Bất phương trình chứa một ẩn là kiến thức thuộc phần đại số của Toán 8. Trong bài viết sau Itoan sẽ giới thiệu về khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn và tập nghiệm của bất phương trình. Hãy cùng Itoan khám phá ngay sau đây: Show
Thế nào là bất phương trình một ẩn?Bất phương trình là gì?Bất phương trình thường bao gồm những loại sau đây:
Bất phương trình một ẩn là gì?Khái niệmBất phương trình một ẩn là một mệnh đề so sánh giữa 2 hàm số f(x) và hàm số g(x) trên một trường số thực. Việc giải tốt toán 8 bất phương trình bậc nhất một ẩn là tiền đề để tìm hiểu các bài toán về bất phương trình phức tạp hơn. Bất phương trình có chứa một ẩn thường được thể hiện dưới 1 trong các dạng sau:
Để tìm tập xác định của bất phương trình có một ẩn, ta cần phải tìm điểm giao giữa 2 tập xác định của 2 hàm số f(x) và g(x). Tất cả các bất phương trình một ẩn đều có thể được chuyển về dạng bất phương trình tương đương (điển hình như f(x) > 0, f(x) ≥ 0). Trong bất phương trình 1 ẩn, biến x sẽ được gọi là ẩn. Như vậy, khi nhìn vào một bất phương trình f(x) > 0. Với giá trị x = a và f(a) > 0 là một bất đẳng thức đúng. Ta sẽ có: a là nghiệm của bất phương trình có một ẩn. Việc giải bất phương trình lớp 8 thành thạo sẽ giúp học sinh giải các loại bất phương trình phức tạp hơn. Như Itoan đã đề cập, bạn có thể chuyển bất phương trình có chứa một ẩn về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) ≥ 0. Khi phân loại bất phương trình có một ẩn nghĩa là phân loại bất phương trình theo hàm f(x).
Bất phương trình bậc nhất một ẩnBất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một loại thuộc các phương trình 1 ẩn. Bất phương trình bậc nhất có một ẩn thường được viết dưới dạng sau đây:
Trong dạng bất phương trình này, a và b là 2 số đã được cho trước và a ≠ 0.
Để biến đổi BPT bậc nhất 1 ẩn, bạn cần phải thực hiện theo 2 quy tắc quan trọng là quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số. Quy tắc chuyển vếQuy tắc chuyển vế được phát biểu rất đơn giản, khi bạn chuyển một hạng tử trong bất phương trình từ một vế sang vế còn lại, bạn cần phải đổi dấu của hạng tử đó. Quy tắc nhân với một sốQuy tắc nhân với một số nghĩa là bạn nhân 2 vế của bất phương trình bậc nhất có một ẩn với cùng một số khác 0. Khi đó, bạn cần phải.
Sau khi đã áp dụng 2 quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số vào các vế của bất phương trình, các bạn có thể bắt đầu giải BPT bậc nhất 1 ẩn như sau: Bất phương trình có dạng ax + b > 0 ⇒ ax > -b.
Như vậy, bài viết trên đã tổng hợp tất cả những kiến thức liên quan đến bất phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn cũng như hướng dẫn giải những dạng bất phương trình. >> Xem thêm: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Học tốt toán lớp 8
Để giúp các bạn củng cố kiến thức và học tốt Toán lớp 8. Chúng tôi đã tổng hợp lý thuyết và bài tập về Chuyên đề Bất phương trình lớp 8 trong tài liệu bên dưới. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo tài liệu bên dưới. Tổng quan về chuyên đề bất phương trình lớp 8Trong tài liệu chúng tôi có tổng hợp các kiến thức về Bất phương trình bậc nhất một ẩn. Vậy bất phương trình bậc nhất một ẩn là gì? Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: f(x) > g(x) hoặc g(x) > f(x) hoặc g(x) >= f(x) hoặc f(x) >= g(x). Trong đó f(x) và g(x) là hai biểu thức của biến x. Trong chuyên đề bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ có các dạng toán khác nhau. Các bạn cần nắm vững phương pháp giải của các dạng toán để làm tốt bài tập. Đó là:
Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để nắm vững phương pháp giải và vận dụng vào giải các bài tập có trong chuyên đề. Hướng dẫn học và giải tốt bài tập toánTrong chuyên đề Bất phương trình một ẩn sẽ có các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Các bạn cần giải những bài tập cơ bản trước. Sau đó làm nền tảng kiến thức cho bài tập toán nâng cao. Có thể bạn quan tâm: Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các chuyên đề nâng cao Toán lớp 8 khác. Như là: chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 8 và chuyên đề bất đẳng thức Cosi lớp 8. Chúc các bạn học tập tốt. Tải tài liệu miễn phí ở đây Sưu tầm: Thu Hoài
Ví dụ: Cho $ a>b\Rightarrow a+3>b+3$ 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
Ví dụ: $ a>b\Rightarrow a.(-3)<b.\left( {-3} \right)$ 4. Bất phương trình một ẩn4.1 Nghiệm của bất phương trình
Ví dụ: x = 3 là nghiệm của bất phương trình $ 2x+3<10$. $ VT=2.3+3=9;VP=10$. Vì $ 9<10$ nên x = 3 là nghiệm của bất phương trình. 4.2 Tập nghiệm của bất phương trình
4.3 Biểu diễn tập nghiệm5. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
5.1 Bất phương trình tương đươngVí dụ: Hai bất phương trình $ 2x+1>0$ và $ x>-\frac{1}{2}$ là hai bất phương trình tương đương. 5.2 Quy tắc chuyển vế
Ví dụ: $ x+3<0\Leftrightarrow x<-3$ 5.3 Quy tắc nhân
Ví dụ: $ -x>-3\Leftrightarrow x<3$ (nhân cả hai vế với – 1 thì đổi chiều bất đẳng thức) 6. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ: $ \left| {2x} \right|=x-6$ – Với $ x\ge 0$ ta có: $ \left| {2x} \right|=x-6\Leftrightarrow 2x=x-6\Leftrightarrow x=-6$ (loại) – Với $ x<0$ ta có: $ \left| {2x} \right|=x-6\Leftrightarrow -2x=x-6\Leftrightarrow x=2$ (loại) B. Bài tậpBài toán 1: Cho $ a>b,$ so sánh: a) $ a-7$ và $ b-7$ c) $ a+30$ và $ b+30$ e) $ a-15$ và $ b-15$ b) $ 6a$ và $ 6b$ d) $ -5a$ và $ -5b$ f) $ a+5$ và $ b+3$ Bài toán 2: So sánh a và b nếu: a) $ a-7\le b-7$ d) $ 35+a\ge 35+b$ g) $ a+13>b+13$ b) $ -5a<-5b$ e) $ 25+a\ge 25+b$ h) $ 7a-8$ < $ 7b-8$ c) $ a-10\le b-10$ f) $ -14a+7$ >$ -14b+7$ i) $ 2a<2b+1$ Bài toán 3: Cho $ a>0,b>0$ và $ a>b$. Chứng tỏ rằng $ \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$. Bài toán 4: Cho a, b là hai số bất kì, chứng tỏ rằng $ \frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}\ge ab$. Bài toán 5: Cho a, b là hai số dương, chứng tỏ rằng $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$. Bài toán 6: Chứng minh bất đẳng thức: a) $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge ab+a+b$ d) $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+3\ge 2\left( {x+y+z} \right)$ b) $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge a\left( {b+c} \right)$ e) $ \frac{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}{3}\ge {{\left( {\frac{{x+y+z}}{3}} \right)}^{2}}$ c) $ {{\left( {x+y} \right)}^{2}}\le 2\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)$ Bài toán 7: Chứng minh bất đẳng thức a) $ \frac{1}{{1.3}}+\frac{1}{{3.5}}+…+\frac{1}{{\left( {2n-1} \right)\left( {2n+1} \right)}}<\frac{1}{2}$ b) $ \frac{1}{{{{1}^{2}}}}+\frac{1}{{{{2}^{2}}}}+…+\frac{1}{{{{n}^{2}}}}<\frac{5}{3}$ với $ n>1$ c) $ \frac{1}{{15}}<\frac{1}{2}.