Bất phương trình chứa căn là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và giải bất phương trình chứa căn lớp 10 qua bài viết sau đây. Show
1. Các công thức giải bất phương trình chứa cănTa có công thức giải bất phương trình chứa căn như sau: Công thức 1: $\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)\geq 0 \\f(x) < g^{2}(x) \end{matrix}\right.$ Hoặc nếu có dấu bằng thì ta có: $\sqrt{f(x)} \leq g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)\geq 0 \\f(x) \leq g^{2}(x) \end{matrix}\right.$ Ví dụ: Giải bất phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}(x+y+z)$ Giải: ĐK: $x\geq 0; y\geq 1; z\geq 2$ Phương trình tương đương:  Công thức 2: Hoặc trường hợp có thêm dấu bằng thì ta có: Ví dụ: Giải bất phương trình: $x^{2}+9x+20=2\sqrt{3x+10}$ ĐK: x$ \frac{-10}{3}$ \=> Nghiệm của bất phương trình x= -3 Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài bất phương trình ngay!!! 2. Một số cách giải chi tiết bất phương trình chứa căn bậc hai2.1. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bảnVí dụ 1: Giải các bất phương trình sau: $\sqrt{x^{2}-x-12}=7-x$ Giải: $\Rightarrow$ Nghiệm của phương trình là: $x=\frac{61}{13}$ Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau: $\sqrt{x-3}<2x-1$ Giải: $\Rightarrow$ Nghiệm của bất phương trình $S=[3,\infty)$ 2.2. Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thứcSử dụng phương pháp đặt phụ ta quy phương trình căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức. Ta có ví dụ sau đây: Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x+3}=\sqrt[3]{2x+1}$ (1) Giải: Vậy (1) có các nghiệm $x=2; x=-3; x=\frac{-1}{2}$ Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$ Giải: 2.3. Sử dụng phương trình tương đương hoặc hệ quảVí dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$ (1) Giải: Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}-16$ (1) Giải: Đặt $u=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\geq 1$ Ta có $\Leftrightarrow u^{2}=3x+4+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ với $u\geq 1$ (2) Thay (1) vào (2) ta có phương trình hệ quả sau: $u^{2}-20=u\Leftrightarrow u^{2}-u-20=0$ $\Leftrightarrow u=5$ hoặc $u=-4 \Leftrightarrow u=5$ (do $u\geq 0$) Từ (1) dẫn đến phương trình hệ quả: Ta thay x = 3 vào (1) sẽ có kết quả đúng nên (1) sẽ có nghiệm x = 3 2.4. Sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm sốVí dụ 1: Giải phương trình sau: $x^{5}+x^{3}-\sqrt{1-3x}+4=0$ (1) Giải: Đặt $f(x)=x^{5}+x^{3}-\sqrt{1-3x}+4$ với $x\leq \frac{1}{3}$ Khi đó (1) có dạng f(x) = 0 và miền xác định $x\leq \frac{1}{3}$ Ta có $f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}}>0\, \forall \, x \leq \frac{1}{3}$ Vậy f(x) chính là hàm số đồng biến khi $x<\frac{1}{3}$ Ta có $f'(-1)=0$ vậy $x=-1$ là nghiệm duy nhất của (1) Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+15}=3x-2+\sqrt{x^{2}+8}$ (1) Giải: Ta viết (1) dưới dạng $f(x)=3x-2+\sqrt{x^{2}+8}-\sqrt{x^{2}+15}=0$ (2) Hàm số f(x) xác định với $\forall x \epsilon R$. Xét phương trình với 2 khả năng sau: $\Rightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất của (1) PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! 2.5. Phương pháp đánh giá hai vếVới phương trình $f(x)=g(x), x\in D$ ta có tính chất: $f(x)\geq A \, \forall \, x \in D$ hoặc $g(x)\geq A \, \forall \, x \in D$ Khi đó: $f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x)=A$ hoặc $g(x)=A$ Để bất đẳng thức $f(x)\geq A; g(x)\leq A; \forall x \in A$ ta áp dụng các kiến thức về bất đẳng thức. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^{2}-6x+11$ (1) Giải: Ta có miền xác định (1) là $D=\left \{ {x:2\leq x \leq 4} \right \}$ Ta có $x^{2}-6x+11=(x-3){2}+2\geq 2, \forall x \epsilon D$ thì $f{2}(x)=2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}\leq 2+[(x-2)+(4-x)]=4$ Do đó $f(x)\geq 0$ khi $\forall x \in D \Rightarrow f(x)\leq 2 \, \forall x\, \in D$ $\Rightarrow x^{2}-6x+11=2\Leftrightarrow x=3$ Hoặc $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\Leftrightarrow x-2=4-x \Leftrightarrow x=3$ $\Rightarrow x=3$ nghiệm duy nhất của (1) Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$ 2.6. Bất phương trình chứa căn thức có tham sốVí dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{x-4a+16}+2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$ Giải: Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: $\sqrt{x^{2}+x+\frac{m^{2}}{(x-1)^{2}}=x-\frac{m}{x-1}}$ (1) Giải: Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về bất phương trình chứa căn lớp 10, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Ngoài ra để luyện tập thêm các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi đại học sắp tới nhé! |
