Các em thân mến, Để học tốt chuyên đề này, các em hãy làm theo các bước sau đây: Bước 1: Đọc và hiểu rõ từng ý trong phần "A. Kiến thức cơ bản". Hãy đặt câu hỏi và nhờ thầy giải thích mọi khúc mắc trong phần này. Bước 2: Xem các bài tập ví dụ trong phần "B. Ví dụ minh họa". Hiểu rõ cách ứng dụng kiến thức đã nêu ở phần A vào cách giải các bài tập này. Bước 3: Ứng dụng các kiến thức và kinh nghiệm trên vào việc tự giải các bài trong phần "C. Bài tập tự luyện".
 Định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông. \(\triangle{ ABC}\) vuông tại \(A\) \(\Rightarrow BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}\).Định lý Py-ta-go đảo: Nếu một tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. \(\triangle{ ABC}\) có \(BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} \Rightarrow\) \(\triangle{ ABC}\) vuông tại \(A\).2. Các hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông, hình chiếu của nó trên cạnh huyền và độ dài đường cao a. Các định lí thuận Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có:
b. Các định lý đảo Xét một tam giác ABC bất kỳ, đường cao AH. Ta có:
c. Lưu ý áp dụng \(-\) Các định lý thuận thường được sử dụng trong các bài toán về tính độ dài các cạnh, các bài tập chứng minh các đẳng thức về cạnh trong tam giác. \(-\) Các định lý đảo được coi là các dấu hiệu để nhận biết các tam giác vuông; thường được sử dụng để chứng minh các tam giác vuông, chứng minh hai đường thẳng vuông góc ,... B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính \(x\) và \(y\) trong hình sau:
Giải:Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có : \(AC^2 = CH.CB\)\(\Leftrightarrow 10^2 = 8.(8 + x) \Leftrightarrow x = \frac{ 9}{2} = 4,5 \) (đơn vị độ dài)Lại có : \(AB^2 = BH.BC \Leftrightarrow y^2 = 4,5.(8 + 4,5) \Leftrightarrow y = \frac{ 15}{2} = 7,5\) (đơn vị độ dài) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A với hai đường cao AH và BK. Chứng minh rằng : \(\frac{ 1}{BK^2} = \frac{ 1}{BC^2} + \frac{ 1}{4AH^2}\). Giải: Dựng đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng AC tại D \(\Rightarrow AH\) // \(BD\). (1)Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là trung tuyến của BC \(\Rightarrow HB = HC\). (2)Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung bình của tam giác BDC \(\Rightarrow BD = 2AH\).Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DBC, ta có:\(\frac{ 1}{BK^2} = \frac{ 1}{BC^2} + \frac{ 1}{BD^2} = \frac{ 1}{BC^2} + \frac{ 1}{4AH^2}\) (vì \(BD = 2AH\)). Ví dụ 3: Cho tam ABC vuông tại A có \(AB = a\). Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AC và BC.Giải:
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Biết BC = 25cm, AB = 20cm. a. Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH. b. Kẻ từ H đường thẳng (d) song song với AB, đường thẳng (d) cắt cạnh AC tại điểm N. Tính độ dài các đoạn thẳng HN, AN và CN. Giải
a. Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py-ta-go ta có:
Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: \(AH . BC = AB . AC \Rightarrow AH = \frac{AB. AC}{BC} = 12\) (cm). \(AC^{2} = CH . CB \Rightarrow CH = \frac{AC^{2}}{BC} = 9\) (cm). \(BH = BC - CH = 16\) (cm). b. Theo đề bài ta thấy HN vuông góc AC. Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN ta có:
