- 1. VÀ LOGARIT 1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa 1.1 Rút gọn các biểu thức sau trong miền xác định của nó a) P = x 3 2 + y 3 2 (x2 − xy) 2 3 : x −2 3 3 √ x − y x √ x − y √ y . b) Q = a3 ( 4 √ a + 4 √ b)2 + ( 4 √ a − 4 √ b)2 a + √ ab . 3 a √ a. ĐS: a) P = x2 y + y2 ; b) Q = 32a. 1.2 Cho x < 0, chứng minh rằng −1 + 1 + 1 4 (2x − 2−x)2 1 + 1 + 1 4 (2x − 2−x)2 = 1 − 2x 1 + 2x 1.3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2x + 2−x 2 . ĐS: Đồng biến trên (0; +∞), nghịch biến trên (−∞; 0). 1.4 Xét hàm số f(x) = 2x + 2−x 2 và g(x) = 2x − 2−x 2 . Chứng minh rằng ∀x1, x2 ta có các hệ thức sau: a) f(x1 + x2) + f(x1 − x2) = 2f(x1)f(x2). b) g(2x1) = 2g(x1)f(x1). c) f(2x1) = 2f2 (x1) − 1. 1.5 Cho hàm số f(x) = 4x 4x + 2 . Tính tổng S = f 1 1993 + f 2 1993 + . . . + f 1992 1993 ĐS: S = 996. 2 Hàm số logarit 2.1 Rút gọn các biểu thức sau a) A = 92 log3(4)+4 log81(2) b) B = loga a2 3 √ a 5 √ a4 4 √ a với a > 0, a = 1. 1
- 2. = 1024; b) B = 31 20 . 2.2 Cho log12(27) = a. Tính theo a giá trị của log6(16). ĐS: log6(16) = 12 − 4a 3 + a . 2.3 Cho log14(28) = a. Tính theo a giá trị của log49(16). 2.4 Cho lg(392) = a; lg(112) = b. Tính log5(7) theo a và b. ĐS: log5(7) = 4a − 3b a − 2b + 5 . 2.5 Cho log2(3) = a; log3(5) = b; log7(2) = c. Tính log140(63) theo a, b và c. ĐS: log140(63) = 2ac + 1 abc + 2c + 1 . 2.6 Cho log4(75) = a; log8(45) = b. Tính log 3√ 25(135) theo a và b. ĐS: log 3√ 25(135) = 45b − 6a 8a − 6b . 2.7 Cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7. Chứng minh rằng ∀α > 0, α = 1 ta có logα a + b 3 = 1 2 (logα a + logα b) 2.8 Chứng minh rằng 2014 = − log5 log5 5 5 . . . 5 √ 5 2014 dấu căn . 2.9 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền. Giả sử c ± b = 1. Chứng minh logc+b(a) + logc−b(a) = 2 logc+b(a). logc−b(a) 2.10 Cho log12(18) = α; log24(54) = β. Chứng minh rằng: α.β + 5(α − β) = 1. 2.11 Giả sử x(y + z − x) lg z = y(x + z − y) lg y = z(y + x − z) lg z . Chứng minh rằng xy yx = zy yz = zx xz 2.12 Cho N > 0, N = 1. Chứng minh rằng 1 log2 N + 1 log3 N + . . . + 1 log2014 N = 1 log2014! N 2.13 Cho y = 10 1 1−lg x ; z = 10 1 1−lg y . Chứng minh rằng x = 10 1 1−lg z . 2.14 Tính các giới hạn sau a) A = lim x→0 e5x+3 − e3 2x b) B = lim x→0 ex − 1 √ x + 1 − 1 c) C = lim x→0 ln(1 + x3 ) 2x d) C = lim x→0 ln(1 + 2x) tan x ĐS: A = 5e3 2 ; B = 2; C = 0; D = 2. 2.15 Cho hàm số y = ln 1 1 + x . Chứng minh rằng xy + 1 = ey . 2
- 3. số y = 1 1 + x + ln x . Chứng minh rằng xy = y(ln x − 1). 2.17 Cho hàm số y = e−x sin x. Chứng minh rằng y + 2y + 2y = 0. 2.18 Cho hàm số y = sin(ln x) + cos(ln x). Chứng minh rằng y + xy + x2 y = 0. 2.19 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số y = 3x2−3x+1 và y = 1 3 2−x . 2.20 Cho 0 < x < 1; 0 < y < 1 và x < y. Chứng minh rằng 1 y − x ln y 1 − y − ln x 1 − x > 4. 2.21 Cho x > y > 0. Chứng minh x + y 2 > x − y ln x − ln y . 2.22 Chứng minh nếu x > 0 thì ln x < √ x. 2.23 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = ln2 x x trên [1; e3 ]. 3 Phương trình mũ và logarit 3.1 Giải các phương trình sau a) (2 + √ 3)2x = 2 − √ 3 b) 2x2−3x+2 = 4 c) 2.3x+1 − 6.3x−1 − 3x = 9 d) 9x+1 = 272x+1 e) log2 1 x = log1 2 (x2 − x − 1) f) log4(x + 12). logx 2 = 1 g) log3 x + log9 x + log27 x = 11 h) log3(3x + 8) = 2 + x 3.2 Giải các phương trình sau a) log2[x(x − 1)] = 1 b) log2 x + log2(x − 1) = 1 c) log2 x + log4 x = log1 2 √ 3 d) log2(3 − x) + log2(1 − x) = 3 e) 1 − 1 2 log(2x − 1) = 1 2 log(x − 9) f) 1 6 log2(x − 2) − 1 3 = log1 8 √ 3x − 5 3.3 Giải các phương trình sau a) 3x−1 .2x2 = 8.4x−2 b) 2x .5x = 0, 2. log(10x−1 )5 c) 0, 125.42x−3 = (4 √ 2)x d) 2x+1 .5x = 200 e) 3x .8 x x−1 = 36 f) 32−log3 x = 81x g) 34x = 43x h) 5x−1 = 10x .2−x .5x+1 3.4 Giải các phương trình sau a) 32x+5 = 3x+2 + 2 b) 3.4x − 2.6x = 9x c) 3x+1 + 18.3−x = 29 d) 27x + 12x = 2.8x e) log2 2 x − 3 log2 x + 2 = 0 f) logx−1 4 = 1 + log2(x − 1) g) 1 5 − log x + 2 1 + log x = 1 h) log1 2 x + log2 2 x 3
