Table of ContentsBài viết dưới đây trình bày cách giải hệ phương trình bao gồm các dạng toán nâng cao của hệ phương trình và một số ví dụ chọn lọc có đáp án chi tiết. Hãy theo dõi bài viết để tìm hiểu rõ hơn về hệ phương trình nhé. Show
Các dạng toán nâng cao giải hệ phương trình và ví dụ1. Dạng 1: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.*Phương pháp giải: Dùng phương pháp thế
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ĐÁP ÁN Ta có (1) ⇔ y = 2 - x thế vào phương trình (2) ta có x2 - (2 - x) + 2x = 2 ⇔ x2 + 3x - 4 = 0 ⇔ (x - 1)(x + 4) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -4 với x = 1 suy ra y = 2 - 1 = 1 với x = -4 suy ra y = 2 - (-4) = 6 Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) = (-4; 6). 2. Dạng 2: Hệ gồm 2 phương trình có thể đưa về hệ hai phương trình bậc nhất bằng phương pháp đặt ẩn phụ.*Phương pháp giải: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ĐÁP ÁN Điều kiện: Đặt Khi đó hệ (I) trở thành: Lấy phương trình (1) cho trừ phương trình (2) ta được hệ phương trình: Với ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 1 Với ⇔ y - 2 = 3 ⇔ y = 5 Vậy nghiệm của hệ (x; y) = (1; 5). 3. Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp bậc haiHệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình có dạng: *Phương pháp giải:
Xét y = 0 Xét y ≠ 0, ta đặt: x = yt Phương trình (*) trở thành: Ay2t2 + By2t + Cy2 = 0 ⇔ At2 + Bt + C = 0
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: ĐÁP ÁN Nhân hai vế phương trình (1) với 2 sau đó trừ phương trình (2) ta được: x2 - 3xy + 2y2 = 0 (*) +) Xét y = 0 ⇒ x2 = 0 ⇔ x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn +) Xét y ≠ 0. Đặt x = ty Phương trình (*) trở thành: t2y2 - 3ty2 + 2y2 = 0 ⇔ t2 - 3t + 2 = 0 ⇔ (t - 1)(t - 2) = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 Với t = 1 suy ra x = y thay vào phương trình (1) ta có: x2 - x.x - x2 = 1 ⇔ -x2 = 1(vô lý) Với t = 2 suy ra x = 2y thay vào phương trình (1) ta có: (2y)2 - 2y.y - y2 = 1 ⇔ y2 = 1 ⇔y = 1 hoặc y = -1
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (2; 1) hoặc (x; y) = ( -2; -1). 4. Dạng 4: Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử.*Phương pháp giải: Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: ĐÁP ÁN Ta có: (1) ⇔ (x - y)2 = 0 ⇔ x - y = 0 ⇔ x = y thế vào phương trình (2) ta được: 2x2 - x2 = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1 với x = 1 suy ra y = 1 với x = -1 suy ra y = -1 Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) = (-1; -1). 5. Dạng 5: Hệ đối xứng.a) Hệ đối xứng loại 1- Hệ đối xứng loại 1 là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi. Hệ có dạng: *Phương pháp giải:
b) Hệ đối xứng loại 2- Hệ đối xứng loại 2 là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thành phương trình (1). Hệ đối xứng loại 2 có dạng: *Phương pháp giải:
Như vậy
Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là một nghiệm của nó. Ví dụ 5.1: Giải hệ phương trình sau: ĐÁP ÁN Ta thấy khi thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì hệ không thay đổi nên là hệ đối xứng loại 1. Ta có: Đặt ĐK: S2 – 4P ≥ 0 (*) Ta có hệ phương trình: Cộng phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình: S2 + S = 6 ⇔ S2 + S - 6 = 0 ⇔ (S - 2)(S + 3) = 0 ⇔ S = 2 hoặc S = -3 +) S = 2 ⇒ 2P = 2 - S = 2 - 2 = 0 ⇔ P = 0 (thỏa mãn (*)) Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 ⇔ X2 - 2X = 0 ⇔ X = 0 hoặc X = 2 +) S = -3 ⇒ 2P = 2 - S = 2 - (-3) = 5 ( không thỏa mãn (*)) Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (0; 2) hoặc (2; 0). Ví dụ 5.2: Giải hệ phương trình: ĐÁP ÁN Ta thấy khi đổi vai trò của x và y thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại nên là hệ đối xứng loại 2. Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta được phương trình: x2 - y2 = 2y - 2x ⇔ (x - y)(x + y) = 2(y - x) ⇔ x - y = 0 hoặc x + y = -2 +) x - y = 0 ⇔ x = y thế vào phương trình (1) ta được: x2 - 3 = 2x ⇔ x2 - 2x - 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x - 3) = 0 ⇒ y = x = 1 hoặc y = x = 3 +) x + y = -2 ⇔ y = -2 - x thế vào phương trình (1) ta được: x2 - 3 = 2(-2 - x) ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = -1 suy ra y = -2 - (-1) = -1 Vậy nghiệm của hệ (x; y) bằng (1; 1), (3; 3), (-1; -1). 6. Dạng 6: Hệ phương trình có chứa căn thức.*Phương pháp giải:
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau: ĐÁP ÁN Điều kiện: Đặt Khi đó (I) trở thành: Nhân 2 vế phương trình (1) với 2 sau đó trừ phương trình (2) ta được hệ phương trình: (thỏa mãn điều kiện) (thỏa mãn diều kiện) Vậy nghiệm của hệ (x; y) = (0; 4). 7. Dạng 7: Hệ có chứa dấu giá trị tuyệt đối.*Phương pháp giải:
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau: ĐÁP ÁN Cách 1: Ta có : +) y ≥ 0 phương trình (2) trở thành: y - 2y= -5 ⇔ -y = -5 ⇔ y = 5 (thỏa mãn) thay vào phương trình (1) ta được x = 4 - 5 = -1. +) y < 0 phương trình (2) trở thành: -y - 2y = -5 ⇔ -3y = -5 ( không thỏa mãn) Vậy nghiệm của hệ (x; y) là (-1; 5). Cách 2: Trường hợp 1: y ≥ 0 ta có hệ phương trình: Lấy phương trình (2') trừ phương trình (1') ta được hệ phương trình: (thỏa mãn) Trường hợp 2: y < 0 ta có hệ phương trình: Lấy phương trình (1'') cộng phương trình(2'') ta được hệ phương trình: ( không thỏa mãn) Vậy nghiệm của hệ (x; y) là ( -1; 5). Với bài viết này hi vọng các em sẽ làm quen được các dạng của giải hệ phương trình, sẽ là nền tảng cho các em thi vào lớp 10. Chúc các em thành công! |
