VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết. Show Mời bạn đọc tham khảo tài liệu học tập Toán 10 theo bộ SGK chương trình mới của Bộ GD&ĐT:
Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giáca. Định lí cosinTrong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng. Ta có hệ thức sau: b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giácCho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là: ta có: c. Định lí sinTrong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là: Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác d. Công thức diện tích tam giácGiả sử là các đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau: ![\begin{align} & S=\frac{1}{2}.{{h}{a}}.BC=\frac{1}{2}{{h}{b}}.AC=\frac{1}{2}{{h}{c}}.AB \ & S=\frac{1}{2}a.b.\sin \widehat{C}=\frac{1}{2}a.c.\sin \widehat{B}=\frac{1}{2}c.b.\sin \widehat{A} \ & S=\frac{a.b.c}{4.R} \ & S=p.r \ & S=\sqrt{p.\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)} \ \end{align}](https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%7B%7Bh%7D%7Ba%7D%7D.BC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%7Bh%7D_%7Bb%7D%7D.AC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%7Bh%7D_%7Bc%7D%7D.AB%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da.b.%5Csin%20%5Cwidehat%7BC%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da.c.%5Csin%20%5Cwidehat%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dc.b.%5Csin%20%5Cwidehat%7BA%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3D%5Cfrac%7Ba.b.c%7D%7B4.R%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3Dp.r%20%5C%5C%0A%0A%26%20S%3D%5Csqrt%7Bp.%5Cleft(%20p-a%20%5Cright)%5Cleft(%20p-b%20%5Cright)%5Cleft(%20p-c%20%5Cright)%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D) Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tập hệ thức lượng trong tam giácBài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13
Hướng dẫn giải
![\begin{align} & A{{B}{2}}=A{{C}{2}}+B{{C}{2}}-2AC.BC.\cos \widehat{ACB} \ & \Leftrightarrow {{12}{2}}={{13}{2}}+{{15}{2}}-2.13.15.\cos \widehat{ACB} \ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ACB}=\frac{25}{39}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx {{50}^{0}}7' \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20A%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%3DA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D-2AC.BC.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BACB%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7B12%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7B13%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B15%7D%5E%7B2%7D%7D-2.13.15.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BACB%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%5Ccos%20%5Cwidehat%7BACB%7D%3D%5Cfrac%7B25%7D%7B39%7D%5CRightarrow%20%5Cwidehat%7BACB%7D%5Capprox%20%7B%7B50%7D%5E%7B0%7D%7D7%27%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D) ![\begin{align} & A{{C}{2}}=A{{B}{2}}+B{{C}{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC} \ & \Leftrightarrow {{13}{2}}={{12}{2}}+{{15}{2}}-2.12.15.\cos \widehat{ABC} \ & \Leftrightarrow \cos \widehat{ABC}=\frac{5}{9}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx {{56}^{0}}15' \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20A%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%3DA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D-2AB.BC.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BABC%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7B13%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7B12%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B15%7D%5E%7B2%7D%7D-2.12.15.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BABC%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%5Ccos%20%5Cwidehat%7BABC%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B9%7D%5CRightarrow%20%5Cwidehat%7BABC%7D%5Capprox%20%7B%7B56%7D%5E%7B0%7D%7D15%27%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D) Ta có tổng 3 góc của một tam giác là
Tương tự ta tính được: ![\left{ \begin{matrix} {{m}{b}}=\sqrt{\dfrac{A{{B}{2}}+B{{C}{2}}}{2}-\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{569}}{2} \ {{m}{c}}=\sqrt{\dfrac{A{{C}{2}}+B{{C}{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{161} \ \end{matrix} \right.](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%0A%7B%7Bm%7D_%7Bb%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7BA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B569%7D%7D%7B2%7D%20%5C%5C%0A%0A%7B%7Bm%7D_%7Bc%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%2BB%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7BA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%7D%3D%5Csqrt%7B161%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.)
