F 1 F 2 ý 0 Show uur uur r III. ĐiÁu kián cân bÅng của vÁt rÃn chịu tác dụng của ba lực không song song - Ba lực đó phải có giá đồng phẳng và đồng quy. - Hợp lực của hai lực phải cân bÅng với lực thứ ba: F 1 F 2 ý F 3 uur uur uur III. ĐiÁu kián cân bÅng của vÁt rÃn chịu tác dụng của ba lực song song - Ba lực đó phải có giá đồng phẳng. - Lực á trong phải ngược chiÁu với hai lực á phía ngoài. - Hợp lực của hai lực á phía ngoài phải cân bÅng với lực á trong. IV. ĐiÁu kián cân bÅng vÁt rÃn có trục quay cố định. Quy tÃc mômen lực IV. Mômen lực Mômen lực đối với một trục quay là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực, được đo bÅng tích độ lớn của lực và cánh tay đòn của nó (khoảng cách từ trục quay đ¿n giá của lực). M = F Đơn vị: N IV. Ng¿u lực Hệ hai lực song song, ngược chiÁu, cùng độ lớn và tác dụng vào một vÁt gọi là ng¿u lực. Mômen ng¿u lực: M = F M ô IV. Quy tÃc mômen lực Muốn cho một vÁt có trục quay cố định cân bÅng thì tổng đại số mômen lực phải bÅng 0. ΣM = 0 IV. ĐiÁu kián cân bÅng một vÁt rÃn tổng quát - Tổng đại số các hình chi¿u của các lực lên các trục toạ độ phải bÅng không. - Đối với một trục quay bất kì, tổng mômen các lực có xu hướng làm vÁt quay cùng chiÁu kim đồng hồ bÅng tổng các mômen lực có xu hướng làm cho vÁt quay ngược chiÁu kim đồng hồ.
V Cân bÅng của vÁt có mặt chân đ¿: Mặt chân đ¿ là đa giác lồi giới hạn bái các điểm ti¿p xúc của vÁt với mặt đỡ. ĐiÁu kiện cân bÅng của vÁt có mặt chân đ¿: giá của trọng lực phải đi qua mặt chân đ¿. Mức vững vàng của trạng thái cân bÅng được xác định bái độ cao của trọng tâm và diện tích mặt chân đ¿. Cân bÅng càng vững khi khối tâm càng thấp và diện tích mặt chân đ¿ càng lớn.
**D¿ng 1: ĐiÁu kián cân bÅng vÁt rÃn không có chuyển động quay.
uur uur r Bước 3: Giải phương trình trên bÅng các cách sau: - Phương pháp cộng vectơ theo quy tÃc hình bình hành; - Phương pháp chi¿u phương trình trên lên các trục tọa độ để đưa vÁ phương trình đại số. Vì ta chỉ khảo sát các lực đồng phẳng, nên chỉ xét phương trình hình chi¿u lên hai trục tọa độ Ox và Oy. - Áp dụng qui tÃc hợp lực song song cùng chiÁu, ngược chiÁu và điÁu kiện cân bÅng của vÁt rÃn chịu tác dụng của 3 lực song song. *Chú ý: Một vÁt rÃn cân bÅng, chịu tác dụng của n lực. N¿u hợp lực của (n-1) lực đi qua điểm 0 thì lực còn lại cũng phải đi qua điểm 0. 2. Bài tÁp có h°ớng d¿n Bài 1 Một quả cầu khối lượng 4kg, bán kính R = 15cm, tựa vào tưßng trơn nhẵn và được giữ nÅm yên nhß một dây treo gÃn vào tưßng tại A, chiÁu dài dây AB = 15cm. Tìm lực căng của dây và lực nén của quả cầu lên tưßng. Lấy g = 10m/s 2. Hướng dẫn Chọn hệ toạ độ Oxy như hình vẽ. Các lực tác dụng vào quả cầu được biểu diễn như hình vẽ. ĐiÁu kiện cân bÅng của quả cầu: P N T ý0 1ø ùur uur ur r Chi¿u (1) lên Ox, Oy, ta có: ø ùø ùos 2 sin 3 P Tc N T ñ ñ ý ý Ta có: 0 1 sin 30 2 CO RAB BO AB R ñý ý ý ñý Từ (2) 0 46, 2ø ùos os P mg T N c ñ c ý ý ý Từ (3) N ý T sin ñý23,1ø N ùVÁy lực nén lên tưßng bÅng 23,1N. Bài 2 Xác định áp lực tạo bái hệ thống trục, bánh đà lên các ổ trục A và B. Bỏ qua trọng lượng trục. Bi¿t trọng lượng bánh đà C là 240N, AB = 60cm; AC = 80cm. Hướng dẫn Coi trọng lượng bánh đà C là hợp lực song song ngược chiÁu của áp lực tác dụng lên A và B. (hợp lực P ur nÅm ngoài, nên F F 1 , 2 uur uur ngược chiÁu. Vì BC < AC nên F 1 uur phải cùng chiÁu với P ur và F 1 > F 2 ) Theo qui tÃc hợp lực song song ngược chiÁu: ø ùø ù1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2403204F F P F FF NF AC FF NF BC F ü ý ü ý ÿ ÿ üÿ ý ý ý ý ÿ ý ÿ ý ÿþ ý þ þ **D¿ng 2: Cân bÅng vÁt rÃn có chuyển động quay.
