16/11/2023 Dưới đây là tổng hợp công thức Toán lớp 10 học kỳ 2, được Hocaz.vn sưu tầm và trình bày chi tiết với nội dung cụ thể, dễ hiểu nhất để gửi tới các bạn học sinh. Mong rằng các bạn có thể ôn tập thật tốt, để chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Hãy đăng ký tài khoản để luyện tập, tải về file PDF miễn phí để sử dụng nhé!! Luyện bài tập và đề thi thử sát với kiến thức trên lớp!!! Hà Nội: Tầng 4 số 61-63 Đường Khuất Duy Tiến - Phường Thanh Xuân Bắc - Quận Thanh Xuân - Hà Nội TP.Hồ Chí Minh: Số 143/2 Phan Huy Ích - Phường 15 - Quận Tân Bình Hotline/Zalo: 0981039959  Kết nối với chúng tôiFREESHIP Miễn phí vận chuyển cho đơn hàng từ 300.000 vnđ SHIP COD Nhận hàng và thanh toán tiền tại nhà Dịch vụ tốt nhất Sự hài lòng của khách hàng là mục tiêu của chúng tôi Giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh số 0106957536 do Sở Kế hoạch và Đầu tư Thành phố Hà Nội cấp lần đầu ngày 27/08/2015, đăng ký thay đổi lần thứ nhất ngày 05/01/2018 Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.
* Nếu f(x) > 0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x).f(x) < Q(x).f(x) * Nếu f(x) < 0, \(\forall \)x \( \in \) D thì P(x) < Q(x) \( \Leftrightarrow \) P(x).f(x) > Q(x).f(x)
2. Dấu của nhị thức bậc nhất
* Chú ý: Với a > 0 ta có: \(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow - a \le f(x) \le a\) \(\left| {f(x)} \right| \ge a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) \le - a\\f(x) \ge a\end{array} \right.\) 3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng (\(\Delta \)): ax + by \( = c\) Bước 2: Lấy \({M_o}({x_o};{y_o}) \notin (\Delta )\) (thường lấy \({M_o} \equiv O\)) Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c. Bước 4: Kết luận Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by \( \le c\) Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ (\(\Delta \)) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by \( \le c\)
Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại. Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt trong hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho. 4. Dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b2 – 4ac * Nếu \(\Delta \)< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), \(\forall \)x\( \in \)R * Nếu \(\Delta \)= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), \(\forall \)x\( \ne \)\(\frac{{ - b}}{{2a}}\) * Nếu \(\Delta \)> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2. (Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1< x2) Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0, \(\Delta \)= b2– 4ac > 0
Cho f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0
Chú ý: Dấu của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dấu với hệ số a khi \(\Delta < 0\)
ii) ax2 +bx +c <0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\) iii) ax2 +bx +c \( \ge \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\) iv) ax2 +bx +c \( \le \)0, \(\forall \)x \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\) 5. Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x) \( \ge \)0, f(x) < 0, f(x) \( \le \) 0), trong đó f(x) là một tam thức bậc hai. ( f(x) = ax2 + bx + c, a\( \ne \)0 )
Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x) Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt Phần 2 GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 1. Các hệ thức lượng giác cơ bản \(\begin{array}{l}1){\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\2)\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\\3)\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left( {\alpha \ne k\pi } \right)\end{array}\) \(\begin{array}{l}4)1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )\\5)1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha \ne k\pi )\\6)\tan \alpha .\cot \alpha = 1(\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2})\end{array}\) 2. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt \(\begin{array}{l}\sin \alpha = \sin \left( {\alpha + k2\pi } \right)\\\cos \alpha = \cos \left( {\alpha + k2\pi } \right)\end{array}\) \(\begin{array}{l}\tan \alpha = \tan \left( {\alpha + k\pi } \right)\\\cot \alpha = \cot \left( {\alpha + k\pi } \right)\end{array}\) +) Góc đối nhau (\(\alpha \) và \( - \alpha \)) \(\cos ( - \alpha )\,\, = \,\,\cos \alpha \) \(\sin ( - \alpha )\,\, = \,\, - \sin \alpha \) \(\tan ( - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \) \(\cot ( - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \) +) Góc bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi - \alpha \)) \(\sin (\pi - \alpha )\,\, = \,\,\sin \alpha \) \(\cos (\pi - \alpha )\,\, = \,\, - \cos \alpha \) \(\tan (\pi - \alpha )\,\, = \,\, - \tan \alpha \) \(\cot (\pi - \alpha )\,\, = \,\, - \cot \alpha \) +) Góc phụ nhau(\(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2} - \alpha \)) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cos \alpha \) \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\sin \alpha \) \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\cot \alpha \) \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\,\, = \,\,\,\tan \alpha \) 3. Công thức cộng \(\begin{array}{l}\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\\\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \sin b.\cos a\\\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\\\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\end{array}\) \(\begin{array}{l}\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\end{array}\) 4. Công thức nhân đôi, hạ bậc
