 = 140 tam giác. Vậy xác suất để 3 đỉnh lấy đuợc tạo thành một tam giác vuông sao cho, không có cạnh nào là cạnh của Câu 89: Một hộp đựng 26 tấm thẻ đuợc đánh số từ 1 đến 26. Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách rút sao cho bất kỳ hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tuong ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn kém nhau ít nhất 2 đon vị? Lời giải Giả sử số ghi trên ba thẻ sắp xếp theo thứ tự tăng dần là a < b < c . Vì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tuông ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn kém nhau ít a < b-1 b<c-l nhất 2 đon vị nên ta có: < l<a<b-l<c-2<24. Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 55 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó Vậy số cách lấy là: C 24 = 2024 cách. Câu 90: Cho A là tập các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập A . Tính xác suất lấy đuợc một sô lẻ và chia hết cho 9 . Lời giải Sô phần tử không gian mẫu là n(Q) = 9.10 8 Gọi B là biến cố thỏa yêu cầu bài toán. Ta có các số lẻ có 9 chữ số chia hết cho 9 là 100000017, 100000035, 100000053,., 999999999 lập thành một cấp số cộng với u 4 = 100000017 và công sai d = 18 . 999999999 -100000017 _ snnnnnnn Nên sô phân tứ cua dãy là-—-f 1 = 50000000 Vậy n(B) = 5.10 7 . Xác suất là P(B) = £Ị = ặ- = -. Câu 91: Cho đa giác đều (H) có 15 đỉnh. Nguời ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của (H). Tính số tứ giác đuợc lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của (H). Lời giải Kí hiệu đa giác là A 1 A 2 ...A 15 . • THI: Chọn tứ giác có dạng A 4 A m A n A p với l<m<n<p<15. Gọi x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 là số các đỉnh nằm giữa A 1 với A m , A m với A n , A n với A p và A p với A 1 . Khi đó ta có hệ x 4 +x 2 +x 3 +x 4 = 11 X; >1,1 = 1,2,3,4 Đặt xỊ = x i 1 thì x' > 0 và x 4 + x 2 + x 3 + x 4 = 7 nên có C 40 = 120 tứ giác. • TH2: Không chọn đỉnh A-!. Giả sử tứ giác đuợc chọn là A m A n A p A q với l<m<n<p<q<15. Gọi X 1 là số các đỉnh giữa A x và A m , x 2 là số các đỉnh giữa A m và A n , x 3 là số các đỉnh giữa A n và A , x 4 là số các đỉnh giữa A p và A , x 5 là các đỉnh giữa A q và A x . Ta có hệ x 1 +x 2 +x 3 + x 4 +x 5 = 10 x 4 ,x 2 ,x 3 ,x 4 > l,x 5 > 0 Vậy có 450 tứ giác . Tuong tự truờng hợp trên có C 41 = 330 tứ giác. Câu 92: Có bao nhiêu số có 5 chữ số tận cùng là 1 và chia hết cho 7 . Lời giải Số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn đề bài là abcdl Giả sử abcdl = lO.abcd +1 = 3.abcd + 7.abcd +1 Ta có chia hết cho 7 khi 3.abcd + l chia hết cho 7 56 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học CHUYÊN MỤC MỖI TUẨN một chủ £>Ề - CHỦ £>ê' số 2 NỐẰy 27/8/2018 k -1 Khi đó, 3.abcd +1 = 7k <=> abcd = 2k + ——— , k e z là số nguyên khi k = 31 +1. 3 ——- 998 . 