Đề tuyển sinh 10 môn toán năm 2007-2008 tp.hcm năm 2024

ĐỀ THI VÀO 10

Câu 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1. 2x2 + 3x – 5 = 0 (1)

2. x4 – 3x2 – 4 = 0 (2)

3. 
   (3)

Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –x2 và đường thẳng (D): y = x – 2 trên cùng một cùng một hệ trục toạ độ.

2. Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Câu 3: Thu gọn các biểu thức sau:

1. A =
   

2. B =
   
   (x > 0; x ≠ 4).

Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

1. Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để
   
   .

Câu 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

1. Chứng minh MA2 = MC.MD.

2. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I , B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của góc CHD.

4. Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng.

-oOo-

Gợi ý giải đề thi môn toán

Câu 1:

1. 2x2 + 3x – 5 = 0 (1)

Cách 1: Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm là:

x1 = 1 hay x2 =

Cách 2: Ta có D \= b2 – 4ac = 32 – 4.2.(–5) = 49 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là x1 =

2. x4 – 3x2 – 4 = 0 (2)

Đặt t = x2, t ≥ 0.

Phương trình (2) trở thành t2 – 3t – 4 = 0 Û

So sánh điều kiện ta được t = 4 Û x2 = 4 Û x = ± 2.

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là x = 2 hoặc x = –2.

3. 
   (3)

Cách 1: Từ (a) Þ y = 1 – 2x (c). Thế (c) vào (b) ta được:

3x + 4(1 – 2x) = –1 Û –5x = –5 Û x = 1.

Thế x = 1 vào (c) ta được y = –1. Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm là x = 1 và y = –1.

Cách 2: (3) Û

Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm là x = 1 và y = –1.

Câu 2:

1. * Bảng giá trị đặc biệt của hàm số y = –x2:

x

–2

–1

0

1

2

y = –x2

–4

–1

0

–1

–4

* Bảng giá trị đặc biệt của hàm số y = x – 2:

Đồ thị (P) và (D) được vẽ như sau:

2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là:

–x2 = x – 2 Û x2 + x – 2 = 0 Û x = 1 hay x = –2 (a + b + c = 0)

Khi x = 1 thì y = –1; Khi x = –2 thì y = –4.

Vậy (P) cắt (D) tại hai điểm là (1; –1) và (–2; –4).

Câu 3:

1. A \=
   
   \=
   
   \=
   

Mà 2 –

2. B \=
   
   .

\=

\=

\=

Câu 4: x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

1. Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Cách 1: Ta có: D' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai phân biệt.

2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để
   
   .

Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó ta có S =

Do đó

Vậy m thoả yêu cầu bài toán Û m = ± 1.

Câu 5:

– Ð M chung

– Ð MAC = Ð MDA (=

Suy ra DMAC đồng dạng với DMDA (g – g)

Þ

2. * MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên

ÐMAO = Ð MBO = 900.

* I là trung điểm dây CD nên Ð MIO = 900.

Do đó: Ð MAO = Ð MBO = Ð MIO = 900

Þ 5 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

3. Ø Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R(O). Do đó MO là trung trực của AB Þ MO ^ AB.

Trong DMAO vuông tại A có AH là đường cao Þ MA2 = MH.MO. Mà MA2 = MC.MD (do a)) Þ MC.MD = MH.MO Þ

Xét D MHC và DMDO có:

ÐM chung, kết hợp với (1) ta suy ra DMHC và DMDO đồng dạng (c–g –c)

Þ Ð MHC = Ð MDO Þ Tứ giác OHCD nội tiếp.

Ø Ta có: + DOCD cân tại O Þ Ð OCD = Ð MDO

+ Ð OCD = Ð OHD (do OHCD nội tiếp)

Do đó Ð MDO = Ð OHD mà Ð MDO = Ð MHC (cmt) Þ Ð MHC = Ð OHD

Þ 900 – Ð MHC = 900 – Ð OHD Þ Ð CHA = Ð DHA Þ HA là phân giác của Ð CHD hay AB là phân giác của Ð CHD.

4. Tứ giác OCKD nội tiếp(vì Ð OCK = Ð ODK = 900)

Þ Ð OKC = Ð ODC = Ð MDO mà Ð MDO = Ð MHC (cmt)

Þ Ð OKC = Ð MHC Þ OKCH nội tiếp

Þ Ð KHO = Ð KCO = 900.

Þ KH ^{MO tại H mà AB} MO tại H

Þ HK trùng AB Þ K, A, B thẳng hàng.

--oOo--

ThS NGUYỄN DUY HIẾU (Tổ trưởng tổ toán, Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP.HCM)