- 4. phương trình sau a) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x b) 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 c) 4x2−3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7 + 1 d) 4x2+2x + 21−x2 = 2(x+1)2 + 1 e) 2 log2 9 x = log3 x. log3( √ 2x + 1 − 1) f) log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x. log7 x 3.6 Giải các phương trình sau a) 2x = 3 − x b) 2x = 2 − log3 x c) log2 x = 3 − x d) 3x + 4x = 5x e) 4x − 3x = 1 f) 1 3 x = x + 4 4 Bất phương trình mũ và logarit 4.1 Giải các bất phương trình sau a) 23−6x > 1 b) 16x > 0, 125 c) 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2 d) log5(3x − 1) < 1 e) log1 3 (5x − 1) > 0 f) log0,5(x2 − 5x + 6) ≥ 1 g) log3 log1 2 (x2 − 1) < 1 h) log3 1 − 2x x ≤ 0 i) log0,5(4x + 11) < log0,5(x2 + 6x + 8) j) log1 3 (x + 1) > log3(2 − x) 4.2 Giải các bất phương trình sau a) 9x < 2.3x + 3 b) 52x+1 > 5x + 4 c) log2 0,5 x + log0,5 x − 2 ≤ 0 d) 2x + 2−x+1 − 3 < 0 e) 4x − 2.52x < 10x f) 4x − 3.2x + 2 > 0 g) log2 3 x − 5 log3 x + 6 ≤ 0 h) log2 0,2 x − 5 log0,2 x < −6 i) 3 + x2 (2x−1 + 22−x ) > 3x2 + 22−x + 2x−1 5 Mũ và logarit trong các đề thi tuyển sinh đại học 5.1 (CĐ 2008). Giải phương trình log2 2(x + 1) − 6 log2 √ x + 1 + 2 = 0. ĐS: x = 1; 3. 5.2 (Khối A - 2002). Cho phương trình log2 3 x + log2 3 +1 − 2m − 1 = 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 √ 3 ]. 4
- 5. = 3 √ 3 ; b) 0 ≤ m ≤ 2. 5.3 (Khối A - 2004). Giải hệ phương trình log1 4 (y − x) − log4 1 y = 1 x2 + y2 = 25. . ĐS: (3; 4). 5.4 (Khối A - 2006). Giải phương trình 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0. ĐS: x = 1. 5.5 (Khối A - 2007). Giải bất phương trình 2 log3(4x − 3) + log1 3 (2x + 3) ≤ 2. ĐS: 3 4 < x ≤ 3. 5.6 (Khối A - 2009). Giải hệ phương trình log2(x2 + y2 ) = 1 + log2(xy) 3x2−xy+y2 = 81. ĐS: (2; 2) và (−2; 2). 5.7 (Khối B - 2002). Giải bất phương trình logx (log3(9x − 72)) ≤ 1. ĐS: log9 73 < x ≤ 2. 5.8 (Khối B - 2005) Giải hệ phương trình √ x − 1 + √ 2 − y = 1 3 log9(9x2 ) − log3 y3 = 3. ĐS: (1; 1) và (2; 2). 5.9 (Khối B - 2006). Giải bất phương trình log5(4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5(2x−2 + 1). ĐS: 2 < x < 4. 5.10 (Khối B - 2007). Giải phương trình ( √ 2 − 1)x + ( √ 2 + 1)x − 2 √ 2 = 0. ĐS: x = ±1. 5.11 (Khối B - 2008). Giải bất phương trình log0,7 log6 x2 + x x + 4 < 0 ĐS: x ∈ (−4; −3) ∪ (8; +∞). 5.12 (Khối B - 2010). Giải hệ phương trình log2(3y − 1) = x 4x + 2x = 3y2 (x, y ∈ R). 5.13 (Khối D - 2002). Giải hệ phương trình 23x = 5y2 − 4y 4x + 2x+1 2x + 2 = y. ĐS: (0; 1) và (2; 4). 5.14 (Khối D - 2003). Giải phương trình 2x2−x − 22+x−x2 = 3. ĐS: x = −1; x = 2. 5.15 (Khối D - 2006). Chứng minh rằng ∀a, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y) y − x = a. 5.16 (Khối D - 2006) Giải phương trình 2x2+x − 4.2x2−x − 22x + 4 = 0. 5
- 6. 0; 1. 5.17 (Khối D - 2007). Giải phương trình log2(4x + 15.2x + 27) + 2 log2 1 4.2x − 3 = 0 ĐS: x = log2 3. 5.18 (Khối D - 2008). Giải bất phương trình log1 2 x2 − 3x + 2 x ≥ 0. ĐS: x ∈ [2 − √ 2; 1) ∪ (2; 2 + √ 2] 5.19 (Khối D - 2010). Giải phương trình 42x+ √ x+2 + 2x3 = 42+ √ x+2 + 2x3+4x−4 . ĐS: x = 1; 2. 5.20 (Khối D - 2010). Giải hệ phương trình x2 − 4x + y + 2 = 0 2 log2(x − 2) − log√ 2 y = 0 ĐS: (3; 1). 6
|
