nhất ba ẩn được gọi là nghiệm của hệ phương trình đó. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ####### ####### ý þ Trong đó x y z , , là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số; các hệ số của ba ẩn x y z , , trong mỗi phương trình không đồng thời bằng 0. Cho hai hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 ####### (I) ; (II) a x b y c z d m x n y p z q a x b y c z d m x n y p z q a x b y c z d m x n y p z q ####### ####### ý ý þ þ Nhận xét
####### 2 3 5 13 ####### 4 2 3 3 ####### 2 4 1 ####### ####### ý þ x y z x y z x y z b) ####### 2 3 ####### 5 3 16 ####### 2 5 ####### ý þ x y z x y z x y Lời giải Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ ba chứa z 2. Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Thay x y z 1; 2; 3 vào các phương trình trong hệ ta đượcc CHUYÊN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ ####### 3 3 ####### 16 16 ####### 5 5. ####### ý þ Bộ ba số (1;2; 3) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.Do đó (1;2; 3) là một nghiệm của hệ. Luyện tập 1. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số ( 3;2; 1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.
####### 2 3 1 ####### 2 3 7 15 ####### 3 4 3 ####### ý þ x y z x y z x y z b) ####### 4 ####### 2 3 1 ####### 3 2 7 ####### ####### ý þ x y z x y z x z Lời giải a) Bộ ba số ø–3;2;–1ùkhông là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được ø ù–3 2 – 3. –1 1, ø ù đây là đẳngthức sai. b) Bộ ba số ø–3;2;–1ùcó là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất đã cho.Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng: ø ù ø ùø ù ø ùø ù ø ù####### – –3 2 –1 4; ####### 2. –3 2 – 3. –1 –1; ####### 3. –3 – 2. –1 –7. ####### ####### ####### ####### II. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: ####### 5 2 3 ####### 2 6 ####### 3 12 x y z y z z ####### ý þ Lời giải Ta có: 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 6 2 6 2 ( 4) 6 3 12. 4 4 x y z x y z x y z y z y z y z z z ####### ####### ý ý ý þ þ þ 5 2 3 5 5 2 ( 4) 3 2 5 5 5 4 4 4. ####### ####### ý ý ý þ þ þ x y z x x y y y z z z Nhận xét: Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng cách biến đổi hệ đó về hệ có dạng tam giác gọi là phương pháp khử dần ẩn số hay phuơng pháp Gauss. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: ####### 3 2 1 ####### 5 3 10 ####### 3 7 4 7 x y z x y z x y z ####### ####### ý þ Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ ####### 2 6 5 2 6 5 2 6 5 ####### 2 3 3 4 8 3 4 8 ####### 4 2 13 4 2 13 6 8 8 ####### 2 6 5 2 6 5 ####### 3 4 8 3 4 8 ####### 3 4 4 0 12 x y z x y z x y z x y z y z y z x y z x y z y z x y z x y z y z y z y z ####### ####### ý ý ý þ þ þ ý ý þ þ Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: ####### 3 3 3 ####### 5 1 ####### 3 2 3 x y z x y z x y ####### ý þ Lời giải: ø ù####### 3 3 3 3 3 3 3 3 3(1) ####### 5 1 4 12 0 4 12 0(2) ####### 3 2 3 3 2 3 3 0 3 x y z x y z x y z x y z y z y z x y x y y z ####### ####### ý ý ý þ þ þ Hai phương trình (2) và (3) tương đương. Khi đó, hệ phương trình đưa về: 3 3 3 3 6 3 2 1 2 1 3 0 3 3 3. x y z x z x z x z y z y z y z y z ####### ý ý ý þ ####### ý þ þ þ Đặt z t với t là số thực bất kì, ta có: x t y t 2 1, 3 . Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm ø x y z ; ; ù ø 2 1;3 ; t t t ùvới t là số thực bất kì.Luyện tập 3. Giải hệ phương trình ####### 3 1 ####### 0 ####### 2 1 x y z y z x y ####### ý þ Lời giải: 3 1 3 1(1) 0 0(2) 2 1 3 3 0(3) x y z x y z y z y z x y y z ####### ####### ý ý þ þ Hai phương trình (2) và (3) tương đương. Khi đó, hệ phương trình đưa về: 3 1 1 3 1 2 0 x y z x y z x z y z y z y z ####### ý ý ý þ þ þ Đặt z t với t là số thực bất kì, ta có: x 1 2 , t y t . Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm ( ; ; ) ( 1 2 ; ; ) x y z t t t với t là số thực bất kì. III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Ta có thể tìm nghiệm của hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn bằng cách sử dụng máy tính cầm tay. Mỗi máy tính khác nhau có thể có các phím khác nhau. Tuy nhiên, đều có quy tắc chung là phải mở chương trình giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn rồi mới nhập dữ liệu. Ví dụ 5. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình: 3 2 2 5 6 3 1 x y z x y z x y z ####### ####### ý þ Lời giải Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím: Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 5 Ta thấy trên màn hình hiện ra 29 60 x . Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra y 158. Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra 13 12 z . Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ; ; ) 29 8 13; ; 60 15 12 ####### x y z . Chú ý: MODE 5 2 để vào chế độ giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Luyện tập 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình: ####### 2 3 4 5 ####### 4 5 6 ####### 3 4 3 7 x y z x y z x y z ####### ý þ Lời giải: Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím: Ta thấy trên màn hình hiện ra 22 x 101 ####### . Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra 131 y 101 ####### . Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra 39 101 z . Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ; ; ) 22 131 39; ; 101 101 101 ####### x y z . ####### BÀI TẬP ####### DẠNG 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA Câu 1. Kiểm tra xem mỗi bộ số ( ; ; ) x y z đã cho có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không. a) ####### 3 2 1 ####### 5 3 16 (0;3; 2),(12;5; 13),(1; 2;3) ####### 3 7 14 ####### ####### ý þ x y z x y z x y z b) ####### 3 4 10 ####### 2 6 ( 2;4;0),(0; 3;10),(1; 1;5) ####### 2 8 ####### ####### ý þ x y z x y z x y z c) ####### 100 ####### 1 (4;18;78),(8;11;81),(12;4;84). ####### 5 3 3 100 ####### ý þ x y z x y z Câu 2. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (2;0; 1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không. a) ####### 2 4 ####### 2 5 ####### 3 2 6 ####### ý þ x z x y z x y
####### 2 3 7 ####### 2 2 ####### 2 1 ####### ý þ x y z x y z x y Câu 3. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1;2;2), ( 1;2;3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không? Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 7 a) ####### 2 20 ####### 5 ####### 10 ####### ####### ý þ x y z x y x b) ####### 3 20 ####### 3 ####### 3 7 ####### ####### ý þ x y z x z x z Câu 13. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) ####### 2 2 ####### 3 ####### 2; ####### ý þ x y z x y x y z b) ####### 3 2 ####### 2 5 ####### 2; ####### ý þ x y z x y z x y c) ####### 3 6 ####### 2 2 6 ####### 4 7 6 ####### ý þ x y z x y z x y d) ####### 3 6 ####### 2 2 6 ####### 4 7 3; ####### ý þ x y z x y z x y e) ####### 3 7 2 ####### 4 11 ####### 5 9 22; ####### ý þ x y z x y z x y z f) ####### 2 3 4 2 ####### 5 2 3 ####### 7 4 6 1 ####### ý þ x y z x y z x y z Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay. Câu 14. Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ####### ####### ý þ a) Giả sử ø x y z 0 0 0; ; ù và ø x y z 1 1 1; ; ù là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minhrằng 01 ; 0 1 0; 1 2 2 2 ####### ####### x x y y z z cũng là một nghiệm của hệ.