2. Bài tÁp có h°ớng d¿n Thanh AB đồng chất gÃn vào tưßng nhß bản lÁ tại A. Bi¿t m 1 = 8kg; lấy g = 10m/s 2. Hỏi thanh AB phải có khối lượng bÅng bao nhiêu để thanh nHướng d¿n Åm ngang cân bÅng. Hướng dẫn Các lực có tác dụng làm thanh AB quay quanh bản lÁ tại A: Trọng lực P của thanh AB đặt tại trung đỉểm O. Lực căng dây T với T = P 1 (phản lực N của tưßng đi qua trục quay). Áp dụng qui tÃc mômen lực: MT = MP → T = P Với AH = AB 0 ; AO = AB/ → P 1 = P → m = m 1 = 8kg. 3. Bài tÁp tự giÁi Bài 1 : Một thanh nhẹ gÃn vào sàn tại B. Tác dụng lên đầu A lực kéo F = 100N theo phương ngang Thanh được giữ cân bÅng nhß dây AC (hình 1). Tìm lực căng dây. Bi¿t α = 30 0. Đáp số: 200N. Bài 2 : Một bánh xe có bán kính R, khối lượng m (hình 2). Tìm lực kéo F nÅm ngang đặt trên trục để bánh vượt qua bÁc có độ cao h. Bỏ qua ma sát. Đáp số: mg 2 Rh h 2 F R h þ Bài 3 : Thanh AB khối lượng 100g, có thể quay quanh bản lÁ tại A được bố trí như hình 3, m 1 = 500g, m 2 = 150g, BC = 20m. Tìm chiÁu dài AB, bi¿t thanh đang cân bÅng. Đáp số: 25cm. Bài 4 : Một thanh dài 1m, khối lượng 1,5kg. Một đầu thanh được gÃn vào trần nhà nhß một bản lÁ, đầu kia bÅng một dây treo thẳng đứng (hình 4). Trọng tâm của thanh cách bản lÁ một đoạn d = 0,4m. Lấy g = 10m/s 2. Tính lực căng dây T. Đáp số: 6N. Bài 5 : Một thanh sÃt dài, đồng chất, ti¿t diện đÁu, đặt trên mặt bàn sao cho 1/4 chiÁu dài của nó nhô ra khỏi mặt bàn. Tại đầu nhô ra, ngưßi ta đặt một lực F hướng thẳng đứng xuống dưới. Khi lực đạt đ¿n giá trị 40N thì thanh bÃt đầu nghiêng và mất cân bÅng. Tìm trọng lượng của thanh. Đáp số: 40N. Bài 6: Dùng cân đòn để cân một vÁt. Vì cánh tay đòn của cân không thÁt bÅng nhau nên khi đặt vÁt á đĩa cân bên này, ta cân được 40g nhưng khi đặt vÁt sang đĩa cân bên kia, ta cân được 44,1g. Tìm khối lượng đúng của vÁt. Đáp số: 42g. **D¿ng 3: ĐiÁu kián cân bÅng vÁt rÃn tổng quát.
