Câu 3: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, khi x = 5 thì y = 15. Hệ số tỉ lệ k của y đối với x là:
Câu 4: Cho y và x là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, biết rằng khi x = -3 thì y = 2. Công thức liên hệ giữa y và x là:
Câu 5: Tìm 2 số x,y biết: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32\)
Câu 6: Có bao nhiêu đơn thức trong các biểu thức sau: \( - x\frac{3}{5}{x^3}\); \(2 + x\); \(6{x^3}\); \(x;\) \(\frac{x}{{x - 1}}\)?
Câu 7: Bậc của đa thức \({x^3} - {x^2} + 7x - 9\) là
Câu 8: Đa thức nào là đa thức một biến?
Câu 9: Thu gọn đa thức P = x3y – 5xy3 + 2x3y + 5xy3 bằng:
Câu 10: Đa thức \(x - 2\) có nghiệm là:
Câu 11: Đa thức \(Q = - \frac{1}{3}{x^4} + 5{x^3} - 8x + 9\) có hệ số cao nhất là:
Câu 12: Biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật có chiều dài \(9cm\) và chiều rộng \(6cm\) là
Câu 13: Sắp xếp đa thức 6x3 + 5x4 – 8x6 – 3x2 + 4 theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:
Câu 14: Cho hai đa thức f(x) = 5x4 + x3 – x2 + 1 và g(x) = –5x4 – x2 + 2. Tính h(x) = f(x) + g(x) và tìm bậc của h(x). Ta được:
Câu 15: Tích của hai đơn thức \(6{x^2}\) và \(2x\) là
Câu 16: Trong một hộp có bốn tấm thẻ ghi số 1; 2; 3; 6. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Đâu là biến cố chắc chắc
Câu 17: Một hộp bút màu có nhiều màu: màu xanh, màu vàng, màu đỏ, màu đen, màu hồng, màu cam. Hỏi nếu rút bất kỳ một cây bút màu thì có thể xảy ra mấy kết quả?
Câu 18: Trong trò chơi ô cửa bí mật, có 3 ô cửa 1; 2; 3 và người ta đặt phần thưởng sau một ô cửa. Người chơi sẽ chọn ngẫu nhiên một ô cửa trong ba ô cửa và nhận phần thưởng sau ô cửa đó. Xác suất để người chơi chọn được ô cửa có phần thưởng là
Câu 19: Chon ngẫu nhiên 1 số trong 4 số sau: 7; 8; 26; 101. Xác xuất để chọn được số chia hết cho 5 là:
Câu 20: Kết quả xếp loại học tập cuối học kỳ I của học sinh khối 7 được cho ở biểu đồ bên. Gặp ngẫu nhiên một học sinh khối 7 thì xác xuất học sinh đó được xếp loại học lực nào là thấp nhất?
Câu 21: Cho \(\Delta ABC\) biết rằng \(\hat A = 80^\circ ;\hat C = 40^\circ ;\widehat B = 60^\circ \). Khi đó ta có
B.\(AC < BC < AB\) .
D.\(AC > BC > AB\). Câu 22: Cho hình vẽ, chọn câu sai
Câu 23: Bộ ba nào sau đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Câu 24: Các đường cao của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\)thì
Câu 25: Cho hình vẽ bên, với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\) Tỉ số của \(GD\)và\(AG\)là
Câu 26: Cho ΔABC có: \(\widehat A = 3{5^0}\). Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của \(\widehat {ACB} \). Số đo các góc \(\widehat {ABC}; \widehat {ACB} \)là:
Câu 27: Cho hình vẽ sau. Biết MG = 3cm. Độ dài đoạn thẳng MR bằng:
Câu 28: Giao điểm của ba đường trung tuyến trong một tam giác:
Câu 29: Cho hình vẽ bên. So sánh AB, BC, BD ta được:
Câu 30: Độ dài hai cạnh của một tam giác là 3cm và 11cm. Trong các số đo sau, số đo nào sau đây là độ dài cạnh thứ 3 của tam giác:
Câu 31: Số đỉnh của hình hộp chữ nhật là:
Câu 32: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là:
Câu 33: Hãy chọn câu sai. Hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có:
Câu 34: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là: a, 2a, \(\frac{a}{2}\). Thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:
Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng tứ giác có chiều cao 7cm và thể tích 84cm3. Diện tích mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
II. Phần tự luậnBài 1. Cho \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} - 4x + 1\).
Bài 2. Cho \(A\left( x \right) = 4{x^2} + 4x + 1\).
