Sử dụng tích vô hướng giải các bài toán cực trị### Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp vectơ### Ứng dụng của vectơ trong chứng minh bất đẳng thức### Ứng dụng của vectơ trong các bài toán quỹ tích điểm### Ứng dụng vetơ chứng minh hai điểm trùng nhau### Ứng dụng của vetơ trong các bài toán vuông góc, tính góc### Ứng dụng của vectơ trong các bài toán đồng quy, thẳng hàng
Cuốn sổ tay Hình học 10 – 11 – 12 gồm 76 trang giúp học sinh tra cứu nhanh lý thuyết, công thức và phương pháp giải các dạng toán Hình học lớp 10, 11, 12. Nội dung sổ tay bao gồm 5 chương:
1. Vectơ
2. Hệ thức lượng trong tam giác
3. Tọa độ trong không gian 2 chiều
4. Hình học không gian cổ điển
5. Tọa độ trong không gian 3 chiều
[ads]
Bạn đọc có thể xem thêm Sổ tay Đại số và Giải tích 10 – 11 – 12
- Tài Liệu Ôn Thi THPTQG Môn Toán
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về:
Facebook: TOÁN MATH
Email: [email protected]
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục
MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007
Địa chỉ:
- Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội.
- Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh
Hotline: 19006933 – Email: [email protected]
Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh
Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Phần 1
Mệnh đề - Tập hợp
1. Mệnh đề
- Mệnh đề là những khẳng định có tính đúng(Đ) hoặc sai(S).
Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
- Phủ định của một mệnh đề \(A\) là mệnh đề \(\overline A \).
+\(\overline A \) đúng nếu \(A\) sai.
+\(\overline A \) sai nếu \(A\) đúng.
- Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề kéo theo \(A \Rightarrow B\) chỉ sai khi \(A\) đúng,\(B\) sai
+\(B \Rightarrow A\) là mệnh đề đảo của \(A \Rightarrow B\).
+ Nếu \(A \Rightarrow B\) đúng thì \(A\)là điều kiện đủ để có \(B\)và \(B\) là điều kiện cần để có \(A\).
- Mệnh đề tương đương:
+ Mệnh đề tương đương \(A \Leftrightarrow B\) là một mệnh đề đúng nếu \(A\) và \(B\) cùng đúng hoặc cùng sai.
+ Nếu \(A \Leftrightarrow B\) đúng thì:
- \(A \Rightarrow B\) là định lí thuận
- \(B \Rightarrow A\) là định lí đảo
- \(A \Leftrightarrow B\) là định lí thuận đảo
- \(A\) là điều kiện cần và đủ để có \(B\)
- \(B\) là điều kiện cần và đủ để có \(A\)
- Mệnh đề chứa biến, kí hiệu p(x)
- Mệnh đề chứa biến p(x) là một phát biểu có liên quan đến đại lượng thay đổi x.
- p(x) là một mệnh đề nếu ta cho x một giá trị nhất định.
- Mệnh đề với mọi: \(\forall x \in X:p(x)\)
- Mệnh đề tồn tại: \(\exists x \in X:p(x)\)
- Phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Để chứng minh P đúng, ta giả sử P sai rồi sử dụng lập luận toán học để suy ra mâu thuẫn.
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Định giá trị của một mệnh đề
Phương pháp
- Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề.
- Mệnh đề chứa biến: Tìm tập hợp \(D\) của các biến \(x\) để \(p(x)\) đúng hoặc sai.
2. Dạng 2: Phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, đủ
Phương pháp
Nếu \(A \Rightarrow B\) đúng: \(A\) là điều kiện đủ để có \(B\)
Nếu \(B \Rightarrow A\) sai: \(B\) là điều kiện cần để có \(A\)
Nếu \(A \Rightarrow B\) đúng và \(B \Rightarrow A\) đúng: \(A\) là điều kiện cần và đủ để có \(B\).
3. Dạng 3: Tìm mệnh đề phủ định
Phương pháp
- \(\overline {A \wedge B} \Leftrightarrow \overline A \vee \overline B \)
\(\overline {A \vee B} \Leftrightarrow \overline A \wedge \overline B \)
- \(\overline {\forall x \in D:p(x)} \Leftrightarrow \exists x \in D:\overline {p(x)} \)
\(\overline {\exists x \in D:p(x)} \Leftrightarrow \forall x \in D:\overline {p(x)} \)
4. Dạng 4: Chứng minh định lí \(A \Rightarrow B\)
Phương pháp:
Cách 1: Chứng minh trực tiếp
Ta giả thiết A đúng, sử dụng giả thiết và suy luận toán học để dẫn đến B đúng.
Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng
Ta giả thiết B sai, sử dụng suy luận toán học để dẫn đến A sai.
2.Tập hợp và các phép toán trên các tập hợp
Tập con: \(A \subset B \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Rightarrow x \in B\).
Hai tập hợp bằng nhau: \(A = B \Leftrightarrow A \subset B\) và \(B \subset A\).
Hợp của hai tập hợp: \(A \cup B = {\rm{\{ }}x\left| {x \in A} \right.\)hoặc \(x \in B{\rm{\} }}\).
Giao của hai tập hợp: \(A \cap B = {\rm{\{ }}x\left| {x \in A} \right.\)và\(x \in B{\rm{\} }}\).
Hiệu của 2 tập hợp bất kì: \(A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A,x \notin B} \right.} \right\}\).
Phép lấy phần bù của \(A\) trong \(E\)(\(A \subset E\)): \({C_E}A = \left\{ {x\left| {x \in E,x \notin A} \right.} \right\}\).
* Các tập hợp con của tập hợp số thực
\(\mathbb{N}* \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Tìm tập hợp
Phương pháp
Phép liệt kê: \(A = \left( {{a_1};{a_2};{a_3};...} \right)\)
Nêu tính đặc trưng: \(A = \left\{ {x \in X|p(x)} \right\}\)
2. Dạng 2: Tìm tập hợp con
Phương pháp
\(\begin{array}{l}A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in A \Rightarrow x \in B\\A \not\subset B \Leftrightarrow \exists x \in A \Rightarrow x \notin B\end{array}\)
3. Dạng 3: Hai tập hợp bằng nhau
Phương pháp
\(A = B \Leftrightarrow A \subset B\) và \(B \subset A\)
\(A \ne B \Leftrightarrow A \not\subset B\) hoặc \(B \not\subset A\)
4. Dạng 4: Các phép toán giao, hợp, hiệu
Phương pháp
B1: Liệt kê A, B
B2: \(A \cap B\):Lấy phần tử chung
\(A \cup B\): Lấy phần tử chung và riêng (Chỉ ghi một lần các phần tử giống nhau)
\(A\backslash B\): Lấy phần tử của A và không phải của B
Phần 2
Hàm số bậc nhất và bậc hai
1. Tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f\left( x \right)\) có nghĩa.
Điều kiện xác định của một số dạng biểu thức:
\(\dfrac{1}{A}\)có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ne 0\)
\(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\)
\(\dfrac{1}{{\sqrt A }}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A > 0\)
2. Tính chẵn – lẻ của hàm số
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\)
- Hàm số \(f\) là hàm số chẵn nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\forall x \in D\)
Đồ thị của \(f\) nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Hàm số \(f\) là hàm số lẻ nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\forall x \in D\)
Đồ thị của \(f\) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
3. Sự biến thiên
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\)
Hàm số đồng biến trên \(D\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên \(D\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
4. Tịnh tiến đồ thị hàm số
Trong \({\rm{Oxy}}\), cho đồ thị \(\left( G \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\); \(p\) và \(q\) là hai số dương tùy ý. Khi đó:
- Tịnh tiến \(\left( G \right)\) lên trên \(q\) đơn vị thì được đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) + q\)
- Tịnh tiến \(\left( G \right)\) xuống dưới \(q\) đơn vị thì được đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) - q\)
- Tịnh tiến \(\left( G \right)\) sang trái \(p\) đơn vị thì được đồ thị hàm số \(y = f\left( {x + p} \right)\)
- Tịnh tiến \(\left( G \right)\) sang phải \(p\) đơn vị thì được đồ thị hàm số \(y = f\left( {x - p} \right)\)
5. Hàm số bậc nhất
- Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
- Sự biến thiên (tính đơn điệu)
Khi \(a > 0\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Khi \(a < 0\), hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Bảng biến thiên:
- Đồ thị
Đặc điểm: Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng \(d\) có hệ số góc a, không song song và không trùng với các trục tọa độ. Đồ thị cắt trục tung tại \(B\left( {0;b} \right)\) và cắt trục hoành tại \(A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).
Chú ý:
+ Hệ số góc \(a = \tan \alpha \) với \(\alpha \) là góc tạo bởi \(d\) và \(Ox\).
+ Hàm số \(y = b\left( {a = 0} \right)\) là hàm hằng, đồ thì là đường thẳng song song \(\left( {b \ne 0} \right)\) hoặc trùng \(\left( {b = 0} \right)\) với trục hoành.