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \) \(\begin{array}{l}\cos 2\alpha \\ = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \,\\ = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\ = \,\,1 - 2{\sin ^2}\alpha \end{array}\) \(\tan 2\alpha \,\, = \,\,\frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)
\(\begin{array}{c}{\sin ^2}\alpha \,\, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\\{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\{\tan ^2}\alpha \, = \,\,\frac{{1 - \cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }}\end{array}\) 5. Công thức biến đổi tích thành tổng \(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\\\sin a\sin b = - \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]\end{array}\) 6. Công thức biển đổi tổng thành tích \(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\) \(\begin{array}{l}\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\tan a - \tan b = \frac{{\sin (a - b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\cot a + \cot b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\sin a.\sin b}}\\\cot a - \cot b = \frac{{\sin (b - a)}}{{\sin a.\sin b}}\end{array}\) Phần 3 HÌNH HỌC 1. Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, trung tuyến AM = \({m_a}\), BN = \({m_b}\), CP = \({m_c}\) Định lý cosin a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Hệ quả: cosA = \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) cosB = \(\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\) cosC = \(\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) Định lý sin \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)= 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
\({m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4}\); \({m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4}\) \({m_c}^2 = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{2({b^2} + {a^2}) - {c^2}}}{4}\)
S = \(\frac{1}{2}\)aha = \(\frac{1}{2}\)bhb = \(\frac{1}{2}\)chc S = \(\frac{1}{2}\)ab.sinC = \(\frac{1}{2}\)bc.sinA = \(\frac{1}{2}\)ac.sinB S = \(\frac{{abc}}{{4R}}\) S = pr S = \(\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) với \(p = \frac{1}{2}(a + b + c) \) 2. Phương trình đường thẳng * Để viết được phương trình đường thẳng dạng tham số cần phải biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương * Để viết được phương trình đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ phát tuyến
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + t{u_1}}\\{y = {y_0} + t{u_2}}\end{array}} \right.\) với M (\({x_0};{y_0}\))\(\in d\) và \(\vec u = ({u_1};{u_2})\) là vectơ chỉ phương (VTCP)
a(x – \({x_0}\)) + b(y – \({y_0}\)) = 0 hay ax + by + c = 0 (với c = – a\({x_0}\)– b\({y_0}\) và a2 + b2 \(\ne\) 0) trong đó M (\({x_0};{y_0}\)) \(\in d\) và \(\vec n = (a;b)\) là vectơ pháp tuyến (VTPT) +) Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với \(ab\ne 0\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) +) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (\({x_0};{y_0}\)) có hệ số góc k có dạng: y – \({y_0}\)= k (x – \({x_0}\))
d(M; d) = \(\frac{{\left| {a{x_0} + b{x_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\({\Delta _1}\): \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}\)= 0 \({\Delta _2}\): \({a_2}x + {b_2}y + {c_2}\)= 0 \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\); Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}{\rm{ = 0}}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}{\rm{ = 0 }}\end{array} \right.\) \({\Delta _1}\)//\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\) \({\Delta _1}\)\( \equiv \)\({\Delta _2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\) (với \({a_2}\),\({b_2}\),\({c_2}\)khác 0) 3. Đường tròn
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) với c = a2 + b2 – R2 +) Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R +) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn d cắt ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) < R d không có điểm chung với ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) > R d tiếp xúc với ( C ) \( \Leftrightarrow \) d(I; d) = R
Dạng 1: Điểm A thuộc đường tròn Dạng 2: Điểm A không thuộc đường tròn Dạng 3: Biết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc hay song song với 1 đường thẳng nào đó 4. Phương trình Elip
Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Hay (E) =\(\{ M/{F_1}M + {F_2}M = 2a\} \)
Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0) Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b Tiêu cự F1F2 = 2c
+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ +) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = \( \pm \)a, y = \( \pm \)b |