2. Bài tÁp có h°ớng d¿n Bài 1 Một thanh AB dài 2m khối lượng 2kg được giữ nghiêng một góc α trên mặt sàn nÅm ngang bÅng một sợi dây nÅm ngang BC dài 2m nối đầu B với một bức tưßng đứng thẳng; đầu A tựa lên mặt sàn. Hệ số ma sát giữa thanh và mặt sàn bÅng 32 . Lấy g = 10m/s 2.
ur (đặt tại trung điểm O của thanh); lực ma sát Fms uuur ; phản lực N uur của mặt sàn; lực căng dây T ur . Áp dụng điÁu kiện cân bÅng tổng quát của vÁt rÃn: P Fms N T ý0(1) ur uuur uur ur r Đối với trục quay đi qua A: MP = MT Hay. .sin os 0 2ø ù2AB T AB ñ P c ñý Từ ø ù ø ù1 cot 2 cot 3 2 2 mg T P ñ ý ñý Chi¿u (1) lên phương ngang và phương thẳng đứng: ø ùø ù0 4 ;0 5 F ms T N P ý ý Từ ø ù ø ùcot 4 6 2 ms mg F T ñ ý ý Và N = P = mg (7) Lực ma sát phải là lực ma sát nghỉ nên: Fms kN. Từ (6) và (7): 0 cot cot 2 3 30 2 mg kmg k ñ ñ ý ñ VÁy muốn cho thanh AB cân bÅng, góc nghiêng α của thanh phải có giá trị ñ 3002. Khi ñ ý 450 , thay số vào (6) và (7): Fms = T = 10N; N = P = 20N.Từ hình vẽ: AD = BC - ABcos α = 0,59m. Bài 4 Bài 5 Bài 7 Bài 5 : Một bức tranh có chiÁu cao AB = d được treo vào tưßng thẳng đứng nhß một sợi dây AC dài l , hợp với tưßng một góc α. Mép dưới B của tranh tựa vào tưßng. Muốn cho bức tranh đứng cân bÅng thì hệ số ma sát k giữa bức tranh và tưßng phải bÅng bao nhiêu? ĐS: os 2 2 2 sin 2 sin c d k ñ ññ l l l Bài 6 : Một vÁt có dạng khối hộp đáy vuông cạnh a = 25 cm chiÁu cao b = 50 cm được đặt trên một mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang. Hệ số ma sát giữa vÁt và mặt phẳng nghiêng bÅng 0,6. Khi tăng dần góc α, vÁt sẽ trượt trước hay đổ trước? ĐS: VÁt đổ trước. Bài 7 : Ngưßi ta đặt mặt lồi của một bán cầu bán kính R khối lượng m 1 = 1 kg lên trên một mặt bàn nÅm ngang. Tại mép B của bán cầu gÃn một vÁt nhỏ khối lượng m 2 = 90 g làm cho bán cầu nghiêng một góc α so với phương ngang. Hãy xác định góc α. Cho bi¿t trọng tâm của bán cầu nÅm tại C thấp hơn mặt phẳng bán cầu một đoạn 3R/8. ĐS: tanα = 0, Bài 8 : Ngưßi ta đẩy một khúc gỗ khối lượng m, có dạng một khối trụ ti¿t diện lục giác đÁu cạnh a được đặt trên mặt bàn nÅm ngang bÅng một lực F song song với mặt bàn và hướng vuông góc với trục của khối gỗ. Muốn cho khúc gỗ trượt mà không quay thì lực F và hệ số ma sát giữa khúc gỗ và mặt bàn phải bÅng bao nhiêu? ĐS: 1;3 3P F Bài 9 : Một quả cầu bán kính R khối lượng m được đặt á đáy phẳng không nhẵn của một chi¿c hộp có đáy nghiêng một góc α so với mặt bàn nÅm ngang. Quả cầu được giữ cân bÅng bái một sợi dây AC song song với đáy hộp. Hệ số ma sát giữa quả cầu và đáy hộp là k. Muốn cho quả cầu nÅm cân bÅng thì góc α của đáy hộp có thể có giá trị lớn nhất bÅng bao nhiêu? Tính lực căng dây T của dây AC khi đó. ĐS: tanα 2k; 2 1 4 kP T k ý Bài 9 Bài 10 Bài 10 : Một vÁt A hình hộp khối luợng m = 50kg, có thi¿t diện thẳng là hình chữ nhÁt ABCD (cạnh AB = CD = a = 1m; BC = AD = b = 0,7m) được đặt trên sàn nhà sao cho mặt CD ti¿p xúc với sàn A ñGBD CF r α ACOC B α A B I P ur α CH A B I P ur α β C
r theo phương nÅm ngang. a. Tìm giá trị của F r để có thể làm vÁt bị lÁt. b. Tìm hệ số ma sát giữa vÁt và sàn 2. Đặt lên sàn nhà vÁt B hình khối lÁp phương, khối lượng m = 60kg, có thi¿t diện thẳng là hình vuông ABCD, cạnh a = 1m, mặt CD ti¿p xúc với sàn. Tác dụng vào A một lực F r hướng xuống sàn và hợp với AB một góc ñ = 30 0 ; hệ số ma sát giữa vÁt B và sàn phải bÅng bao nhiêu để vÁt khôngtịnh ti¿n trên sàn nhà? Tìm giá trị nhỏ nhất của F r để có thể làm lÁt vÁt B. Lấy g = 10m/s 2 Bài 11 : Thanh AB chiÁu dài l = 2m, khối lượng m = 3kg. a. Thanh được treo cân bÅng trên hai dây tại I và B như hình; AI = 25 cm. Dựa trên điÁu kiện cân bÅng của vÁt rÃn, tính các lực tác dụng lên thanh. b. Thanh được treo bÅng một sợi dây á đầu B, đầu A tựa trên cạnh bàn. Tính các lực tác dụng lên thanh khi thanh cân bÅng, bi¿t α = 30o. ĐS: a. TI = 17,14 N; TB = 12,86 N; b. T = 15N; Fms = 7,5 N; N = 13N. Bài 11a Bài 11b Bài 12 Bài 12 : Ngưßi ta đặt một đĩa tròn có đưßng kính 50 cm và có khối lượng 4 kg đứng thẳng trên một mặt phẳng nghiêng. Giữ đĩa bÅng một sợi dây nÅm ngang mà một đầu buộc vào điểm A cao nhất trên vành đĩa, còn đầu kia buộc chặt vào điểm C trên mặt phẳng nghiêng sao cho dây AC nÅm ngang và nÅm trong mặt của đĩa. Bi¿t góc nghiêng của mặt phẳng nghiêng là α = 30o. Hệ số ma sát giữa đĩa và mặt phẳng nghiêng là μ. a. Hãy tính lực căng dây AC. b. N¿u tăng góc nghiêng α một lượng rất nhỏ thì đĩa không còn á trạng thái cân bÅng. Hãy tính giá trị của hệ số ma sát μ. Bài 13: Một bán trụ có bán kính r đặt cố định trên mặt bàn nÅm ngang. Trong một mặt phẳng vuông góc với trục O của bán trụ có một thanh đồng chất AB ti¿t diện đÁu và dài bÅng r, đầu B của thanh tựa trên bán trụ không có ma sát, đầu A tựa trên mặt bàn. Hệ số ma sát giữa mặt bàn và thanh là μ = /3. Góc phải thoả điÁu kiện gì để thanh á trạng thái cân bÅng? Bài 13 Bài 14 Bài 14: Cho cơ hệ như hình vẽ. Bi¿t thanh AB đồng chất ti¿t diện đÁu có khối lượng m dài l có thể quay quanh bản lÁ tại A. Dây chÅng CB vuông góc với thanh và tạo với tưßng CA một góc 30o. Đĩa hình trụ có khối lượng M và bán kính R. Xác định lực căng dây CB, bỏ qua mọi ma sát. A B C O R 30 o A B O A C I B α AA B ñ Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 3 : Một bản phẳng kim loại đồng chất có dạng như hình vẽ. Bi¿t AB = 30cm; EF = 10cm; IM = 40cm; AD = 10cm; EH = 50cm; IK = 20cm. Xác định trọng tâm của bản mỏng. Đáp số: Trọng tâm nÅm trên trục đối xứng cách đáy KL 33,125cm. Bài 4 : Xác định trọng tâm của một bản mỏng đồng chất hình tròn bán kính R, bị khoét mất một mẩu hình vuông cạnh R/2. Đáp số: NÅm trên đưßng thẳng OO’ cách O vÁ bên phải một đoạn 4 4ø 1 ùR ð Bài 5 : Xác định trọng tâm của một bản mỏng đồng chất hình vuông cạnh 2a, bị khoét mất một mẩu hình tròn đưßng kính a. Đáp số: NÅm trên đưßng thẳng OO’ cách O vÁ bên trái một đoạn 2 16ø ùð að**D¿ng 5: Các d¿ng cân bÅng.
