Bài 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC, AB< AC, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau ở T. Hạ AD vuông góc với BC tại D, hạ CE vuông góc với AT tại E. Đường thẳng AT cắt (O) tại F (F khác A) và đường thẳng DE cắt đường thẳng FC tại K. Gọi H là - 1. tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C T R O N G Đ Ề C H U Y Ê N M Ô N T O Á N Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ CHUYÊN VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN GIAI ĐOẠN 2009-2024 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (TÀI LIỆU WORD MÔN TOÁN) WORD VERSION | 2023 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL [email protected] vectorstock.com/28062405
- 2. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2023-2024 Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2023-2024) Với các số thực dương , , a b c thay đổi thoả mãn 1 abc = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 a b c P a b b c c a = + + + + + + + + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được: ( ) 2 3 2 2 1 2 1 2 4 1 8 (1 2 ) 1 2 4 2 1. 2 a a a a a a a a + + − + + = + − + ≤ = + Tương tự, ta có: 3 2 3 2 1 8 2 1; 1 8 2 1. b b c c + ≤ + + ≤ + Do đó: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a b c P a b b c c a ≥ + + + + + + + + Tiếp theo ta chứng minh: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (*) 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + + Thật vậy: ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (*) 3 2 2 1 2 1 2 1 a b b c c a a b c a b c ⇔ + + + + + ≥ + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9. a b b c c a a b c ⇔ + + + + + ≥ Điều này hiển nhiên đúng do 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 3 3 a b b c c a a b c + + ≥ = và 2 2 2 3 2 2 2 3 3. a b c a b c + + ≥ = Vậy GTNN của 1 3 P = đạt tại 1 a b c = = = Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2023-2024) Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức P= 2 2 2 1 1 1 . 1 x 1 y 1 z + + + + + Lời giải Từ giả thiết x + y + z = xyz, ta có 1 1 1 1. xy yz xz = = = Dặt a= 1 1 1 ;b ;c a,b,c 0; x y z = = ⇒ > Giả thiết trở thành ab + bc + ca = 1; P = 2 2 2 a b c 1 a 1 b 1 c + + + + + Đẻ ý rằng:
- 3. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: ( )( ) 2 2 a 1 a ab bc ca a b a c + = + + + = + + ( )( ) 2 2 b 1 b ab bc ca b a b c + = + + + = + + ( )( ) 2 2 c 1 c ab bc ca c a c b + = + + + = + + Lúc này ta có: P= ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c a b a b a b c a c b c c + + + + + + + + = a a b b c c . . . a b a c b a b c c a c b + + + + + + + + Theo bất đẳng thức Cô-si (AM-GM), ta có: P 1 a a b b c c 2 a b a c b a b c c a c b ≤ + + + + + + + + + + + hay P 3 2 ≤ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x y z 3 3 = = = Vậy giá trị lớn nhất của P = 3 x y z 3. 2 ⇔ = = = Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh năm 2023-2024) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 3 a b c + + =. Chứng minh rằng 15 6 abc ab bc ca ≥ − + + Lời giải Ta sẽ chứng minh ( )( )( ) 3 2 3 2 3 2 (1). a b c abc − − − ≤ Nếu ( )( )( ) 3 2 3 2 3 2 0 a b c − − − ≤ thì (1) đúng Ta có ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 . 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 a b a b c a c a c b a b c abc c b c b a − + − − − ≤ = − + − − − ≤ = ⇒ − − − ≤ − + − − − ≤ = Dấu “=” ở (1) xảy ra khi a = b = c = 1. Từ (1) ta có ( ) ( ) 27 9 2 2 2 3 4 4 4 8 a b c ab bc ca abc abc − + + + + + − ≤ ( ) 27 9.6 12 8 ( 3) ab bc ac abc abc do a b c ⇔ − + + + − ≤ + + =
- 4. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: ( ) 4 3 3 abc ab bc ca ⇔ ≥ + + − Lúc này ( ) ( ) ( ) 2 15 4 12 3 3 3 4 12 9 2 3 8 1 3 6 3 15 6 ( ). abc ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c Suy ra abc đpcm ab bc ca + ≥ + + + + − + + + + + + ≥ + + + − = + − = + + + + ≥ − + + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre năm 2023-2024) Cho số thực x thỏa mãn 0 1 2 x < < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 1 2 3 x x A x x − + = + − Lời giải Đặt 1 , 2 a a x = > . Khi đó 1 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 3 2 3 2 3 3 1 a a a a a A a a a a − + − + − = + = + = + + + − − − . Áp dụng bất đẳng thức AM GM − cho hai số dương 3 2 a − và 2 3 a − , ta được 3 2 4 16 2 2 2 3 3 3 a A a − ≥ + ⇒ + = − . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 5 5 a x = ⇔ = . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2023-2024) Cho , , a b c là các số dương. Chứng minh: 2 2 2 4 bc ca ab a b c a b c b c a c a b + + + + ≤ + + + + + + . Lời giải Chứng minh được bất đẳng thức 1 1 4 . a b a b + ≥ + Ta có ( ) ( ) 1 1 4 1 1 1 2 4 4 a b c a b a c a b a c = ⋅ ≤ + + + + + + + + 1 2 4 bc bc bc a b c a b a c ⇒ ≤ + + + + + (1) Tương tự, ta có
- 5. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: 1 2 4 ac ac ac b a c b c b a ≤ + + + + + (2) 1 2 4 ab ab ab c a b a c b c ≤ + + + + + . (3) Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được 1 4 1 . 4 4 bc bc ac ac ab ab VT a b a c b c b a a c b c bc ca bc ab ca ab a b c a b a b a c a c b c b c ≤ + + + + + + + + + + + + + = + + + + + = + + + + + + Dấu "=" xảy ra . a b c ⇔ = = Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2023-2024) Cho ,b,c a là các số thực không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 4 ab bc ca a b c b c c a a b − − − + + + + ≤ + + + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ab ab a a b c c bc c b bc − − ≤ = − = − + Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 4 a c b a a c b c b + − − ≤ = + − Tương tự, ta có: 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 4 ab a c b bc c c a ca b a a c c b c b a − ≤ + − − + − + − + + − Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 4 ab bc ca a b c b c c a a b − − − + + + + ≤ + + + (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi 2 a b c = = = Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng năm 2023-2024) Với , , a b c là ba số thực dương, chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 8 14 3 8 14 3 8 14 a b c a b c a b ab b c bc c a ca + + + + ≥ + + + + + + .
- 6. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Lời giải Trước hết ta chứng minh BĐT sau: Với 4 số thực , , , a b x y và , 0 x y > . Ta có: ( ) 2 2 2 a b a b x y x y + + ≥ + (2), dấu " " = xảy ra khi a b x y = . Thật vậy, ta viết BĐT (2) dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 a y x y b x x y a b xy ay bx + + + ≥ + ⇔ − ≥ (luôn đúng). Dấu " " = xảy ra khi a b x y = . Áp dụng BĐT (2) hai lần ta được: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b a b c a b c c x y z x y z x y z + + + + + ≥ + ≥ + + + . Dấu " " = xảy ra khi a b c x y z = = . Theo Bổ đề (1) ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 8 14 3 8 14 cyc cyc a b c a a b ab a b ab + + ≥ + + + + ∑ ∑ . Mặt khác, theo BĐT GM – AM: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 2 4 3 8 14 3 2 4 5 2 cyc cyc cyc a b a b a b ab a b a b a b c + + + + = + ⋅ + ≤ = + + ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 3 8 14 cyc a b c a a b c a b c a b ab + + + + ⇒ ≥ = + + + + ∑ Hay 2 2 2 5 3 8 14 cyc a a b c a b ab + + ≥ + + ∑ (đpcm). Dấu " " = xảy ra khi a b c = = . Câu 8. (Trường chuyên T.P Đà Nẵng năm 2023-2024) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2008 x y z 15 2023 x y z x y z + + + + + ≥ + + . Lời giải + AB.GM ba số: 3 3 3 x y z xyz + + ≥ = + Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 9 2008 15 2008 15. 3 x y z x y z x y z x y z + + + + + + + ≥ + + + Đặt ( ) 3 t x y z t = + + ≥ , ta phải chứng minh: ( ) ( ) 2 9 2008 15. 2023 3 x y z x y z x y z + + + ≥ + + + + Tức là: 3 9 2008 15. 2023 3 t t t + ≥ ⇒ 3 2 2008 405 6069 t t + ≥ ⇒ ( )( ) ( ) 2 3 2008 45 135 0 1 t t t − − − ≥
- 7. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Trong đó 2 2008 45 135 t t − − 2 2 1993 15 45 135 t t t = + − − ( ) 2 1993 15 3 135 t t t = + − − 2 1993.3 15.3.0 135 0 ≥ + − > 2 2008 45 135 0 t t ⇒ − − > Tức là (1) đúng Vậy bài toán được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi 1 x y z = = = Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Đắk Lắk năm 2023-2024) Cho các số thực , , , x y z t thỏa mãn 2 2 2 2 1 x y z t + + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 A xy xz xt yz yt zt = + + + + + . Lời giải ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 A x y z t α α α α ⇔ ≤ + + + + + Do biểu thức trên đúng với mọi số thực 0 α > nên ta chọn 2 5 1 3 5 2 2 3 2 2 α α α α − + = ⇒ + = + = Khi đó ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 A x y z t x y z t α α α α α ≤ + + + + + = + + + + 2 2 5 2 2 A α α + + ⇔ ≤ = Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2 5 2 + đạt được khi 2 2 2 2 2 2 2 2 5 1 5 1 2 5 5 5 20 5 5 20 5 20 5 5 2 1 1 0 2 x x y x y z t z t x z t x z t t x z x y z y y t y z t t x z α α α α α α − = = + = = − = = = = = ⇔ = = ⇔ − − = = − + = = − + + + = + + + = Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2023-2024) Cho hai số dương x và y thỏa mãn 2 x y + =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Với mọi số thực 0 α > , ta có 2 2 2 2 2 2 2 3 A xy xz xt yz yt zt α α α α α α α = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 A xy x z x t y z y t zt α α α α α α α ⇔ = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A x y x z x t y z α α α α α ⇔ ≤ + + + + + + + ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 y t z t α α + + + +
- 8. liệu word toán SĐT (zalo): 7 Website: 2 2 2 2 1 B x y x y = + + + . Lời giải Với hai số không âm , a b, ta chứng minh 2 a b ab + ≥ . (1) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b + ≤ + . (2) Đẳng thức xảy ra khi a b = . Thật vậy ( ) ( ) 2 1 2 0 0 a ab b a b ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ (luôn đúng). ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a ab b a b a b ⇔ + + ≤ + ⇔ ≤ − (luôn đúng). Áp dụng (2): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 x y x y x y x y + ≤ + ⇒ ≤ + ⇒ + ≥ . Áp dụng (1): ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 4 4 4 x y x y x y x y x y x y + + + + ≥ ⇒ + ≥ + + + . Ta có 5 min 2 B = . Đẳng thức xảy ra khi 2 2 2 2 1 x y x y x y x y + = + = ⇔ = = = . Vậy 5 min 2 B = . Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam năm 2023-2024) Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1 1 1 1 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 2 2 5 2 2 5 2 2 P a ab b b bc c c ca a = + + + + + + + + . Lời giải Với , , 0 a b c > , chứng minh được:
- 9. liệu word toán SĐT (zalo): 8 Website: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 9 9 1 1 1 1 1 1 3( ) 3 a b c a b c a b c a b c x y z x y z a b c a b c + + + + ≥ ⇒ ≤ + + + + + + ≤ + + ⇒ + + ≤ + + Với , 0 a b > , ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 (4 4 ) ( 2 ) (2 ) ( ) (2 ) 5 2 2 (2 ) 2 a ab b a ab b a ab b a b a b a b a ab b a b a b + + = + + + − + = + + − ≥ + ⇒ + + ≥ + = + 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 9 9 5 2 2 a b a a b a b a ab b ⇒ ≤ ≤ + + = + + + + Tương tự: 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 ; 9 9 5 2 2 5 2 2 b c c a b bc c c ca a ≤ + ≤ + + + + + 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 9 3 3 3 3 P P a b b c c a a b c a b c ≤ + + + + + = + + ⇒ ≤ ⋅ + + = ⋅ = Dấu “=” xảy ra 2 2 2 3 1 1 1 1 a b c a b c a b c = = ⇔ ⇔ = = = + + = Vậy 3 max 3 P = khi 3 a b c = = = . Câu 12. (Trường chuyên Tin T.P Hà Nội năm 2023-2024) Với các số thực , a b và c thoả mãn ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c + + + = − − − Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a b c = + + . Lời giải Từ giả thiết ta suy ra 1 ab bc ac + + = − , có A= , a b c + + xét 2 2 2 2 2 2 2 A a b c ab bc ac = + + + + + . Theo bất đẳng thức giá trị tuyêt đối , ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 4 A a b c ab bc ac ab bc ac = + + + + + + ≥ + + + + = Từ đây kết hợp A 0 ≥ A ≥ 2.Dấu bằng xảy ra nhiều trường hợp, chẳng hạn ( ) ( ) , , 0,1, 1 a b c = − Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2. Câu 13. (Trường chuyên toán T.P Hà Nội năm 2023-2024) Với các số thực không âm , a b và c thỏa mãn 2 3 1, a b c + + =tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) 6 6 . P a b c a b c = + + + + Lời giải Đặt x b c = + 2 1 1 3 1 1 x a c a x b a a = − − ≤ − = + − ≥ − - Tìm GTLN của P
- 10. liệu word toán SĐT (zalo): 9 Website: ( )( ) ( )( ) ( ) 2 3 2 2 2 1 1 1 25 3 1 3 2 2 2 . 2 4 4 4 16 a a a P a a a a a − + + − ≤ + − + = − + ≤ = Vậy GTLN của 25 . 16 P = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 3 0, , . 4 8 c a b = = = - Tìm GTNN của P ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 5 2 . 3 3 3 a P a a a a a − ≥ + − + = + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 0, . 3 a b c = = = Câu 14. (Trường chuyên Hà Tĩnh năm 2023-2024) Cho các số thực , , a b c thỏa mãn ; 0 a b c ab bc ca > > + + > và 1 a b c + + =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 5 2 P a b b c a c ab bc ca = + + + − − − + + . Lời giải Ta sử dụng các bất đẳng thức 2 2 1 1 4 2 2 m n m n m n + ≥ ≥ + + với 0; 0 m n > > Dấu bằng xảy ra khi m n = 1 1 1 5 2 P a b b c a c ab bc ca = + + + − − − + + 4 1 5 5 5 2 2 P a c a c a c ab bc ca ab bc ca ≥ + + = + − − − + + + + Lại có: 2 2 5 5 2 2 10 2 5 2 ( ) 4( ) ( ) 4 ( ) a c ab bc ca a c ab bc ca a c b a c + ≥ = − + + − + + + + + + ( ) 10 2 10 2 1 ( )( 4 ) (1 )(1 3 ) P do a c b a c a c b b b ⇒ ≥ = + = − + + + − + ( )( ) 10 6 10 6 5 6 3 3 1 3 3 3 1 3 2 P b b b b ⇒ ≥ ≥ = − + + − + Giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 6 khi 2 6 1 6 1 3 1 2 3 3 2 ( ) 2 6 2 3 3 1 3 2 6 9 a b c a b c a b a b c a b b c b a c a c b a c ca c b b a c ca > > + > > = = + + = − = − ⇔ ⇒ = + = − = + + − = − =+ −= +
- 11. liệu word toán SĐT (zalo): 10 Website: Câu 15. (Trường chuyên Hải Dương năm 2023-2024) Cho , , a b c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 10 a b b c c a a b c + + ≥ + + + + + Lời giải Giả sử { } min , , c a b c = . Khi đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c c a c ac a c a ac a c c b c bc b c b bc b c c a b a b ≤ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ + ≤ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ + + ≤ + + + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 * 2 2 2 2 VT c c c c a b b a ≥ + + + + + + + Đặt ; 2 2 c c x a y b = + = + . Khi đó 0, 0 x y > > và x y a b c + = + + . Ta có ( ) 2 2 2 2 1 1 1 * VT x y y x ≥ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 3 4 3 2 2 2 2 4 3 4 2 10 10 3. * 2 x y xy x y xy xy x y xy xy VP xy x y x y x y x y a b c ≥ + = + + ≥ + + + + + = + ≥ + = = = + + + + + + Dấu bằng xảy ra khi 0 0 c c x y a b = = ⇔ = = . Do vai trò của , , a b c bình đẳng nên dấu “=” của ( ) * xảy ra khi và chỉ khi trong ba số , , a b c có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau. Câu 16. (Trường chuyên Hải Phòng năm 2023-2024) Cho các số thực , , a b c thoả mãn 0 a b c + + =. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 a b c P a b c − − − = + + ⋅ + + + Lời giải Không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 3 ( ) 4 2 4 2 a b c c c P a b c c c + + + − + + ≥ + = + + + + + + . Xét BĐT: ( ) 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 3 2 0 4 2 2 c c c c c c − + + ≥ ⇔ − ≥ + + (đúng). Vậy 3 2 P − ≥ ; dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi 0 a b c = = = , 1, 2 a b c = = − = . Do đó min 3 2 P − = Câu 17. (Trường chuyên Hòa Bình năm 2023-2024)
- 12. liệu word toán SĐT (zalo): 11 Website: Từ giả thiết ( ) ( ) ( ) 2 2 a 1 1 a b b ab a b a b ab − + − = ⇒ + − + = 2 2 a b ab a b ⇒ + = + + Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 2 2a 2a (1) a b b ab a b b a b ab + ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + ≥ Lại có: ( ) ( ) ( ) 2 2 a 8 4 4 4a 4 4 b a b a b b a b + + + = + + + ≥ + = + ( ) ( 8 3 3 ( )) 1 o ab a b ab d ⇒ + ≥ + ≥ 4 ab ⇒ ≤ . Đặt 2 1 2 4 0 2 1 t ab t t t = ⇒ < ≤ ≥ ⇒ ≥ ⇒ . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 2 2 2 2 1 1 4 1 4 1 4 2023 2 . 2023.2 2 4046. a b a b F t b a a b ab b a ab ab t t = + + + + ≥ + + = + + 2 8 2 4 2 2019 F t t t t ≥ + + ⋅ + . Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 8 8 2 2 2 . 8 t t t t + ≥ = 8 2019 1 2028 F ⇒ ≥ + + = . Vậy min 2028 F = , đạt khi 2 a b = = . Câu 18. (Trường chuyên Hưng Yên năm 2023-2024) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca = 3abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức T = 2 2 3 + a b c abc + 2 2 3 + b a c abc + 2 2 3 + c a b abc Lời giải Theo bài ra, ta có: a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3abc ⇔ 1 a + 1 b + 1 c = 3 Đặt 1 a là x; 1 b là y; 1 c là z (x, y, z > 0; x + y + z = 3) Suy ra: 2 2 3 a b c abc + + 2 2 1 3 1 x y z xyz + + ( ) 2 2 y z x x y z yz + + + = 2 2 3 y z x xy + Suy ra: T ≤ 1 2 yz zx yz yx xy zx x y x z y z + + + + + + + + = 1 2 (x + y + z) = 3 2 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Câu 19. (Trường chuyên Khánh Hòa năm 2023-2024)
- 13. liệu word toán SĐT (zalo): 12 Website: a) Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 1 , x y z x y z − + − + − ≥ + − − với mọi , , . x y z ∈ b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi , , x y z ∈ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 . k x y z x y z − + − + − ≥ + − − Lời giải a) Cách 1: *) Áp dụng bất đảng thức B-C-S, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 .1 1 .1 2 1 1 1 2 x y x y x y x y − + − + ≥ − + − + − ⇔ − + − ≥ Dấu “=” xảy ra khi 1 1 1 1 x y x y − − = ⇔= *) Áp dụng bất đảng thức AM-GM, ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 x y z x y z x y z + − − + − + − ≥ = + − − Dấu “=” xảy ra khi ( ) ( ) 2 2 2 1 2 x y z + − = − *) Mặt khác: ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 3 x y z x y z + − − ≥ + − − (Dấu “=” xảy ra khi ( )( ) 2 1 0 x y z + − − ≥ ). Từ ( ) 1 , ( ) 2 và ( ) 3 ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 1 4 x y z x y z − + − + − ≥ + − − *) Đẳng thức ( ) 4 xảy ra khi: ( )( ) 2 2 1 2 1 0 x y x y z x y z = + −= − + − − ≥ (Chẳng hạn tại 1 x y z = = = ) Cách 2: Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 , , x y z a b c − − − = Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 a b a b c VT a b c c a b c a b c VP + + = + + ≥ + ≥ = + ≥ + = Vậy ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 1 x y z x y z − + − + − ≥ + − − với mọi , , x y z ∈ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 2 z x y − + = = . (Chẳng hạn tại 1 x y z = = = ) b) Giả sử k là số thực nhỏ nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi , , x y z ∈ :
- 14. liệu word toán SĐT (zalo): 13 Website: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 * k x y z x y z − + − + − ≥ + − − ⇒ Bắt đẳng thức ( ) * cũng đúng khi x y = , ( ) 2 2 1 x y z + − = − (Hay x y = , 1 2 1 z x −= − ) Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 . 2 1 k x x x x − + − ≥ − − ( ) ( ) 2 2 4 1 2 2 1 k x x ⇔ − ≥ − với mọi x∈ Cho 2 x = , ta được: 1 4 2 2 2 k k ≥ ⇔ ≥ *) Ta chứng minh với mọi 1 2 k ≥ thì bất đẳng thức ( ) * đúng. Thật vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 k x y z k x y z x y z x y z − + − + − = − − + − + − + − + − + − ≥ − + − + − ( )( ) ( )( ) 1 . 2 2 1 2 1 2 x y z x y z ≥ + − − = + − − (theo chứng minh của câu a). Khi 1 2 k = thì theo chứng minh câu a ta cũng có bất đẳng thức ( ) * đúng. Vậy giá trị k nhỏ nhất cần tìm là 1 2 k = . Câu 20. (Trường chuyên Lai Châu năm 2023-2024) Cho ; ; a b c là các số thực dương thỏa mãn 3 a b c + + =. Chứng minh rằng : 2 2 2 3 2 3 3 3 ab bc ac c a b + + ≤ + + + Lời giải Ta có ( ) ( ) 2 3 9 3 3 a b c a b c ab ac bc ab ac bc + + = ⇔ = + + ≥ + + ⇔ + + ≤ ( ) ( )( ) 2 2 1 2 3 bc bc bc bc bc a b a c a ab ac bc a b a c a ≤ = ≤ + + + + + + + + + Tương tự ta có : 2 1 2 3 ac ac ac a b b c b ≤ + + + + ; 2 1 2 3 ab ab ab b c a c c ≤ + + + + Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 bc ac ab bc bc ac ac ab ab a b c a b a c a b b c b c a c a b c + + ≤ + + + + + ≤ + + + + + + + + + + + mà 3 a b c + + = nên 2 2 2 3 2 3 3 3 bc ac ab a b c + + ≤ + + + dấu '' '' = xảy ra khi 1 a b c = = =
- 15. liệu word toán SĐT (zalo): 14 Website: Vậy 2 2 2 3 2 3 3 3 bc ac ab a b c + + ≤ + + + Câu 21. (Trường chuyên Lào Cai năm 2023-2024) a) Cho a ≥3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 3 Q a a = + b) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn 1 a b c + + ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 (3 1) (3 1) (3 1) (3 1) (3 1) (3 1) a bc b ca c ab c ac a ab b bc + + + + + + + + ≥12. Lời giải a) Dự đoán Q đạt giá trị nhỏ nhất tại a=3. Ta có 2 27 27 160 3 Q a a a a = + − Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số 2 27 27 ; ; a a a ta được: 2 2 27 27 27 27 3. . . 27 a a a a a a + + ≥ = Mà 160 160 160 160 3 0 3 9 3 9 a a a ≥ ⇒ < ≤ ⇒ − ≥ . Dấu “=” xảy ra 3. a ⇔ = Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= 83 9 tại a=3. b) Ta đặt 3 1 3 1 3 1 , , , , 0 ab bc ca x y z x y z b c a + + + = = = ⇒ > Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 1) (3 1) (3 1) (3 1) (3 1) (3 1) a bc b ca c ab y z x P P c ac a ab b bc z x y + + + = + + ⇒ = + + + + + Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy-Schwarz ta có 2 ( ) (1) y z x P x y z x y z + + ≥ = + + + + Ta có: ( ) 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 9 9 9 6( ) 2. . 9 2. 9 2. 9 6( ) 6 6 6 6( ) 18 6 12 ( 2 1) x y z a b c b c a a b c a b c a b c vì a a b c a b c a b c a c b c b + + = + + + + + = + + + + + − + + ≥ + + + + + − + + = + + − + + + ≥ + ≤ − = Từ (1) và (2) suy ra P≥12.
- 16. liệu word toán SĐT (zalo): 15 Website: Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1 3 ⇒đpcm. Câu 22. (Trường chuyên Long An năm 2023-2024) Cho 0, 0 a b ≥ ≥ thỏa mãn 2 3 6 a b + ≤ và 2 4. a b + ≤ Chứng minh rằng: 2 22 2 0. 9 a a b − ≤ − − ≤ Lời giải 2 2 3 6 2 3 a b b a + ≤ ⇒ − ≥ − ( ) 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 1 3 3 9 9 a a b a a a a − − ≥ − + − = − − ≥ − 2 2 4 2 4 a b a ab a + ≤ ⇒ + ≤ ( ) 2 2 0 2 2 ab a a b b ⇒ − − ≤ − − ≤ Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Câu 23. (Trường chuyên Nam Định năm 2023-2024) Cho các số thực ; ; x y z thỏa mãn 0 , , 4 x y z ≤ ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 16 x y y x z x xy yz zx + + + ≥ + + Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 16 x y y z z x xy yz zx + + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 16 0 x y y z z x xy yz zx ⇔ + + + − − − ≥ ( )( )( ) 16 0 x y x z y z ⇔ − − − + ≥ Ta có bất đẳng thức: ( ) 2 1 , , 4 ab a b a b ≥ − − ∀ ∈ và ( ) 2 , , 4 a b ab a b + ≤ ∀ ∈ Trường hợp 1: Nếu x y ≥ ta có ( )( ) ( ) 2 1 4 x z y z x y − − ≥ − − nên ( )( )( ) ( ) 3 3 1 1 16 16 4 16 0 4 4 x y x z y z x y − − − + ≥ − − + ≥ − + ≥ Trường hợp 2: Nếu y x > ta xét Trường hợp 2.1: Nếu y z ≥ , ta có ( )( ) ( ) 2 1 4 x y x z y z − − ≥ − − nên ( )( )( ) ( ) 3 3 1 1 16 16 4 16 0 4 4 x y x z y z y z − − − + ≥ − − + ≥ − +
- 17. liệu word toán SĐT (zalo): 16 Website: Trường hợp 2.2: Nếu y z < , ta có: ( )( )( ) ( )( )( ) 16 16 x y x z y z y z x z x y − − − + = − − − = Kết hợp với ( )( ) ( ) 2 1 4 y x z y z x và x y z − − ≤ − − < < Ta được: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 16 16 16 0 4 4 y x x z z y z x x z z x − − − + ≥ − − + = − − + ≥ Vậy với mọi trường hợp thì ( )( )( ) 16 0 x y x z y z − − − + ≥ hay 2 2 2 2 2 2 16 x y y z z x xy yz zx + + + ≥ + + Câu 24. (Trường chuyên tỉnh Nghệ An năm 2023-2024) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn , , 1 a b c ≥ và ( ) 2 2 2 4 2 12 3 5 a b c ab a b c + + + + = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 2 2 a a T a c a a b = + + + + Lời giải Bằng các phép biến đổi giả thiết, ta có ( ) 2 2 2 3 4 2 12 12 a b c a b c ab b + + = + + + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 a b c b a b c = + + + − ≥ + + Bằng biến đổi bất đẳng thức kết hợp cộng mẫu, ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 a b c a b c a b c + + + + ≥ + + ≥ Do đó 6 a b c + + ≤ suy ra ( ) 2 2 18 a b c + + ≤ . Khi đó, bằng các phép biến đổi ta có ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 a a a a T a c a c a a b a a b = + ≥ + + + + + + + ( ) 2 2 2 4 2 a a a b c ≥ + + + 2 2 2 4 2 2 1 2 18 9 10 5 5 a a a a a a a ≥ = ≥ = ≥ + + Từ đây ta được 1 5 MinT = . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) , , 1,2,3 a b c = Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 5 T = Câu 25. (Trường chuyên Đại Học Vinh năm 2023-2024) Xét các số thực không âm , , a b c thỏa mãn 2 2 2 1 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 1 1 2 P a b c = + + + + + .
- 18. liệu word toán SĐT (zalo): 17 Website: Lời giải Ta có nhận xét sau ( )( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b a b a b + = + + + + + + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 a b a b ab a b a b ab a b a b + + + + = + ≤ + + + + + + + + + + + 2 1 1 1 a b = + + + Do đó ta được 1 1 1 1 1 1 1 a b a b + ≤ + + + + + . Mặt khác, ta có ( ) 2 2 2 2 1 a b c a b c + + ≥ + + =suy ra 1 a b c + ≥ − . Từ đây kết hợp với 1 c ≤ (vì 0 c ≥ và 2 1 c ≤ ), ta suy ra 1 1 1 2 2 P c c ≤ + + − + 2 1 1 1 2 2 c c = + + − + 2 1 1 2 1 2 2 4 c c c = + + + − + − 2 2 4 2 1 4 4 c c = + + − − 4 2 1 4 1 4 1 ≤ + + − − 1 2 3 = + Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi 0, 1 a b c = = = . Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 2 3 + . Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình năm 2022-2023) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh 3 3 3 2 1 1 1 a b c b c a + + ≥ + + + Lời giải Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 3 1 b + = ( )( ) 2 1 1 b b b + − + ≤ 2 1 1 2 b b b + + − + = 2 2 2 b + T2 : 3 1 c + ≤ 2 2 2 c + ; 3 1 a + ≤ 2 2 2 a + Do đó VT ≥ 2 2 2 a b + + 2 2 2 b c + + 2 2 2 c a + Ta cần CM: S = 2 2 2 a b + + 2 2 2 b c + + 2 2 2 c a + ≥ 2 Ta có: 2 2 2 a b + = ( ) 2 2 2 2 2 a b ab b + − + = a - 2 2 2 ab b + Lại có : 2 2 2 ab b + = 2 2 2 2 4 ab b b + + ≤ 2 3 4 2 3 . 4 ab b = 3 2 2 3 a b ≤ ( ) . 2 9 a b b + + = ( ) 2 . 1 9 a b + T2 ta được S ≥ a + b + c - ( ) 2. 9 a b c + + - ( ) 2 9 ab bc ca + + = ( ) 7. 9 a b c + + - ( ) 2 9 ab bc ca + +
- 19. liệu word toán SĐT (zalo): 18 Website: Ta có ab + bc + ca ≤ ( ) 2 3 a b c + + Do đó S ≥ 7 .6 9 - 2 9 . 2 6 9 = 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Ta có đpcm. Câu 27. (Trường chuyên Tin Phú Thọ năm 2023-2024) Xét ba số ; ; 2 x y z ≥ thỏa mãn ( ) 4 9 27 xyz x y z = + + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 2 2 2 4 4 4 y x z x y z − − − + + Lời giải Ta có 5Q = ( ) ( )( ) ( )( ) 5 2 ( _ 2 5 2 2 5 2 2 x x y y z z x y z − + − + − + + + 5Q ≤ ( ) ( ) ( ) 5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 2 2 x x y y z z x y z − + + − + + − + + + + 5Q ⇔ ≤ 6 8 6 8 6 8 2 2 2 x y z x y z − − − + + = 9 – 4 1 1 1 1 x y z + + Từ ( ) 4 9 27 xyz x y z = + + + ⇔ 4 = 9 1 1 1 27 xy yz xz xyz + + + ≤ 3 2 3 1 1 1 1 1 1 x y z x y z + + + + + Đặt 1 1 1 t x y z + + = Ta có 3 2 3 2 2 3 4 0 4 4 4 4 0 t t t t t t t + − ≥ ⇔ − + − + − ≥ ( )( ) 2 1 2 0 t t ⇔ − − ≥ 1 t ⇔ ≥ Suy ra 5 9 4.1 5 5 Q Q ≤ − = ⇔ ≤ Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2;4 9 27 5 5 2 2;5 2 2;5 2 2 1 1 1 1 x y z xyz x y z MaxQ x x y y z z x y z ≥ = + + + = ⇔ − = + − = + − = + + + = 3 x y z ⇔ = = = Câu 28. (Trường chuyên Toán Phú Thọ năm 2022-2023) Xét các số thực dương , , a b c ; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 . 9 9 9 a b c F a bc b ac c ab = + + + + + Lời giải Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 9 9 9 . a a bc b b ac c c ab F a b c + + + + + ≥ + +
- 20. liệu word toán SĐT (zalo): 19 Website: Đặt 2 2 2 9 9 9 Q a a bc b b ac c c ab = + + + + + ( )( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 9 9 9 27 Q a a ac b b ac c c ab a b c a b c abc = + + + + + ≤ + + + + + Ta lại có ( ) ( )( )( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 24 a b c a b c a b b c c a a b c abc + + = + + − + + + ≤ + + − ( )( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 27 3 a b c a b c abc a b c a b c abc ⇒ + + + + + ≤ + + + + + mà 3abc ≤ ( ) 3 9 a b C + + ( )( ) ( ) 4 3 3 3 10 27 9 a b c a b c a b c abc + + ⇒ + + + + + ≤ ( ) 2 10 3 a b c Q + + ⇒ ≤ mà ( ) ( ) 2 2 2 2 9 9 9 . a a bc b b ac c c ab F a b c + + + + + ≥ + + Suy ra F ≥ 3 10 10 . Vậy min F = 3 10 10 . Dấu “=” xảy ra a b c ⇔ = = Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Phú Yên năm 2023-2024) Cho x 1,0 y 1 ≥ < ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 1 1 x y x 1 y 1 x y y x + ≥ + + + + + Lời giải Với giả thiết đã cho, ta sẽ chứng minh ( ) 2 1 x 1 y 1 x 1 ≥ + + và 2 1 y x 1 y x ≥ + + (2) Ta có: (1) ( ) ( ) 2 xy x x y 0 y x 1 x 1 x 0 ⇔ + − − ≤ ⇔ − + − ≤ ( )( ) ( ) x 1 y x 0 3 ⇔ − − ≤ (3) đúng vì x 1,0 y 1 ≥ < ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi x 1,0 y 1 = < ≤ Ta cũng có: (2) ( ) ( ) 2 xy y y x 0 0 y x y x y ⇔ + − − ≤ ⇔ − − − ≤ ( )( ) x y y 1 0 ⇔ − − ≤ (4) (4) đúng vì x 1,0 y 1 ≥ < ≤ Dấu bất đẳng thức xảy ra khi x y 1 = = Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được 2 2 1 1 x y x 1 y 1 x y y x + ≥ + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 1 = = Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị năm 2023-2024) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn . ab bc ca abc + + = 1. Chứng minh 9. a b c + + ≥ 2. Chứng minh 4 5. a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + + Lời giải
- 21. liệu word toán SĐT (zalo): 20 Website: Ta có 1 1 1 1 ab bc ca abc a b c + + = ⇔ + + = . Cách 1: Khi đó 3 3 1 1 1 1 ( ) 3 .3 9 a b c a b c abc a b c abc + + = + + + + ≥ = Cách 2: 1 1 1 ( ) 3 3 2 2 2 9 a b b c a c a b c a b c a b c b a c b c a + + = + + + + = + + + + + + ≥ + + + = Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) 3 a b b c c a a b c a b c a b c ab bc ca + + + + + = + + + + = + + − ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 3 5 4 5 a b c a b c a b c ab bc ca abc bc ca ab + + + + ≥ − = + = + + + + + Câu 31. (Trường chuyên Sơn La năm 2023-2024) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn . x y z xyz + + = Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 . y x z xyz x y z + + + + + + + ≤ Lời giải Từ x y z zyz + + = ⇒ . 1 1 1 xy yz xz + + = 1 Lại có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x x x xy yz xz + = + = + + + (áp dụng ( ) 1 2 ab a b ≤ + ) 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 x x x x y z x x y z + + + + ⇒ ≤ + + ⇒ ≤ + + Dấu “=” xảy ra x y z ⇔ = = Chứng minh: 1 1 1 3 xyz x y z + + ≤ ( ) ( ) 2 3 xy yz zx xyz ⇔ + + ≤ ( ) ( ) 2 3 xy yz zx x y z ⇔ + + ≤ + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 x y y z z x ⇔ − + − + − ≥ (đúng) Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi 3. x y z = = = Câu 32. (Trường chuyên Tây Ninh năm 2023-2024) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 6 a b c + + ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 1 5 6 7 19 22 25 2 6 M a b c a b c = + + + + + . Lời giải Ta có: 6 a b c + + ≥ . ( ) 1 5 6 7 19 10 22 12 25 14 19 22 25 2 6 6 6 6 M a b c a b c a b c a b c = + + + + + = + + + + +
- 22. liệu word toán SĐT (zalo): 21 Website: Xét 10 12 14 , , 0: 2 10 ; 2 12 ; 2 14 k m n ka k mb m nc n a b c > + ≥ + ≥ + ≥ 2 2 5 2 10 a k k = ⇒ + ≥ Dấu bằng xảy ra 10 5 2 5 2 ka k k a ⇔ = ⇒ = ⇔ = . Tương tự ta tìm được: 7 3, 2 m n = = . Do đó: 5 10 12 7 14 2 2 2 3 2 2 3 3 3 M a b c a b c a b c = + + + + + + + + 2 2 25 2 36 2 49 6 40 3 M ⇒ ≥ + + + ⋅ = . Dấu bằng xảy ra khi 2 a b c = = = . Vậy 40 Min M = khi 2 a b c = = = . Câu 33. (Trường chuyên Thái Bình năm 2023-2024) Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn 1 xy yz zx + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2 2 2 2 2 2 2 28 28 1 1 1 x y z x y z x y z + + − − − + + + Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: ( )( ) 2 2 2 2 1 x x x x y x z x x xy yz zx = = + + + + + + ≤ x x x y x z + + + ( )( ) 2 y y y x y z y xy yz zx = + + + + + ≤ 1 . 4 y x y z y x + + + ( )( ) 2 z z z x z y z xy yz zx = + + + + + ≤ 1 . 4 z x z y z x + + + 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + + + + ≤ 1 + 1 + 1 4 = 9 4 (1) Và ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 7 7 7 2 8 8 7 7 2 2 x x x x z y z y z + + = − + − + − + ≥ Dấu "=" của các bất đẳng thức (1), (2) xảy ra khi 7 7 x y z = = và 1 xy yz zx + + = khi và chỉ khi 15 15 y z = = ; 7 15 15 x = Từ (1), (2) có 9 19 7 4 4 P < − = − suy ra MaxP = 7 15 15 y z ⇔ = = ; 7 15 15 x = Vậy MaxP = 19 4 − Câu 34. (Trường chuyên Quốc Học Huế năm 2023-2024)