\frac{3}{4}…\frac{{99}}{{100}}<\frac{1}{{10}}$ Bài toán 8: Thử xem $ x=-1$ có là nghiệm của bất phương trình sau không? a) $ 3x-7>2x+1$ c) $ 7-3x<2-5x$ b) $ -3x-1>x+1$ d) $ 5\left( {x-2} \right)>3x-1$ Bài toán 9: Kiểm tra xem $ x=-2$ có là nghiệm của bất phương trình sau không? a) $ 3x+5>-9$ c) $ 10-4x>7x-12$ b) $ -5x<2x+3$ d) $ -8x-7<-6x-8$ Bài toán 10: Viết tập nghiệm của bất phương trình sau bằng kí hiệu tập hợp và biểu diễn tập nghiệm đó trên trục số: a) $ x>4$ c) $ x\ge -1$ e) $ x>7$ g) $ x\ge -2$ b) $ x<-2$ d) $ x\le 3$ f) $ x<0$ h) $ x\le -3$ Bài toán 11: Cho tập hợp $ A=\left\{ {x\in \mathbb{N}/-10\le x\le 10} \right\}.$ Tìm $ x\in A$ là nghiệm của bất phương trình: a) $ \left| x \right|<4$ b) $ \left| x \right|>7$ c) $ \left| x \right|\le 2$ d) $ \left| x \right|\ge 9$ Bài toán 12: Viết bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nó từ các mệnh đề sau: a) Tổng của một số nào đó và 11 lớn hơn 17; b) Hiệu của 15 và một số nào đó nhỏ hơn – 13; c) Tổng của 3 lần số đó và 7 lớn hơn 8; d) Hiệu của 10 và 5 lần số đó nhỏ hơn 15; e) Tổng hai lần số đó và số 3 thì lớn hơn 18; f) Hiệu của 5 và 3 lần số nào đó nhỏ hơn hoặc bằng 10. Bài toán 13: Chứng minh các bất phương trình sau: a) $ {{x}^{2}}+x+1>0$ có nghiệm c) $ \left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)+10<0$ vô nghiệm b) $ -{{x}^{2}}+3x-3<0$ có nghiệm d) $ {{x}^{2}}+2x<2x$ vô nghiệm Bài toán 14: Giải các bất phương trình sau:
Bài toán 15: Giải các bất phương trình sau (a là số cho trước): a) $ 2x-3a\ge 0$ b) $ a+1-5x\ge 0$ c) $ \left( {a-1} \right)x+2a+1>0$ với $ a>1$ d) $ \left( {2a+1} \right)x-1-a\ge 0$ với $ a<-\frac{1}{2}$ e) $ \left( {{{a}^{2}}+1} \right)x+a-1<0$ f) $ \left( {{{a}^{2}}-2a+2} \right)x\ge 2a+3$ Bài toán 16: Viết thành bất phương trình và giải: a) Tìm x sao cho biểu thức $ x-3,5$ nhận giá trị âm; b) Tìm x sao cho biểu thức $ x+11$ nhận giá trị dương; c) Tìm x sao cho biểu thức $ 3x-5$ lớn hơn 4; d) Tìm x sao cho giá trị của biểu thức $ 5x-4$ lớn hơn giá trị của biểu thức $ 3x-12.$ Bài toán 17: Tìm các giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình: $ \frac{{{{{\left( {x-3} \right)}}^{2}}}}{3}-\frac{{{{{\left( {2x-1} \right)}}^{2}}}}{{12}}\le x$ (1) $ 2+\frac{{3\left( {x+1} \right)}}{3}<3-\frac{{x-1}}{4}$ (2) Bài toán 18: Tìm các số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình: $ \frac{{x-5}}{4}-\frac{{2x-1}}{2}\le 3$ (1) $ \frac{{2x-3}}{3}<\frac{{x+1}}{2}$ (2) Bài toán 19: Tìm giá trị của m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm dương: a) $ \frac{{x+1}}{{1-m}}+\frac{{x-1}}{{1+m}}=\frac{{x+m}}{{1+m}}+\frac{{2\left( {x-m} \right)}}{{1-m}}$ b) $ 4-m=\frac{2}{{x+1}}$ Bài toán 20: Tìm giá trị của m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm âm a) $ 0,5\left( {5x-1} \right)=4,5-2m\left( {x-2} \right)$ b) $ \frac{{3mx+12m+5}}{{9{{m}^{2}}-1}}=\frac{{2x-3}}{{3m+1}}-\frac{{3x-4m}}{{1-3m}}$ Bài toán 21: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $ A=\frac{{x-1}}{5}-\frac{{x-2}}{3}$ có giá trị lớn hơn 1 nhứng nhỏ hơn 3. Bài toán 22: Với giá trị nào của a thì phương trình $ \frac{{a+1}}{{x-1}}=1-a$ có nghiệm dương nhỏ hơn 1. Bài toán 23: Xác định m để bất phương trình $ \left( {{{m}^{2}}-4m+3} \right)x+m-{{m}^{2}}<0$ nghiệm đúng với mọi x. Bài toán 24: Giải phương trình