Xét tam giác ANH vuông tại N ta có: \(AH^{2} = AN^{2} + HN^{2}\) (định lý Py-ta-go) \(\Rightarrow AN^{2} = AH^{2} - HN^{2} \) \(\Rightarrow AN = 9,6\) (cm). \(NC = AC - AN \Rightarrow NC = 5,4\) (cm). Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, đường cao AH biết AB = 11cm, AC = 15cm, BC = 20cm. a) Chứng minh hệ thức: \(HC^{2} - HB^{2} = AC^{2} - AB^{2}\). b) Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HC và đường cao AH. Giải:
a) Áp dụng đính lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABH ta có: \(AB^{2} = AH^{2} + BH^{2} \) \(\Rightarrow AH^{2} = AB^{2} - HB^{2}\). (1) Tương tự với tam giác vuông ACH ta có: \(AH^{2} = AC^{2} - HC^2\). (2) Từ (1) và (2) ta có: \(AB^{2} - HB^{2} = AC^{2} - HC^{2}\) \(\Rightarrow HC^{2} - HB^{2} = AC^{2} - AB^{2}\). b) Theo câu a) ta có: \((HC - HB).(HC + HB) = AC^{2} - AB^{2} = 15^{2} - 11^{2} = 104\). Mặt khác: \(HB + HC = BC = 20 \Rightarrow HB - HC = 104 : 20 = 5,2\). Từ đây dễ dàng suy ra: \(HC = 12,6\) (cm), \(HB = 7,4\) (cm). Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABH ta có: \(AH^{2} = AB^{2} - HB^{2} \Rightarrow AH^{2} = 121 - 54,76 = 66,24\) \(\Rightarrow AH = \sqrt{66,24}\) (cm). Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng tổng \(\frac{1}{DI^{2}} + \frac{1}{DE^{2}}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm I. Giải. Xét \(\triangle{AID}\) và \(\triangle{CFD}\) có: \(\widehat{A} = \widehat{D}= 90^{\circ}\); \(AD = DC\); \(\widehat{ADI} = \widehat{CDF}\) (cùng phụ với \(\widehat{CDI}\)) \(\Rightarrow \triangle{AID} = \triangle{CFD}\) \(\Rightarrow DI = DF\). Xét tam giác EDF vuông tại D có DC vuông góc với EF ta có: \(\frac{1}{DC^{2}} = \frac{1}{DF^{2}} + \frac{1}{DE^{2}}\). Mà \(DF = DI \Rightarrow \frac{1}{DC^{2}} = \frac{1}{DI^{2}} + \frac{1}{DE^{2}}\). Ta nhận thấy độ dài DC không phụ thuộc vào vị trí của điểm I trên cạnh BC \(\Rightarrow \) giá trị \(\frac{1}{DC^{2}}\) không đổi. Vậy \(\frac{1}{DI^{2}} + \frac{1}{DE^{2}}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm I. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC, các đường cao AH, BM, CN. Chứng minh rằng nếu \(\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{CN^{2}}\) thì tam giác ABC vuông tại A. Giải:
Gọi \(S\) là diện tích tam giác ABC, ta có: \(S\) = \(\frac{1}{2}\).\(AH.BC\) \(\Rightarrow \) \(BC\) = \(\frac{2.S}{AH}\) \(\Rightarrow \) \(BC\)\(^{2}\) = \(\frac{4.S^{2}}{AH^{2}}\). (1) Tương tự ta cũng có: \(AC\)\(^{2}\) = \(\frac{4.S^{2}}{BM^{2}}\); \(AB\)\(^{2}\) = \(\frac{4.S^{2}}{CN^{2}}\). Suy ra: \(AC\)\(^{2}\) + \(AB\)\(^{2}\) = \(4.S^{2} . \left(\frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{CN^{2}}\right)\). Theo đề bài ta có: \(\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{CN^{2}}\) \(\Rightarrow AC^{2} + AB^{2} = \frac{4.S^{2}}{AH^{2}}\). (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BC^{2} = AC^{2} + AB^{2}\). Theo định lý Py-ta-go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A, ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 8: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD = 6cm, CD = 8cm. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F. Tính độ dài các đoạn thẳng DE, AE, CE, AF, BF. Giải:
Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có: \(AC = \sqrt{ AD^2 + DC^2} = \sqrt{ 6^2 + 8^2} = 10\) (cm) \(AD.CD = DE.AC \Rightarrow DE = \frac{ AD.DC}{AC} = \frac{ 6.8}{10} = 4,8\) (cm) \(AD^2 = AE.AC \Rightarrow AE = \frac{ AD^2}{AC} = \frac{ 6^2}{10} = 3,6\) (cm). Từ đây suy ra \(EC = AC - AE = 10 - 3,6 = 6,4\) (cm). Xét tam giác ADF vuông tại A, ta có: \(AD^2 = DE.DF \Rightarrow DF = \frac{ AD^2}{DE} = \frac{ 6^2}{4,8} = 7,5\) (cm). Suy ra \(EF = FD - ED = 7,5 - 4,8 = 2,7\) (cm). \(AF^2 = FE.FD = 2,7.7,5 = 20,25 \Rightarrow AF = 4,5\) (cm). Suy ra \(BF = AB - AF = 8 = 4,5 = 3,5\) (cm).Ví dụ 9*: Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE = 2.BI.CI. Tam giác ABC là tam giác gì? vì sao? Giải: Theo đề bài ta có \(BD.CE = 2.BI.CI\), suy ra: \(\frac{BI}{BD}. \frac{CI}{CE} = \frac{1}{2}\). (1) Đặt \(BC = a, CA = b, AB = c.\) Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{IB}{ID} = \frac{AB}{AD} \Rightarrow \frac{BI}{BI+ID} = \frac{AB}{AB+AD}\). Hay \(\frac{BI}{BD} = \frac{AB}{AB+AD}\). (*) Mặt khác ta lại có: \(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AB+BC}\) \(\Rightarrow \) \(AD = \frac{bc}{a+c}\) Thay vào (*) ta được: \(\frac{BI}{BD} = \frac{c}{c+\frac{bc}{a+c}}= \frac{c+a}{a+b+c}\) (2) Tương tự ta cũng thu được kết quả: \(\frac{CI}{CE} = \frac{b+a}{a+b+c}\) (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{(a+c)(a+b)}{(a+b+c)^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}\) Vậy theo định lý Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A. Ví dụ 10*: Cho hình thang ABCD có \(\widehat{ A} = \widehat{ D} = 90^0, \widehat{ B} = 60^0\), \(CD = 30\)cm, \(CA \perp CB\). Tính diện tích hình thang. Giải:
Ta có: \(\widehat{ CAD} = \widehat{ ABC} = 60^0\) (cùng phụ với \(\widehat{ CAB}\)). Vì thế trong tam giác vuông \(ACD\) ta có \(AC = 2AD\). Theo định lí Py-ta-go thì \(AC^2 = AD^2 + DC^2\) hay \((2AD)^2 = AD^2 = 30^2\) \(\Leftrightarrow 3AD^2 = 900 \Leftrightarrow AD^2 = 300 \Leftrightarrow AD = 10\sqrt{ 3}\) (cm). Kẻ \(CH \perp AB\). Tứ giác AHCD là hình chữ nhật nên \(AH = CD = 30\) (cm), \(CH = AD = 10\sqrt{ 3}\) (cm). Xét tam giác \(ACB\) vuông tại \(C\) ta có: \(CH^2 = HA.HB \Rightarrow HB = \frac{ CH^2}{HA} = \frac{ (10\sqrt{ 3})^2}{30} = 10\) (cm). Do đó \(AB = AH + HB = 30 + 10 = 40\) (cm). \(S_{ABCD} = \frac{ 1}{2}CH.(AB + CD) = \frac{ 1}{2}.10\sqrt{ 3}.(40 + 30) = 350\sqrt{ 3}\) (cm\(^2\)). Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) bằng \(350\sqrt{ 3}\) cm\(^2\). Ví dụ 11**: Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(BC = 2a\), đường cao AH. Kẻ HD \(\perp\) AC, HE \(\perp \) AB. Tìm giá trị lớn nhất của: a) Độ dài đoạn thẳng DE. b) Diện tích tứ giác ADHE. Giải:
a) Gọi O là trong điểm của BC thì \(AO = \frac{ 1}{2}BC = a\). ADHE là hình chữ nhật nên \(DE = AH \leq AO = a\). Khi \(AH = AO\) thì ABC là tam giác vuông cân. Vậy \(MaxDE = a \Leftrightarrow \triangle{ ABC}\) vuông cân tại A. b) Xét tam giác ABH vuông tại H có \(AH^2 = AE.AB \Rightarrow AE = \frac{ AH^2}{AB}\). Tương tự ta cũng có \(AD = \frac{ AH^2}{AC}\). Do đó \(S_{AEHD} = AE.AD = \frac{ AH^4}{AB.AC} = \frac{ AH^4}{AH.BC} = \frac{ AH^3}{BC}\) \(\leq \frac{ OA^3}{BC} = \frac{ a^3}{2a} = \frac{ a^2}{2}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A. Vậy \(MaxS_{AEHD} = \frac{ a^2}{2} \Leftrightarrow \triangle{ ABC}\) vuông cân tại A. Ví dụ 12**: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK, H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho \(\widehat{ AMB} = 90^0\). Gọi \(S, S_1, S_2\) theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH. Chứng minh rằng \(S = \sqrt{ S_1.S_2}\). Giải:
Tam giác AMB vuông tại M, có \(AM \perp AB\) nên \(MK^2 = AK.BK\). (1) Xét hai tam giác AHK và CBK có: \(\widehat{ AKH} = \widehat{ CKB} = 90^0\); \(\widehat{ KAH} = \widehat{ KCB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ ABC}\)). Suy ra \(\frac{ AK}{CK} = \frac{ HK}{BK} \Leftrightarrow AK.KB = CK.KH\). (2) Từ (1) và (2) suy ra \(MK^2 = CK.HK \Rightarrow MK = \sqrt{ CK.HK}\). \(S_{AMB} = \frac{ 1}{2}.AB.MK = \frac{ 1}{2}.AB.\sqrt{ CK.HK}\) \(= \sqrt{ \frac{ 1}{2}.AB.CK.\frac{ 1}{2}.AB.HK} = \sqrt{ S_1.S_2}\). Vậy \(S = \sqrt{ S_1.S_2}\). Ta có điều phải chứng minh. C. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho tam giác ABC , biết AB = 27cm, BC = 45cm, AC=36cm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH. Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Biết tam giác ABM là tam giác đều có cạnh bằng \(\sqrt{ 3}\) cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bài tập 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 25 cm, đường cao ứng với cạnh huyền bằng 12 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông đó. Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng \(AH^3 = BC.BE.CF\). Bài tập 5: Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng 54cm\(^2\) và 96cm\(^2\). Tính độ dài cạnh huyền. Bài tập 6: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC. Bài tập 7: Cho một tam giác vuông có đường cao thuộc cạnh huyền là 12cm và hiệu các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông. Bài tập 8: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Chứng minh hệ thức: \(AB^{2} + HC^{2} = BC^{2} + HA^{2} = CA^{2} + HB^{2}.\) Bài tập 9*: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Kẻ các đường cao AH, BK, CI. a. Chứng minh hệ thức: \(\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{4AH^{2}} + \frac{1}{BC^{2}}\) b. Chứng minh hệ thức: \(3BK^{2} + 2AK^{2} + CK^{2} = BC^{2} + CA^{2} + AB^{2}\). Xét trường hợp tam giác ABC là tam giác đều, từ đó suy ra công thức tính chiều cao của một tam giác đều ttheo các cạnh của nó c. Một đường thằng qua C và song song với BK, cắt tia AB tại điểm M. Chứng minh rằng: AB\(^{2}\) = AI.AM Bài tập 10*: Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat{A} = \widehat{D} = 90^{\circ}\) và AD = DC (AB \(< \) DC). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB. Chứng minh rằng \(\frac{1}{AD^{2}} = \frac{1}{BC^{2}} + \frac{1}{EC^{2}}\) Bài tập 11*: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD đồng quy tại O. a. Chứng minh rằng BH = AC. b. Cho biết BC = x . Tính độ dài AB, AC theo x. Bài tập 12*: Cho tam giác ABC có AB = 1, \(\widehat{A} = 90^{\circ}\), \(\widehat{B} = 60^{\circ}\). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =1. Vẽ ED song song với AB ( D thuộc AC ). Chứng minh rằng \(\frac{1}{AC^{2}} + \frac{1}{AD^{2}}\) = \(\frac{4}{3}\). Hy vọng rằng, các nội dung hướng dẫn trên đã giúp
các em hiểu và thành thục hơn chuyên đề toán này. Mong các em tiếp tục tự luyện
tập bằng cách tham khảo thêm các bài toán cùng chuyên đề trên mạng Pitago.Vn Chúc các em tiến bộ và thành công! Ban Biên Tập Mạng Giáo Dục Pitago.Vn |
