Bài 54 trang 34 Toán 8 Tập 2: Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Trả lời Gọi x(km/h) là vận tố của cano khi nước yên lặng . Điều kiện x >0 Do vận tốc của dòng nước là 2km/h nên khi canô đi xuôi dòng thì vận tốc là x +2 (km/h). Và ca nô xuôi dòng thừ A đến B mất 4 giờ thì quãng đường AB = (2+x).4 = 4x + 8 (1) Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Đáp án và lời giải Gọi (km/h) là vận tốc thực của canô Vận tốc canô khi xuôi dòng : (km/h). Vận tốc canô khi ngược dòng : (km/h). Canô đi xuôi dòng mất 4 giờ, ngược dòng mất 5 giờ, quãng đường từ bến A đến bến B không đổi, do đó ta có phương trình: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất \(4\) giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất \(5\) giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là \(2 km/h\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Áp dụng công thức của bài toán chuyển động trên dòng nước: Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + vận tốc dòng nước. Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - vận tốc dòng nước. Vận tốc xuôi dòng \(-\) vận tốc ngược dòng \(=\) vận tốc dòng nước \( \times 2\). Bước 1: Gọi khoảng cách giữa A và B là ẩn, đặt điều kiện cho ẩn. Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn Bước 3: Lập phương trình thông qua các mối liên hệ giữa các đại lượng, giải phương trình Bước 4: Kết luận Lời giải chi tiết Gọi \(x \,(km)\) là khoảng cách giữa hai bến A và B, với \(x > 0\). Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là:\(\dfrac{x}{4}\, (km/h)\) Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: \(\dfrac{x}{5}\,\, (km/h)\) Vận tốc dòng nước là: \(2 km/h\) Hiệu vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng bằng \(2\) lần vận tốc dòng nước, do đó: \(\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{5} = 2.2\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{5.x}}{{20}} - \dfrac{{4.x}}{{20}} = \dfrac{{80}}{{20}}\) \( \Leftrightarrow 5{\rm{x}} - 4{\rm{x}} = 80\) \(\Leftrightarrow x = 80\) (thỏa mãn điều kiện). Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là \(80 km\). (Giải thích tại sao hiệu vận tốc xuôi dòng và ngược dòng bằng 2 lần vận tốc dòng nước: Nếu gọi vận tốc canô là v (km/h), vận tốc dòng nước là a (km/h), ta có: Khi xuôi dòng: vận tốc canô là: v + a Khi ngược dòng: vận tốc canô là: v - a Hiệu vận tốc \(= v + a - (v - a) = 2.a\) hay chính là 2 lần vận tốc dòng nước.)
c)\({{5x + 2} \over 6} - {{8x - 1} \over 3} = {{4x + 2} \over 5} - 5\) ;
Hướng dẫn làm bài:
⇔\(3 - 100x + 8{x^2} = 8{x^2} + x - 300\) ⇔\( - 101x = - 303\) ⇔\(x = 3\) Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
⇔\(8\left( {1 - 3x} \right) - 2\left( {3 + 2x} \right) = 140 - 15\left( {2x + 1} \right)\) ⇔\(8 - 24x - 6 - 4x = 140 - 30x - 15\) ⇔\( - 28x + 2 = 125 - 30x\) ⇔\(2x = 123\) ⇔\(x = {{123} \over 2}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{123} \over 2}\) c)\({{5x + 2} \over 6} - {{8x - 1} \over 3} = {{4x + 2} \over 5} - 5\) ⇔\(5\left( {5x + 2} \right) - 10\left( {8x - 1} \right) = 6\left( {4x + 2} \right) - 150\) ⇔\(25x + 10 - 80x + 10 = 24x + 12 - 150\) ⇔\( - 55x + 20 = 24x - 138\) ⇔\( - 79x = - 158\) ⇔\(x = 2\) Vậy phương có nghiệm x = 2. d).\({{3x + 2} \over 2} - {{3x + 1} \over 6} = 2x + {5 \over 3}\) ⇔\(3\left( {3x + 2} \right) - \left( {3x + 1} \right) = 12x + 10\) ⇔\(9x + 6 - 3x - 1 = 12x + 10\) ⇔\(6x + 5 = 12x + 10\) ⇔\( - 6x = 5\) ⇔\(x = {{ - 5} \over 6}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{ - 5} \over 6}\) . Bài 51 trang 33 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
Hướng dẫn làm bài: a)\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 3} \right) - \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 3 - 5x + 8} \right) = 0\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {5 - 2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{ - 1} \over 2}} \cr {x = {5 \over 2}} \cr} } \right.} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = {{ - 1} \over 2};x = {5 \over 2}\) . b)\(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\) ⇔\(\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1 - 3x + 5} \right)\) ⇔\(\left( {2x - 1} \right)\left( {4 - x} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{2x - 1 = 0} \cr {4 - x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {1 \over 2}} \cr {x = 4} \cr} } \right.} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = {1 \over 2};x = 4\)
⇔\({\left( {x + 1} \right)^2} = \left[ {2(x - 1} \right){]^2}\) ⇔\(\left( {x + 1 - 2x + 2} \right)\left( {x + 1 + 2x - 2} \right) = 0\) ⇔\(\left( {3 - x} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{3 - x = 0} \cr {3x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = {1 \over 3}} \cr} } \right.} \right.\)
