Bài tập hình học tạo độ trong không gian

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập về hệ tọa độ trong không gian Toán 12. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 12, giải bài tập Toán 12 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Kiến thức cần nhớ

9. Tọa độ của điểm và của vecto

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→; j→ ; k→ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì i→; j→ ; k→ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: i→2=j→2=k→2=1 và i→ . j→ = j→. k→ = k→ . i→ =0.

2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto i→; j→; k→ không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: OM→ = x.i→+ y. j→ +​z. k→

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức OM→ = x.i→ + y. j→ +​ z.k→.

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z).

3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho a→ = a1.i→ + a2. j→ +​ a3. k→.

Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto a→ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết a→=(a1; a2 ; a3) hoặc a→(a1; a2 ; a3).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto OM→

Ta có: M(x; y; z)⇔OM→ (x; y; z)

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

Ví dụ 1. Cho u→ (2; −3; 4); v→ ( 4;−2;0)

1. Tính u→ +​ v→;

2. 2v→;

3. u→ −2​ v→.

Lời giải:

1. u→+v→= (2 + 4; -3-2; 4 + 0) = (6; -5; 4);

2. Ta có: 2v→ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

3. Ta có: u→ −2​ v→= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

1. Cho hai vecto a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2; b3), ta có:

a→=b→ ⇔a1=b1a2=b2a3=b3

2. Vecto 0→ có tọa độ ( 0; 0; 0).

3. Với b→ ≠0→ thì hai vecto a→; b→ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

⇔ a→=kb→ (k∈ℝ)

⇔a1=kb1a2=kb2a3=kb3 ⇔ a1b1=a2b2=a3b3,(b1, b2, b3≠0)

Ví dụ 2. Cho u→ (2m; 3; −1); v→ (4; 3; n−2). Tìm m và n để u→ = v→

Lời giải:

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

Lời giải:

1. Ta thấy 2−4 = 3−6 ≠714

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

2. Ta thấy: b→ = −3a→ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

1. Tính AB→;

2. Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

III. Tích vô hướng.

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2; b3) được xác định bởi công thức: a→.b→=a1.b1+a2.b2+a3.b3

Ví dụ 5. Cho a→ (1;−3;4); b→ (1;2;1). Tính a→. b→?

Lời giải:

Ta có: a→. b→ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

2. Ứng dụng

1. Độ dài của một vecto.

2. Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto AB→. Do đó, ta có:

3. Góc giữa hai vecto.

Nếu là góc góc giữa hai vecto a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3) với a→; b→ ≠0→ thì

Từ đó, suy ra a→⊥b→ ⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

1. Tính AB; AC

2. Tính cosin của góc A.

Lời giải:

IV. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính r= A2 + B2+​ C2−​D.

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

1. x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;

2. x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

1. Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính R = 22+​ (−1)2+ 02 −(−1) \=6

2. Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2

Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính R = 42+​ 12+ (−1)2 −2 = 4

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ trong hệ trục Oxyz.

Dạng 2: Tích có hướng.

Dạng 3: Ứng dụng của tích có hướng để tính diện tích và thể tích.

Dạng 4: Phương trình mặt cầu.

Bài tập tự luyện

1 Bài tập vận dụng

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và đường kính có độ dài bằng 2.

- Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 1

- Diện tích của mặt cầu (S) là π

- Thể tích của khối cầu (S) là 4π3

Lời giải:

Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:

x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0

<=> (x2 - 2x + 1) +(y2 - 2y + 1) + (z2 - 4z + 4) = 1 + 1 + 4 - 5

<=> (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 1

Vậy khẳng định B đúng.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và có bán kính R=1, do đó đường kính của (S) là 2R=2.

Vậy khẳng định A đúng.

Thể tích của khối cầu (S) là

Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích của mặt cầu với diện tích của đường tròn. Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR2 = 4π

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Cho H(4;-3;-2). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Lời giải:

Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có: