§4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI số Tóm tắt kiến thức Muốn giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại sô, ta làm như sau : Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một sô' thích hợp sao cho các hệ sô của một ẩn nào đó trong hệ phương trình là những số bằng nhau (hoặc đối nhau). Bước 2. Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình dể được một phương trình một ẩn. Thay thế một trong hai phương trình của hệ bởi phương trình một ẩn ta được một hệ mới. Bước 3 Giải phương trình một ẩn ta tìm được giá trị của ẩn đó. Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó vào phương trình còn lại của hệ ta tìm được giá trị tương ứng của ẩn kia. Cặp giá tri tương ứng vừa tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. Ví dụ Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 4x - 5y = 22 (1) ' 6x + 7y = 4 (2) bằng phương pháp cộng đại số. ❖ Phân tích. Nếu làm cho các hệ. số của ẩn y đối nhau thì ta phải nhân hai vế của phương trình (1) với 7, của phương trình (2) với 5. Để làm cho các hệ số của ẩn X bằng nhau ta có thể nhân hai vê' của phương trình (1) với 3 và của phương trình (2) với 2. Cách làm thứ hai đơn giản hơn. > Giải. Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 ; nhân hai vê' của phương trình (2) với 2, ta được hệ Từ phương trình (5) suy ra y = -2. Thay y = -2 vào phương trình (4), ta được : 12x +14.(-2) - 8 hay 12x = 36. Do đó X = 3. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (3 ; -2). Lưu ý. Có thể trình bày bài giải bằng một dãy những hệ phương trình tương đương như sau : 4x-5y = 22 fl2x-15y = 66 f-29y =58 ly =-2 đương như sau : 4x - 5y = 22 6x + 7y = 4 _/y = -2 4 12x + 14y = 8 y = -2 12x + 14.(-2) = 8 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình '5x-4y = 15 12x-28 = 8 -29y = 58 12x + 14y = 8 y =-2 12x = 36 •> y = -2 12x + 14y = 8 X = 3 ty = -2. > Giải. 10x-8y = 13 5x - 4y = 15 10x-8y = 13. 10x-8y = 30 10x-8y = 13 5 Ồx-Oy = 17 lOx -8y = 13. Vì không có giá trị nào của X và y để Ox - Oy = 17 nên phương trình Ox - Oy = 17 vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3 4 Ị X - y - 1 5_ X - y - 1 Phân tích. Nếu khửưnẫu của các phương trình trong hệ ta sẽ được một hệ phương trình không phải là hệ bậc nhất. Ta chưa biết cách giải hệ phương trình như thế. Song nếu ta đặt ẩn phụ : 1 và V = x+y+3 x-y-1 ta sẽ được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u và V. Giải hệ này ta tìm được u và V. Từ đó ta lại được hệ bậc nhất hai ẩn X và y. 1 . 1 > Giải. Đặt u = và V = ta được : 3u -4v = -~7 2 n.. , c.. 7 2u + 5v = 4- 2 6u - 8v = -1 4u + lOv = 7 12u-16v = -2 ■ V _ _ „ <i 12u + 30v = 21 46v = 23 12u + 30v = 21 I2u+ 30.-7 = 21 2 Bây giờ ta có hệ Giải hệ này : X + y + 3 = 2 X - y - 1 = 2 'x = 1 1-y = 3 5 V = — 2 I2u = 6 hay X + y + 3 = 2 x-y-1 = 2. x-y-1 2 X + y = -1 x-y = 3 X = 1 2x = 2 x-y = 3 [y = -2. c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa 20. Hướng dẫn : a) Cộng vế với vế hai phương trình. Trừ vế với vế hai phương trình. Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi trừ vế với vế hai phương trình. Nhân hai vê' của phương trình thứ nhất với 3, haị vê' của phương trình thứ hai với 2 rồi trừ vế với vê' hai phương trình. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ vê' với vê' hai phương trình. Đáp số: a) (x ; y) = (2 ; -3); b) (x ; y) = ị I; 1 I ; c) (x ; y) = (3 ; -2); d) (x ; y) = (-1 ; 0); e) (x ; y) = (5 ; 3). 21. Giải. a) x72 - 3y = 1 2x + y 72 = -2 1 + 72 2x - 3ự2y = 71 2x + y V2 = -2 1 + 72 472y = -2 - 72 2x + yy/2 - -2 b) 2x + y72 = -2 5x73 + y = 272 xTó — y72 = 2 5 76 xTó - y\Í2 - 2 4 72-6 8 5x76 + y72 = 4 xTó - y72 = 2 76 ,^.^-yV2=2 . 6 6x76 = 6 xTó - y72 = 2 76 -y72 = 1 76 72 Hướng dẫn : a) Nhân hai vê' của phương trình thứ nhất với 3, của phương trình thứ hai với 2 rồi cộng vế với vế. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 rồi cộng vê' với vế. Nhân hai vê' của phương trình thứ hai với 3 rồi trừ vê' với vế. Đáp số: a) (x ; y) = ụl; -y-j ; b) Vô nghiệm ; c) Vô sô' nghiệm. Hướng dán : Trừ vê' với vế. ..A_ f 7^2-6 . 72 ì Đáp sô : (x ; y) = ; - -y-I. Hướng dẫn : Trừ vê' với vế. 24. Giải, a) 2(x + y) + 3(x - y) = 4 (x + y) + 2(x-y) = 5 5x - y = 4 3x - y = 5 2x = -1 3x - y = 5 í X = — 2 13 y 2' Lưu ý. Cũng có thế giải băng cách đặt ấn phụ :u = x + y, V = X - y. b) 2(x - 2) + 3(1 + y) =-2 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3 2x + 3y = -l 3x - 2y = 5 4x + 6y = -2 [9x-6y = 15 13x = 13 3x - 2y = 5 í X = 1 [y = -l. 25. Giải. Đa thức P(x) = (3m - 5n + l)x + (4m - n - 10) = 0Vx khi và chỉ khi : 3m - 5n + 1 = 0 4m - n - 10 = 0 17m = 51 3m - 5n = -1 4m-n = 10 3m - 5n = -1 20m - 5n = 50 17m = 51 m = 3 ( _<_ 4m - n = 10 [n = 2. 26. Hướng dẫn : Nếu một điểm nằm trên đồ thị của một hàm số thì toạ độ của điểm đó phải thoả mãn hàm số đã cho. Chẳng hạn : a) Vi đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; -2) và B(-l ; 3) nên —2 — 2a + b 3 = a.(-l) + b hay 2a + b = -2 -a + b = 3. Giải hệ phương trình này với hai ẩn a và b ta được : (a ; b) = Đáp số: b) (a ; b) = I — ; 0 ; c) (a ; b) = I -ị ; Ỷ I ; d) (a ; b) = (0 ; 2). 27. Giải, a) Đặt u =—, V =—, ta được hệ phương trình (I) X y u - V = 1 3u + 4v = 5. (I)» 4u - 4v = 4 3u + 4v = 5 7u = 9 3u + 4v = 5 9 u = — 7 2 V = —. 7 1 1 , 7 _ 7 Thay u = —, V = — ta được X = —, V = —. X y 9 2 Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x ; y) = I I • b) Đặt u =—, V = —ì-y ta được : (II) y-1 9 2, u + V = 2 2u-3v = 1. (II)« 2u + 2v = 4 2u - 3v = 1 u + V = 2 5v = 3 s 3 V = — 5 7 u = —. 5 X - 2 = -2- 7 - 7 b) V3x - 2y = 5 (l-V3)x + 3y = 2a/3-5. Thay u =—, V = ——- ta được X - 2 y - 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x ; y) = D. Bài tập luyện thêm Giải hệ phương trình : 3x - 2y = V2 - 5 a) - ' ; [2x + 5y = 7V2 + 3 Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho nó có nghiệm là (3 ; -2) và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x - 1. Hãy lập một phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng đi qua điểm M(-4 ; 3) và cắt Ox tại điểm N có hoành dộ là 2. 4. Giải hệ phương trình >, Hướng dẫn - Đáp sô' 1. Giải. a) 3 2 . X + 3y — 1 2x - y + 2 2 3 X + 3y - 1 2x - y + 2 5 19 3x - 2y = V2 - 5 6x - 4y = 2V2 - 10 2x + 5y = 7V2 + 3 <%, ỷ < 6x + 15y = 21^2 + 9 19y = I9V2 4-19 y = V2 + 1 6x + 15(72 + 1) = 2172+ 9 Á y = V2 + 1 = 72-1. b) 73x - 2y = 5 (1 - 5/3 )x + 3y = 2V3 - 5 3V3x-6y = 15 (2 + 73 )x = 4a/3 + 5 x = 3V3-2 7 = 2-73. 373x-6y = 15 (2-273)x + 6y = 473-10 373x-6y = 15 X = V ■= (473 + 5)(2 - 73) = 373 - 2 2 + 73 Giải. Vì tập nghiệm của phương trình cần tìm là đường thẳng song song với đồ thị y = 3x - 1 nên đường thẳng này cũng có phương trình là y = 3x + b. Vì phương trình này cỏ nghiệm là (3 ; -2) nên -2 = 3.3 + b. Suy ra b = -11. Vậy phương trình cần tìm là y = 3x - 11 hay 3x - y = 11. Giải. Vì đường biểu diễn tập nghiệm của phương trình cần tìm đi qua điểm M(-4 ; 3) và cắt trục Ox nên nó cắt cả hai trục toạ độ. Do đó nó là đồ thị của hàm số y = ax + b. Vì M(-4 ; 3) và điểm N(2 ; 0) thuộc đồ thị nên 3 = a.(-4) + b 0 = a.2 + b hay -4a + b = 3 2a + b = 0. 1 Giải hệ phương trình này ta được : (a ; b) = ị —; 1 ]. Vậy phương trình cần tìm là y = “ X + 1 hay X + 2y = 2. Giải. Đặt u = X + 3y -1 ’ 2x-y + 2 ta được hệ phương trình (I) 3u + 2v = -ị 5 19 2u - 3v = . 20 3 ■ 13 9u + 6v = 38 13u = — 10 < 38 4u - ốv = 4u -6v = 20 í 20 Ta có : (I) u = 10 v 4' Thay u = X + 3y - 1 ’ 2x-y + 2 ta được hệ phương trình hay X + 3y = 11 2x - y = -6. X + 3y - 1 = 10 2x - y + 2 = -4 Giải hệ phương trình này ta được (x ; y) = (-1 ; 4). §4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI số A. KIẾN THỨC cơ BẢN Quy tắc cộng đại sô' Quy tắc cộng đại số dùng để biến đối một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước: Bước 1: Cộng hay trừ từng vê hai phương trình của hệ phương trình đã cho đế’ được một phương trình mới. Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia). Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp, cộng đại sô' Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với sô thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình cúa hệ bằng nhau hoặc đô'i nhau. Bước 2: Sử dụng quy tẩc cộng đại số đế được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số cùa một trong hai ấn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn). B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bước 3: Giải phương trình một ấn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. 3x + 2y = 22 2x - 3y = -7 (1) (2) Bài tập mẫu Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Giải Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 và nhân hai vế của phương trình (2) với -3 ta được hệ tương đương: 3x + 2y = 22 (6x + 4y = 44 ’(3) ' 2x-3y =-7 Ị-6x + 9y = 21 (4) Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được một phương trình mới và kết hợp với phương trình (2) ta được hệ mới tương đương: 13y = 65 <fy = 5 ^fy.