⇔\(x\left( {2{x^2} + 5x - 3} \right) = 0\) ⇔\(x\left[ {2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0\) ⇔\(x\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 3 = 0} \cr {2x - 1 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = - 3} \cr {x = {1 \over 2}} \cr} } \right.\) Vậy phương trình có ba nghiệm x = 0; x = -3; x =\({1 \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm . Bài 52 trang 33 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình:
Hướng dẫn làm bài:
ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne {3 \over 2}\) Khử mẫu ta được:\(x - 3 = 5\left( {2x - 3} \right) \Leftrightarrow x - 3 = 10x - 15\) ⇔\( - 9x = - 12\) ⇔\(x = {4 \over 3}\) \(x = {4 \over 3}\) thỏa điều kiện đặt ra Vậy phương trình có nghiệm \(x = {4 \over 3}\)
ĐKXĐ:\(x \ne 0,x \ne 2\) Khử mẫu ta được:\(x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x + 2 = 2\) ⇔\({x^2} + x = 0\) ⇔\(x\left( {x + 1} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0 } \cr {x = - 1} \cr} } \right.} \right.\) X = 0 không thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có nghiệm x =-1
ĐKXĐ : \(x \ne 2;x \ne - 2\) Khử mẫu ta được: \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) ⇔\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right){x^2} + x + 2x + 2 + {x^2} - x - 2x + 2 = 2{x^2} + 4\left( {x - 2} \right) = 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) ⇔\(2{x^2} + 4 = 2{x^2} + 4\) ⇔(0x = 0\left( {\forall x \in R} \right)\) Mà ĐKXĐ :\(x \ne \pm 2\) Vậy phương trình có vô số nghiệm \(x \in R;x \ne 2;x \ne - 2\)
Phương trình đã cho tương đương với: \(\left( {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right)\left( {2x + 3 - x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{{3x + 8 + 2 - 7x} \over {2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\) ⇔\(\left( {10 - 4x} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\) vì \(2 - 7x \ne 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{10 - 4x = 0} \cr {x + 8 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[{\matrix{{x = {5 \over 2}} \cr {x = - 8} \cr} } \right.} \right.\) Cả hai giá trị đều thích hợp với ĐKXĐ. Vậy phương trình có hai nghiệm :\(x = {5 \over 2};x = - 8\) Bài 53 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Giải phương trình: \({{x + 1} \over 9} + {{x + 2} \over 8} = {{x + 3} \over 7} + {{x + 4} \over 6}\) Hướng dẫn làm bài: Cộng 2 vào hai vế của phương trình, ta được: \({{x + 1} \over 9} + 1 + {{x + 2} \over 8} = {{x + 3} \over 7} + 1 + {{x + 4} \over 6} + 1\) ⇔\({{x + 10} \over 9} + {{x + 10} \over 8} = {{x + 10} \over 7} + {{x + 10} \over 6}\) ⇔\(\left( {x + 10} \right)\left( {{1 \over 9} + {1 \over 8} - {1 \over 7} - {1 \over 6}} \right) = 0\) Vì \({1 \over 9} < {1 \over 7};{1 \over 8} < {1 \over 6}\) nên \({1 \over 9} + {1 \over 8} - {1 \over 7} - {1 \over 6} < 0\) ⇔x+10 = 0 ⇔x= -10 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -10. Bài 54 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B,biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Hướng dẫn làm bài: Gọi x (km) là khoảng cách giữa hai bến A và B, với x > 0. Vận tốc khi xuôi dòng:\({x \over 4}\) Vận tốc khi ngược dòng: \({x \over 5}\) Vận tốc dòng nước: 2 km/h Hiệu vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng bằng 2 lần vận tốc dòng nước, do đó: \({x \over 4} - {x \over 5} = 4 \Leftrightarrow 5{\rm{x}} - 4{\rm{x}} = 80\) ⇔\(x = 80\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy khoảng cách giữa hai bến là 80 km. Bài 55 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Biết rằng 200 g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối? Hướng dẫn làm bài: Gọi x (g) là khối lượng nước phải pha thêm, với x > 0. Khối lượng dung dịch mới: 200 + x Vì dung dịch mới có nồng độ 20% nên: \({{50} \over {200 + x}} = {{20} \over {100}} \Leftrightarrow {{50} \over {200 + x}} = {1 \over 5}\) ⇔\(250 = 200 + x\) ⇔ \(x = 50\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy phải pha thêm 50g nước thì được dung dịch là 20% muối Bài 56 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng dùng nhiều điện thì giá mỗi số điện (1kWh) càng tăng lên theo các mức như sau: Mức thứ nhât: Tính cho 100 số điện đầu tiền; Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150, mỗi số đắt hơn 150 đồng so với mức thứ nhât; Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200, mỗi số đắt hơn 200 đồng so với mức thứ hai; v.v… Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuê giá trị gia tăng (thuế VAT). Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết 165 số điện và phải trả 95700 đồng. Hỏi mỗi số điện ở mức thứ nhất giá là bao nhiêu? |
