Với loạt Bài toán Cực trị trong hình học không gian và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12. Show Bài toán Cực trị trong hình học không gian và cách giải
Với bài toán cực trị trong không gian Oxyz chúng ta thường xử lí theo một trong hai hướng sau: Hướng 1: Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm min, max. Hướng 2: Hình học: Với hướng này ta sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá. II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(xA;yA;zA),B(xB;yB;zB) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho 1. MA + MB nhỏ nhất. 2. |MA – MB| lớn nhất với d(A,(P)) ≠ d(B,(P)). Phương pháp: +) Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P). +) Nếu (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) \> 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P). +) Nếu (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) < 0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P). 1. MA + MB nhỏ nhất. +) Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA + MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi M = (P) ∩ AB. +) Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P). Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) khi đó A’ và B ở khác phía (P) và MA MA’ nên MA + MB = MA' + MB ≥ A'B. Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M = A'B ∩ (P). 2. |MA – MB| lớn nhất. +) Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P). Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên |MA – MB| lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi M = (P) ∩ AB. +) Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P). Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A’ và B ở cùng phía (P) và MA = MA’ nên |MA - MB| = |MA' - MB| ≤ A'B Vậy |MA – MB| lớn nhất bằng A’B khi M = A'B ∩ (P). Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết 1. (P) đi qua đường thẳng Δ và khoảng cách từ A ∉ Δ đến (P) lớn nhất. 2. (P) đi qua Δ và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. 3. (P) đi qua Δ và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất. Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số 1. Giả sử đường thẳng  Khi đó phương trình (P) có dạng: A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0. Trong đó Aa + Bb + Cc = 0, => Khi đó Thay (1) vào (2) và đặt Trong đó 2. và 3. làm tương tự Cách 2: Dùng hình học 1. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên và (P), khi đó ta có: d(A,(P)) = AH ≤ AK, mà AK không đổi. Do đó d (A, (P)) lớn nhất <=> H ≡ K . Hay (P) là mặt phẳng đi qua K, nhận 2. Nếu +) Gọi (B) là một điểm nào đó thuộc Δ, dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q). Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ CH ⊥ (P), CK ⊥ d. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là Mà +) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng (BCK). Suy ra 3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc Δ, dựng đường thẳng d’ qua M và song song với d. Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ AH ⊥ (P), AK ⊥ d. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là Mà +) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa Δ và vuông góc với mặt phẳng (d';Δ). Suy ra III. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất? Hướng dẫn giải Thay tọa độ A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) vào phương trình mặt phẳng (P), ta được P(A).P(B) > 0 hai điểm A, B cùng phía với đối với mặt phẳng (P). Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có MA + MB = MA' + MB ≥ A'B. Nên min(MA + MB) = A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B với (P). Phương trình Gọi H là giao điểm của AA’ trêN (P), suy ra tọa độ của H là H (0; -2; 4), suy ra A’ (-1; -4; 6), nên phương trình Vì M là giao điểm của A’B với (P) nên ta tính được tọa độ Chọn D. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E (8; 1; 1).Viết phương trình mặt phẳng (α) qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn giải Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0. Theo đề bài ta có: Ta có (a2 + b2 + c2)(4 + 1 + 1) ≥ (a.2 + b.1 + c.1)2 \=> 6.(a2 + b2 + c2) ≥ (2a + b + c)2 Mặt khác Suy ra a2 + b2 + c2 ≥ 63. Dấu = xảy ra khi Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a = 12, b = c = 6. Vậy phương trình mặt phẳng là : Chọn D. Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC.
Hướng dẫn giải Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0. Phương trình mặt phẳng (P): Vì: Thể tích khối tứ diện OABC là: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Hay Suy ra: Vậy: VOABC ≥ 9 Chọn C. III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm Câu 2: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M (1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất? A.6x + 3y + 2z + 18 = 0
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x + y – z + 5 = 0 và hai điểm A (1; 0; 2), B (2; -1; 4). Tìm tập hợp các điểm M (x; y; z) nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (-2; -2; 1), A (1; 2; -3) và đường thẳng Câu 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A (2; 4 ; -1), B (1; 4; -1), C (2; 4; 3), D (2; 2; -1). Biết M (x; y; z), để MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng
Câu 6 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A (1 ; 1 ; 1), B (2 ; 0 ; 2), C (-1 ; -1 ; 0), D (0 ; 3 ; 4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B’, C’, D’ thỏa mãn :
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua điểm A (1; -1; 2), song song với (P): 2x – y – z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A (-1; 0; -1), cắt Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; -2; -1), B (-2; -4; 3), C (1; 3; -1) và mặt phẳng (P): x + y – 2z – 3 = 0. Biết điểm M(a;b;c) ∈ (P) thỏa mãn
D. Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; -2), B (-1; 0; 3), (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P) bằng ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án A D C B A A A A B A Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |
