Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp: Công thức và các dạng chi tiếtBài viết dưới đây giúp các bạn trả lời các câu hỏi: Hoán vị là gì? Chỉnh hợp là gì? Tổ hợp là gì?. Bên cạnh đó là các công thức, các dạng toán và phương pháp giải chi tiết. Show
Nội Dung
1. Chỉnh hợp Trước khi sử dụng được, các em phải có cái nhìn chi tiết và thật sự hiểu về định nghĩa này để tránh việc nhầm lẫn. 1.1. Định nghĩa của chỉnh hợpChỉnh hợp có thể hiểu đơn giản như này: Trong toán học, chỉnh hợp như một cách chọn những phần tử từ những nhóm lớn hơn, và nhóm này có phân biệt thứ tự. (Lưu ý điều này ngược lại với Tổ hợp, tổ hợp sẽ không phân biệt thứ tự) Theo định nghĩa mà các em được học: Ví dụ có một tập hợp A gồm có n phần tử với điều kiện 1≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sau đó sắp xếp chúng theo cùng 1 thứ tự nào đó, kết quả thu được gọi là chỉnh hợp (chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho). 1.2. Công thức của chỉnh hợpVề công thức của chỉnh hợp, các em có thể hình dung như sau: Akn = n! / (n−k)! = n.(n−1).(n−2).(n−3)… / (n−k ).(n – k – 1).(n – k – 2)…. Trong đó: Akn là số của các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n) Trong trường hợp k=n, thì Ann = Pn = n! (Nói một cách dễ hiểu hơn, đó chính là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó) Ta có quy ước: 0! = 1 1.3. Ví dụNếu nói lý thuyết không, các em sẽ tương đối khó khăn trong việc hình dung ra. Vì vậy, các em hãy theo dõi từ ví dụ thực tế sau đây nhé. Ví dụ 1: Cho một tập hợp P= {a,b,c} Tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của tập hợp P? Giải: Chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử tập hợp P là: (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b). Chỉnh hợp tính được là P23 = 6 Ví dụ 2: Trong một lớp học, có một nhóm gồm 6 bạn học sinh. Mỗi ngày 3 trong số 6 bạn đó sẽ được phân công đi trực nhật (1 bạn lau bảng, 1 bạn quét nhà và 1 bạn sắp xếp bàn ghế). Hãy chỉ ra cách phân công sao cho phù hợp. Giải: Chúng ta tiếp tục dùng phép chỉnh hợp ở đây: Theo công thức, ta có cách phân công là: A63= 6!(63)! = 120 Vậy có 120 cách để phân công. Thông qua 2 ví dụ đã được nêu bên trên, hy vọng các em đã có một cái nhìn tổng quát về cách dùng cũng như công thức áp dụng rồi nhé! HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢPCập nhật lúc: 11:05 02-07-2018 Mục tin: LỚP 11 Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợpĐể giải quyết các bài toán đếm, ngoài 3 quy tắc đếm cơ bản, chúng ta còn cần thêm một số kiên thức nữa mới giúp việc trình bày lời giải một cách ngắn gọn, đơn giản. Chẳng hạn, các bài toán sau đều cần sử dụng công thức về hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp:
Xem thêm1000 bài toán Đại số Tổ hợp – Xác Suất có lời giải Hoán vịĐịnh nghĩa hoán vị: Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n>=1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Công thức hoán vị: \[P_n = n! = 1.2.3...(n-1).n\]Kí hiệu hoán vị của n phần tử: \(P_n\). Ví dụ về hoán vị: Hỏi: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt? Đáp: \(P_5 = 5! = 120\) số. Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợpQuảng cáo
1. Hoán vị Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi cách sắp thứ tự của \(n\) phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó. Định lí Số các hoán vị của \(n\) phần tử khác nhau đã cho (\(n ≥ 1\)) được kí hiệu là \(P_n\)và bằng: \(P_n= n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n!\) Ví dụ: Tính số cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc. Hướng dẫn: Mỗi cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của \(6\) phần tử. Vậy số cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc là \({P_6} = 6! = 720\). 2. Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử khác nhau từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho. Chú ý Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập \(n\) của \(n\) phần tử đó. Định lí Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \(A_n^k\)và bằng \(A_n^k= n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!} \) \((1 ≤ k ≤ n)\) Với quy ước \(0! = 1\). Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \(4\) chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\)? Hướng dẫn: Mỗi số tự nhiên gồm \(4\) chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy \(4\) chữ số từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(7\) phần tử. Vậy số các số cần tìm là \(A_7^4 = 840\) số. 3. Tổ hợp Định nghĩa Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp \(n\) phần tử đã cho (\(0 ≤ k ≤ n\)) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập \(0\) của n phần tử bất kỳ là tập rỗng). Định lí Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \(C_n^k\)và bằng \(C_n^k = \frac{n!}{k! (n - k)!}\) = \(\frac{A^k_{n}}{k!}\), (\(0≤ k≤ n\)) Ví dụ: Một bàn học sinh có \(3\) nam và \(2\) nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra \(2\) bạn để làm trực nhật? Hướng dẫn: Mỗi cách chọn ra \(2\) bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập \(2\) của \(5\) phần tử. Vậy số cách chọn là: \(C_5^2 = 10\) (cách) Định lí Với mọi \(n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n\), ta có: a) \(C_n^k = C_n^{n-k}\) b) \(C_n^k + C_n^{k+1}\)= \(C_{n+1}^{k+1}\). 4. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phương pháp chung: - Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình. - Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận. Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phương pháp chung: - Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình. - Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận. Loigiaihay.com
Bài tiếp theo
Quảng cáo
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
|
Định nghĩa về Chỉnh hợp
Cho 1 tập hợp Agồm n phần tử (1≤ k ≤ n)
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A, sắp xếp chúng theo 1 thứ tự nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu chỉnh hợp: Akn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤ k ≤ n )
Akn= n!/ (n−k)! = n.(n−1).(n−2).(n−3)… / (n−k ).(n – k – 1).(n – k – 2)….