9997 Suy ra abcd = 71 + 2 => 1000 < 71 + 2 < 9999 <=> -ỹ— < 1 < —có 1286 giá trị của 1. Vậy có 1286 số thỏa mãn bài toán. Câu 93: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số đuợc chọn có dạng abcde trong đó l<a<b<c<d<e<9. Lời giải Có 9.10 4 sô tự nhiên có 5 chữ số đuợc tạo thành. Từ l<a<b<c<d<e<9=>l<a<b + l<c + 2<d + 3<e + 4<13. Đặt a 4 = a, a 2 =b + l, a 3 = c + 2, a 4 = d + 3, a 5 = e + 4 => 1 < a 4 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < 13. Mỗi cách chọn bộ số (a 1 ,a 2 / a 3 / a 4 ,a 5 ) tuong ứng ta đuợc một số abcde thỏa mãn bài toán. Số các số có dạng abcde thỏa mãn là C 43 = 1287 số. Vậy xác suat cẩn tìm là p = —— 7 - = . J 9.10 10000 Câu 94: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập một số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau dạng abcdet. Tính xác suất để số lập đuợc thỏa mãn a+b=c+d=e+f? Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Q) = 6 . 6 ! = 4320. Số lập đuợc thỏa mãn a + b = c + d = e + f ta có các truờng hợp sau: • THI: xét các bộ số {0; 6 }, {l;5}, {2;4}: Nếu {a; b} = {0; 6 } thì có 1 cách sắp xếp. Khi đó hai cặp số còn lại có: 2.2.2 = 8 cách. Nếu {a;b} = {1; 5} thì có 2 cách sắp xếp. Khi đó hai cặp số còn lại có: 2.2.2 = 8 cách. Nếu {a;b} = {2;4j thì có 2 cách sắp xếp. Khi đó hai cặp số còn lại có: 2.2.2 = 8 cách. Suy ra có: 8.5 = 40 (số). • TH2: xét các bộ số {0;5}, (l;4}, {2;3}: tuông tự THI có 8.5 = 40 (số). • TH3: xét các bộ số {l; 6 }, {2;5}, {3;4}: cố 3.2.8 = 48 (số). Vậy xác suất P(A) = 40 + 40 + 48 4320 4 135' Câu 95: Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn tròn. Tính số cách xếp sao cho có vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai nguời là vợ chồng của nhau thì không ngồi cạnh nhau. Lời giải Có 2 cách sắp xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ông chồng ngồi cố định, còn bà vợ có 2 cách xếp). Fanpage: Tạp chí và tư liậu toán học Chinh phục olympic toán I 57 Tổ HỢP - XÁC SUẤT VẲ CÁC BÀI TOÁN £»ẾM khó • Ta lại xếp 1 cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2 ! cách. • Bây giờ có tất cả 3 khe trống (vì cặp vợ chồng A không cho ai ngồi giữa). Ta xếp 1 cặp vợ chồng khác vào 3 khe này nên có A 3 = 6 cách. • Bây giờ có tất cả 5 khe trống. Ta xếp 1 cặp vợ chồng còn lại vào 5 khe này nên có Ag = 20 cách. Vậy có 2x2x6x20 = 480 cách. III. TÀI LIỆU THAM KHẢO Các bạn ấn vào số trước tên tài liệu để tải về nhé! [1] Tổ hợp xác suất Nguyễn Minh Đức [2] Trắc nghiệm nâng cao tổ hợp xác suất - Đặng Việt Đông [3] Bài toán chia kẹo Euler và ứng dụng - Lục Trí Tuyên [4] Tổ hợp xác suất - Nhóm ham học toán IV. LỜI KẾT Chuyên mục tuần này xin được phép kết thúc tại đây, mọi thắc mắc về vấn đề ôn thi THPT Quốc Gia hay những vấn đề nào các bạn thấy khó hiểu các bạn có thể gửi về địa chỉ fanpage Tạp chí và tư liệu toán học , xin chào và hẹn gặp lại các bạn trong chuyên mục tuần sau © 58 I Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

1111 chia hết cho bao nhiêu?

Một số tự nhiên được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập {1;2;3;4;5;6;7;8} { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 } và số đó chia hết 1111.

Một số chia hết cho 8 khi nào?

Các dấu hiệu chia hết cho các số 1–30.

bao nhieu Hỏi Đáp Bao nhiêu

Bài Viết Liên Quan

Điện thoại iphone 11 pro max giá bao nhiêu năm 2024
Điện thoại iphone 11 pro max giá bao nhiêu năm 2024

Hanoibus sắp có bao nhiêu tuyến mới năm 2023 năm 2024
Hanoibus sắp có bao nhiêu tuyến mới năm 2023 năm 2024

Năm nay 83 tuổi sinh năm bao nhiêu năm 2024
Năm nay 83 tuổi sinh năm bao nhiêu năm 2024

Mũi cúm cho trẻ 6 tháng tuổi giá bao nhiêu năm 2024
Mũi cúm cho trẻ 6 tháng tuổi giá bao nhiêu năm 2024

Từ tam kỳ đi hội an bao nhiêu km năm 2024
Từ tam kỳ đi hội an bao nhiêu km năm 2024

Ốp lốc máy exciter 150 giá bao nhiêu năm 2024
Ốp lốc máy exciter 150 giá bao nhiêu năm 2024

Điện thoại huawei mate 30 pro giá bao nhiêu năm 2024
Điện thoại huawei mate 30 pro giá bao nhiêu năm 2024

Xây 1m2 tường cần bao nhiêu vật liệu năm 2024
Xây 1m2 tường cần bao nhiêu vật liệu năm 2024

Sinh năm 1997 là bao nhiêu tuổi năm 2024
Sinh năm 1997 là bao nhiêu tuổi năm 2024

Bao nhiêu 1 vé xem phim ở parkson quận 2 năm 2024
Bao nhiêu 1 vé xem phim ở parkson quận 2 năm 2024

MỚI CẬP NHẬP

Giải vở bài tập toán lớp 4 trang 89 năm 2024
30 phúts trước . bởi IdioticRepentance
Ngũ cốc nào tốt cho mẹ sau sinh năm 2024
48 phúts trước . bởi LesserAvarice
Trọn bộ công thức toán 10 11 12 năm 2024
1 giờs trước . bởi MatureCrossover
Lap top không nhận mic tai nghe bluetooth năm 2024
1 giờs trước . bởi GoverningMover
Chấn thương đầu gối phần cơ quấn thế nào năm 2024
1 giờs trước . bởi AmazedPrecedence
Fix lỗi usb power surge on hub port năm 2024
2 giờs trước . bởi GenitalResentment
Cách đăng ký thi violympic toán lớp 1 năm 2024
2 giờs trước . bởi DefensiveConsist
Khắc phục lỗi màn hình xanh windows 10 năm 2024
2 giờs trước . bởi RollingAnemia
Bác sĩ kim tiêu hóa nhi giỏi ở sài gòn năm 2024
3 giờs trước . bởi RelentlessCutter
Cách giúp trẻ lớp 1 học toán nhanh năm 2024
3 giờs trước . bởi UltimateDepression

Xem Nhiều

Top 10 dan ba hiem doc nhat trung hoa p1 năm 2024
4 ngàys trước . bởi NewbornVanguard
Hóa đơn bị mờ chữ có bị phạt không năm 2024
2 ngàys trước . bởi SinewyStoppage
Bài tập giải toán có lời văn lớp 4 năm 2024
6 ngàys trước . bởi UnhappyLeasing
Top 20 ngân hàng lớn nhất việt nam năm 2024
3 ngàys trước . bởi EnrichedSeeder
Biểu hiện của thoái hóa cột sống lưng năm 2024
2 ngàys trước . bởi PinchedChasm
Bị lỗi this page cant be displayed năm 2024
6 ngàys trước . bởi CrippledEaster
Vở bài tập toán lớp 5 bài 166 luyện tập năm 2024
6 ngàys trước . bởi NudeBuilding
Chiếu powerpoint có phải lúc nào cũng hiệu quả năm 2024
4 ngàys trước . bởi MelodramaticLeadership
Bảng tính exel tính toán các thông số động đất năm 2024
3 ngàys trước . bởi UnpleasantProbation
Đừng mắc kẹt ở mức trung bình năm 2024
1 ngàys trước . bởi ResilientTaker

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội

Bản quyền © 2024 Inc.