Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán đếm trong chủ đề hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp, bao gồm bài toán đếm số, bài toán xếp đồ vật, bài toán phân chia công việc, bài toán đếm liên quan đến hình học. Phương pháp: Dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. 1. Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của $n$ phần tử là: • Tất cả $n$ phần tử đều phải có mặt. • Mỗi phần tử xuất hiện một lần. • Có thứ tự giữa các phần tử. 2. Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi: • Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần. • $k$ phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự. 3. Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi: • Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần. • Không quan tâm đến thứ tự $k$ phần tử đã chọn. Các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa Dạng toán 1. Bài toán đếm số Ví dụ 1. Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có $5$ chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau? Gọi$A$ là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.$ Số cách chọn được $A$ là $A_{3}{2}=6$. Số chẵn có $5$ chữ số khác nhau, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau phải chứa $A$ và ba trong $4$ chữ số $0, 2, 4, 6.$ Gọi $\overline{abcd}$ $(a, b, c, d \in \{ A,0,2,4,6\})$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. • Trường hợp 1: Nếu $a=A$ thì có $1$ cách chọn $a$ và $A_{4}{3}$ cách chọn $b, c, d$. • Trường hợp 2: Nếu $a \ne A$ thi có $3$ cách chọn $a.$ + Nếu $b=A$ có $1$ cách chọn $b$ và $A_{3}{2}$ cách chọn $c,d$. + Nếu $c=A$ có $1$ cách chọn $c$ và $A_{3}{2}$ cách chọn $b,d$. Vậy có $A_{3}{2}\left( A_{4}{3}+3\left( 1.A_{3}{2}+1.A_{3}{2} \right) \right)=360$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tài liệu gồm 40 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề các dạng bài toán đếm, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2. DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÓ YẾU TỐ CHIA HẾT. Một số dấu hiệu chia hết cần lưu ý: + Số n chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6, 8. Ví dụ: 24; 508 …. + Số n chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Ví dụ: 126; 540 …. + Số n chia hết cho 4 khi 2 chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 4. Ví dụ: 116; 544 …. + Số n chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Ví dụ: 80, 205 …. + Số n chia hết cho 6 khi nó đồng thời chia hết cho 2 và 3. + Số n chia hết cho 8 khi 3 chữ số cuối cùng của nó phải chia hết cho 8. + Số n chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. + Số n chia hết cho 10 khi chữ số tận cùng của nó là 0. + Số n chia hết cho 12 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 4. + Số n chia hết cho 15 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 5. + Số n chia hết cho 20 khi hai chữ số tận cùng của nó là 00; 20; 40; 60 và 80 + Số n chia hết cho 25 khi hai chữ số tận cùng của nó là 25; 50; 75; và 00. DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÓ RÀNG BUỘC LỚN BÉ, SỐ LẦN XUẤT HIỆN CHỮ SỐ. DẠNG 3: BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI VÀ ĐỒ VẬT. DẠNG 4: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC. Một số kết quả quan trọng cần lưu ý: 1. Với n điểm cho trước trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng được tạo ra là 2Cn, số véc tơ có điểm đầu và điểm cuối lấy từ n đỉnh là 2An. 2. Cho đa giác lồi n cạnh, số đường chéo của đa giác là 2 C n n. 3. Cho đa giác lồi n cạnh, xét các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác, khi đó: Số tam giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác là n n 4; Số tam giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác là n; Số tam giác không có cạnh chung với đa giác là 3 4 C n n n n. 4. Cho đa giác đều có 2n cạnh, số các tam giác vuông có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác n n 2 2. 5. Cho đa giác đều có n cạnh, số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là 3 Cn (số tam giác tù + số tam giác vuông). 6. Cho đa giác đều có n cạnh, số tam giác tù có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác được tính bởi công thức: Nếu n chẵn 2 2 2 n n C; Nếu n lẻ 2 1 2 n n C. 7. Cho đa giác lồi n cạnh, xét các tứ giác có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác, khi đó: Số tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác là 2 4 5 n n C n A; Số tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác là 5 5 2 n n n n B; Số tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác là n C; Số tứ giác không có cạnh chung với đa giác là 4 C A B C n. 8. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT là 2 Cn. 9. Cho đa giác đều có 4n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VUÔNG là n.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] |