- 23. liệu word toán SĐT (zalo): 22 Website: Cho hai số thực dương , a b thỏa mãn 2 2 4 2 a b + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 2024 2 1 2 a b T b a a b = + + + + + . Lời giải Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 a b ab a b a b + ≥ ⇔ + ≥ + ( ) 2 2 2 1 4 2 2 b b a a b a + ≤ ⇔ ⇔ + ≥ + ≤ ⇔ . Đặt ; 2 b x a y = = , ta có 1 x y + ≤ . Khi đó ( ) 1 506 506 . 2 2 1 1 1 1 2 2 a b x y T b b a y x x y a = + + = + + + + + + + + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có • ( ) 4 4 8 4 1 1 9 3 1 9 9 x x x y x x xy y y + + ≥ ⇔ ≥ − + + . • ( ) 4 4 8 4 1 1 9 3 1 9 9 y y y x y y xy x x + + ≥ ⇔ ≥ − + + . Suy ra ( ) ( ) 1 8 8 506 8 8 4546 8 2 9 9 9 9( ) 9( ) 9 T x y xy x y xy x y x y x y ≥ + − + ≥ + + + − + + + . 8 4546 8 1 1520 .2 . 9 9 9 4 3 ≥ + − = . ( để ý 2 1 2 4 x y xy + ≤ ≤ ) Do đó 3040 3 T ≥ . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x y = = hay 1 ; 1 2 a b = = . Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 3040 3 đạt được khi 1 ; 1 2 a b = = . Câu 35. (Trường chuyên Tiền Giang năm 2023-2024) Cho hai số thực x và y thỏa mãn 1, 1 x y > > a) Chứng minh rằng 1 x x − 2 ≥ . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2 2 1 1 x y y x + − − Lời giải a) Chứng minh rằng 1 x x − 2 ≥ . Áp dụng bất đẳng thức AM GM − cho hai số thực dương ( ) 1 x − và 1 ta được ( ) ( ) 1 1 2 1 .1 2 1. x x x x = − + ≥ − = −
- 24. liệu word toán SĐT (zalo): 23 Website: Vậy 2 1 x x ≥ − với mọi số thực 1 x > . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 2. x x − = ⇔ = b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2 2 1 1 x y y x + − − Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương 2 1 x y − và 2 1 y x − ta được 2 2 2 2 2 . 2. . 2.2.2 8 1 1 1 1 1 1 x y x y x y T y x y x x y = + ≥ = ≥ = − − − − − − Vậy min 8 T = khi 2. x y = = Câu 36. (Trường chuyên T.P Hồ Chí Minh năm 2022-2023) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 1 4 2 2 2 5 xy x y z + + + + = a) Chứng minh ( )( ) 1 1 2 2 1 3 2 1 2 1 z x y + ≥ + + + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 1 2 3 . 2 1 2 1 4 2 x y z x y z + + + + + + + + Lời giải a) Từ giả thiết ta có ( )( ) 2 1 2 1 5 2 . x y z + + = − Từ đó kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwwarz, ta được: ( )( ) 1 1 1 1 4 4 2 . 2 1 5 2 2 1 5 2 2 1 6 3 2 1 2 1 z z z z z x y + = + ≥ = = + − + − + − + + Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn 1 x y z = = = . b) Ta thấy rằng P = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 x y z x y z + + + + + = + + + + + + + + + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và sử dụng kết quả ở ý (a) ta được P ( )( ) 3 1 1 3 2 13 2 2 1 2 3 6 2 1 2 1 z x y ≥ + ≥ + = + + + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1. x y z = = = Câu 37. (Trường chuyên Vĩnh Long năm 2023-2024) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 10 9 x x + + Lời giải: Đặt P = 2 2 10 9 x x + + = 2 9 x + + 2 1 9 x +
- 25. liệu word toán SĐT (zalo): 24 Website: 2 2 2 1 1 8 . 9 . 9 9 9 9 x x x = + + + + + Suy ra 1 8 10 2. .3 3 9 3 P≥ + = Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 10 khi 0 3 P x = = Câu 38. (Trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2022-2023) 1. Cho ba số thực dương , , a b c thoả mãn 1 ab bc ca + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c + + + + + 2. Cho ba số thực không âm , , a b c thoả mãn 4 ab bc ca abc + + + ≤ . Chứng minh rằng . a b c ab bc ca + + ≥ + + Lời giải: 1. Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 a b c P a b c = + + + + + 2 2 2 2a b c a ab bc ca a ab bc ca a ab bc ca = + + + + + + + + + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2a b c a b a c b c b a c a c b = + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 . . . 2 2 a a b b c c a b a c b a b c c a c b = + + + + + + + + AM GM − ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 a a b b c c a b a c b a b c c a c b ≤ + + + + + + + + + + + 1 2 2 2 2 1 2 2 a b a a b c a b a b a c a c b c b c = + + + + + + + + + + + 1 1 9 2 2 2 2 4 = + + = Dấu “=” xảy ra khi 7 15 15 ; 15 15 a b c = = = Vậy P đạt GTLN là 9 4 khi 7 15 15 ; 15 15 a b c = = =
- 26. liệu word toán SĐT (zalo): 25 Website: 2. Ta có 4 ab bc ca abc + + + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4 8 2 2 4 2 2 4 2 2 4 abc ab bc ca a b c ab a b bc b c ca c a ⇔ + + + + + + + ≤ + + + + + + + + + + + ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a ⇔ + + + ≤ + + + + + + + + 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ⇔ ≤ + + ⇔ + + ≥ + + + + + + 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 a b c ⇔ − + − + − ≤ + + + 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ ≥ + + + + + Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a a b b c c ≥ + + = + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b c C S a b c a b c + + − ≥ + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c ⇒ + + ≤ + + + + + a b c ab bc ca ⇔ + + ≥ + + (đpcm) Câu 39. (Trường chuyên KHTN năm 2023-2024) Với x,y,z là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 14 6 14 6 14 6 2 2 2 2 2 2 3 3 3 x x y y z z M x y zx zy y z xy xz z x yz yx − + − + − + = + + + + + + + + Lời giải: Ta có ( ) ( ) 14 6 14 6 6 6 6 3 3 3 4 3 5 7 3 5 4 5 x x x x x x x − + = + − + ≥ − + = + theo bất đẳng thức AM-GM. Lại có cũng theo bất đẳng thức AM-GM, thì ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 6 6 4 4 4 2 4 5 1 1 3 3 1 3 2 x x x x x x x x x + = + + + + + + ≥ + + ≥ + Suy ra 4 2 2 2 2 2 2 x x M x y xz yz x y xz yz ≥ ∑ + ∑ + + + + và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu cho về trái, ta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 6 3 2 2 x y z x y z x y y z z x xy yz zx M x y y z z x xy yz zx x y y z z x xy yz zx + + + + + + + + + + ≥ ≥ = + + + + + + + + + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Giá trị nhỏ nhất của M là 3.
- 27. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 2022-2023 Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2022-2023) Với các số thực dương , , x y z thỏa mãn ( ) 2 2 2 2 3 ( ) + + = + x y z y x z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) 2 2 2( ) = + + − + P x y z x z . Lời giải Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 3 ( ) 2 2 2 ( ) + = + + ≥ + + y x z y x z y x z 2 2 3 ( ) 2 ( ) ⇒ + ≥ + + y x z y x z 2 2 0 ( ) 3 ( ) 2 ⇒ − + + + ≤ x z y x z y 2 3 2 0 + + ⇒ − + ≤ x z x z y y 1 2 + ⇒ ≤ ≤ x z y . Do đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 4( ) 2 1 2 2 2 2 ≤ + − − = + − − ≤ + + − − = − − − − ≤ P x z x z x z x z x z x z x z Đẳng thức xảy ra 1 ; 1 2 ⇔ = = = x z y . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 2 . Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2022-2023) Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn 3. + + = a b c Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 3. + + ≤ abc a b c Lời giải ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 + + = + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + ≤ ⋅ + + abc a b c a b c abc a b c ca ab ab bc bc ca a b c ab bc ca a b c (Dựa vào BĐT phụ: ( ) 2 3 + + + + ≤ x y z xy yz zx , dấu “=” xảy ra ⇔ = = x y z ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 + + ⋅ + + = + + + + + + ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 1 9 3 3 3 3 + + + + + + + + + + ≤ ⋅ = ⋅ = ab bc ca ab bc ca a b c a b c
- 28. liệu word toán SĐT (zalo): 2 Website: (Dựa vào BĐT Cô-si: 3 , , 0 3 + + ≥ ⇒ ≤ x y z x y z xyz , dấu “=” xảy ra ⇔ = = x y z ) Từ đó suy ra ( ) 2 2 2 3. + + ≤ abc a b c Dấu " " = xảy ra 1. ⇔ = = = a b c Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Bắc Kạn năm 2022-2023) Cho 0, 0, 0 > > > x y z thoả mãn 2 3 10 + + ≥ x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 9 1 10 4 8 = + + + + + + P x y z x y z . Lời giải Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương 1 , x x , ta có 1 3 1 3 2 4 2 + ≥ ⇔ + ≥ x x x x . (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = x . Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương 9 , 4 y y , ta có 9 1 9 3 3 4 2 4 2 + ≥ ⇔ + ≥ y y y y . (2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 2 = y . Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương 4 , z z , ta có 4 1 4 4 1 4 + ≥ ⇔ + ≥ z z z z . (3) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 = z . Theo giả thiết ta có 2 3z 5 3z 5 2 3z 10 4 2 4 2 4 2 + + + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + + ≥ x y x y x y . (4) Đẳng thức xảy ra khi 1 = x , 3 2 = y , 2 = z . Cộng theo vế các bđt (1), (2), (3) và (4), ta được 3 9 1 13 33 4 8 2 2 + + + + + ≥ ⇔ ≥ x y z P x y z . Đẳng thức xảy ra khi 1 = x , 3 2 = y , 2 = z . Vậy 33 Min 2 = P khi 1 = x , 3 2 = y , 2 = z . Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Bạc Lưu năm 2022-2023) Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3 + + = a b c . Chứng minh rằng:
- 29. liệu word toán SĐT (zalo): 3 Website: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 . 1 2 + + ≥ + a b c a b b c c a a b c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 9 1 1 1 2 9. + + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ a b b c c a a b c a b b c c a ab bc ca Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Cô-si bộ ba số, ta có 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 + + ≥ ⋅ ⋅ = + + ≥ ⋅ ⋅ = + + ≥ ⋅ ⋅ = a b a b a b a b a ab ab b c b c b c b c b bc bc c a c a c a c a c ca ca . Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 9. + + + + + ≥ + + = a b b c c a a b c ab bc ca Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = = = a b c . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh năm 2022-2023) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 . 3 1 3 1 3 1 = + + + + + x y z P y z x Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có y3 +1+1 ≥3y Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta được 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 ≥ + + + + + x y z P y z x Đặt 3 3 3 ( , , ) ( , , ) = x y z a b c Khi đó 3 + + = a b c và . 3 3 3 ≥ + + + + + a b c P b c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có 2 ( ) 3 3 3 3( ) + + + + ≥ + + + + + + + + a b c a b c b c a ab bc ca a b c Mặt khác ta có 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − ≥ a b b c c a 2 ( ) 3( ) ⇒ + + ≥ + + a b c ab bc ca 2 2 2 ( ) ( ) 3 3( ) 4 ( ) 3( ) 3 + + + + ≥ ≥ = + + + + + + + + + + a b c a b c P ab bc ca a b c a b c a b c
- 30. liệu word toán SĐT (zalo): 4 Website: Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = a b c hay 1 = = = x y z Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Bình Định năm 2022-2023) Cho 2 số 1 9. ≤ ≤ T thỏa mãn: ( ; ) (1;1) = x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biều thức: 1 = T Lời giải Ta có bất đẳng thức 2 2 ( ) ( ) 0 4 + − ≥ ⇔ ≤ x y x y xy . Bởi vậy từ giả thiết, 2 2 2 ( ) ( ) 3 3 0 ( ) 4. 4 + + = + ≤ + ⇒ ≤ + ≤ x y x y xy x y Lại để ý đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2( ) + + − + − = + x y xy x y xy x y hay 2 0 9 2( ) 8 ≤ − = + ≤ T x y , vậy 1 9. ≤ ≤ T Khi ( ; ) (1;1) = x y (thoả mãn giả thiết) thì 1 = T . Khi ( ; ) ( 3; 3) = − x y (thoả mãn giả thiết) thì 9 = T . Kết luận: Giá trị lớn nhất của T là 9 ; giá trị nhỏ nhất của T là 1 . Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2022-2023) a) Cho , a b là các số thực dương thỏa mãn 2 + = a b . Chứng minh: 2 2 1 1 1 + ≥ + + a b b a . b) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 1 6 + + + + = ab a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 1 2 1 2 2 1 1 2 + + + = + + + + + a b c P a b c . Lời giải a) * Xét BĐT ( ) 2 2 2 + + ≥ + a b a b x y x y với , 0 > x y . Biến đổi tương đương ( ) 2 2 2 2 2 2 0 + ≥ ⇔ − ≥ a y b x abxy ay bx (đúng) *Khi đó ( ) 2 2 2 1 1 1 2 + + ≥ = + + + + a b a b b a a b (điều phải chứng minh). b) Ta có 1 1 2 6 1 1 2 = − − − + + + P a b c . Theo BĐT Cauchy ta có ( )( ) 1 1 2 2 1 1 6 1 1 + ≥ = + + − + + a b c a b Khi đó 2 2 6 6 2 ≤ − − − + P c c . Ta có 1 1 4 1 6 2 6 2 2 + ≥ = − + − + + c c c c (do 0 6 < < c ). Suy ra 5 ≤ P .