Với k = n ⇒ Ann= Pn = n! Tức là 1 hoán vị của n phần tử cũng chính là 1 chỉnh hợp hợp chập n của n phần tử đó.
Quy ước chỉnh hợp: 0! = 1
Định nghĩa về Tổ hợp
TậpA cón phần tử (n ≥ 0, k ≥ 0). Mỗi tập con gồmk phầntử của tậpA được gọi là 1 tổ hợp chậpk củan phần tử đã cho.
Kí hiệu như sau:Ckn: Là số các tổ hợp chậpk của n phần tử (0 ≤ k ≤ n )
Ckn= n! / k!.(n−k)!
Sốk ởtrong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện (1 ≤ k ≤ n ). Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng vì vậy ta quy ước gọi tổ hợp chập0 củan phần tử là tập rỗng.
Quy ước:C0n= 1
Trên đây là những lý thuyết cơ bản về tổ hợp và chỉnh hợp. Trong quá trình học nhiều bạn học sinh thấy khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp cứ giống giống nhau và không phân biệt được khi nào là chỉnh hợp và khi nào là tổ hợp. Nếu bạn cũng gặp phải vấn đề này hãy tham khảo ngay thông tin dưới đây.
Cách giải bài tập qui tắc hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cực hay, chi tiết
a) Định nghĩa hoán vị:
Một tập hợp gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nàođóđược gọi là một hoán vị của n phần tử.
b)Số các hoán vị:
Pn = n! = n(n – 1)(n – 2) … 1.
c) Hoán vị vòng quanh
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử: Qn = (n – 1)!
d) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Lớp 11K có 10 học sinh. Ta muốn sắp xếp thành một hàng ngang thì có bao nhiêu cách xếp?
Hướng dẫn
Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một hàng ngang là một hoán vị của 10.
Vậy ta có tất cả: P10 = 10! = 3628800 cách xếp.
Ví dụ 2. Lớp 11K có 10 học sinh. Ta muốn sắp xếp thành một vòng tròn thì có bao nhiêu cách xếp?
Hướng dẫn
Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một vòng tròn kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của 10.
Vậy ta có tất cả: Q10 = (10 – 1)! = 9! = 362880 cách xếp.
Ví dụ 3. Trong tủ sách có tất cả 5 quyển sách khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho quyển sách thứ nhất kề quyển sách thứ hai.
Hướng dẫn
+ Chọn hai vị trí liên tiếp trong 5 vị trí gộp lại để xếp quyển thứ nhất và quyển thứ hai kề nhau. Suy ra có 4 vị trí để xếp hai quyển này, vậy có 4 cách.
+ Xếp hai quyển sách thứ nhất và thứ hai, có hai cách xếp (hoán vị cho nhau)
+ Sắp 3 quyển sách còn lại vào 3 vị trí, có 3! cách.
+ Vậy có tất cả: 4. 2. 3! = 8. 6 = 48 cách.
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nàođóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
Chú ý:
- Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 và k = n
Quy ước: 0! = 1 và An0 = 1
- Khi k = n thì Ann = Pn = n! (hoán vị)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Xếp 5 người vào mỗi băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (mỗi người ngồi một ghế).
Hướng dẫn
+ Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế 7 chỗ ngồi và xếp 5 người đó vào 5 vị trí ngồi chính là chỉnh hợp chập 5 của 7.