Bài toán 25: Giải phương trình a) $ \frac{{\left| x \right|-1}}{4}-\frac{1}{8}\left( {\frac{{\left| x \right|-5}}{4}-\frac{{14-2\left| x \right|}}{5}} \right)=\frac{{\left| x \right|-9}}{2}-\frac{7}{8}$ b) $ \frac{{7x+5}}{5}-x=\frac{{\left| {3x-5} \right|}}{2}$ c) $ x-\frac{{\left| {3x-2} \right|}}{5}=3-\frac{{2x-5}}{3}$ Bài toán 26: Giải phương trình a) $ {{x}^{2}}-\left| x \right|=6$ e) $ \left| {x+1} \right|-\left| {2-x} \right|=0$ b) $ \left| {{{x}^{2}}-4} \right|={{x}^{2}}-4$ f) $ \left| x \right|-\left| {x-2} \right|=2$ c) $ \left| {2x-{{x}^{2}}-1} \right|=2x-{{x}^{2}}-1$ g) $ \left| {x-1} \right|+\left| {x-2} \right|=1$ d) $ \left| {{{x}^{2}}-3x+3} \right|=3x-{{x}^{2}}-1$ h) $ \left| {x-2} \right|+\left| {x-3} \right|+\left| {2x-8} \right|=9$ Bài toán 27: Giải phương trình a) $ 3x\left| {x+1} \right|-2x\left| {x+2} \right|=12$ b) $ \frac{{{{x}^{2}}-4-\left| {x-2} \right|}}{2}=x\left( {x+1} \right)$ c) $ \frac{{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x}}{{x\left| {x-2} \right|}}=1$ d) $ \frac{7}{{8x}}+\frac{{5-x}}{{4{{x}^{2}}-8x}}=\frac{{x-1}}{{2x\left( {x-2} \right)}}+\frac{1}{{8x-16}}$ e) $ \frac{{x+2}}{{{{x}^{2}}+2x+4}}-\frac{{x-2}}{{{{x}^{2}}-2x+4}}=\frac{6}{{x\left( {{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+16} \right)}}$ f) $ \frac{{{{x}^{2}}-x}}{{x+3}}-\frac{{{{x}^{2}}}}{{x-3}}=\frac{{7{{x}^{2}}-3x}}{{9-{{x}^{2}}}}$ Bài toán 28: Giải bất phương trình a) $ \left| {2x+5} \right|\le \left| {7-4x} \right|$ b) $ \left| {\frac{{2-3\left| x \right|}}{{1+x}}} \right|\le 1$ c) $ \frac{{\left| {{{x}^{2}}-4x} \right|+3}}{{{{x}^{2}}+\left| {x-5} \right|}}\ge 1$ d) $ \frac{9}{{\left| {x-5} \right|-3}}\ge \left| {x-3} \right|$ e) $ \left| {2x-1} \right|\ge x-1$ f) $ \left| {2x+5} \right|>\left| {7-4x} \right|$ Bài toán 29: Giải và biện luận bất phương trình a) $ -1\le \frac{{x+m}}{{mx+1}}\le 1$ b) $ \frac{{x-m}}{{x+1}}=\frac{{x-2}}{{x-1}}$ c) $ \frac{{ax-1}}{{x–1}}+\frac{b}{{x+1}}=\frac{{a\left( {{{x}^{2}}+1} \right)}}{{{{x}^{2}}-1}}$ Bài toán 30: Chứng minh các bất đẳng thức a) $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$ với $ a+b=1;$ b) $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{1}{3}$ với $ a+b+c=1$ c) $ {{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+…+{{a}_{n}}^{2}\ge \frac{1}{n}$ với $ {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}=1$ Bài toán 31: Cho biểu thức $ M=\left[ {\frac{{3\left( {x+2} \right)}}{{2\left( {{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1} \right)}}+\frac{{2{{x}^{2}}-x-10}}{{2\left( {{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{5}{{{{x}^{2}}+1}}+\frac{3}{{2\left( {x+1} \right)}}-\frac{3}{{2\left( {x-1} \right)}}} \right].\frac{2}{{x-1}}$ a) Rút gọn M; b) Tính giá trị của M biết $ \left| x \right|=\frac{1}{3};$ c) Tìm x biết $ \left| M \right|=2004;$ d) Tìm giá trị của x để $ M>0,$ $ M<0;$ e) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức M là số nguyên. Bài toán 32: Trong một buổi lao động trồng cây, cô giáo chủ nhiệm đã phân công cho các tổ lần lượt như sau: Tổ I trồng 20 cây và 4% số cây còn lại. Tổ II trồng 21 cây và 4% số cây còn lại. Tổ II trồng 22 cây và 4% số cây còn lại. Cứ chia như vậy cho đến tổ cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây mỗi tổ trồng đều bằng nhau. Hỏi lớp đó có bao nhiêu tổ, số cây lớp trồng được là bao nhiêu? Bài toán 33: Trong một lớp có 14 học sinh giỏi Toán, 13 học sinh giỏi Văn. Số học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Văn bằng một nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Văn, biết rằng số học sinh của lớp đó là 35. Series Navigation |