= 5 Jx = 4 ‘ 2x - 3y = -7 [2x - 3.5 = -7 [2x = 8^ [y = 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 4; y = 5). 2. Bài tập cơ bản Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: 20. a) ‘ d) < 21. a) 20. a) b) < 3x + y = 3 2x - y = 7 2x - 3y = -2 3x - 2y = -3 X\Ỉ2 - 3y = 1 2x + y V2 = -2 b) e) ■ 2x + 5y = 8 2x - 3y = 0 0,3x + 0,5y = 3 l,5x - 2y - 1,5 5x73 + y = 2Ự2 xTẽ - y V2 = 2 c) < 4x + 3y = 6 2x + y = 4 = 3 5x = 10 X = 2 • 0 ■ 5 = 7 l2x-y = 7 [y = 2x-7 X = 2 y = -3 < c) d) e) 2x + 5y = 8 2x - 3y = 0 4x + 3y = 6 <! 2x + y = 4 2x - 3y = -2 3x - 2y - -3 0,3 + 0,5y = 3 l,5x - 2y = 1,5 2x + 5y = 8 [8y = 8 2x + 5y = 8 < [y = i 4x + 3y = 6 ■ 4x + 2y = 8 4x + 3y = 6 < ,y = -2 b) Giải' [6x - 9y = -6 [6x - 4y = -6 l,5x + 2,5y = 15 l,5x - 2y = 1,5 l,5x = 15-2,5.3 6x - 9y = -6 -5y = 0 21. a) Nhân phương trình thứ nhất với -72, ta được: x72 - 3y = 1 2x + y72 = -2 -2x + 3\/2.y = -72 2x + y72 = -2 -1-^v 1 2y -1-72 3 X = — 2 y = i X = 3 y = -2 X = -1 y = 0 l,5x + 2,5y =15 4,5y = 13,5 l,5x = 7,5 y = 3 72 + 8 4ự2.y = -72 - 2 2x + y77 = -2 b) Nhân phương trình thứ nhất với 72 rồi cộng từng vê hai phương 1 trình ta được: 5x76 + x7ẽ = 6 X = 76 Từ đó hệ đã cho tương đương với a/6 <j xTẽ - y72 = 2 76 3. Bài tập tương tự Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. a) c) • 4x + 2y = 22 5x + 3y = 29 3\/x + 2 Vỹ = 6 Vx - Vỹ = 4,5 b) d) 3Vx - Vỹ = 5 2\/x + 3yfỹ = 18 3|x| -ịyị = 3 2 |x| + 3|y| = 13 LUYỆN TẬP Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: í-5x + 2y = 4 Í2x-3y.-11 [3x-2y = 10 6x - 3y =-7 |-4x + 6j Giải hệ phương trình sau: (1 + V2)x + (1 - V2)y = 5 (1 + V2)x + (1 + V2)y = 3 Giải các hệ phương trình: Í2(x + y) + 3(x-y) = 4 (x + y) + 2(x - y) = 5 Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0: P(x) = (3m - 5n + l)x + (4m - n - 10) Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điếm A và B trong mỗi trường hợp sau: a) A(2;-2) và B(-l; 3) ' b) A(-4; -2) và B(2; 1) c) A(3; -1) và B(-3; 2) d) A(V3;2) và B(0;2) Bằng cách đặt ấn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhâT hai ẩn rồi giải: a) • a) ■ --- = 1 X y 3 , 4 _ _ — + — = 5 X V b) x-2 2 c) 2_ U X -—y = 3— 3' 3 b) 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 3(x - 2) - 2(1 + y) =-3 Hướng dần: Đặt u = —, V = — X y y-1 3 2 y-1 Hướng dẫn: Đặt u = — 1 x y-1 22. a) b) -5x + 2y - 4 6x - 3y - -7 Giải -15x + 6y = 12 12x - 6y = -14 2 X = — 3 6y = 12 + 15,- 2x-3y = 11 -4x + 6y = 5 4x - 6y = 22 -4x + 6y = 5 -+x + oy = □ ^-+X + r>3 Hệ phương trình vô nghiệm. c) 3x - 2y = 10 , _ 9 1 í X - — y - 3 — 3 3x - 2y = 10 3x - 2y = 3. -3x = -2 -15x + 6y = 12 2 X = — 3 <! 6y = 22 4x - 6y = 22 4x - 6y = -5 k2y = 3x-10 Hệ phương trình có vô số nghiệm. '(1 + 72)x + (1 - 72)y = 5 (1 + 72)x + (l + 72)y = 3 3x - 2y = 10 3x - 2y = 10 X e R y = - X - 5 2. 