Vậy phương trình dạng 6.1 đều có thể giải quyết bằng cách đưa về pt đẳng cấp hoặc pt tách biến (tùy trường hơp) 6.2 Các ví dụ: 1. Giải phương trình: (1) Ta viết lại phương trình (1) dưới dạng : Vì: Do đó, ta áp dụng phép thế: trong đó: h, k là nghiệm hệ phương trình: Giải hệ phương trình trên ta có: h = -1, k = 3 Vậy ta đặt: x = u -1 , y = v + 3. Khi đó, thế vào pt (1) ta có: (phương trình đẳng cấp) Ta đặt: Thế vào phương trình ta có: Hay: Giải phương trình trên ta có: Hay Vậy nghiệm phương trình (1) là: Hay: 2. Giải phương trình: Phương trình này rơi vào trường hợp 2.2. Do đó, đặt: z = x – y ta sẽ có: Vậy nghiệm phương trình (2) là: 6.3: Phương trình đẳng cấp mở rộng: (phần này M4Ps trích từ giáo trình Phương trình vi phân của tác giả Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung) Xét phương trình: (6.3) Phương trình (6.3) được gọi là phương trình đẳng cấp mở rộng nếu ta có thể chọn được số k sao cho vế trái của trở thành hàm đẳng cấp bậc k đối với x, y, dx, dy. Nghĩa là: ta tìm được k sao cho tất cả các số hạng ở vế trái đều cùng bậc. Trong đó: ta coi x là đại lượng bậc 1, y là đại lượng bậc k, dx là bậc 0 và dy là bậc k – 1. Ví dụ: xét phương trình: Ta có: Trong đó số hạng có bậc là -2, số hạng có bậc là 2k và số hạng có bậc là k-1. Vậy để phương trình (*) là pt đẳng cấp suy rộng thì phải tồn tại số k sao cho các số hạng cùng bậc. Nghĩa là: Vậy (*) là pt đẳng cấp suy rộng. Cách giải: Sử dụng phép thế vạn năng: Ví dụ: 1. ta giải phương trình (*) bằng cách đặt Thế vào pt (*) ta có: Hay: 2. Giải phương trình: Ở đây, phương trình này không thể đưa về phương trình phân ly biến số, đẳng cấp nên ta thử tìm hằng số k để đưa về pt đẳng cấp suy rộng. |