Bài 3. Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
Bài 4. Biết \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau được liên hệ theo công thức \(y = - \frac{{16}}{x}\)
Bài 5. Để hưởng ứng phong trào làm xanh môi trường học tập, học sinh lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 40 cây xanh. Lớp 7A có 36 học sinh, lớp 7B có 45 học sinh, lớp 7C có 39 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh. Bài 6. Để ủng hộ các bạn vùng bão lũ Miền Trung học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C của trường THCS A tham gia ủng hộ vở viết. Biết rằng số vở viết ủng hộ được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với các số 2; 3; 4 và tổng số vở viết ủng hộ được của ba lớp là 360 . Hỏi mỗi lớp ủng hộ được bao nhiêu quyển vở? Bài 7. Lan và Hoa mỗi người gieo một con xúc xắc.
Bài 8. Chọn ngẫu nhiên một số trong bốn số 11;12;13 và 14. Tìm xác suất để:
Bài 9. Một hộp có \(12\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1,\,2,\,3,.....,\,12;\) hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Xét biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra 1 số là hợp số”. Tìm xác suất của biến cố trên. Bài 10. Cho $\Delta MNP$ vuông tại M có MN < MP, kẻ đường phân giác NI của góc MNP (I thuộc MP). Kẻ IK vuông góc với NP tại K.
Bài 11. Cho \(\Delta MNP\)cân tại M \(\left( {\widehat M < {{90}^0}} \right)\). Kẻ NH \( \bot \)MP \(\left( {H \in MP} \right)\), PK \( \bot \)MN \(\left( {K \in MN} \right)\). NH và PK cắt nhau tại E.
Bài 12. Biết rằng nếu độ dài mỗi cạnh của hộp hình lập phương tăng thêm 2 cm thì diện tích phải sơn 6 mặt bên ngoài của hộp đó tăng thêm 216 cm2. Tính Độ dài cạnh của chiếc hộp hình lập phương đó? Bài 13*. Tính giá trị của biểu thức: \(N = x{y^2}{z^3} + {x^2}{y^3}{z^4} + {x^3}{y^4}{z^5} + ... + {x^{2022}}{y^{2023}}{z^{2024}}\), tại x = -1, y = -1, z = -1 Bài 14*. Cho biều thức \(A = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{9999}}{{10000}}\) . Chứng minh rằng A < 99 Bài 15*. Cho ba số \(x,y,z\) khác \(0\) thỏa mãn \(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z}\). Tính giá trị biểu thức \(P = \left( {1 + \frac{x}{y}} \right)\left( {1 + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + \frac{z}{x}} \right)\). -- Hết -- Lời giải chi tiếtI. Phần trắc nghiệmCâu 1. A Câu 2. C Câu 3. D Câu 4. B Câu 5. C Câu 6. A Câu 7. D Câu 8. B Câu 9. D Câu 10. D Câu 11. C Câu 12. D Câu 13. D Câu 14. B Câu 15. B Câu 16. B Câu 17. D Câu 18. C Câu 19. A Câu 20. A Câu 21. A Câu 22. D Câu 23. C Câu 24. D Câu 25. D Câu 26. C Câu 27. A Câu 28. C Câu 29. B Câu 30. D Câu 31. B Câu 32. C Câu 33. A Câu 34. D Câu 35. B II. Phần tự luậnBài 1. Cho \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} - 4x + 1\).
Phương pháp
Lời giải
Hạng tử tự do là 1. Hạng tử cao nhất của đa thức là 2.
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = \left( {2{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 5} \right) - A\left( x \right)\\ = \left( {2{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 5} \right) - \left( {2{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} - 4x + 1} \right)\\ = 2{x^3} - {x^2} + 5 - 2{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} + 4x - 1\\ = - 2{x^4} + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 3{x^2}} \right) + 4x + \left( {5 - 1} \right)\\ = - 2{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} + 4x + 4\end{array}\) Vậy \(B\left( x \right) = - 2{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} + 4x + 4\)
\(A\left( x \right):\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {2{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} - 4x + 1} \right):\left( {{x^2} - 1} \right)\) Vậy \(A\left( x \right):\left( {{x^2} - 1} \right) = 2{x^2} + 4x - 1\) Bài 2. Cho \(A\left( x \right) = 4{x^2} + 4x + 1\).
Phương pháp
Lời giải
Hạng tử tự do là 1. Hạng tử cao nhất của đa thức là 4.