2. Bài tÁp có h°ớng d¿n Ngưßi ta tiện một khúc gỗ thành một vÁt đồng chất có dạng như hình vẽ, gồm một vÁt hình trụ có chiÁu cao h, ti¿t diện đáy có bán kính R = 5cm; và một bán cầu có bán kính R. Muốn cho vÁt cân bÅng phi¿m định thì h phải bÅng bao nhiêu? Cho bi¿t trọng tâm của bán cầu có bán kính r nÅm thấp hơn mặt phẳng bán cầu một đoạn 38R. Hướng dẫn Ban đầu khi vÁt đứng cân bÅng, trục đối xứng của nó hướng thẳng đứng. Khi đẩy nhẹ vÁt để trục đối xứng nghiêng một góc nhỏ so với vị trí ban đầu, độ cao tâm O của bán cầu không thay đổi (cách mặt sàn một đoạn bÅng bán kính R). Để vÁt cân bÅng phi¿m định, phần hình trụ phải có chiÁu cao h sao cho trọng tâm của vÁt nÅm tại O. Gọi O 1 , O 2 là trọng tâm của các phần hình trụ và bán cầu. Ta có: 1 2 ø ù3; 12 8 h R OO ý OO ý Áp dụng qui tÃc hợp lực song song: ø ù3 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4.2 3 223R OO P m V R OO P m V R h h ððý ý ý ý ý Theo (1): 1 ø ù2 2 4338 h OO h OO R R ý ý Từ (2) và (3): 3, 2 R h ý cm 3. Bài tÁp tự giÁi Bài 1 : Có 4 viên gạch như nhau, cùng chiÁu dài l. đặt chồng lên nhau sao cho một phần của viên gạch nhô ra khỏi viên gạch dưới. Hỏi mép của viên gạch trên cùng chỉ có thể nhô ra khỏi mép phải của viên gạch dưới cùng một đoạn dài nhất là bao nhiêu để 4 viên gạch nÅm cân bÅng. Đáp số: 11 l / Bài 2 : Một cái chén có dạng nửa mặt cầu bán kính R đặt ngửa sao cho trục đối xứng của nó trùng với phương thẳng đứng. Ngưßi ta cho chén quay quanh một trục với tần số f. Trong chén có một viên bi nhỏ quay cùng với chén. Hãy xác định góc tạo bái bán kính của mặt cầu vẽ qua hòn bi với phương thẳng đứng khi cân bÅng Xét trạng thái cân bÅng của hòn bi. Đáp số: arccos 2 4 g f R ðö ö ý ÷ ÷ ø ø ; Vị trí cân bÅng của bi là bÁn. BÀI 7 : II. BÀI GIÀI Bài 1: Thanh AB đồng chất có khối lượng 2 kg, có thể quay xung quanh bản lÁ A gÃn vào mặt cạnh bàn nÅm ngang AD. Hai vÁt m 1 = 1 kg ,m 2 = 2kg được treo vào điểm B bÅng các sợi dây BC và BD như hình vẽ. D là ròng rọc nhẹ. Bi¿t AB = AD. Tìm ñ để hệ nÅm cân bÅng. Lấy g = 10 m/s 2.GIÀI Biểu diễn được các lực tác dụng lên thanh AB như hình vẽ. Áp dụng ĐKCB cho thanh AB đối Với trục quay A ta có: 1 os(180 ) os(180 0 ) 2 sin 2 p ABc o ñ p ABc ñ ý p AB ò 1 cos 2 os2 2 sin 2 AB p AB ò p c òý p AB ò Thay số vào ta đc: c os2 ò = sinò c os2 ò ý c os( ò 90 ) 0 òý 300 ñý 1200Bài 2: Thanh CD vuông góc với trục