+ Cho 2 đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) và \(\left( {d'} \right):y = a'x + b'\), ta có:
- \(\left( d \right)\) song song với \(\left( {d'} \right)\)\( \Leftrightarrow a = a'\) và \(b \ne b'\).
- \(\left( d \right)\) trùng với \(\left( {d'} \right)\)\( \Leftrightarrow a = a'\) và \(b = b'\).
- \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {d'} \right)\)\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
- \(\left( d \right)\) vuông góc với \(\left( {d'} \right)\)\( \Leftrightarrow a.a' = - 1\).
- Hàm số bậc nhất trên từng khoảng
Hàm số bậc nhất trên từng khoảng là sự “lắp ghép” của các hàm số bậc nhất khác nhau trên từng khoảng. Hàm số có dạng:
\(y = \left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}{\rm{ }}x \in {{\rm{D}}_1}\\{a_2}x + {b_2}{\rm{ }}x \in {{\rm{D}}_2}\\...\end{array} \right.\) với \({D_1},{D_2}\) là các khoảng (đoạn, nửa khoảng) trên \(\mathbb{R}\)
Sự biến thiên:
Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
\(y = {a_1}x + {b_1}\) trên \({D_1}\)
\(y = {a_2}x + {b_2}\) trên \({D_2}\)
...
Từ đó suy ra sự biến thiên của hàm số đã cho trên \({D_1} \cup {D_2} \cup ...\)
Đồ thị của hàm số này là đường tạo bởi việc lắp ghép đồ thị các hàm số
\(y = {a_1}x + {b_1}\) trên \({D_1}\),\(y = {a_2}x + {b_2}\) trên \({D_2}\).
Hàm số \(y = \left| {ax + b} \right|\left( {a \ne 0} \right)\): Là hàm số bậc nhất trên từng khoảng
\(y = \left\{ \begin{array}{l}ax + b{\rm{khi}}x \ge - \dfrac{b}{a}\\ - ax - b{\rm{khi}}x \le - \dfrac{b}{a}\end{array} \right.\)
Cách vẽ đồ thị hàm số\(y = \left| {ax + b} \right|\left( {a \ne 0} \right)\): Vẽ hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = - ax - b\)rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành.
6. Hàm số bậc hai
- Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).
- Sự biến thiên
- Nếu \(a > 0\), hàm số đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \( - \dfrac{\Delta }{{4a}}\) tại \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\).
- Nếu \(a < 0\), hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \( - \dfrac{\Delta }{{4a}}\) tại \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\).
- Đồ thị
- Có dáng là đường Parabol có đỉnh \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\),\(\Delta = {b^2} - 4ac\).
- Trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\)
- Bề lõm hướng lên trên khi \(a > 0\), hướng xuống dưới khi \(a < 0\).
- Cách vẽ:
- Xác định đỉnh \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\) trên \(Oxy\).
- Vẽ trục đối xứng \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\).
- Tìm các điểm thuộc Parabol (thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào \(y = a{x^2} + bx + c\) rồi tìm y để được các điểm \(\left( {x;y} \right)\) tương ứng)
- Dựa bề lõm và trục đối xứng, nối đỉnh với các điểm vừa tìm được với nhau.
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là tập các giá trị của \(x\)sao cho biểu thức \(f\left( x \right)\) có nghĩa
Chú ý : Nếu \(P\left( x \right)\) là một đa thức thì:
* \(\dfrac{1}{{P\left( x \right)}}\) có nghĩa\( \Leftrightarrow P\left( x \right) \ne 0\)
* \(\sqrt {P\left( x \right)} \) có nghĩa\( \Leftrightarrow P\left( x \right) \ge 0\)
* \(\dfrac{1}{{\sqrt {P\left( x \right)} }}\) có nghĩa\( \Leftrightarrow P\left( x \right) > 0\)
2. Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Kiểm tra
- Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) chuyển qua bước ba.
- Nếu \(\exists {x_0} \in D \Rightarrow - {x_0} \notin D\) kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
Bước 3: Xác định \(f\left( { - x} \right)\) và so sánh với\(f\left( x \right)\).
- Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn
- Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ
- Nếu tồn tại một giá trị \(\exists {x_0} \in D\) mà \(f\left( { - {x_0}} \right) \ne f\left( {{x_0}} \right),f\left( { - {x_0}} \right) \ne - f\left( {{x_0}} \right)\) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
3.Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp
Cách 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\). Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{\rm{ }}{x_1} < {x_2}\), đặt \(T = f({x_2}) - f({x_1})\)
+) Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\).
+) Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\).
Cách 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\). Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{\rm{ }}{x_1} \ne {x_2}\), đặt \(T = \dfrac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
+) Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\).
+) Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\).
4. Dạng 4: Đồ thị của hàm số và tịnh tiến đồ thị hàm số
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa điểm thuộc đồ thị hàm số và định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số.
5. Dạng 5: Xác định hàm số bậc hai.
Phương pháp
Hàm số bậc hai có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Đồ thị của hàm số là Parabol (P) có:
- Hoành độ đỉnh \({x_0} = - \dfrac{b}{{2a}}\)
- Trục đối xứng là đường thẳng \(\left( \Delta \right):x = - \dfrac{b}{{2a}}\)
6. Dạng 6: Tìm GTLN-GTNN nhờ Parabol
Phương pháp
Xét Parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a > 0} \right)\). Tìm \(\mathop {\max }\limits_D y = GTLN(y);\mathop {\min }\limits_D y = GTNN(y)\) với \(D = \left[ {\alpha ;\beta } \right]\)
Hoành độ đỉnh Parabol (P): \({x_0} = - \dfrac{b}{{2a}}\).
Nếu \({x_0} \in D:\left\{ \begin{array}{l}GTLN(y) = \max \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\\GTNN(y) = f\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\)
Nếu \({x_0} \notin D:\left\{ \begin{array}{l}GTLN(y) = \max \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\\GTNN(y) = \min \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\end{array} \right.\)
Phần 3
Phương trình – Hệ phương trình
1. Điều kiện xác định của phương trình
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định lần lượt là \({D_1}\) và \({D_2}\).
Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có điều kiện xác định là \(x \in D = {D_1} \cap {D_2}\).
Các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).
2. Phương trình tương đương; Phương trình hệ quả
2.1. Phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương
Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Một số phép biến đổi tương đương:
1. Cho phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) và hàm số \(y = h\left( x \right)\) xác định trên \(D\) (TXĐ của \(h\left( x \right)\) có thể là một tập chứa \(D\)). Khi đó:
- \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)
- \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right)h\left( x \right) = g\left( x \right)h\left( x \right)\) nếu \(h\left( x \right) \ne 0\forall x \in D\).
1. Nếu \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) cùng dấu thì: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\).
2.2. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) đều là nghiệm của \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) thì \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) là phương trình hệ quả của \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\). Ta viết:
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow \)\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).
Phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả:
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\)
3. Phương trình bậc nhất; Phương trình bậc hai; Định lý Viéte
3.1. Giải và biện luận phương trình dạng \(ax + b = 0\)
- \(a \ne 0\): Phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{b}{a}\).
- \(a = 0\) và \(b \ne 0\): Phương trình vô nghiệm.
- \(a = b = 0\): Phương trình có vô số nghiệm.
3.2. Giải và biện luận nghiệm phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\)
- \(a = 0\): Phương trình trở về dạng \(ax + b = 0\)
- \(a \ne 0\):
- \(\Delta > 0\): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(x = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \(x = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
- \(\Delta = 0\): Phương trình có nghiệm kép \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\)
- \(\Delta < 0\): Phương trình vô nghiệm.
3.3. Sử dụng định lý Viéet
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1} \le {x_2}\).Đặt \(S = - \dfrac{b}{a};P = \dfrac{c}{a}\). Khi đó:
+ Nếu \(P < 0\) thì \({x_1} < 0 < {x_2}\) (2 nghiệm trái dấu).
+ Nếu \(P > 0\) và \(S > 0\) thì \(0 < {x_1} \le {x_2}\) (2 nghiệm dương). (Cần tính \(\Delta \) trước).
+ Nếu \(P > 0\) và \(S < 0\) thì \({x_1} \le {x_2} < 0\) (2 nghiệm âm). (Cần tính \(\Delta \) trước).
4. Hệ phương trình
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.(I){\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{'^2} + b{'^2} \ne 0} \right)\)
Gọi \(d,d'\) lần lượt là các đường thẳng \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\). Khi đó:
Hệ (I) có nghiệm \( \Leftrightarrow d\) và \(d'\) cắt nhau.
Hệ (I) vô nghiệm \( \Leftrightarrow d\) và \(d'\) song song.
Hệ (I) vô số nghiệm \( \Leftrightarrow d\) và \(d'\) trùng nhau.