- 31. liệu word toán SĐT (zalo): 5 Website: Dấu bằng xảy ra khi ( )( ) 1 1 3 6 2 2 1 1 6 + = + = = − = + ⇒ = + + + = a b a b c c c a b c . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 5 đạt được khi 3, 2 = = = a b c . Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2022-2023) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn 3 + + ≤ a b c .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 2 2 2 1 2024 = + + + + + P ab bc ca a b c Lời giải Với mọi , , x y z dương ta có: ( ) 3 3 1 + + ≥ x y z xyz và ( ) 3 1 1 1 1 3 2 + + ≥ x y z xyz Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra :( ) ( ) 1 1 1 9 3 + + + + ≥ x y z x y z Đẳng thức xảy ra ⇔ = = x y z Áp dụng ( ) 3 ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 9 + + + + + + + ≥ + + + + + + a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ( ) 2 2 2 2 1 2 9 1 ⇒ + ≥ ≥ + + + + + + ab bc ca a b c a b c (do 3 + + ≤ a b c ) Mặt khác : ( ) 2 1 1 3 3 3 + + + + ≤ ≤ ⇒ ≥ + + a b c ab bc ca ab bc ca Vậy : 2 2 2 2 2 2 1 2024 1 2 2022 2024 2027 1 3 3 + = + + ≥ + = + + + + + + + + + + ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c Đẳng thức xảy ra 2 2 2 1 3 + + = + + ⇔ = = ⇔ = = = + + = a b c ab bc ca a b c a b c a b c Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2022-2023) Cho , , x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 4 3 6 + + + + ≥ + + + x z y z x y z z x x y Lời giải Đặt . 2 + = − = − − + + = ⇒ ⇒ = + = + = x y a x z a b a b c y z b x x z c x z c
- 32. liệu word toán SĐT (zalo): 6 Website: Tương tự ta có: và . 2 2 + − − + + = = a b c a b c y z Khi đó: 3 4 3 2 2 2 2 1 1 1 1 + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + − + + − + − − + + = + + + + + + + + + = − + + − + − + − + x z y z x x x z y y z x z y z x z x y y z y z x z x z x y x y a b c c a b c a b c a b c c b b c c a a a c c a b a b b c c b b c c a a 4 = + + + + + + + + + − a c c a b a b b c c b b b c c c c a a a Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: 10 3 3 4 10 3 3 4 4 10 4 10 4 10 4 6 + + + + + + + + + − ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − = − = ⋅ ⋅ a c c a b a b c b c a c c a b a b c b c b b b c c c c a a a b b b c c c c a a a a b c a b c Vậy 3 4 3 6 + + + + ≥ + + + x z y z x y z z x x y Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Đắk Lắk năm 2022-2023) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 3 24 + + = a b c abc. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 3 2 16 1 2 36 1 3 4 1 + + ≥ + + + b c a a b b c c a Lời giải Có 1 1 1 2 3 24 4 2 6 3 + + = ⇔ + + = a b c abc ab bc ca Đặt 1 1 1 ; ; 2 3 = = = x y z a b c . Khi đó 4 + + = xy yz zx . Bất đẳng thức trở thành : 2 2 2 3 2 4 4 4 = + + ≥ + + + x y z P y z x . Có : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + ⇒ = + + + + + + + + y y xy yz zx x y y z z z xy yz zx y z z x x x xy yz zx z x x y x y z P x y y z y z z x z x x y Áp dụng BĐT Cô si ta được : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ + + ⇒ ≥ + + + + + + + + + + + + + + x y z x y z P P x y z x y z x y z x yz zx xy y zy xz yz z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :
- 33. liệu word toán SĐT (zalo): 7 Website: ( ) ( ) 2 2 2 + + ≥ + + + + + x y z P x y z xy yz zx . Lại có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 3 + + + + + + ≤ ⇒ ≥ = + + + + + x y z x y z xy yz zx P x y z x y z Vậy 3 4 2 9 = ⇔ = = = MinP x y z Câu 11. (Trường chuyên tỉnh Đắk Nông năm 2022-2023) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 + + = x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 26 8 15 26 8 15 26 8 = + + + + + + + + x y z P x xy y y yz z z zx x Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 15 26 8 4 3 4 3 4 3 + + = + − − ≤ + = + x xy y x y x y x y x y 2 2 2 2 4 3 15 26 8 ⇒ ≥ + + + x x x y x xy y Chứng minh tương tự, ta có: 2 2 2 2 4 3 15 26 8 ≥ + + + y y y z y yz z và 2 2 2 2 4 3 15 26 8 ≥ + + + z z z x z zx x Suy ra 2 2 2 4 3 4 3 4 3 ≥ + + + + + x y z P x y y z z x Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 2 4 3 4 3 2 2 . 4 3 49 4 3 49 7 + + + ≥ = + + x x y x x y x x y x y Tương tự : 2 4 3 2 4 3 49 7 + + ≥ + y y z y y z và 2 4 3 2 4 3 49 7 + + ≥ + z z x z z x Suy ra 2( ) 7 7 7 + + + + + + + ≥ ⇔ ≥ x y z x y z x y z P P Mà 3 + + = x y z suy ra 3 7 ≥ P . Vậy GTLN của P bằng 3 7 khi 1 = = = x y z . Câu 12. (Trường chuyên tỉnh Gia Lai năm 2022-2023) Cho các số thực dương , , x y z thoả mãn 1 1 1 3. + + = x y z Chứng minh rằng 2 2 2 2 1. + + − ≥ x y z xyz
- 34. liệu word toán SĐT (zalo): 8 Website: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 ; 2 + ≥ + ≥ + ≥ x y xy y z yz z x zx . Suy ra 2 2 2 + + ≥ + + x y z xy yz zx . Ta có: 1 1 1 3 3 + + = ⇔ + + = xy yz zx xyz x y z . Do đó, 2 2 2 2 (1) + + − ≥ x y z xyz xyz . Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức AM – GM cho ba số không âm , , a b c: 3 + + ≥ a b c abc . Áp dụng bất đẳng thức này, ta có 3 1 1 1 1 1 1 3 3. 1 (2) = + + ≥ ⋅ ⋅ ⇔ ≥ xyz x y z x y z . Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 1 + + − ≥ x y z xyz . Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = x y z . Câu 13. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam năm 2022-2023) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca + + + − − = . Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) + + + + ≥ + + + − a b c c ab a b a b a b c . Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) + + + + ≥ + + + − a b c c ab a b a b a b c 2 2 2 2 2 2 ( ) ⇔ + + ≥ + + + − c c ab a b a b a b c Đặt = a x c , = b y c (x, y >0) 2 2 2 2 2 0 + + + − − = a b c ab bc ca 2 2 2 1 2 2 0 ( 1) ⇔ + + + − − = ⇔ + − = x y xy x y x y xy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 2 ( ) 4 + ≤ x y xy Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1 3 2 . 2 0 2 4 3 + + − ≤ ⇒ + − − + ≥ ⇔ ≤ + ≤ x y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 ( ) = + + + + + − c c ab P a b a b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 4 1 2 2 2 ( ) 2( ) = + + = + + + + + + − + = + + + ≥ + + + + + xy xy x y xy x y x y x y x y xy xy xy x y x y x y x y xy 2 4 1 2 2 2.2 2 ≥ + = P Dấu bằng xảy ra khi x = y =1 ⇔ a=b=c Câu 14. (Trường chuyên Khoa Học Tự Nhiên năm 2022-2023)
- 35. liệu word toán SĐT (zalo): 9 Website: Với , , a b c là những số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau ( )( ) 2 2 2 2 3 3 3; 2 10; 2 2 14 1 1 4 2 2 2 2 ≤ < ≤ + ≤ + + ≤ + + + ≤ + + + c b a b a b a c a b ab a b a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 4 4 2 2 4 2 4 = + + + P a b b c Lời giải Ta có : ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 4 2 1 2 1 0 + + + − + − + ≤ a b ab a a b b ( )( ) 2 2 2 1 2 1 2 0 1 2 ⇔ + − + − ≤ ⇔ + ≤ a b b a b a Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 = + + + − P a b c . Do đó : ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 76 2 6 2 6 4 6 2 4 2 4 − = − + + − + + − + P a a b b c c ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 10 2 4 2 2 14 0 = − − + − + + − + + + + − ≤ a b a b c a b c a c b Do đó 76. ≤ P Vậy ( ) ( ) 76 , , 3,2,2 = ⇔ = Max P a b c Câu 15. (Trường chuyên Hà Nội năm 2022-2023) Với , a b và c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện 3 + + = a b c , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 3 . = + + − P ab bc ca abc Lời giải Do , , 0 ≥ a b c nên 2 3 3 2 3 = + + − ≤ + + P ab bc ca abc ab bc ac ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = + + + = + + + ab ac bc ac a b c c b a ( ) ( ) 2 2 27 . 4 2 4 + + + + ≤ + = a b c a b c P Vậy 27 . 4 = max P Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi 3 . 2 0 3 = + = = += ⇔ = + + = a b c a c a b c b a b c Câu 16. (Trường chuyên Hà Tĩnh năm 2022-2023) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 3 + + = a b c abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 1 1 1 2 1 2 1 2 + + + + + + + + a bc b ca c ab Lời giải Ta có: 1 1 1 3 3 3 + + + + = ⇒ = ⇔ + + = a b c a b c abc abc ab bc ca Đặt: ( ) 4 4 4 1 1 1 ; ; 0, 0, 0 = = = > > > x y z x y z bc ca ab Từ bài ra suy ra: 4 4 4 3 + + = x y z Mặt khác, Áp dụng BĐC Cô si ta có: 3 3 3 3 1 =+ + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ abc a b c abc abc abc abc
- 36. liệu word toán SĐT (zalo): 10 Website: Ta có: 2 2 4 4 4 1 2 1 4 4 . 4 0 + + = + + + ≥ = ≥ > a bc a bc bc ab c abc bc bc ( ) 2 4 1 1 1 1 1 .2. .1 . 1 1 2 4 8 8 4 ⇒ ≤ = = ≤ + + + x x x a bc bc (Ta sử dụng BĐT 2 2 2 ≤ + xy x y ) ( ) ( ) 2 4 4 1 1 1 1 1 .2. .1 . 1 3 16 8 16 8 16 = + ≤ + + = + x x x Tức ( ) 4 1 1 3 1 2 16 ≤ + + + x a bc Tương tự: ( ) 4 1 1 3 1 2 16 ≤ + + + y b ca ; ( ) 4 1 1 3 1 2 16 ≤ + + + z c ab Do đó ( ) 4 4 4 1 1 1 1 12 3 9 1 2 1 2 1 2 16 16 4 + + ≤ + + + = = + + + + + + x y z a bc b ca c ab Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 1 ⇔ = = = a b c Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 4 xảy ra khi a = b = c = 1. Câu 17. (Trường chuyên Hải Dương năm 2022-2023) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 4 6 + + = a b c ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 8 2 16 + = + + + + a b a b P b c a c c . Lời giải Ta có: 3 3 2 8 2 16 + = + + + + a b a b P b c a c c ( ) 3 3 3 3 2 8 1 1 2 2 16 1 1 8 2 2 2 16 + ⇔ = + + + + − + + + ⇔ = + + + + − + + a b a b P b c a c c a b P a b c b c a c c Ta có: 2 ( ) 0 − ≥ x y nên 2 2 2 + ≥ x y xy 2 4 ( ) 4 + ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + x y x y xy xy x y với ; 0 > x y 1 1 4 ⇒ + ≥ + x y x y Lại có: 2 2 + − ≥ x y xy xy nên ( ) 2 2 ( ) ( ) + + − ≥ + x y x y xy xy x y 3 3 ( ) ⇒ + ≥ + x y xy x y ( ) 4 .2 ( 2 ) 2 2 2 16 2( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 16 + ⇒ ≥ + + + − + + + + + ⇔ ≥ + + + a b a b P a b c b c a c c a b ab a b P a b c c Mặc khác: 2 2 4 6 + + = a b c ab nên 2 ( 2 ) 2 − + = a b c ab 2 ( 2 ) 2 4 .2 4 4 + ⇒ ≤ ⇔ = ⇒ ≤ a b c ab a b c c
- 37. liệu word toán SĐT (zalo): 11 Website: Đặt 2 = + t a b , ta có: 2 min 2 2 4 4 2 2 16 2 16 2 16 16 2 4 1 7 2 . 2 16 8 8 7 4 2 6 8 2 16 + ≥ + = + = + − + + + ⇒ ≥ − = + + = = ⇔= + t t t t P t t t t t P t t P khi t t 3 2 6 3 2 2 2 9 = + = ⇔ = ⇔ = = = a a b a b b c ab c Vậy GTNN của 7 3 3, , 9 8 2 = = = = P khi a b c . Câu 18. (Trường chuyên Hải Phòng năm 2022-2023) Cho , , 0 > x y z thoả mãn ( ) 2 2 2 3 2 4 ≤ + + x y yz z . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 3 20 12 3 20 12 = + + + + + + + y z P y z x xy y x xz z . Lời giải Dựa trên dấu bằng 2 2 ⇔ = = x y z nên ta đánh giá theo hướng sử dụng 2 ( 2 ) 0 − ≥ x y , 2 ( 2 ) 0 − ≥ x z và 2 ( ) 0 − ≥ y z . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 20 12 4 16 16 4 4 (2 4 ) ( 2 ) + + = + + − − + = + − − x xy y x xy y x xy y x y x y 2 2 3 20 12 2 4 ⇒ + + ≤ + x xy y x y Tương tự ta có 2 2 2 4 2 4 2 4 ( ) ≥ + + + + + y z P x y x z y z . Theo bất đẳng thức Svác (Schwarz) ta có ( ) 2 2 ( ) 4 4 4 ( ) + ≥ + + + + y z P x y z y z . Lại có ( ) 2 2 2 2 2 3 2 4 2( ) 4 3( ) ≤ + + = + + ≤ + ⇒ ≤ + x y yz z y z yz y z x y z . Do đó 3 2 2 2 4 4 4 3 3 . . 8 16 16 16 16 4 ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ + = + + ≥ = + + + y z y z y z y z y z P y z y z y z . Dấu bằng 2 2 2 4 4 2 16 ( ) = = = ⇔ ⇔ + = = = + x y z x y z y z y z . Câu 19. (Trường chuyên Hòa Bình năm 2022-2023)
- 38. liệu word toán SĐT (zalo): 12 Website: Cho các số thực , x y tùy ý thỏa mãn: 2 + = x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 10 4 2 2 4 10 = + + + + + M x xy y x xy y Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 10 4 2 3 3 3 3 + + = + + − ≥ + = + ≥ + x xy y x y x y x y x y x y (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 10 3 3 3 3 + + = + + − ≥ + = + ≥ + x xy y x y x y x y x y x y (2) Cộng theo từng vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4.2 8 ⇒ ≥ + + + = + = = M x y x y x y Dấu '' '' = xảy ra 1 ⇔ = = x y KL: Vậy 8 1 = ⇔ = = MinM x y Câu 20. (Trường chuyên Tin Hòa Bình năm 2022-2023) Cho 0 , 1 < < a b ,chứngminhrằng: 1 − + − ≤ a ab b ab Lời giải Vì 0 , 1 < < a b nên 1 . 1 2 + − − = − ≤ a b a ab a b Tươngtựtacó 1 . 1 2 + − − = − ≤ b a b ab b a Do đó 1 1 1 2 2 + − + − − + − ≤ + = a b b a a ab b ab Câu 21. (Trường chuyên Toán Hòa Bình năm 2022-2023) 1) Tìm tất cả các cặp số thực , x y dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2 22 36 6 6 36 22 32 + + + + + = + + x xy y x xy y x y 2) Cho , a b là các số thực thỏa mãn: 2 2 + = + a b a b . Chứng minh rằng: 3 3 2 2 4 + + + ≤ a b a b ab Lời giải 1) Ta có: 2 2 2 2 2 22 36 6 (5 3 ) 3(x y) (5 3 ) + + = + − − ≤ + x xy y x y x y 2 2 22 36 6 5 3 ⇒ + + ≤ + x xy y x y ( do x, y dương ) Tương tự ta có : 2 2 2 2 2 6 36 22 (3 5 ) 3(x y) (3 5 ) + + = + − − ≤ + x xy y x y x y 2 2 6 36 22 3 5 ⇒ + + ≤ + x xy y x y ( do x, y dương ) Vậy 2 2 2 2 22 36 6 22 36 6 8( ) + + + + + ≤ + x xy y x xy y x y (1) Ta có 2 2 ( 4) ( 4) 0( , ) − + − ≥ ∀ x y x y 2 2 2 2 8 16 8 16 0 32 8( ) ⇔ − + + − + ≥ ⇔ + + ≥ + x x y y x y x y (2) Vậy 2 2 2 2 2 2 22 36 6 22 36 6 32 + + + + + = + + x xy y x xy y x y
- 39. liệu word toán SĐT (zalo): 13 Website: 4 0 4 4 0 = ⇔ − = ⇒ = = − = x y x x y y 2) Nếu 0 + = a b suy ra 2 2 0 0 + = ⇒ = = a b a b khi đó bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Nếu 2 2 0 0 + ≠ ⇒ + = + > a b a b a b Ta có : 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) ( ) 2 2 + + + ≥ ⇒ + ≥ ⇔ + ≥ + a b a b a b a b a b a b Suy ra 2 + ≤ a b Ta có : 3 3 2 2 2 2 2 ( )( ) ab(a b) (a b) + + + = + − + + + = + a b a b ab a b a ab b Vì 0 2 < + ≤ a b nên 2 ( ) 4 + ≤ a b (đpcm) Câu 22. (Trường chuyên Hưng Yên năm 2022-2023) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4 2 3 24 + + = xy yz xz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 4 9 16 = + + + + + x y z P x y z . Lời giải Ta có: 4 2 3 24 1 6 12 8 + + = ⇔ = = = xy yz xz xy yz xz . . . 1 2 3 3 4 2 4 ⇔ + + = x y y z x z Đặt 0; 0; 0 1 2 3 4 = > = > = > ⇒ + + = x y z a b c ab bc ac 2 2 2 2 2 2 4 3 4 4 4 9 9 16 16 2 1 1 1 = + + + + + = + + + + + a b c P a b c a b c a b c 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + + a b c a ab bc ca b ab bc ac c ab bc ac ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 = + + + + + + + + a b c a b a c a b b c a c b c ( ) ( ) 2 2 2 2 . . . 2 2 = + + + + + + + + a a b b c c a b a c a b b c b c a c Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 2 2 2 2 2 . 2 2 + ≥ + + + + + ≥ + + + + + ≥ + + + + a a a a a b a c a b a c b b b b a b b c a b b c c c c c b c a c b c a c
- 40. liệu word toán SĐT (zalo): 14 Website: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + + + + + + + + + + + a a b b c c p a b a c a b b c b c a c ( ) ( ) 2 2 1 2 2( ) 1 1 2 2 2 2 9 4 + + + ⇔ ≤ + + + + + ⇔ ≤ + + ⇔ ≤ a b a c b c P a b a c b c P P Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 2 8 7 2 8 7 2 2 = + + = = = ⇔ + = ⇔ = + + + = = = + + a a a b a c b c b c b b a b b a b a b b c a c c a c c c b c a c 2 2 2 2 1 1 1 7 7 1 15 15 + + = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ab bc ac b b b b b ⇒ 1 3 15 15 1 4 15 15 7 14 15 15 = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = b y c z a x Câu 23. (Trường chuyên Khánh Hòa năm 2022-2023) a) Chứng minh 3 2 2 3 1 0 − + ≥ x x với mọi số thực 0 ≥ x . b) Cho các số thực không âm , , x y z thỏa 3 3 3 1 1 1 3 2 1 1 1 + + = + + + x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 2022 1 1 1 − − − = + + + − + − + − + x y z Q x x y y z z . Lời giải a) Chứng minh 3 2 2 3 1 0 − + ≥ x x với mọi số thực 0 ≥ x . Ta có ( ) 3 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) 1 = − − + = − − − M x x x x x x ( )( )( ) ( ) ( ) 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 1 2 1 1 2 1 = − − − = − − + = − + x x x x x x x x Mà 0 ≥ x nên 2 1 0 + > x . Do đó ( ) ( ) 2 1 2 1 0, 0 − + ≥ ∀ ≥ x x x . Hay 3 2 2 3 1 0, 0 − + ≥ ∀ ≥ x x x
- 41. liệu word toán SĐT (zalo): 15 Website: b) Cho các số thực không âm , , x y z thỏa 3 3 3 1 1 1 3 2 1 1 1 + + = + + + x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 2022 1 1 1 − − − = + + + − + − + − + x y z Q x x y y z z . Cách 24. Ta có: 2 2 3 1 1 1 1 − − = − + + x x x x x ; 2 2 3 1 1 1 1 − − = − + + y y y y y và 2 2 3 1 1 1 1 − − = − + + z z z z z 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2022 1 1 1 1 1 1 2022 1 1 1 − − − = + + + − + − + − + − − − = + + + + + + x y z Q x x y y z z x y z Q x y z Mặt khác 3 2 2 1 3 + ≥ x x ( câu a) nên 2 2 3 3 2 1 2 1 3 3 − + + ≥ ⇔ ≤ − x x x x Suy ra ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 3 3 2022 1 1 1 + + + − − − ≤ + + + + + + x y z Q x y z ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2022 3 1 3 1 3 1 − − − ⇔ ≤ + + + + + + x y z Q x y z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2022 3 1 3 1 3 1 4 1 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 4 3 2 . .3 2022 3 2 3 2022 − + − + − + ⇔ ≤ + + + + + + ⇔ ≤ ⋅ + + − + + + + + ⇔ ≤ ⋅ + + − + + + + + ⇔ ≤ − + ⇔ ≤ x y z Q x y z Q x y z Q x y z Q Q Vậy min 2022 = Q khi 1 = = = x y z Cách 25. +) Xét 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − = + + = + + − + − + − + + + + x y z x y z Q x x y y z z x y z 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + − + + + + + + + + Q x y z x y z x y z +) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + + = − − = − ≥ − + + + + + z z x y z z z
- 42. liệu word toán SĐT (zalo): 16 Website: + Tương tự: 2 3 3 3 1 1 3 1 2 1 1 1 + ≥ − + + + x y z x và 2 3 3 3 1 1 3 1 2 1 1 1 + ≥ − + + + y z x y +) Cộng theo vế các bất đẳng thức với nhau ta được 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 2 1 1 1 + + ≥ + + − + + + + + + ⇒ + + ≤ + + + + + + + + + ⇒ ≥ + + − − + + + + + + + + ⇒ ≥ + + − = + + + x y z x y z x y z x y z x y z x y z Q x y z x y z Q x y z Do đó 2022 0 2022 2022 = + ≥ + = P Q Dấu “=” xảy ra khi 1 = = = x y z Câu 26. (Trường chuyên tỉnh Lai Châu năm 2022-2023) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 9 + + = xy yz xz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 10 10 = + + S x y z Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 4 8 16 8 16 8 + ≥ + ≥ + ≥ x y xy x z zx y z yz Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có: ( ) 2S 8 36 ≥ + + ≥ xy yz xz Vậy min 1 36 4 = = = ⇔ = x y S z Câu 27. (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng năm 2022-2023) Cho , , a b c là các số dương và 6. + + = a b c Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 . 4 4 4 = + + + + + + + + a b c P a ab b b bc c c ca a Lời giải Với a,b 0 > , ta chứng minh 3 2 2 2 ≥ − + a b a a b . - Áp dụng: ( ) 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 − − − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ + a b a b ab ab a b Khi đó: 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 + − = = − ≥ − = − + + + a a a b ab ab ab b a a a ab a b a b a b
- 43. liệu word toán SĐT (zalo): 17 Website: 3 2 2 2 ⇒ ≥ − + b c b b c 3 2 2 ; 2 ≥ − + c a c c a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 + + + + ≥ + + + a b c a b c a b b c c a - Áp dụng:( ) ( ) 2 2 2 0 2 4 − ≥ ⇔ + ≥ a b a b ab Ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 3 4 2( ) ≥ = + + + + + + a a a a ab b a a b b a b ; 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 3 4 2( ) ≥ = + + + + + + b b b b bc c b b c c b c ; 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 3 4 2(c ) ≥ = + + + + + + c c c c ac a c a a c a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 1 3 6 + + + + + + + + + + ≥ + + ≥ = + + + a b c a ab b b bc c c ca a a b c a b c a b b c c a -Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2. Câu 28. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai năm 2022-2023) a) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 3 + + = a b c . Chứng minh rằng : 3 2 + + ≤ + + + ab bc ac a b b c a c b) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn + + = ab bc ca abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức + + + + + a b c a bc b ac c ab Lời giải a)Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có : 2 2 + ≥ ⇒ ≤ + ab ab a b ab a b ab 2 4 + ⇒ ≤ ≤ + ab ab a b a b Tương tự ta có : 4 + ≤ + bc b c b c , 4 + ≤ + ac a c a c Suy ra : 3 4 4 4 2 2 + + + + + + + ≤ + + = = + + + ab bc ac a b b c a c a b c a b b c a c Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 1 = = = a b c b)Ta có : + + = ab bc ca abc 1 1 1 1 ⇒ + + = a b c
- 44. liệu word toán SĐT (zalo): 18 Website: Đặt : ( ) 1 1 0, 0, 0 1 = = > > > = x a y x y z b z c 1 ⇒ + + = x y z Ta có : ( ) ( )( ) 1 2 = = = ≤ + + + + + + + + + + a yz yz yz y z a bc yz x yz x x y z x y x z x y x z Tương tự ta có : 1 1 ; 2 2 ≤ + ≤ + + + + + + + b x z c x y b ac x y y z c ab x z y z 1 2 2 3 ⇒ ≤ + + + + + = + + + + + + y z x z x y P x y x z x y y z x z y z Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 1 3 1 = + + = + + ⇔ = = = = + + + + = y z x y x z x z x y y z x y z x y x z y z x y z 1 1 1 1 3 3 ⇔ = = = ⇔ = = = a b c a b c Vậy max 3 2 = P khi 3 = = = a b c Câu 29. (Trường chuyên tỉnh Nam Định năm 2022-2023) Xét hai số thực , x y thay đổi luôn thoả mãn điều kiện 2 + ≥ x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 8 4 2 1 = + + + + P x y x y . Lời giải 1) Điều kiện ( ) 2 3 0 1 0 1 * 2 3 0 + ≥ − ≥ ⇔ ≥ + − ≥ x x x x x Khi đó ( ) ( ) 2 2 3 1 3 2 3 3 1 2 3 3 0 + + + − = − + − ⇔ + + − + + + − − = x x x x x x x x x x Đặt ( ) 3 1 0 = + + − ≥ t x x t Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 − = = + + − ⇒ + + − = t t x x x x x x .