thẳng đứng OZ và quay quanh trục này với vÁn tốc góc . Haihòn bi A và B có khối lượng M và m nối với nhau bÅng một lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng k và có chiÁu dài tự nhiên l 0 (Hình vẽ 1). Hai hòn bi có thể trượt không ma sát trên thanh. Tính các khoảng cách OA ý x OB ; ý y ứng với trạng thái cân bÅng của hai hòn bi; biện luÁn. Áp dụng: M ý 0,1 kg ý 2 m l ; 0 ý 0, 2( m ); k ý 40 N / m ; ý 3 vòng/sTính x, y và lực đàn hồi của lò xo. C A m 1 B m 2 ñ Dòp 1 r p 2 r p r T r C A m 1 B m 2 ñ DGIÀI Khi cân bÅng lò xo bị giãn một đoạn ý l x y l 0. Lực đàn hồi của lò xo F ý k l chính là lực hướng tâm của hai hòn bi. F ý F 1 ý F 2. 2 2 F 1 ý M x F ; 2 ý m y F ; ý k x ( ý y l 0 ) Đẳng thức F 1 ý F 2 cho ta:. x m y M ý (1) Đẳng thức: F ý F 1 M 2 x ý k x ( y l 0 ); (2) Từ (1) và (2)) Ta có: 0 2 ; 02 ( ) ( ) mkl Mkl x y k M m Mm k m m Mm ý ý (3) Biện luÁn: Với điÁu kiện ( )0; 0 M m k x y Mm f f p ; ( nghĩa là độ cứng lò xo đủ lớn để giữ hai hòn bi). Áp dụng bÅng số: ax ax ( 1)34, 6 /.3 / 18,84 / M M M k m rad s M vong s rad s ý ý ý ý p Thay các giá trị vào (3) ta có: x ý 0,095 m y ; ý 0,19 m ; V l ý0,085 m Lực đàn hồi: F ý k. V l ý3, 4 N Bài 3: Một quả cầu nặng đồng chất được treo bÅng dây vào một điểm cố định trên tưßng thẳng đứng. Xác định hệ số ma sát giữa tưßng với quả cầu sao cho, khi cân bÅng, điểm nối dây với quả cầu nÅm trên đưßng thẳng đứng đi qua tâm quả cầu. GIÀI Khi quả cầu đứng cân bÅng các lực tác dụng vào nó: Sức căng T; lực ma sát Fms; phản lực N; trọng lực P. Đối với trục quay qua điểm A, vuông góc mặt phẳng hình vẽ : Fms – N = 0 hay Fms = N Mặt khác Fms ≤ k k 1. Bài 4 : VÁt A có khối lượng m 1 = 5kg có dạng khối lăng trụ ti¿t diện thẳng là một tam giác đÁu, được chèn sát vào tưßng thẳng đứng nhß kê trên vÁt B khối lượng m 2 = 5 kg có dạng khối lÁp phương, đặt trên mặt sàn nÅm ngang (Hình vẽ 2). Coi hệ số ma sát á tưßng và á sàn đÁu là . Tính và áp lực tại chỗ ti¿p xúc. Cho g=10 m/s 2 , bỏ qua ma sát tại chỗ ti¿p xúc giữa vÁt A với vÁt B. oB Z C D A Hình 1APT Fms N Bài 6 : Thanh OA dài l = 1m, có khối lượng m 1 = 2kg phân bố đÁu, một đầu gÃn với bản lÁ O, đầu kia buộc vào sợi dây vÃt qua ròng rọc O 1 và nối với vÁt có khối lượng m 2 đặt trên mặt phẳng nghiêng như hình vẽ. Góc giữa mặt nghiêng và mặt ngang là ò = 30o, hệ số ma sát giữa mặt nghiêng và vÁt là = 0,3. Thanh á trạng thái cân |