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = \left( {5{x^2} + 5x + 1} \right) - \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)\\ = 5{x^2} + 5x + 1 - 4{x^2} - 4x - 1\\ = \left( {5{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( {5x - 4x} \right) + \left( {1 - 1} \right)\\ = {x^2} + x\end{array}\) Vậy \(B\left( x \right){\rm{ }} = {x^2} + x\)
Vậy \(A\left( x \right):\left( {2x + 1} \right) = 2x + 1\) Bài 3. Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
Phương pháp Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức: + Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\). + Nếu \(ad = bc\) (với \(a,b,c,d \ne 0\)) thì ta có các tỉ lệ thức: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{b}{a} = \frac{d}{c};\frac{c}{a} = \frac{d}{b}\). Lời giải
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{27}} = \frac{{- 5}}{9}\\x = \frac{{- 5.27}}{9}\\x = -15\end{array}\) Vậy \(x = -15\).
\(\begin{array}{l}{\left( {2x + 1} \right)^2} = 81\\{\left( {2x + 1} \right)^2} = {9^2}\\\left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 9\\2x + 1 = -9\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}2x = 8\\2x = -10\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = -5\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(x = 4\) hoặc \(x = - 5\). Bài 4. Biết \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau được liên hệ theo công thức \(y = - \frac{{16}}{x}\)
Phương pháp
Lời giải
Thay x = 8 vào công thức \(y = - \frac{{16}}{x}\) ta được: \(y = - \frac{{16}}{8} = - 2\) Vậy \(y = 4\) khi \(x = - 4;\) \(y = - 2\) khi \(x = 8.\) Bài 5. Để hưởng ứng phong trào làm xanh môi trường học tập, học sinh lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 40 cây xanh. Lớp 7A có 36 học sinh, lớp 7B có 45 học sinh, lớp 7C có 39 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh. Phương pháp Gọi số cây xanh mà mỗi lớp phải trồng và chăm sóc lần lượt là \(x;y;z\left( {x;y;z \in \mathbb{N}*,x;y;z < 40} \right)\) Viết phương trình dựa vào đề bài. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z. Lời giải Gọi số cây xanh mà mỗi lớp phải trồng và chăm sóc lần lượt là \(x;y;z\left( {x;y;z \in \mathbb{N}*,x;y;z < 40} \right)\) Vì số cây phải trồng và chăm sóc là 40 nên \(x + y + z = 40\) Vì số cây xanh tỉ lệ với số học sinh nên ta có: \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{45}} = \frac{z}{{39}}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{45}} = \frac{z}{{39}} = \frac{{x + y + z}}{{36 + 45 + 39}} = \frac{{40}}{{120}} = \frac{1}{3}\) Từ đó ta tính được \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {12;15;13} \right)\). Vậy số cây ba lớp 7A, 7B, 7C phải trồng và chăm sóc lần lượt là 12; 15; 13. Bài 6. Để ủng hộ các bạn vùng bão lũ Miền Trung học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C của trường THCS A tham gia ủng hộ vở viết. Biết rằng số vở viết ủng hộ được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với các số 2; 3; 4 và tổng số vở viết ủng hộ được của ba lớp là 360 . Hỏi mỗi lớp ủng hộ được bao nhiêu quyển vở? Phương pháp Gọi số quyển vở ba lớp ủng hộ được lần lượt là a,b,c ( \(a,b,c \in N*\)). Viết các biểu thức theo a, b, c. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm a, b, c. Lời giải Gọi số quyển vở ba lớp ủng hộ được lần lượt là a,b,c ( \(a,b,c \in N*\)). Theo đề bài ta có: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) và \(a + b + c = 360\) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}{\rm{ = }}\frac{{a + b + c}}{9} = \frac{{360}}{9} = 40\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\\\\\end{array} \right.\)\(\begin{array}{*{20}{l}}{a{\rm{ }} = 40.2{\rm{ }} = {\rm{ }}80}\\{b{\rm{ }} = {\rm{ 40}}.3{\rm{ }} = {\rm{ 120}}}\\{c{\rm{ }} = {\rm{ 40}}.4{\rm{ }} = {\rm{ 160}}}\end{array}\) Vậy số quyển vở ba lớp 7A, 7B, 7C ủng hộ được lần lượt là 80, 120, 160. Bài 7. Lan và Hoa mỗi người gieo một con xúc xắc.
Phương pháp Xác định số kết quả xảy ra của biến cố đó, ta xác định được biến cố đó là biến cố gì. +) Biến cố chắc chắn: là biến cố biết trước được luôn xảy ra. +) Biến cố không thể: là biến cố biết trước được không bao giờ xảy ra. +) Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố không thể biết trước được có xảy ra hay không. Lời giải
Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc có giá trị nhỏ nhất là: 1 + 1 = 2 > 1. Biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lớn hơn 1” là biến cố chắc chắn.