+ Vậy có: A75 = 2520 cách.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng, cho một tập gồm 7 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto
Hướng dẫn
+ Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm (A, B) cho ta một vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B và ngược lại. Như vậy, mỗi vecto có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 7 điểm đã cho.
+ Vậy số vecto cần tìm là: A72 = 42 (vecto).
a) Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử
Lưu ý: Công thức này cũng đúng với k = 0
Quy ước: Cn0 = 1 (coi ∅ là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử)
c) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Có 10 cuốn sách khác nhau. Chọn ra 4 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Hướng dẫn
Mỗi cách chọn ra 4 cuốn sách trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có C104 = 210 cách chọn.
Ví dụ 2. Lớp 11A có 19 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 bạn nam và 2 bạn nữ để đi tham gia chiến dịch phòng chống “Sốt xuất huyết” của Huyện Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Hướng dẫn
+ Chọn ra 4 bạn nam trong 19 bạn nam có: C194= 3876 cách chọn
+ Chọn ra 2 bạn nữ trong 15 bạn nữ có: C152 = 105 cách chọn
+ Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: 3876 . 105 = 406980 cách.
a) Dạng 1: Bài toán đếm
● Phương pháp giải:
Sử dụng hai quy tắc công và quy tắc nhân, các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
● Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau gồm 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
A. 840
B. 432
C. 35
D. 576
Hướng dẫn
+ Các chữ số lẻ trong 7 chữ số trên là: 1, 3, 5, 7, có 4 số
Suy ra chọn hai chữ số lẻ có: C42 cách
+ Các chữ số chẵn trong 7 chữ số trên là: 2, 4, 6, có 3 số
Suy ra chọn hai chữ số chẵn: có C32 cách
+ Với 4 chữ số đã chọn ở trên, ta xếp vào 4 vị trí có: 4! cách
Theo quy tắc nhân, vậy có thể lập được: C42.C32.4! = 432 số.
Đáp án B
Ví dụ 2. Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi mội khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
A. 120
B. 504
C. 720
D. 480
Hướng dẫn
Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
+ Ta có: a1 ∈ {1;2;3;4;5} (vì chữ số đầu tiên không thể bằng 0) ⇒ Có 5 cách chọn a1
+ Tiếp theo ta bỏ a1 và 0 thì tập hợp đã cho còn lại 4 chữ số. Ta chọn 3 chữ số từ 4 chữ số đó, ta có C43 cách chọn.
Chúng ta xếp chữ số 0 và 3 chữ số vừa chọn được vào 4 vị trí a2; a3; a4; a5 ta được 4! cách xếp.
Do đó chọn cho các chữ số a2; a3; a4; a5 có mặt chữ số 0 ta có: C43.4! cách.
+ Vậy theo quy tắc nhân, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài có thể lập được là: 5.C43.4! = 480 số.
Đáp án D
Ví dụ 3. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang ghế số chẵn, 3 vé mang ghế số lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong 6 bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn yêu cầu của tất cả các bạn đó?
A. 36
B. 180
C. 72
D. 18
Hướng dẫn
+ Trong 6 vé có 3 vé mang ghế số chẵn, do đó xếp 2 bạn vào ghế mang số chẵn có A32cách (vì sắp thứ tự luôn hai bạn đó nên ta dùng chỉnh hợp).
+ Tương tự, xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có A32 cách.
+ Vậy còn lại 2 bạn và 2 chỗ, Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách.
+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu của tất cả các bạn đó là: A32.A32.2! = 72 cách.
Đáp án C
b) Dạng 2: Bài toán chọn người (vật), xếp vị trí, công việc
● Phương pháp giải
Sử dụng các quy tắc cộng, quy tắc nhân, khái niêm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
● Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
A. 1200
B. 1800
C. 1000
D. 200
Hướng dẫn
+ Chọn 3 bì thư trong 6 bì thư có C63 cách.
+ Chọn 3 tem thư trong 5 tem thư có C53 cách.
+ Dán 3 tem thư lên 3 bì thư thì có 3! cách dán.
+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách chọn cần tìm là: C63.C53.3! = 1200 cách.
Đáp án A
Ví dụ 2. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
A. 80640
B. 108864
C. 145152
D. 217728
Hướng dẫn
Xét các trường hợp sau:
+ TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau
Gộp 2 học sinh lớp A lại thành một (để đứng cạnh nhau) và xếp cùng với 7 học sinh của hai lớp còn lại thì có 8! cách.
Xếp hai học sinh lớp A thì có 2! cách.
Vậy có: 2!.8! cách xếp để 2 học sinh lớp A đứng cạnh nhau.
+ TH2: Giữa hai học sinh lớp A có 1 học sinh lớp C.