Các bước giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Bước 1: Tính các giá trị \(D = ab' - a'b;{D_x} = cb' - c'b;{D_y} = ac' - a'c\)
Bước 2: Biện luận
1. Nếu \(D \ne 0\) hệ có một nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{{D_x}}}{D};\dfrac{{{D_y}}}{D}} \right)\).
2. Nếu \(D = 0\) và:
- \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\) thì hệ vô nghiệm.
- \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ có vô số nghiệm. Tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
Nguyên tắc giải hệ phương trình nhiều ẩn: Khử bớt ẩn bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số như đối với hệ phương trình hai ẩn.
Các dạng toán thường gặp
1. Dạng 1: Giải và biện luận nghiệm của phương trình \(ax + b = 0\)
Phương pháp
Sử dụng định lí về giải và biện luận nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Dạng 2: Tìm m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp
Sử dụng các định lí về nghiệm của phương trình để biện luận
3. Dạng 3: Giải và biện luận nghiệm phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)
4. Dạng 4: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp
Xét các khoảng rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối
5. Dạng 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Phương trình bậc cao
Phương pháp
Đưa về phương trình đơn giản hơn (phương trình tích, phương trình bậc nhất và bậc hai, phương trình trùng phương,...) để giải.
6. Dạng 6: Phương trình vô tỷ (chứa căn thức)
+) \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
+) \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)
ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) hoặc \(g\left( x \right) \ge 0\) phụ thuộc vào hai hàm \(f\left( x \right),g\left( x \right)\), hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(g\left( x \right) \ge 0\).
+) \(f\left( x \right).\sqrt {g\left( x \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).
7. Dạng 7: Hệ hai phương trình 2 ẩn
- Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
\( \bullet \) Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\d{x^2} + exy + f{y^2} + gx + hy = i\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\( \bullet \) Phương pháp giải:
- Bước 1: Từ phương trình bậc nhất (1), rút \(x\) theo \(y\) (hoặc \(y\) theo \(x\)).
- Bước 2: Thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm \(x\) (hoặc tìm \(y\)).
- Hệ phương trình đối xứng loại I
\( \bullet \) Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.
\( \bullet \) Phương pháp giải:
- Bước 1: đặt \(S = x + y,{\rm{ }}P = xy.\)
- Bước 2: Giải hệ với ẩn \(S,{\rm{ }}P\) với điều kiện có nghiệm \((x;y)\) là \({S^2} \ge 4P.\)
- Bước 3: Tìm nghiệm \((x;y)\) bằng cách thế vào phương trình \({X^2} - SX + P = 0.\)
Chú ý:
Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:
+) \({x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy = {S^2} - 2P.\)
+) \({x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y) = {S^3} - 3SP.\)
+) \({(x - y)^2} = {(x + y)^2} - 4xy = {S^2} - 4P.\)
+) \({x^4} + {y^4} = {({x^2} + {y^2})^2} - 2{x^2}{y^2} = {S^4} - 4{S^2}P + 2{P^2}.\)
+) \({x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = ({x^2} - xy + {y^2})({x^2} + xy + {y^2}) = \cdot \cdot \cdot \)
- Hệ phương trình đối xứng loại II
\( \bullet \) Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).
\( \bullet \) Phương pháp giải:
- Bước 1: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử đưa về dạng \((x - y).f(x) = 0,\)
- Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa \(x,y\) từ phương trình thu được.
Chú ý:
- Ta luôn có \(x = y\) từ phương trình ở bước 1.
- Từ mối quan hệ tìm được ở bước 2 ta biến đổi các phương trình đầu bài và giải nghiệm.
¬ Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
\( \bullet \) Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\end{array} \right.\) \((i)\)
\( \bullet \) Phương pháp giải: \((i) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_2}({a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2}) = {d_1}.{d_2}\\{d_1}({a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2}) = {d_1}.{d_2}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(1)\\(2)\end{array}\)
Lấy \((1) - (2) \Rightarrow ({a_1}{d_2} - {a_2}{d_1}) \cdot {x^2} + ({b_1}{d_2} - {b_2}{d_1}) \cdot xy + ({c_1}{d_2} - {c_2}{d_1}) \cdot {y^2} = 0.\) Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ \(x,y\)
¬ Lưu ý: Dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{f_m}(x;y) = a\\{f_n}(x;y) = {f_k}(x;y)\end{array} \right.\) với \({f_m}(x;y),{\rm{ }}{f_n}(x;y),{\rm{ }}{f_k}(x;y)\) là các biểu thức đẳng cấp bậc \(m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}k\) thỏa mãn \(m + n = k.\) Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải.
