Giải bài 38 sgk toán 10 nâng cao trang 213 năm 2024

Bài 38 trang 213 SGK Đại số 10 Nâng cao

Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:

1. \(\cos(α +β)=\cosα+\cosβ\)

2. \(\sin(α -β)=\sinα -\sinβ\)

3. \(\sin(α +β)=\sinα .\cosβ+\cosα.\sinβ\);

4. \(\cos(α -β)=\cosα .\cosβ-\sinα.\sinβ\)

5. \({{\sin 4\alpha } \over {\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

6. \(\sin^2α =\sin2α\)

Đáp án

1. Sai

Vì nếu lấy \(β = 0\) thì \(\cos α + 1\) (vô lý)

2. Sai

Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 2};\,\beta = - {\pi \over 2}\) thì \(\sin \pi = 2\sin {\pi \over 2}\) (vô lý)

3. Đúng

4. Sai

Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 4};\,\beta = - {\pi \over 4}\) thì \(\cos 0 = {\cos ^2}{\pi \over 4} - {\sin ^2}{\pi \over 4} \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

5. Sai

Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 8} \Rightarrow {{\sin {\pi \over 2}} \over {\cos {\pi \over 4}}} = \tan {\pi \over 4} \Leftrightarrow \sqrt 2 = 1\) (vô lý)

7. Sai

Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow {\sin ^2}{\pi \over 2} = \sin \pi \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

Bài 39 trang 213 SGK Đại số 10 Nâng cao

Sử dụng 750 = 450 + 30o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750

Sử dụng 15o = 45o - 30o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Đáp án

1. Ta có:

\(\eqalign{ & \cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) \cr&= \cos {45^0}\cos {30^0} - \sin {45^0}\sin {30^0} \cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 - 1) \cr & \sin {75^0} = \sin ({45^0} + {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1) \cr & \tan{75^0} = {{\sqrt 3 + 1} \over {\sqrt 3 - 1}} = 2 + \sqrt 3 \cr & \cot {75^0} = 2 - \sqrt 3 \cr} \)

2. Ta có:

\(\eqalign{ & \cos {15^0} = \cos ({45^0} - {30^0})\cr& = \cos {45^0}\cos {30^0} + \sin {45^0}\sin {30^0} \cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1)\,( = \sin{75^0}) \cr & \sin {15^0} = \sin ({45^0} - {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 - 1) = (\cos{75^0}) \cr & \tan {15^0} = {{\sqrt 3 - 1} \over {\sqrt 3 + 1}} = 2 - \sqrt 3 \left( { = \cot {{75}^0}} \right) \cr & \cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 \cr} \)

Bài 40 trang 213 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

1. \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4})\)

2. \(\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin (\alpha - {\pi \over 4})\)

3. \(\tan ({\pi \over 4} - \alpha ) = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\,(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha \ne {{3\pi } \over 4} + k\pi )\)

4. \(\tan ({\pi \over 4} + \alpha ) = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\,\,(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha \ne {\pi \over 4} + k\pi )\)

Đáp án

1. Ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} + \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr & = \sqrt 2 (\sin \alpha {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos \alpha ) \cr & = \sin \alpha + \cos \alpha \cr} \)

2. Ta có:

\(\eqalign{ & \sqrt 2 \sin (\alpha - {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr & = \sin\alpha - \cos \alpha \cr} \)

3. Ta có:

\(\tan ({\pi \over 4} - \alpha ) = {{\tan {\pi \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}\tan \alpha }} = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\)

4. Ta có:

\(\tan ({\pi \over 4} + \alpha ) = {{\tan {\pi \over 4} + \tan \alpha } \over {1 - \tan {\pi \over 4}\tan \alpha }} = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\,\,\)

Bài 41 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao

1. Biết \(\sin \alpha = {1 \over 3};\,\,\alpha \in ({\pi \over 2};\,\pi )\) , hãy tính giá trị lượng giác của góc 2α và góc \({\alpha \over 2}\)

2. Sử dụng \({15^0} = {{{{30}^0}} \over 2}\) , hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Đáp án

1. Ta có:

\(\left\{ \matrix{ \sin \alpha = {1 \over 3} \hfill \cr {\pi \over 2} < \alpha < \pi \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {1 \over 9}} = - {{2\sqrt 2 } \over 3}\)