Chọn 1 học sinh lớp C để xếp cùng 2 học sinh lớp A có A41 cách.
Xếp hai học sinh lớp A thì có 2! cách.
Xếp 6 học sinh còn lại của hai lớp cùng với 1 nhóm 3 học sinh trên có 7! cách
Vậy có: 2!. A41.7! cách xếp để có 1 học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A.
+ TH3: Giữa hai học sinh lớp A có 2 học sinh lớp C.
Tương tự TH2, vậy ta có: 2!. A42. 6! cách.
+ TH4: Giữa hai học sinh lớp A có 3 học sinh lớp C, có 2!.A43.5! cách.
+ TH5: Giữa hai học sinh lớp A có 4 học sinh lớp C, có 2!.A44.4! cách.
Vậy theo quy tắc cộng ta có:
2!.8! + 2!. A41.7! + 2!. A42.6! + 2!. A43.5! + 2!.A44.4! = 145152 cách.
Đáp án C
Ví dụ 3. Ông và bà An cùng 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hàng hoặc cuối hàng.
A. 720
B. 1440
C. 18720
D. 40320
Hướng dẫn
Bài này ta dùng phần bù để giải quyết.
+ Có tất cả 8 người cùng lên máy bay, xếp 8 người thành một hàng dọc có 8! cách.
+ Xếp ông An và bà An vào 2 trong 6 vị trí ở giữa (8 vị trí trừ đi 2 vị trí ở đầu và cuối hàng) thì có A62 cách.
Xếp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách.
Do đó số cách xếp để ông An và bà An không đứng ở vị trí đầu và cuối hàng là A62.6! cách.
+ Vậy số cách xếp để ông An hay bà An đứng ở vị trí đầu hoặc cuối hàng là
8! - A62.6! = 10720 cách.
Đáp án C
c) Dạng 3: Bài toán liên quan đến hình học
● Phương pháp giải
- Sử dụng các quy tắc nhân, quy tắc cộng và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
- Vận dụng các khái niệm hình học liên quan.
● Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ dưới. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng?
A. 4374
B. 139968
C. 576
D. 15552
Hướng dẫn
Tô màu theo nguyên tắc sau:
+ Tô 1 ô vuông 4 cạnh: Chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó có 6.C32 cách tô.
+ Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với một ô vuông có 3 cách tô màu 1 trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong hai màu còn lại tô hai cạnh còn lại, có 3. C21 = 6 cách tô. Do đó có 63 cách tô.
+ Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với mỗi ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh ( 2 cạnh tô trước cùng màu hay khác màu nhau không ảnh hưởng đến số cách tô). Do đó có 22 cách tô.
+ Vậy có: 6. C32.63.22 = 15552 cách tô.
Đáp án D
d) Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
● Phương pháp giải
- Dựa vào công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và một số tính chất của nó để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ tổ hợp về dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số để giải.
- Một số công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và tính chất
Cho n là số nguyên dương và 0 ≤ k ≤ n, ta có:
- Chú ý về điều kiện của phương trình, bất phương trình và hệ.
● Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Số các số nguyên dương n thỏa mãn 6n – 6 + Cn3 = Cn + 13 là
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số
Hướng dẫn
Đối chiếu điều kiện vậy n = 12
Vậy có 1 số nguyên dương n thỏa mãn bài toán.
Đáp án B
Ví dụ 2. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn An2 - 3Cn2 = 15 - 5n.
A. 13
B. 10
C. 12
D. 11
Hướng dẫn
Đối chiếu điều kiện vậy n = 5 và n = 6.
Vậy tổng số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu là 5 + 6 = 11.
Đáp án D.
Ví dụ 3. Giải phương trình Ax3 + Cxx - 2 = 14x
A. Một số khác
B. x = 6
C. x = 5
D. x = 4
Hướng dẫn
Kết hợp điều kiện vậy x = 5.
Cách 2: Thử các kết quả ở phần đáp án vào phương trình đã cho, thấy x = 5 thỏa mãn. (Cách này chỉ áp dụng cho trường hợp làm bài trắc nghiệm và có đáp án thỏa mãn)
Đáp án C
Ví dụ 4. Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn đồng thời các điều kiện Cm2 = 153 và Cmn = Cmn + 2. Khi đó m + n bằng
A. 25
B. 24
C. 26
D. 23
Hướng dẫn
+ Theo tính chất Cnk = Cnn - k, vậy từ Cmn = Cmn + 2, suy ra n + 2 = m – n
⇔ 2n + 2 = m ⇔ 2n + 2 = 18 ⇔ n = 8(tm)
Vậy m + n = 18 + 8 = 26.
Đáp án C
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