Bài 8. Chọn ngẫu nhiên một số trong bốn số 11;12;13 và 14. Tìm xác suất để:
Phương pháp Kiểm tra khả năng xảy ra của biến cố. Lời giải
Bài 9. Một hộp có \(12\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1,\,2,\,3,.....,\,12;\) hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Xét biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra 1 số là hợp số”. Tìm xác suất của biến cố trên. Phương pháp Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A, B, C. Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với tổng số kết quả có thể. Lời giải Có 6 kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp, đó là: 2; 3; 5; 8; 13; 21. +) Có 4 số lẻ là 3; 5; 13; 21 nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 4. Xác suất của biến cố A: “Số ghi trên thẻ là số lẻ” là: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). +) Có 4 số nguyên tố là: 2; 3; 5; 13 nên số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 4. Xác suất của biến cố B: “Số ghi trên thẻ là số nguyên tố” là: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). +) Không có số chính phương trong các số trên nên số kết quả thuận lợi cho biến cố C là 0. Xác suất của biến cố C: “Số ghi trên thẻ là số chính phương” là: \(\frac{0}{6} = 0\). Bài 10. Cho \(\Delta MNP\) vuông tại M có MN < MP, kẻ đường phân giác NI của góc MNP (I thuộc MP). Kẻ IK vuông góc với NP tại K.
Phương pháp
Chứng minh \(\Delta NQP\) cân tại \(N\) nên DQ = DP. \(\Delta QIP\) có \(ID\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta QIP\) cân tại \(I\) Lời giải
\(\widehat {IMN} = \widehat {IKN} = {90^0}\) NI chung \(\widehat {MNI} = \widehat {KNI}\) (NI là đường phân giác NI của góc MNP) suy ra \(\Delta IMN = \Delta IKN\)(cạnh huyền - góc nhọn) (đpcm)
Vì \(\Delta IKP\) vuông tại K nên IP > IK (2) Từ (1) và (2) suy ra IP > IM (đpcm)
Do đó \(ND \bot QP\) (đpcm) Vì \(\Delta NQP\) có ND vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \(\Delta NQP\) cân tại N. Suy ra ND là đường trung tuyến của tam giác NQP hay QD = DP. Xét \(\Delta QIP\) có ID vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta QIP\) cân tại I. Bài 11. Cho \(\Delta MNP\) cân tại M \(\left( {\widehat M < {{90}^0}} \right)\). Kẻ NH \( \bot \)MP \(\left( {H \in MP} \right)\), PK \( \bot \)MN \(\left( {K \in MN} \right)\). NH và PK cắt nhau tại E.
Phương pháp
Chứng minh \(\Delta MEK = \Delta MEH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\). Do đó ME là đường phân giác của góc NMP. Lời giải
\(\widehat {NPH} = \widehat {PNK}\) (vì \(\Delta MNP\) cân tại M) \(NP\) chung Suy ra \(\Delta NHP = \Delta PKN\) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)
Do đó \(\Delta ENP\) cân tại E (đpcm)
\(MK = MN - NK\) (vì K thuộc MN) \(MH = MP - HP\) (vì H thuộc MP) Mà \(MN = MP\) (vì \(\Delta MNP\) cân tại M) \(NK = PH\) (vì \(\Delta NHP = \Delta PKN\)) suy ra \(MK = MH\). Xét \(\Delta MEK\) và \(\Delta MEH\) vuông tại K và H có: ME là cạnh chung MK = MH (cmt) Suy ra \(\Delta MEK = \Delta MEH\) (ch – cgv) Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\) suy ra ME là tia phân giác của góc NMP (đpcm) Bài 12. Biết rằng nếu độ dài mỗi cạnh của hộp hình lập phương tăng thêm 2 cm thì diện tích phải sơn 6 mặt bên ngoài của hộp đó tăng thêm 216 cm2. Tính Độ dài cạnh của chiếc hộp hình lập phương đó? Phương pháp Tính diện tích phải sơn của một mặt tăng thêm. Gọi độ dài của chiếc hộp ban đầu là x. Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông để viết biểu thức tìm x. Lời giải Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm là: 216: 6 = 36 (cm2) Gọi độ dài cạnh của hình hộp lập phương là x (cm) (x > 0) Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm: \(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2} = 36\\{x^2} + 4x + 4 - {x^2} = 36\\4x + 4 = 36\\4x = 32\\x = 8\end{array}\) Vậy độ dài cạnh của chiếc hộp lập phương bằng 8 cm. Bài 13*. Tính giá trị của biểu thức: \(N = x{y^2}{z^3} + {x^2}{y^3}{z^4} + {x^3}{y^4}{z^5} + ... + {x^{2022}}{y^{2023}}{z^{2024}}\), tại x = -1, y = -1, z = -1 Phương pháp Biến đổi N thành \(N = xyz.y{z^2} + {x^2}{y^2}{z^2}.y{z^2} + {x^3}{y^3}{z^3}.y{z^2} + ... + {x^{2022}}{y^{2022}}{z^{2022}}.y{z^2}\) Thay giá trị của \(y{z^2}\) theo y = -1, z = -1 vào N để rút gọn N. Thay giá trị của \(xyz\) theo x = -1, y = -1, z = -1 để tính giá trị của N. Lời giải Ta có \(N = xyz.y{z^2} + {x^2}{y^2}{z^2}.y{z^2} + {x^3}{y^3}{z^3}.y{z^2} + ... + {x^{2022}}{y^{2022}}{z^{2022}}.y{z^2}\) Tại y = -1, z = -1 ta được \(y{z^2} = - 1.{\left( { - 1} \right)^2} = - 1\). Thay vào N, ta được: \(N = - xyz - {x^2}{y^2}{z^2} - {x^3}{y^3}{z^3} - ... - {x^{2022}}{y^{2022}}{z^{2022}}\) \( = - \left( {xyz} \right) - {\left( {xyz} \right)2} - {\left( {xyz} \right)^3} - ... - {\left( {xyz} \right){2022}}\) Tại x = -1, y = -1, z = -1 ta được \(xyz = \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = - 1\). Thay vào N, ta được: \(N = - \left( { - 1} \right) - {\left( { - 1} \right)2} - {\left( { - 1} \right)^3} - ... - {\left( { - 1} \right){2022}}\) \(N = 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 = 0\) Vậy N = 0 Bài 14*. Cho biểu thức \(A = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{9999}}{{10000}}\) . Chứng minh rằng A < 99 Phương pháp Biến đổi các phân số trong A thành hiệu của 1 trừ đi phân số có tử số là 1. (ví dụ: \(\frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4}\)). Nhóm các số 1 thành 1 nhóm, các phân số còn lại thành một nhóm, ta được \(A = 99 - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right)\). Chứng minh \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > 0\) nên \(A = 99 - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right) < 0\)hay A < 99. Lời giải Ta có: \(A = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{9999}}{{10000}}\) \( = \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{9}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{16}}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{10000}}} \right)\) \( = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right)\) \= \(99 - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right) = 99 - B\) với B = \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}\) > 0 nên A < 99. Bài 15*. Cho ba số \(x,y,z\) khác \(0\) thỏa mãn \(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z}\). Tính giá trị biểu thức \(P = \left( {1 + \frac{x}{y}} \right)\left( {1 + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + \frac{z}{x}} \right)\). Phương pháp Quy đồng mẫu biểu thức P ta được \(P = \frac{{x + y}}{y} \cdot \frac{{y + z}}{z} \cdot \frac{{z + x}}{x}\) Ta có hai trường hợp: TH1: \(x + y + z = 0\) Ta có \(x + y = - z;y + z = - x;z + x = - y\), thay vào P để tính giá trị của P. TH2: \(x + y + z \ne 0\) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với \(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z}\), ta suy ra \(y + z = 2x;z + x = 2y;x + y = 2z\). Thay vào P, ta tính được giá trị của P. Lời giải Ta có: \(P = \left( {1 + \frac{x}{y}} \right)\left( {1 + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + \frac{z}{x}} \right) = \frac{{x + y}}{y} \cdot \frac{{y + z}}{z} \cdot \frac{{z + x}}{x}\). TH1: Nếu \(x + y + z = 0\) thì \(x + y = - z;y + z = - x;z + x = - y\). Thay vào P ta được: \(P = \frac{{ - z}}{y} \cdot \frac{{ - x}}{z} \cdot \frac{{ - y}}{x} = - 1\). TH2: Nếu \(x + y + z \ne 0\) Theo bài ra ta có: \(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z}\) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được \(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z}\) \( = \frac{{y + z - x + z + x - y + x + y - z}}{{x + y + z}}\) \( = \frac{{x + y + z}}{{x + y + z}} = 1\) Suy ra \(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z} = 1\) hay \(y + z - x = x;z + x - y = y;x + y - z = z\) |