Câu hỏi: Show Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\) song song với đường thẳng \(y = 9x – 14.\)
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: A
Xét hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( C \right)\) có: \(y’ = 3{x^2} – 3\) Gọi \(M\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow M\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x_0^3 – 3{x_0} + 2} \right).\) Khi đó phương trình tiếp tuyến của tại có dạng: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 – 3} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3 – 3{x_0} + 2}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 – 3} \right)x – 3x_0^3 + 3{x_0} + x_0^3 – 3{x_0} + 2}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 – 3} \right)x – 2x_0^3 + 2}\end{array}\) Ta có tiếp tuyến \(d\) song song với đường thẳng \(y = 9x – 14\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x_0^2 – 3 = 9}\\{ – 2x_0^3 + 2 \ne {\rm{\;}} – 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0^2 = 4}\\{x_0^3 \ne 8}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 2}\\{{x_0} = {\rm{\;}} – 2}\end{array}} \right.}\\{{x_0} \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x_0} = {\rm{\;}} – 2\)\( \Rightarrow M\left( { – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 16} \right)\) Vậy có 1 điểm \(M\left( { – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 16} \right)\) thỏa mãn bài toán. Chọn A. Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\) Đường thẳng \({d_1}:\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \({d_2}:\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\,\,\,\,\,\left( C \right)\) có: \(y' = 3{x^2} - 3\) Gọi \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow M\left( {{x_0};\,\,x_0^3 - 3{x_0} + 2} \right).\) Khi đó phương trình tiếp tuyến của \(\) tại \(\) có dạng: \(\begin{array}{l}\,d:\,\,\,\,y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 2\\ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)x - 3x_0^3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 2\\ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)x - 2x_0^3 + 2\end{array}\) Ta có tiếp tuyến \(d\) song song với đường thẳng \(y = 9x - 14\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 - 3 = 9\\ - 2x_0^3 + 2 \ne - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 = 4\\x_0^3 \ne 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\\{x_0} \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = - 2\)\( \Rightarrow M\left( { - 2;\,\,16} \right)\) Vậy có 1 điểm \(M\left( { - 2;\,\,16} \right)\) thỏa mãn bài toán. Chọn A. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ song song với đường thẳng $9x-y-14=0$?Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) song song với đường thẳng \(9x-y-14=0\)? A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Cho hàm số (y=((x)^(3))+3x-2 ) có đồ thị (( C ) ) Có bao nhiêu đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị (( C ) ) song song với đường thẳng (d: y=6x-4 )Câu 57145 Vận dụng Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3x-2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) Có bao nhiêu đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(d:\ y=6x-4\) Đáp án đúng: d Phương pháp giải Cho hàm số \(\left( C \right):\ \ y=f\left( x \right)\) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) là: \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:\ \ y=6x-4\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=6 \\ & f'\left( {{x}_{0}} \right).\left( -{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\ne -4 \\\end{align} \right.\) Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong --- Xem chi tiết ...
Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\) Đường thẳng \({d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = {a_1}x + {b_1}\) và \({d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_1} = {a_2}}\\{{b_1} \ne {b_2}}\end{array}} \right..\) Giải chi tiết: Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( C \right)\) có: \(y' = 3{x^2} - 3\) Gọi \(M\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow M\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x_0^3 - 3{x_0} + 2} \right).\) Khi đó phương trình tiếp tuyến của tại có dạng: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 2}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)x - 3x_0^3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 2}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)x - 2x_0^3 + 2}\end{array}\) Ta có tiếp tuyến \(d\) song song với đường thẳng \(y = 9x - 14\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x_0^2 - 3 = 9}\\{ - 2x_0^3 + 2 \ne - 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0^2 = 4}\\{x_0^3 \ne 8}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 2}\\{{x_0} = - 2}\end{array}} \right.}\\{{x_0} \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x_0} = - 2\)\( \Rightarrow M\left( { - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 16} \right)\) Vậy có 1 điểm \(M\left( { - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 16} \right)\) thỏa mãn bài toán. Chọn A.
Câu hỏiNhận biết
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành?
Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây
Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\) Giải chi tiết: Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2}\) có \(y' = 3{x^2} - 6x\) Gọi \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị hàm số. \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) là: \(\begin{array}{l}d:\,\,\,y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2\\ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)x - 3x_0^3 + 6x_0^2 + x_0^3 - 3x_0^2\\ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)x - 2x_0^3 + 3x_0^2\\ \Rightarrow d//Ox:\,\,y = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 - 6{x_0} = 0\\ - 2x_0^3 + 3x_0^2 e 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 2\end{array} \right.\\{x_0} e 0\\{x_0} e \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 2.\end{array}\) Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán. Chọn D. |