ø ùø ùø ù####### 3 3 1 ####### 2 2 ####### 2 1 3 x y z x y z y z ####### ####### ý þ Câu 16. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: ø ùø ùø ù####### 2 3 9 1 ####### 2 3 4 2 ####### 5 4 2 3 x y z x y z x y z ####### ####### ý þ Câu 17. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: ø ùø ùø ù####### 2 2 1 1 ####### 4 8 2 ####### 2 2 7 3 x y z x y z x y z ####### ####### ý þ Câu 18. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) ####### 2 1 ####### 2 2 ####### 3 3; ####### ####### ý þ x y x y z x y z b) ####### 3 2 2 ####### 2 1 ####### 2 3 3 2; ####### ####### ý þ x y z x y z x y z c) ####### 0 ####### 4 2 1 ####### 4 3 1 ####### ####### ý þ x y z x y z x y z Câu 19. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) ####### 2 3 4 ####### 3 2 ####### 2 3; ####### ý þ x y x y x y z b) ####### 2 ####### 3 2 8 ####### 3 4; ####### ý þ x y z x y z x y z c) ####### 5 2 ####### 2 4 2 ####### 2 4. ####### ý þ x y z x y z x y z Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ ####### DẠNG 3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN Câu 20. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau: a) ####### 2 3 2 ####### 2 2 3 ####### 2 3 5 ####### ý þ x y z x y z x y z b) ####### 3 1 ####### 5 4 0 ####### 2 3 1 ####### ý þ x y z y z x y z c) ####### 3 1 ####### 3 5 3 ####### 4 2 1 ####### ý þ x y z x y z x y z Câu 21. Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ sau: a) ####### 7 ####### 3 2 2 5 ####### 4 3 10 ####### ý þ x y z x y z x y z b) ####### 2 9 ####### 2 3 9 ####### 5 2 9 36 ####### ý þ x y z x y z x y z Câu 22. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau: a) ####### 2 1 ####### 3 2 2 ####### 3 3 3 5; ####### ####### ý þ x y z x y z x y z b) ####### 2 3 2 5 ####### 2 3 4 ####### 3 2; ####### ####### ý þ x y z x y z x y z c) ####### 1 ####### 2 1 ####### 4 3 3. ####### ####### ý þ x y z x y z x y z Câu 23. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau: a) ####### 5 2 ####### 3 4 3 ####### 2 1; ####### ý þ x z x y z x y z b) ####### 2 3 ####### 2 1 ####### 3 2 2; ####### ý þ x y z x y z x y z c) ####### 2 1 ####### 2 2 2 ####### 4 7 4 4. ####### ý þ x y z x y z x y z DẠNG 4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 24. Tìm số đo ba góc của một tam giác, biết tổng số đo của góc thứ nhất và góc thứ hai bằng hai lần số đo của góc thứ ba, số đo của góc thứ nhất lớn hơn số đo của góc thứ ba là 20 . Câu 25. Bác Thanh chia số tiền 1 tỉ đồng của mình cho ba khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng. Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba. Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho mỗi khoản. Câu 26. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một parabol và độ cao h của quả bóng được tính bởi công thức ####### 1200 h at v t h 2 , trong đó độ cao h và độ cao ban đầu h 0 được tính bằng mét, t là thời gian của chuyển động tính bằng giây, a là gia tốc của chuyển động tính bằng m s v / , 20 là vận tốc ban đầu được tính bằng m s /. Tìm a v h , ,0 0 biết sau 0,5 giây quả bóng đạt được độ cao 6,075 m; sau 1 giây quả bóng đạt độ cao 8,5 m; sau 2 giây quả bóng đạt độ cao 6 m. Câu 27. Một cửa hàng bán đồ nam gồm áo sơ mi, quần âu và áo phông. Ngày thứ nhất bán được 22 áo sơ mi, 12 quần âu và 18 áo phông, doanh thu là 12580000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi, 10 quần âu và 20 áo phông, doanh thu là 10800000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo sơ mi, 15 quần âu và 12 áo phông, doanh thu là 12960000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông là bao nhiêu? Biết giá từng loại trong ba ngày không thay đổi. |
