Nhưng làm thế nào để chúng ta tính được nhiệt độ trung bình trong ngày nếu máy đo nhiệt ghi được vô hạn giá trị khác nhau? Trong hình trên minh họa hàm nhiệt độ T ( t ) , trong đó t được đo bằng giờ và T đo bằng 0 C , còn nhiệt độ trung bình ký hiệu T TB . Nhìn chung, chúng ta cố gắng đi tìm giá trị trung bình của một hàm số y = f ( x ), a ≤ x ≤ b. Chúng ta chia đoạn [ a , b ] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài Sau đó chọn điểm x1∗ , ..., xn∗ trong các đoạn n liên tục này và tính trung bình cộng các số f ( x1∗ ), ..., f ( xn∗ ) : Nếu chúng ta cho n tăng, chúng ta sẽ phải tính giá trị trung bình của một loạt các giá trị cách nhau khá gần, giá trị giới hạn sẽ là: theo định nghĩa của tích phân xác định. Vì vậy ta có giá trị trung bình của f trên đoạn [ a , b ] là: Ví dụ. Tìm giá trị trung bình của hàm số f ( x ) = 1 + x2 trên đoạn [− 1 , 2 ] Giải. Áp dụng công thức cho a = − 1 , b = 2 Nếu T ( t ) là nhiệt độ tại thời điểm t, thì chúng ta sẽ nghĩ đến một thời điểm mà tại đó nhiệt độ bằng với nhiệt độ trung bình. Nói một cách khái quát, liệu có tồn tại một số c mà tại đó giá trị của hàm bằng với giá trị trung bình của hàm số đó, tức là f ( c ) = f TB . Để trả lời câu hỏi ta có Định lý sau đây Định Lý Giá Trị Trung Bình Đối Với Tích Phân. Nếu f liên tục trên đoạn [ a , b ] thì luôn tồn tại một số c ∈ [ a , b ] sao cho tức là Định lý giá trị trung bình đối với tích phân là hệ quả rút ra từ Định lý giá trị trung bình của đạo hàm và là Định lý cơ bản của Giải tích. Giá trị trung bình của Tích phân được giải thích bằng hình học như sau: Đối với hàm số dương f , luôn tồn tại một số c sao cho hình chữ nhật có đáy là [ a , b ] và chiều cao f ( c ) có cùng diện tích với miền nằm dưới đồ thị f từ a đến b. Định lý giá trị trung bình đối với tích phân là hệ quả rút ra từ Định lý giá trị trung bình của đạo hàm và là Định lý cơ bản của Giải tích. Giá trị trung bình của Tích phân được giải thích bằng hình học như sau: Đối với hàm số dương f , luôn tồn tại một số c sao cho hình chữ nhật có đáy là [ a , b ] và chiều cao f ( c ) có cùng diện tích với miền nằm dưới đồ thị f từ a đến b. Ví dụ. Vì f ( x ) = 1 + x2 liên tục trên [− 1 , 2 ] nên theo Định lý giá trị trung bình của tích phân thì tồn tại số c thuộc đoạn [− 1 , 2 ] sao cho khi đó f ( c ) = f TB = 2 Ví dụ. Tại một thành phố , nhiệt độ (đo bằng 0 F)trong t giờ đồng hồ sau 9 giờ sáng được mô phỏng bằng hàm số  Chương 1 Lý thuyết 1.1 Các định lý về giá trị trung bình Định lý 1.1.1 (Fecmat).Cho hàm fxác định trên (a, b)và c∈(a, b). Nếu fđạt cực trị địa phương tại cvà f′(c)tồn tại thì f′(c) \= 0. Định lý 1.1.2 (Rolle).Cho hàm fliên tục trên [a, b]và khả vi trên (a, b). Nếu f(a) \= f(b)thì tồn tại c∈(a, b)sao cho f′(c) \= 0. Định lý 1.1.3 (Lagrange).Cho hàm fliên tục trên [a, b]và khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại c∈(a, b)sao cho f′(c) \= f(a)−f(b) a−b. Định lý 1.1.4 (Cauchy).Cho hai hàm số fvà gliên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại c∈(a, b)sao cho [f(b)−f(a)]g′(c) \= [g(b)−g(a)]f′(c). Định lý 1.1.5 (Darboux).Cho hàm fkhả vi trên (a, b)và c, d ∈(a, b). Khi đó f′nhận mọi giá trị trung gian giữa f′(c)và f′(d). 1.2 Khai triển Taylor và quy tắc L’Hospital Định lý 1.2.1. Nếu hàm số f: (a, b)→Rcó các đạo hàm đến cấp n−1trên (a, b)và có đạo hàm cấp ntại điểm x0∈(a, b)thì với hđủ nhỏ ta có f(x0+h) \= f(x0) + f′(x0) 1! h+f′′(x0) 2! h2+. . . +f(n)(x0) n!hn+o(hn). Phần dư o(hn)được gọi là phần dư Peano. 1 |