- Nửa chu vi tam giác ABC: - Diện tích tam giác ABC: %5Cleft(%20p-AC%20%5Cright)%5Cleft(%20p-BC%20%5Cright)%7D%3D20%5Csqrt%7B14%7D) - Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC: - Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:
Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 1200
Hướng dẫn giải
![\begin{align} & B{{C}{2}}=A{{B}{2}}+A{{C}{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{A} \ & \Rightarrow B{{C}{2}}={{6}{2}}+{{8}{2}}-2.6.8.\cos {{120}^{0}}=148 \ & \Rightarrow BC=2\sqrt{37} \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20B%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%3DA%7B%7BB%7D%5E%7B2%7D%7D%2BA%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D-2AB.AC.%5Ccos%20%5Cwidehat%7BA%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20B%7B%7BC%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7B6%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B8%7D%5E%7B2%7D%7D-2.6.8.%5Ccos%20%7B%7B120%7D%5E%7B0%7D%7D%3D148%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20BC%3D2%5Csqrt%7B37%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D) - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13
HS: Tự giải Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 600, góc B = 450, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác. HS: Tự giải Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, ha, R. HS: Tự giải Bài 6. Cho ΔABC có mb = 4, mc = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC. HS: Tự giải Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC. HS: Tự giải Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4 HS: Tự giải Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b2 - a2) = c(a2 - c2) HS: Tự giải Bài 10. Cho ΔABC. Chứng minh rằng:
HS: tự giải Bài 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
HS: tự giải Bài 12. Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng HS: tự giải Bài 13. Cho tam giác ABC biết %3BB%5Cleft(%200%2C3%20%5Cright)%3BC%5Cleft(%208%5Csqrt%7B3%7D%2C3%20%5Cright))
HS: tự giải Bài 14. Cho tam giác ABC biết . Tính , cạnh b, c của tam giác đó. HS: tự giải Bài 15. Cho tam giác ABC biết . Tính số đo các góc A, B và độ dài cạnh c. Bài 16. Để lấp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 8km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây? HS: tự giải Bài 17. 2 Vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết . Hãy tính khoảng cách AC và BC. HS: tự giải Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn giải Hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì %7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7B%7Bm%7D_%7Bc%7D%7D%20%5Cright)%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D) ![\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( \frac{{{a}{2}}+{{b}{2}}}{2}-\frac{{{c}{2}}}{4} \right)+\frac{4}{9}\left( \frac{{{a}{2}}+{{c}{2}}}{2}-\frac{{{b}{2}}}{4} \right)={{a}{2}} \ & \Leftrightarrow 5{{a}{2}}={{b}{2}}+{{c}{2}} \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bb%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%7B%7Bc%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%20%5Cright)%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bc%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%7B%7Bb%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B4%7D%20%5Cright)%3D%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%205%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%7B%7Bb%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7Bc%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D) Mặt khác ![\begin{align} & \Leftrightarrow {{a}{2}}=5{{a}{2}}-2bc\cos A \ & \Rightarrow bc=\frac{2{{a}{2}}}{\cos A}=\frac{2{{a}{2}}}{\cos \alpha } \ & \Rightarrow {{S}{ABC}}=\frac{1}{2}b.c.\sin A={{a}^{2}}\tan \alpha \ \end{align}](https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5CLeftrightarrow%20%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%3D5%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D-2bc%5Ccos%20A%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20bc%3D%5Cfrac%7B2%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B%5Ccos%20A%7D%3D%5Cfrac%7B2%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7B%5Ccos%20%5Calpha%20%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5CRightarrow%20%7B%7BS%7D%7BABC%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Db.c.%5Csin%20A%3D%7B%7Ba%7D%5E%7B2%7D%7D%5Ctan%20%5Calpha%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D) Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Trước hết chứng minh công thức bằng cách sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên Mà
![\begin{align} & \frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}{B}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c} \ & \frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}{C}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b} \ \end{align}](https://https://i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%0A%26%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cfrac%7BB%7D%7B2%7D%7D%7B%7B%7Bl%7D_%7BB%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2c%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cfrac%7BC%7D%7B2%7D%7D%7B%7B%7Bl%7D_%7BC%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2b%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Balign%7D) ......................................... Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn. VnDoc.com mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 10, đề thi học kì 2 lớp 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. |