- 45. liệu word toán SĐT (zalo): 19 Website: Do đó phương trình trở thành ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0 2 8 0 2 4 = − + − = ⇔ + − = ⇔ = − t tm t t t t t ktm Với ( ) ( ) 2 3 1 =2 1 * = ⇒ + + − ⇔ = t x x x tm . 2) ( ) 2 2 8 4. 2 1 = + + + + P x y x y Ta chứng minh được bất đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 2 , , + ≥ + ∀ x y x y x y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = x y . Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 do 2 + ≥ + = + + ≥ x y x y x y x y Khi đó ta có ( ) 8 4. 1 ≥ + + + + P x y x y Đặt 4 = + ⇒ ≥ t x y t suy ra 8 8 4 1 2 2 1 ≥ + + = + + + P t t t t t . Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có 8 8 2 2. 2 . 8 + ≥ = t t t t Mặt khác 2 2 4 ≥ ⇒ ≥ t t Do đó 8 4 1 13 ≥ + + = P Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 = t hay 1 = = x y Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 13 đạt được khi 1 = = x y . Câu 30. (Trường chuyên tỉnh Nghệ An năm 2022-2023) Cho các số thực , , x y z thỏa mãn 1 , , 3 ≤ ≤ x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 7 9 2 3 26 = + + + + − − T x y z y z xz xyz Lời giải Theo giả thiết, ta có : ( ) ( ) 2 1 3 1 3 0 ≤ ≤ ⇒ − − ≤ z z z ( )( ) ( ) 2 3 2 2 1 3 0 5 7 3 1 ⇔ − + − ≤ ⇔ ≤ − + z z z z z z Cũng theo giả thiết ta có : ( )( ) 2 1 3 0 4 3 − − ≤ ⇒ ≤ − z z z z Thế vào (1) ta được ( ) 3 2 10 4 3 14 6 26 24 ≤ − − + = − z z z z Từ đây kết hợp với 27 3 26 27 3 26 2 0 − − ≤ − − = − < x xy , ta có : ( ) 3 2 3 26 26 24 3 26 27 3 26 24 27 3 26 24 3 3 26 − − + ≤ − − − + = − − − ≤ − − − = − − z zx xyz z z zx xyz z z x xy x xy x xy Từ đây kết hợp với 4 26 4 26 22 0 − < − = − < y ta có : ( ) 2 2 2 2 2 7 9 3 3 26 4 9 3 26 4 26 9 3 4 26 9 3 9 25 7 ≤ + + + − − = + + + − = − + + + ≤ − + + + = − + T x y y x xy x y y xy x y y y y y y y y Đến đây áp dụng 2 4 3 ≤ − y y (vì , , x y z bình đẳng) , nên ta được : ( ) 9 4 3 25 7 11 20 11.3 20 13 ≤ − − + = − ≤ − = T y y y
- 46. liệu word toán SĐT (zalo): 20 Website: Vậy giá trị lớn nhất của 13. = T Dấu bằng xảy ra khi 1; 3 = = = x z y Câu 31. (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình năm 2022-2023) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 2 3 6. + + ≤ x y z Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 3 3 9 49 49 98 49 4 9 + + + ≥ ⋅ + + xy yz zx x y z Lời giải Đặt 2 2 2 1 1 3 3 49 49 98 4 9 = + + + + + P xy yz zx x y z Đặt ; 2 ; 3 = = = a x b y c z . Khi đó 6 + + ≤ a b c Khi đó 2 6 3 = = = ab xy bc yz ca zx . Khi đó biểu thức P trở thành 2 2 2 1 2 18 9 P 49 49 98 = + + + ⋅ + + ab bc ca a b c Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2 2 2 3 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , + + + + + + ≥ + + + a a a a a a a a b b b b b b b b với 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , , , , a a a a b b b b là các số thực và 1 2 3 4 , , , 0 > b b b b . Dấu bằng xẩy ra khi 3 1 2 4 1 2 3 4 = = = a a a a b b b b Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 4 36 9 1 1 7 7 7 49 49 49 P 2 2 2 2 2 2 18 18 9 7 7 36 49 ( ) + + + = + + + ≥ + + + + + + + = ≥ = + + ab bc ca a b c a b c ab bc ca a b c Câu 32. (Trường chuyên tỉnh Phú Thọ năm 2022-2023) Cho , a b là các số thực dương thỏa mãn ( ) 2 2 2 0. + − + + = a b ab a b ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 3 3 2 1 2 3 . 2 + + + − = a b ab ab P ab Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 2 8 2 2 2 8 0 4. + − + + = ⇔ + = + + ⇔ + = + + ≥ + ⇔ + − + − ≥ ⇒ + ≥ + a b ab a b ab ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b
- 47. liệu word toán SĐT (zalo): 21 Website: Lại có ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 0 1 . 2 + − + + = ⇔ = + ⇔ = − + + a b ab a b ab ab a b ab a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 3 1 2 2 1 1 1 3 = 2 2 2 + + + − + + + − = + − = + + = + + − + + − − = + + + + + a b ab ab ab a b ab P ab ab ab a b a b ab ab a b a b a b a b ( ) ( ) 2 2 3 64 64 127 3 64 64 127 3 71 3 . . . 2 4 2 4 = + + + − + ≥ + − + = + + + + + a b a b a b a b a b a b a b Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 71 . 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2. = = a b Câu 33. (Trường chuyên Toán Phú Thọ năm 2022-2023) Cho , , x y z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 . = + + + + + x y z P x y y z z x Lời giải Ta có 4 4 4 1 1 1 . 1 1 1 = + + + + + P y x z x z y Đặt , , , , 0 = = = ⇒ > y z x a b c a b c x y z và 1. = abc ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 1 1 . 1 1 1 ⇒ = + + + + + P a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) ( ) ( ) 4 4 2 1 1 1 1 1 1 2 . . 16 16 2 1 1 1 + ≥ = + + + a a a Tương tự có ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , . 16 2 16 2 1 1 1 1 + ≥ + ≥ + + + + b b c c ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 1 1 1 . 16 2 1 1 1 ⇒ + ≥ + + + + + P a b c Ta chứng minh ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 + ≥ + + + ab a b với , 0. > a b Thật vậy: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 + ≥ + + + ab a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ⇔ + + + + ≥ + + a b ab a b
- 48. liệu word toán SĐT (zalo): 22 Website: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 ⇔ + + + + + ≥ + + + ⇔ + + + + + ≥ + + + + + + ⇔ + + ≥ + a b a b ab ab a b a b a b ab ab a b ab a b ab a b ab a b ( ) ( ) 2 2 1 0 ⇔ − + − ≥ ab a b ab (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi 1. = = a b Tương tự có ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 + ≥ = = + + + + + ab c ab c ab Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 1 3 3 3 3 . 2 16 2 1 1 4 16 8 16 16 1 1 1 ≥ + + − ≥ + − − = − = + + + + + ab P ab ab a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 . 16 Dấu “=” xảy ra khi 1 . = = ⇒ = = a b x y z Câu 34. (Trường chuyên Quảng Bình năm 2022-2023) Cho , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 2 2 + + ≥ + + + − + − + − a b c a b c b c a c a b a b c Lời giải Đặt 2 0 0 2 0 2 + = = + − > + = + − > ⇒ = = + − > + = x z a x a b c x y y b c a b z c a b y z c Ta cần chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 + + + + + ≥ + + x y y z z x x y z z x y Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 4 4 + + + + + ≥ + + x y y z z x xy yz zx z x y z x y Mặt khác: 2 ; 2 ; 2 + ≥ + ≥ + ≥ xy yz yz zx xy zx y z x z x x y z y . Khi đó ( ) 2 + + ≥ + + xy yz zx x y z z x y Từ ( ) ( ) 1 , 2 ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 + + + + + ≥ + + x y y z z x x y z z x y Vậy 2 2 2 + + ≥ + + + − + − + − a b c a b c b c a c a b a b c Dấu bằng xãy ra khi = = a b c Câu 35. (Trường chuyên Quảng Nam năm 2022-2023)
- 49. liệu word toán SĐT (zalo): 23 Website: Chứng minh rằng 2 2 2 2 4 3 + + ≥ + x y x y y x y x với mọi số thực x; y khác 0. Lời giải Cách 1: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 3 4 4 3 4 3 ( 0) + + + + + ≥ + ⇔ ≥ ⇔ + + ≥ + > x y x y x y x y x y y x xy y x x y x y x y xy x y do x y ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ⇔ + − + + − + ≥ x y x y xy x y xy x y ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 ⇔ + + − − + − ≥ ⇔ + − + − ≥ x y x y xy xy x y xy x y xy x y xy ( ) 2 2 2 3 0 (*) 2 4 ⇔ − + − ≥ y y x x y Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0. Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0. Cách 2: Đặt = + x y t y x . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 = + = + + x y x y t y x y x Theo Cô-si 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ≥ + ≥ ⇒ ≥ ⇔ ≤ − t x y t t y x Bất đẳng thức đã cho trở thành ( )( ) 2 3 2 0 1 2 0 (*) − + ≥ ⇔ − + ≥ t t t t Với 2 ≥ t , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng Với 2 ≤ − t , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng. Câu 36. (Trường chuyên Quảng Nam năm 2022-2023) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 1. xyz = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P 4 4 4 x y y z z x = + + + + + + + + . Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 4 4 4 4 4 4 x y y z z x P x y y z z x x y y z z x + + + = + + = − + − + − + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 x y y z z x x y y z z x + + + = − + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 4 4 x y x y y z y z z x z x x y y z z x + + − + + − + + − = − + + + + + + + +
- 50. liệu word toán SĐT (zalo): 24 Website: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 3 2 4 4 4 2 4 4 4 x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x + + + − − − = − + + − + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 3 2 4 4 4 x y y z z x x y y z z x + + + ≤ − + + + + + + + + (*) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 4( ) 2( ) 4 4 4 2( ) 12 6 x y y z z x x y z x y z x y y z z x x y z x y z + + + + + + + + + ≥ = + + + + + + + + + + + + Ta đi chứng minh: 2 2 2 2 2( ) 2 6 x y z x y z + + ≥ + + + (**). Thật vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 6 6 x y z x y z x y z x y z + + ≥ ⇔ + + ≥ + + + + + + 3 xy yz zx ⇔ + + ≥ 3 xy yz zx + + ≥ là bất đẳng thức đúng vì 2 3 3 ( ) 3 xy yz zx xyz + + ≥ = (bđt Cô si) Từ (*) và (**) suy ra 1 1 4 3 .2 2 2 2 P P ≤ − = ⇒ ≤ (Dấu “=” xảy ra khi 1 x y z = = = ). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là bằng 1 2 . Cách khác: 1 1 1 P 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 z x y xy yz zx z x y ≤ + + = + + + + + + + + 3 1 1 1 1 4 4 2 1 2 1 2 1 x y z = − + + + + + Đặt 3 3 3 , , x a y b z c = = = . Khi đó , , 0 a b c > và 1 abc = 3 3 3 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 abc abc abc x y z a abc b abc c abc + + = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . ( ) 2 . ( ) 2 . ( ) bc ca ab bc ca ab a bc b ca c ab ab ca bc ab bc ca bc ca ab = + + = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 . ( ) 2 . ( ) 2 . ( ) ( ) bc ca ab bc ca ab ab ca bc ab bc ca bc ca ab bc ca ab + + + + ≥ = = + + + + + + + Suy ra 3 1 1 P 4 4 2 ≤ − = (Dấu “=” xảy ra khi 1 x y z = = = ). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là bằng 1 2 . Câu 37. (Trường chuyên Quảng Ninh năm 2022-2023) Cho các số thực dương thỏa mãn + ≤ x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 = + + + + P x y z x y z . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có , , x y z 2 2 1 1 1 1 2 2 . + ≥ = x y xy x y
- 51. liệu word toán SĐT (zalo): 25 Website: ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 4 − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ x y x y xy x y xy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + x y x y xy x y x y Khi đó ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 = + + + + P x y z x y z ( ) 2 2 2 2 1 2 ⇒ ≥ + + + P x y z xy z ( ) ( ) 2 2 2 2 8 1 2 ⇒ ≥ + + + + P x y z z x y 2 2 1 1 8. 2 + ⇒ ≥ + + + x y z P z x y Đặt 2 + = x y t z Do + ≤ x y z nên 0 1 < ≤ t Ta có ( ) 8 1 1 2 ≥ + + P t t với 0 1 < ≤ t 8 17 1 15 17 1 15 17 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ = + + = + + + ≥ + + t t t P t t t t 15 17 1 17 2 2 ⇒ ≥ + + = P 17 ⇒ ≥ P Dấu “ ” = xảy ra khi 1 2 = = x y z Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17 khi 1 2 = = x y z Câu 38. (Trường chuyên Quảng Trị năm 2022-2023) Chứng minh rằng với mọi số thực , , x y z ta có: ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 . − + − + − + ≥ + + x x y y z z xyz x y z Lời giải Đặt ( )( ) 2 2 1 1 ; . = − + − + = p x x y y q xy Dễ thấy 0, , > ∀ ∈ p x y BĐT trở thành ( ) ( ) 2 2 3 3 3 1 0 − − + + − ≥ p q z p q z p Xét ( ) ( ) 2 2 ( ) 3 3 3 1 = − − + + − g z p q z p q z p Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 3 3 1 3 12 2 1 ∆ = + − − − = − − − − − p q p q p p q p p q Vì [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 0, , − − = − + + + − = − − + − ≥ ∀ ∈ p q xy x y x y x y x y x y
