Sách Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương trình đường tròn giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: a) (C) có bán kính là 5 ; b) (C) đi qua gốc tọa độ ; c) (C) tiếp xúc với trục Ox; d) (C) tiếp xúc với trục Oy; e) (C) tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x + 3y – 12 = 0. Lời giải: a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25; b) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13; c) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9; d) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4; e) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1. a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC ; b) Tìm tâm và bán kính của (C). Lời giải: a) Phương trình của (C) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. Ta có: A, B, C ∈ (C)  Vậy phương trình của (C) là: x2 + y2 + 6x + 2y – 31 = 0 b) (C) có tâm là điểm (-3;-1) và có bán kính bằng a) Tìm tọa độ tâm của (C); b) Tính bán kính R của (C); c) Viết phương trình của (C). Lời giải: Gọi I(a; b) là tâm của (C) ta có: Vậy (C) có tâm I (-3 ; 1). b) R = IA = c) Phương trình của (C) là: (x + 3)2 + (y – 1)2 = 0 Δ1: 3x + 4y – 1 = 0 Δ2: 4x + 3y – 8 = 0 d: 2x + y – 1 = 0. a) Lập phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi Δ1 và Δ2. b) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C) biết rằng I nằm trên d và (C) tiếp xúc với Δ1 và Δ2. c) Viết phương trình của (C). Lời giải: Lời giải: a) A có tọa độ (-1; 1), B có tọa độ (5; 3) ; b) A có tọa độ (-1; -2), B có tọa độ (2; 1). Lời giải: a) x2 + y2 – 4x – 4y – 2 = 0 b) x2 + y2 – x + y – 4 = 0 Lời giải: Phương trình của (C) có dạng (x – a)2 + (y – a)2 = a2, ta có: M ∈ (C) ⇔ (4 – a)2 + (2 – a)2 = a2
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài là: (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 và (x – 10)2 + (y – 10)2 = 100 a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và d. b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó. c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến. Lời giải: a) M1(1; 0), M2(-3; 3) b) Δ1: x – 7y – 1 = 0 Δ2: 7x + y + 18 = 0 c) A(-5/2; -1/2). a) Chứng tỏ rằng điểm A nằm ngoài đường tròn (C) . b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A. Lời giải: a) (C) có tâm I (3;-1) và có bán kính R = 2, ta có: và IA > R, vậy A nằm ngoài (C). b) Δ1: 3x + 4y – 15 = 0 Δ2: x – 1 = 0 Lời giải: Δ vuông góc với d nên phương trình Δ có dạng: x + 3y + c = 0 (C) có tâm I(3;-1) và có bán kính R = √10. Ta có: Δ tiếp xúc với (C) : Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: Δ1: x + 3y + 10 = 0 và Δ2: x + 3y – 10 = 0 a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến Δ1 và Δ2 với (C), hãy viết phương trình của Δ1 và Δ2. b) Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của Δ1 và Δ2 với (C) , hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua M1 và M2 Lời giải: a) (C) có tâm I(-1; 2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng đi qua M(2; -1) và có hệ số góc k có phương trình: y + 1 = k(x – 2) ⇔ kx – y – 2k – 1 = 0 Ta có: Δ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I; Δ ) = R
Vậy ta được tiếp tuyến Δ1: y + 1 = 0 Xét đường thẳng Δ2 đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, Δ2 có phương trình x – 2 = 0. Ta có: d(I; Δ ) = |-1 – 2| = 3 = R Suy ra Δ2 tiếp xúc với (C) . Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C), đó là: Δ1: y + 1 = 0 và Δ2: x – 2 = 0 b) Δ1 tiếp xúc với (C) tại M1(-1; -1) Δ2 tiếp xúc với (C) tại M2(2; 2) Phương trình của đường thẳng d đi qua M1 và M2 là: x – y = 0. Lời giải: Đường tròn (C): x2 + y2 – 8x – 6y có tâm I(4;3) và bán kính R = 5. Cách 1: xét đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, Δ có phương trình y – kx = 0 Ta có: Δ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I, Δ) = R ⇔ (3 – 4k)2 = 25(k2 + 1) ⇔ 9 – 24k + 16k2 = 25k2 + 25 ⇔ 9k2 + 24k + 16 = 0 ⇔ k = -4/3 Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: y + 4x/3 = 0 hay 4x + 3y = 0 Cách 2: Do tọa độ O(0;0) thỏa mãn phương trình của (C) nên điểm O nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại O có vectơ pháp tuyến Suy ra Δ có phương trình: 4x + 3y = 0. a) Tìm câm và bán kính của (C1) và (C2) . b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Lời giải: a) (C1) có tâm có bán kính R1 = 2; (C2) có tâm có bán kính R2 = 1. b) Xét đường thẳng Δ có phương trình: y = kx + m hay kx – y + m = 0. Ta có: Δ tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi
Từ (1) và (2) suy ra |3k + 2| = 2|6k – 3 + m| Trường hợp 1: 3k + m = 2(6k – 3 + m) ⇔ m = 6 – 9k (3) Thay vào (2) ta được ⇔ 9 – 18k + 9k2 = k2 + 1 ⇔ 8k2 – 18k + 8 = 0 ⇔ 4k2 – 9k + 4 = 0 Thay giá trị của k vào (3) ta tính được
Vậy ta được hai tiếp tuyến Δ1: y = k1x + 6 – 9k1 Δ2: y = k2x + 6 – 9k2 Trường hợp 2: 3k + m = -2(6k – 3 + m) ⇔ 3m = 6 – 15k ⇔ m = 2 – 5k (4) Thay vào (2) ta được ⇔ (k – 1)2 = k2 + 1 ⇔ k2 – 2k + 1 = k2 + 1 ⇔ k = 0 Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2. Vậy ta được tiếp tuyến Δ3: y = 2 Xét đường thẳng Δ4 vuông góc với Ox tại x0: Δ4: x – x0 = 0 Δ4 tiếp xúc vơi (C1) và (C2) khi và chỉ khi Vậy ta được tiếp tuyến: Δ4: x – 5 = 0 Tóm lại hai đường tròn (C1) và (C2) có bốn tiếp tuyến chung Δ1, Δ2, Δ3 và Δ4 |