Tức biến đổi hệ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {f_m}(x;y)\\a \cdot {f_n}(x;y) = a \cdot {f_k}(x;y)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {f_m}(x;y) \cdot {f_n}(x;y) = a.{f_k}(x;y)\) và đây là phương trình đẳng cấp bậc k.
Phần 4
Vectơ
1. Tổng, hiệu của hai vectơ
Các quy tắc:
Quy tắc ba điểm: Cho \(A,B,C\) tùy ý, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Ghi nhớ:
- Cho I là trung điểm của \(AB\) và \(M\) là một điểm nào đó, khi đó:
+) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {0.} \)
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MC} \)
- Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là một điểm bất kì. Khi đó:
+) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Quy tắc về hiệu vectơ:
Nếu \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ đã cho thì với điểm \(O\) bất kì ta luôn có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} \)
2. Tích của véc tơ với một số
Tích của số \(k \ne 0\) với vectơ \(\overrightarrow a \): Nếu \(k \ge 0\) thì \(k\overrightarrow a \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và độ dài\(\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\), nếu \(k < 0\) thì \(k\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \) và \(\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Quy ước: \(0.\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ;k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \).
Tính chất:
Với hai vec tơ bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và mọi số thực \(k,l\), ta có:
- \(k\left( {l\overrightarrow a } \right) = \left( {kl} \right)\overrightarrow a \)
- \(\left( {k + l} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + l\overrightarrow a \)
- \(k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b \);\(k\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \)
- \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow k = 0\) hoặc \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \)
Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
\(\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 } \right) \Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow b = k\overrightarrow a \)
Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).
Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương: Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, \(\overrightarrow x \) là một vectơ tùy ý. Khi đó luôn tồn tại duy nhất cặp số \(m\) và \(n\) sao cho \(\overrightarrow x = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \).
Phương pháp phân tích một vectơ qua 2 vectơ không cùng phương: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một vectơ để biến đổi.
Chú ý: Cho đoạn thẳng \(AB\), một điểm \(I \in AB\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \) thì với điểm \(M\) bất kì ta luôn có:
\(\overrightarrow {MI} = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA} + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \)
3. Hệ trục tọa độ
- Hai vec tơ bằng nhau: \(\overrightarrow a \left( {x;y} \right) = \overrightarrow b \left( {x';y'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\)
- Biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ:
- Cho \(\overrightarrow a = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y'} \right)\). Khi đó
- \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y'} \right)\);\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y'} \right)\)
- \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky} \right)\) với \(k \in \mathbb{R}\)
- \(\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \exists k:x' = kx,y' = ky\).
- Với \(M({x_M};{y_M});N({x_N};{y_N}) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M}} \right)\)
- Nếu \(P\) là trung điểm của \(MN\) thì \({x_P} = \dfrac{{{x_M} + {x_N}}}{2};{y_P} = \dfrac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\).
- Nếu G là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì
\({x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\).
Phần 5
Tích vô hướng và ứng dụng
1. Giá trị lượng giác góc \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)
Tính chất:
\(\begin{array}{l}\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\\\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin \left( { - \alpha } \right) = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha \\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\\\cot \left( { - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\end{array}\)
2. Tích vô hướng
Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
Tính chất: Với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý và mọi số thực \(k\), ta có:
- \({\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\)
- \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)
- \(\left( {k\overrightarrow a } \right)\overrightarrow b = \overrightarrow a .\left( {k\overrightarrow b } \right) = k\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\)
- \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c \)
- \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow a .\overrightarrow c \)
Các hệ thức quan trọng
Cho \(\overrightarrow a = \left( {x;y} \right);\overrightarrow b = \left( {x';y'} \right)\). Khi đó
- \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy'\)
- \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
- \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\dfrac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\left( {\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\)
- \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\)
- \(MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}} \) với \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right),N\left( {{x_N},{y_N}} \right)\)
Hệ thức lượng trong tam giác và công thức diện tích
Cho tam giác \(ABC\) có \(a = BC;b = AC;c = AB;R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\); \(r\) là bán kính đường trong nội tiếp; \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\); \({h_a}\) là đường cao kẻ từ \(A\); \({m_a}\) là trung tuyến kẻ từ \(A\).
- Định lí côsin trong tam giác: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
- Định lí sin trong tam giác: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)
- Công thức trung tuyến: \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)
- Công thức tính diện tích:
\(S = \dfrac{1}{2}a{h_a} = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