- 52. liệu word toán SĐT (zalo): 26 Website: Suy ra: 2 2 3 2 0 − = + − > p q p p q và 0, , ∆ ≤ ∀ ∈ x y Vậy ( ) 0, , , ≥ ∀ ∈ g z x y z (theo câu 4.1). Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = x y z Câu 39. (Trường chuyên Sơn La năm 2022-2023) Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 4 4 17 5 5 1. + + + + ≥ x y xy x y Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 17 17 16 . = + + P x y xy Lời giải: Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 4 4 17 5 5 1 4 9 5 1 + + + + ≥ ⇔ + + + + ≥ x y xy x y x y xy x y Đặt , t 0 =+ > t x y , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( ) 2 2 . 4 4 + ≤ = x y t xy Do đó: 2 2 9 2 2 2 4 5 1 4 5 − + + ≥ ⇒ ≥ t t t t hay 2 2 2 . 5 − + ≥ x y Ta có: ( ) 2 2 2 17 17 16 17 18 = + + = + − P x y xy x y xy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 25 25 2 2 2 17 18 6 4 2 4 4 4 5 + − ≥ + − = + ≥ =− x y x y x y Dấu “=” xảy ra khi 2 1 5 − = = x y Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 4 2 − Câu 40. (Trường chuyên Tây Ninh năm 2022-2023) Cho , , x y z là các số thực thỏa mãn 0 , , 1 ≤ ≤ x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 = + + − + + T x y z x y y z z x Lời giải: Do 0 , , 1 ≤ ≤ x y z nên ta có: 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0 − − + − − + − − ≥ x y y z z x 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ⇔ + + + + + − + + ≤ x y z x y z x y y z z x (1) Do 0 , , 1 ≤ ≤ x y z nên: 3 2 3 2 3 2 ; ; . ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ x x x y y y z z z (2) Từ đó 3 3 3 2 2 2 2( ) ( ) = + + − + + T x y z x y y z z x (1) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ≤ + + + + + − + + ≤ do x y z x y z x y y z z x . (3) Vậy giá trị lớn nhất của T là 3. Dấu bằng trong (3) xảy ra ⇔ đồng thời dấu bằng trong (1), (2) 1 1; 0 1; 0 1; 0 = = = = = = ⇔ = = = = = = x y z x y z y z x z x y (Học sinh chỉ cần nêu được 1 trường hợp xảy ra dấu bằng là được) Câu 41. (Trường chuyên Thanh Hóa năm 2022-2023)
- 53. liệu word toán SĐT (zalo): 27 Website: Xét ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 2 2 2 14 + + ≤ x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 2 48 2 = + + + + + P x y x z y Lời giải: Phá căn bằng AM-GM và áp dụng dồn biến bằng cộng mẫu, ta có : ( ) ( ) 1 4 4 4 2 4 1 1 16 1 4 4 4 10 2 2 4 6 2 2 4 2 = ≥ + + + + ⇒ + ≥ + + + + + = ≥ = + + + + + x z x z x z x y z x z y y y y y Đưa 2 2 2 14 + + ≤ x y z từ bậc 2 về bậc 1 bằng BĐT Bunhia copxki cho 3 số, ta được : ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 14 + + ≤ + + + + ≤ x y z x y z Biến đổi bểu thức P về mô hình 1 biến nghịch đảo : ( ) ( ) ( ) 768 48.16 2 3 10 2 3 30 10 10 2 3.48.16 14 30 52 48.16 3 10 10 52 2 3 14; 4; 2 6 1; 2; 3 1 2 3 ≥ + + = + + + + = + + − + + + + + + ≥ − − = + + + = + + + ⇒ = ⇔ + + = + = + = ⇒ = = = = = P x y x y z x y z x y z x y z P x y z x y z Min P x y z x z y x y z x y z Câu 42. (Trường chuyên Thừa Thiên Huế năm 2022-2023) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn 3. + + = xy yz zx Chứng minh rằng . 2 2 2 3 . 32 15 15 15 + + + + + ≤ + + + x y z x y z x y z Lời giải: Ta có: ( )( ) ( )( ) 2 2 2 12 15 3 12 12 4 8 = = = ≤ + + + + + + + + + + + + + x x x x x x y x z x x x xy yz zx x y x z ( )( ) 1 1 1 4 8 4 ≤ + + + x x y y z (Theo bất đẳng thức 1 1 1 1 4 ≤ + + a b a b ) 1 1 1 1 16 2 2 ≤ + + + x x y z (Theo bất đẳng thức 1 1 1 1 2 ≤ + a b ab ) ( ) ( ) . 32 32 32 ≤ + + + + x x x x y y z
- 54. liệu word toán SĐT (zalo): 28 Website: Tương tự ( ) ( ) 2 32 32 32 15 ≤ + + + + + y y y y y z z x y ( ) ( ) 2 32 32 32 15 ≤ + + + + + z z x z z x x y z Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 15 15 15 . 32 32 32 32 32 32 32 32 32 + + + + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + x y z x y z x x x y y y z x z x y y z y z z x z x x y 3 . 32 + + + ≤ x y z Vậy: 2 2 2 3 . 32 15 15 15 + + + + + ≤ + + + x y z x y z x y z Dấu " " = xảy ra khi 1. = = = x y z Câu 43. (Trường chuyên Thừa Thiên Huế năm 2022-2023) Cho hai số , x y liên hệ với nhau bởi đẳng thức ( ) 2 2 2 2 10 21 0 x y xy x y + − + − + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 S x y = − + . Lời giải: Viết lại biểu thức đã cho thành ( ) ( ) 2 2 2 6 2 5 x y x y y − + + − + + = − . Như vậy với mọi x và mọi y ta luôn có 2 6 5 0 S S + + ≤ (với 2 S x y = − + ) Suy ra: ( )( ) 5 1 0 5 1 S S S + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − . Do đó: Giá trị nhỏ nhất của S bằng 5 − khi 7 0 x y = − = Giá trị lớn nhất của S bằng 1 − khi 3 0 x y = − = . Câu 44. (Trường chuyên Thừa Thiên Huế năm 2022-2023) Cho là các số thực dương thảo mãn 1 1 1 12. , , + + = a b c a b c Chứng minh rằng: 1 1 1 3. 2 2 2 = + + ≤ + + + + + + P a b c b c a c a b Lời giải: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 1 1 1 1 4 + ≥ ⇒ ≤ + + + x y x y x y x y Dấu đẳng thức xảy ra khi 0. = > x y Ta có: 1 1 1 1 1 2 4 = ≤ + + + + + + + + a b c a b a c a b a c
- 55. liệu word toán SĐT (zalo): 29 Website: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . 4 4 16 ≤ + + + = + + a b a c a b c Suy ra: 1 1 2 1 1 . 2 16 ≤ + + + + a b c a b c (1) Tương tự ta có: 1 1 1 2 1 . 2 16 ≤ + + + + b a c a b c (2) 1 1 1 1 2 . 2 16 ≤ + + + + c a b a b c (3) Cộng (1); (2); (3) theo vế ta được 1 4 4 4 1 1 1 1 1 .12 3 16 4 4 ≤ + + = + + = = P a b c a b c . Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 . 4 = = = a b c Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy dạng cộng mẫu ta đc: 16 1 1 1 1 2 16 1 1 1 1 2 16 1 1 1 1 2 ≤ + + + + + ≤ + + + + + ≤ + + + + + a b c a a b c b c a b b c a c a b c c a c Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được: 16 16 16 1 1 1 16 4 4.12 48 2 2 2 = + + ≤ + + = = + + + + + + P a b c b c a c a b a b c (do 1 1 1 12 + + = a b c ). Do đó 1 1 1 3. 2 2 2 = + + ≤ + + + + + + P a b c b c a c a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 1 . 1 1 1 4 12 = = > ⇔ = = = + + = a b c a b c a b c Câu 45. (Trường chuyên Vĩnh Long năm 2022-2023) Cho hai số thực không âm a , b . a) Chứng minh ( ) 2 2 2 + ≤ + a b a b . b) Biết 2 2 6 + = a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 = + + ab P a b . Lời giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ab a b a b a b a b a b . b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + − − = = = = + − − + + + + + + + + a b a b a b ab P a b a b a b a b a b
- 56. liệu word toán SĐT (zalo): 30 Website: 2 3 2 2 2 3 + ≤ ⇒ + + ≤ + a b a b 2 1 2 1 3 ⇒ ≥ + + + a b Vậy 1 3 3 3 2 3 2 2 1 3 − + ≤ − − = + P . Dấu “ ” = xảy ra khi 2 2 3 6 ⇔ = = = + = a b a b a b . Vậy 3 3 3 x 2 − + = Ma P khi 3 = = a b . Câu 46. (Trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2022-2023) Cho các số thực dương , , a b c thảo mãn điều kiện 2 2 2 3 + + + + + ≤ a b c ab bc ca . a) Chứng minh rằng: 3 2 2 + + ≤ a b c . b) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 2 3 2 3 6 ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ + + + ab bc ca a b b c c a . Lời giải: a) Ta có: 2 2 2 2 3 ( ) 3 . + + + + + ≤ ⇔ + + ≤ + + + a b c ab bc ca a b c ab bc ca Mà 2 ( ) 3 + + + + ≤ a b c ab bc ca nên: 2 2 ( ) 3 2 ( ) 3 3 2 + + + + ≤ + ⇔ + + ≤ a b c a b c a b c . b) Ta có: 2 2 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ) + + + + + + + ≥ + + ab ab a b c ab bc ca a b a b 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + = = = + + + + a b c ab bc ca a b b c c a b c c a a b a b a b . Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được: 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + ab bc ca b c c a a b c a a b b c a b b c c a a b b c c a Áp dụng bất đẳng thức AG-MG, ta được: 3 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 . . 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + + + ≥ = + + + + + + b c c a a b c a a b b c b c c a a b c a a b b c a b b c c a a b b c c a Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 . 2 = = = a b c Câu 47. (Trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2022-2023) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1 + + = a b c . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 + + + + + ≥ b a c b a c ab bc ca Lời giải: Để chứng minh bài toán ta chứng minh bất đẳng thức sau:
- 57. liệu word toán SĐT (zalo): 31 Website: 2 2 2 2 3( ) ( ) + + ≥ + + x y z x y z (1) là đúng (1) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 ⇔ + + ≥ + + + + + x y z x y z xy yz zx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ⇔ + + − − − ≥ x y z xy yz zx 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 ⇔ − + + − + + − + ≥ x xy y x xz z y yz z 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 ⇔ − + − + − ≥ x y x z y z luôn đúng Dấu “=” xảy ra khi x = y = z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 3 + + + + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ b a c b a c ab bc ca a b b c c a Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 (1) 3 + = + + ≥ + + ⇒ + ≥ + + a b b a b a b b a b b a b Tương tự: 2 2 1 2 1 1 1 1 (2) 3 + ≥ + + b c c b c 2 2 1 2 1 1 1 1 (3) 3 + ≥ + + c a a c a Từ (1), (2) và (3) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 3 3 3 ⇒ + + + + + ≥ + + = a b c a b b c c a Dấu “=” xảy ra 1 1 1 1 1 1 1 = = ⇔ + + = a b c a b c 3 ⇒ = = = a b c
- 58. liệu word toán SĐT (zalo): 1 Website: BẤT ĐẲNG THỨC VÀO 10 CHUYÊN NĂM 2021-2022 Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021-2022) Xét các số thực , , a b c không âm, thòa măn 2 2 2 1 a b c + + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 a b c S bc ac ab = + + + + + . Lời giải Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) 2 ... 1 2 2 2 bc bc b c a b c bc b c a b c b c a b c a b c a c bc a b c tuongtu bc a b c a b c S a b c a b c a b c + = + + = + + + + = + + + ≥ + + ≥ + + ⇒ + ≥ + + ⇒ ≤ + + + ⇒ ≤ + + = + + + + + + Khi a = b = 0 , 2 2 = c thì S = 2 . Vậy giá trị lớn nhất của S là 2 . Theo BĐT AM-GM: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1)(2 ) 1 1 2 (1 ) 1 2 2 4 4 2 a b c a b c a b c a bc + + + + + + + + + + ≤ + = ≤ Từ đó : 2 2 2 2 2 2 . Tuong tu ; 1 Khi 1; 0 thì 1 . 1 1 1 a b c a b c S a b c a b c S bc ac ab ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ + + = = = = = + + + Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 1. Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021-2022) Cho ba số thực dương x, y z thỏa 3 2 xy xz + = . Chứng minh rằng: 8 4 5 7 yz xz xy x y z + ≥ + . Lời giải Ta đặt 4 5 7 yz xz xy M x y z = + + , ta có 4 5 7 3 4 3 4 3 4 yz xz xy M x y z yz yz xz xz xy xy x x y y z z yz xz yz xy xz xy x y x z y z = + + = + + + + + = + + + + +
|