23. Ta có: (1) (2) 11 y ? 4x - 6y = 22 Ox - Oy = 27 Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) ta được: (l-72)y-(l + 72)y = 2 o (1 - 72 - 1 - 72 )y = 2 -2y72^= 2 o y = Thay (3) vào (1) ta được: _ ' 72' —— y = —7= y = - 272 72 2 72 = (3) (1 + 72)x + (1 - 72) r~ * x ỵ o (1 + 72)x - ^ + 1 = 5 /1 _• 8 + 72 8 + 72 (! + V2)x = ——-— X = X = X = —7=^- 2 _ 2(1 + 72) (8 + 72X1 - 72) . 8 - 872 +72 -2 _ X = —- -2(1-2) „ -2 6-772 -6 + 772 X = ——- Hệ có nghiệm là 2 -6 + 772 2 72 24. a) Cách 1: Đặt X + y - u, X - y = V, ta có hệ phương trình (ân u, v): 2u + 3v = 4 u + 2v = 5 Í2u + 3v = 4 nên u + 2v = 5 2u + 3v = 4 2u + 3v = 4 2u + 4v = 10 2u =4-3.6 [v - 6 [v = 6 Suy ra hệ đã cho tương đương với: 2u + 3v = 4 -V = -6 u = -7 V = 6 X + y = -7 x-y = 6 2x = -1 X -y = 6 X = - — 2 13 y 2 Cách 2: Thu gọn vế trái của hai phương trình ta được hệ tương đương: 2x + 2y + 3x - 3y - 4 < 1 2x = -1 1 X = —- X = — 2 X = • 2 « • • 3x - y = 5 y = 3x - 5 y = 3[- tì -5 y = x + y + 2x-2y = 5 5x - y = 4 5 3x-y 1 2 13 2 nên 2u + 3v = -2 3u - 2v = -3 2u + 3v = -2 3u - 2v = -3 6u = -6 + 9v V = 0 6u + 9v = -6 5 6u - 4v = -6 6u = -6 ì ' [v = 0 [v = 0 Suy ra hẹ đã cho tương đương với: fx-2 = -l ix —1 -1 6u + 9v = -6 13v = 0 u = -1 V = 0 Cách 2: Thu gọn vê trái cúa hai phương trình: 6x + 9y = -3 13y = -13 2(x - 2) + 3(1 + y ) = -2 3(x-2)-2(l + y) = -3 [2x.+ 3y = -1 !3x.-2y = 5 6x = -3 - 9y y = -1 2x - 4 + 3 + 3y = -2 3x - 6 - 2 - 2y = -3 6x + 9y = -3 6x - 4y = 10 [6x = 6 Íyt-1 x = 1 y = -l 25. Ta có: P(x) = (3m - 5n + l)x + (4m 3m - 5n + 1 = 0 10) Nếu P(x) = 0 o ' 3m - 5n = -1 4m - n - 10 = 0 3m - 5n = -1 4m - n = 10 < 20m - 5n = 50 -17m ■= -51 4m - n - 10 •( m = 3 -n = 10-4.3 m = 3 i m = 3 k-n = -2 ] n = 2 26. a) Vi A(2; -2) thuộc đồ thị nên 2a + b = -2. Vì B(-1; 3) thuộc đồ thị nèn -a + b =.3. Ta có hệ phương trình ẩn là a và b. 5 2a + b = -2 -a + b = 3 . Từ đó < b) Vì A(-4; -2) thuộc đồ thị nên -4a + b = -2. Vì B(2; 1) thuộc đồ thị nên 2a + b = 1. Ta có hệ phương trình ẩn là a, b: |-4a + b = -2 I 2a + b = 1 -6a = -3 2a 4- b = 1 c) Vì A(3; -1) thuộc đồ thị nên 3a + b = -1. Vì B(-3; 2) thuộc đồ thị nên -3a + b = 2. Ta có hệ phương trình ấn a, b: 3a + b = -1 -3a + b = 2 o> -í 3a + b = -1 2b = 1 d) Vì A(73;2) thuộc đồ thị nên Vãa + b = .2. Vì B(0; 2) thuộc đồ thị nên o.a + b = 2. Ta có hệ phương trình ấn là a, b. ' /3.a + b = 2 V3.a + b = 2 b = 2 1 a = — 2 b = 0 b=ỉ 2 o.a + b = 2 27. a) Điều kiện X 0, y 0. 11 ta được hệ phương trình ân u, v: ju - V = 1 (1) [3u + 4v = 5 (2) (1) u = 1 + V (3) Thế (3) vào (2): 3(1 + v) + 4v = 5 3 + 3v + 4v = 5 o 7v = 2 v - Từ đó u = l + v = l + 9 r-Ị X * 2, y * 1. đã cho tương đương với: 1 7 n 5 5 „ —; = — X - 2 = — X = — + 2 X - 2 5 7 7 „ 1 1 3 , 5 5 , = — y-1 = - y = - +1 ly -1 5 3 / 3 Suy ra hệ đã cho tương đương với: - b) Điều kiện X - 2 * 0k y - 1 * 0 hay Đặt u - , V - ta được hệ Suy ra hệ đã cho tương đương với: |
