Kí hiệu: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \alpha \right)\\a \cap b = I\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( \alpha \right)$ Show
Cách 2. Chứng minh $d$ song song với đường thẳng $a$ mà $a$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$. Kí hiệu: $\left\{ \begin{array}{l}d\parallel a\\\left( \alpha \right) \bot a\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( \alpha \right)$ Cách 3. Chứng minh $d$ vuông góc với $\left( Q \right)$ và $\left( Q \right)//\left( P \right)$. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách dùng đường thẳng vuông góc mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh $d \bot \;a$, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: Cách 1: Chứng minh $d$ vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( P \right)$ chứa $a$. Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc. Cách 3: Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. Ví dụ: Cho tứ diện \(SABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)
Giải 
Mà \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)) Nên \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) (đpcm)
Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳngBài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) A. Phương pháp giảiQuảng cáo + Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) . + Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥ (α) + Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt. + Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là uΔ→ \= k→ \= (0;0;1) . + Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là uΔ→ \= j→ \=(0;1;0) . +Nếu Δvuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là uΔ→ \= i→ \=(1;0;0) . B. Ví dụ minh họaVí dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?
Lời giải: Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của Δ là:
Vậy phương trình tham số của Δ là: Phương trình chính tắc của Δ là:
Chọn A. Quảng cáo Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M (1; 3; -2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm mệnh đề sai?
Lời giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình tham số của Δ là: và đường thẳng d không có phương trình chính tắc Cho t= 6 ta được điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d. Mặt phẳng (P): 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là : Ta có: \=> Đường thẳng d và mặt phẳng ( P) không vuông góc với nhau. Chọn D. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1;2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x +2y + z + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai?
Lời giải: Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ chỉ phương của d là:
Vậy phương trình tham số của d là: Cho t= 1 ta được điểm M (3; 4; 4) thuộc đường thẳng d Phương trình chính tắc của d là:
Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y = 5z + 10 . Phương trình chính tắc của của đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1; 3) và vuông góc với (P) là: A. B. C. D. Lời giải: + Phương trình mặt phẳng (P): x- 2y = 5z+ 10 hay x- 2y – 5z – 10= 0 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến + Vì d vuông góc với (P) nên d có vectơ chỉ phương u→\= Đường thẳng d đi qua điểm M( -2;1 ;3) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình chính tắc của d là: Chọn A. Ví dụ 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho mặt phẳng (P):2x- 3y+ 5z= 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua O và vuông góc với ( Q) là A. B. C. D. Lời giải: Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x- 3y +5z+ D= 0 Khi đó; mặt phẳng (Q) nhận vecto làm vecto pháp tuyến. Vì d vuông góc với (Q) nên d có vectơ chỉ phương Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của d là: Chọn B. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( 2;0; 0); B( 0; -2; 0) và C(0; 0; 3). Một đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là : A. B. C.
Lời giải: + Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) là: hay 3x- 3y+2z – 6= 0 Mặt phẳng ( P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến. + Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: \=> Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn A. Quảng cáo Ví dụ 7 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và song song với đường thẳng . Một đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ A. B. C. D. Lời giải: + Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P) Đường thẳng d đi qua điểm H( 1; -3; 1) và có vecto chỉ phương Vecto + Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: + Do đường thẳng Δ đi qua M ( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương \=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là: Chọn C. Ví du 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d. A. B. C.
Lời giải: + Viết phương trình mặt phẳng (P) Đường thẳng d1 đi qua A( 0; 2;0) và có vecto chỉ phương Đường thẳng d2 đi qua B( -2; 2; 0) và có vecto chỉ phương \=> và \=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến là: (0; 4; 1) nên có phương trình: 0( x- 0) + 4( y-2) + 1( z- 0) = 0 hay 4y+ z- 8= 0 + Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là: \=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc Chọn D. C. Bài tập vận dụngCâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; -1; -4) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) là. A. B. C. D. Lời giải: Mặt phẳng ( Oxz) có phương trình là: y= 0 nên có vectơ pháp tuyến . Vì d vuông góc với (Oxz) nên d có vectơ chỉ phương u→ \= Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -1; -4) và có vectơ chỉ phương u→ Vậy phương trình tham số của d là Chọn C. Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 0; 2; -1); B( 2; -3; 1) và C( 1; -2; 0). Phương trình tham số d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là A. B. D. Lời giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:
Ta có: Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng chọn Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là \=> Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn A. Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(2;3;2) và B(-2; 3; 4). Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là A. B. C. D. Lời giải: Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là:
Ta có; Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là chọn Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( OAB) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là \=> Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn B. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho tam giác ABC có A(1;2; 1); B(0; -1; 2) và C( 2; 3; 0). Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng d. A. C. D. Lời giải: Ta có: Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là : Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là \=> Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn D. Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2 ; 1 ; 9) đồng thời vuông góc với giá của hai vectơ là A. B. C. D. Lời giải: Do đường thẳng d đồng thời vuông góc với giá của hai vecto Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là \=> Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn D. Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;0;1)và song song với đường thẳng . Một đường thẳng Δ đi qua M (2; 1; 3) vàvuông góc với mặt phẳng (P).Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ A. B. C. D. Lời giải: + Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P) Đường thẳng d đi qua điểm H( 0; -3; 0) và có vecto chỉ phương Vecto + Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: + Do đường thẳng Δ đi qua M (2;1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương \=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là: Chọn C. Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai?
Lời giải: + Viết phương trình mặt phẳng (P) Đường thẳng d1 đi qua A( 3;2; 2) và có vecto chỉ phương Đường thẳng d2 đi qua B( -2; - 2; 0) và có vecto chỉ phương \=> \=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau Mặt phẳng (P) đi qua A( 3; 2; 2) và có vecto pháp tuyến là: (-10; 8; 9 ) nên có phương trình: - 10( x- 3) + 8( y-2) + 9( z- 2) = 0 hay - 10x + 8y + 9z - 4= 0 + Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là: \=> Đường thẳng d có phương trình chính tắc : Đường thẳng d có phương trình tham số: Chọn D. Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) chứa trục Ox và đi qua điểm A( 2; 3; 1). Gọi d là đường thẳng qua M( -2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai
Lời giải: + Trục Ox đi qua điểm O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương Ta có: \=> Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: Mặt phẳng ( P) đi qua A( 2; 3; 1 ) và vecto pháp tuyến là: \=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 2) – 1( y- 3) + 3( z-1) = 0 hay – y+ 3z=0 + Do đường thẳng d đi qua M(- 2; 0;1) và vuông góc với (P) nên nhận vecto (0; -1; 3) làm vecto chỉ phương \=> Phương trình tham số của đường thẳng d: Đường thẳng d không có phương trình chính tắc. Chọn D. D. Bài tập tự luyệnBài 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2; -2) và vuông góc với (P): x – 2y – z – 3 = 0. Bài 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2; 1; -2) và vuông góc với (Q): 2x – 3y = –z – 5. Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;-3;2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; viết phương trình đường thẳng Δ đi qua S(1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x - y + z + 9 = 0. Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(-2; 1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y – 5z – 10 = 0. Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau khi nào?Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước?Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau khi nào?Sử dụng định nghĩa góc của 2 đường thẳng trong không gian: Hai đường thẳng a và b được gọi vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90º. 3. Sử dụng công thức cos(→u,→v) c o s ( u → , v → ) : với →u,→v u → , v → là vecto chỉ phương của 2 đường thẳng a và b. Hai đường thẳng vuông góc là gì?Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. |
