Phương trình $\dfrac{b}{{x + 1}} = a$ có nghiệm duy nhất khi: Phương trình \(\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm ? Giải phương trình: \(\left| {5x - 1} \right| = 2\).
LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLCKhu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái HàCHUYÊN ĐỀ 5: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNTHEO THAM SỐ ma m x bm y cmam x bm y cmHPT bậc nhất hai ẩn phụ thuộc tham số: Trong đó: am ; bm ; cm ; a’m ; b’m ; c’m là những hệ số phụ thuộc tham số m.A. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.a m x bm y cmam x bm y cm1. Giải và biện luận hệ phương trình : (I) 1 2Bước 1: Rút ẩn mà hệ số của nó khơng chứa m ở một trong hai phương trình (VD rút y)y f ( m) x g ( m ) 1 Bước 2: Thay ẩn y vừa rút vào phương trình cịn lại để được phương trình một ẩn.H (m) x K (m) 2Lập luận: Nhận thấy (1’) có nghiệm y khi (2’) có nghiệm x.=> Hệ có (I) nghiệm, vơ số nghiệm hay vơ nghiệm PHỤ THUỘC vào (2’) có 1 nghiệm x, vơ sốnghiệm x hay vơ nghiệm.* Xét phương trình (2):+ Khi H(m) = 0 m = mo ta có:- Nếu K(mo) = 0 thì (2’) có vơ số nghiệm x=> (1’) có vơ số nghiệm y tương ứng.=> Hệ có vơ số nghiệm (x, y) = (x, f (mo ) x g (mo ) )- Nếu K(mo) ≠ 0 thì (2’) vơ nghiệm => (1’) vơ nghiệm.=> Hệ vô nghiệm.+ Khi H(m) ≠ 0 m ≠ mo ta có (2’) ln có nghiệm duy nhất x ==> (1’) có nghiệm duy nhất y = f (m).K (m)H (m)K (m) g (m)H (m)=> Hệ có nghiệm duy nhất khi m ≠ mo2. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất, vơ số nghiệm, vơ nghiệm.* Thường trong bài tốn tìm m để hệ có nghiệm, vơ nghiệm cịn liên quan đến các ý b), ý c) củabài toán nên ta thường làm theo các bước như bài toán Giải và biện luận hệ:1 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLCKhu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà* Sau đó lập luận để tìm m theo u cầu bài tốn.* Từ đó cũng tìm được ln nghiệm x, y theo m để làm các ý tiếp theo.3. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đã cho.Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất rồi suy ra nghiệm x ; y của hệ theo mBước 2: Giải điều kiện bài tốn:* Hệ có nghiệm ngun:Viết Viết x, y của hệ về dạng: n +kvới n, k nguyênf (m)Tìm m nguyên để f(m) là ước của k* Hệ có nghiệm x, y dương (âm):Giải bất phương trình ẩn m => Tập giá trị của m* Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn một hệ thức đã cho:Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức rồi giải phương trình ẩn m=> Giá trị của mBước 4: Giải điều kiện trên kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất=> Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện.4. Tìm m đề ba đường thẳng đã cho đồng quy.- Xác định giao điểm của 2 trong 3 đường thẳng (giao điểm của 2 đường thẳng khơng chứa m)- Thay giao điểm tìm được vào đường thẳng cịn lại chứa m, giải phương trình tìm ẩn m.5. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện đã cho:Bước 1: Xét hệ hai đường thẳng=> Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M chính là điều kiện hệ có nghiệmduy nhất.Bước 2: Giải hệ hai đường thẳng, tìm nghiệm x, y theo mBước 3: Giải điều kiện của MBước 4: Kết luận tập giá trị m thỏa mãn bài tốn.6. Tìm m để hai hệ phương trình tương đương.Bước 1: Tìm điều kiện của m để mỗi hệ đã cho có nghiệm.Bước 2: Tìm nghiệm x ; y theo m của mỗi hệ+ Cho nghiệm x của hệ này bằng nghiệm x của hệ kia(1)+ Cho nghiệm y của hệ này bằng nghiệm y của hệ kia(2) Giá trị m cần tìm cùng thỏa mãn (1) , (2) và điều kiện của m2 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLCKhu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà7. Chứng tỏ nghiệm (x ; y) của hệ luôn nằm trên đường thẳng cố định.Từ hệ, bằng phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo ra một phương trình mới f(x,y) = 0 khơng phụthuộc vào m=> Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) là đường thẳng cố định cần tìm.B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:mx y 2m 1x (m 1)y 2b) mx y mx y 2e) a) d) x 2y m 3mx 3y 5c) ax y 2x ay 2ax y 34x ay 6f) (a 1)x y a 1x (a 1)y 2mx 2my m 1x (m 1)y 2g) x my mmx 9 y m 6Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau: Vơ nghiệm ; Vơ số nghiệm: (1)(2)mx 4 y 9. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm. x my 8Bài 3: Cho hệ phương trình: x my 2mx 4 y m 2Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau: mx - y = 3-x + 2my = 1Bài 5: Cho hệ phương trình ( m là tham số ) : a) Giải hệ phương trình khi m = 1.b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.x 2 y 5mx y 4Bài 6. Cho hệ phương trình: 12a) Giải hệ phương trình với m 2 .b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y trong đó x, y trái dấu.c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x y .mx 4 y 9có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước: x my 8Bài 7: Định m để hệ phương trình 2x + y +38=3m 423 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLCKhu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái HàHướng dẫn- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 28m 9y 2mx 4 y 9(m 4) y 8m 9mx 4 y 9m 4- Hệ 2 x my 8mx m y 8m x my 8 x 9m 32m2 42- Thay x =2.9m 328m 9;y= 2vào hệ thức đã cho ta được:2m 4m 49m 328m 938+ 2+ 2=32m 4m 4 m 4 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = 0 m1 = 1 ; m2 =23(thỏa mãn điều kiện)3233Vậy m = 1 ; m = 2 x y 5m 1x 2 y 2Bài 8: Cho hệ phương trình: ( m là tham số)a) Giải hệ phương trình với m = 1b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 - 2y2 = 1. x y 3m 2Bài 9: Cho hệ phương trình 2 x y 5Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x; y sao chox2 y 5 4.y 1mx 2y 18( m là tham số ). x - y 6Bài 10. Cho hệ phương trình : a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) trong đó x = 2.b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y) thoả mãn 2x + y = 9. x my 9mx 3 y 4Bài 11: Cho hệ phương trình: a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình ln ln có nghiệm duy nhất với mọi mb) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y =428-3m2 3 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLCKhu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hàmx y 2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm3x my 5Bài 12: Cho hệ phương trình: (x; y) thỏa mãn hệ thức x y 1 m2.m2 33 x my 9mx 2 y 16Bài 13: Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình ln ln có nghiệm duy nhất với mọi mb) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong gócphần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxyc) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7 x (m 1) y 2(m 1) x y m 1Bài 14: Cho hệ phương trình a) Giải hệ với m 12b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn điều kiện x > y3 x 2 y 42 x y mBài 15: Cho hệ phương trình Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1(m 1) x my 3m 12 x y m 5Bài 16: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m = 2b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x 2 y 2 4mx 2 y m 12 x my 2m 1Bài 17: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: Hướng dẫnmx 2 y m 12 x my 2m 1Hệ 2mx 4 y 2m 2(m 2 4)y 2m 2 3m 2222mx m y 2m m2x my 2m 1(m 2 4)y (m 2)(2m 1)2x my 2m 1(1)(2)Hệ có nghiệm duy nhất Phương trình (1) có nghiệm y duy nhất m2 – 4 ≠ 0 m 2 4 m 2Vậy với m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất (x,y) là:5 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLCKhu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà(m 2)(2m 1) 2m 1322 y m2m2m 4x m 1 1 3m2m2Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1;1;3;3Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5(m 1) x 2 y m 1Bài 18: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: 22m x y m 2m 2m 1 x y 2m 222m x y m 3mBài 19: Cho hệ phương trình Trong đó m ∈ Z ; m ≠ - 1. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm ngun.mx y 2m x my m 1Bài 20: Cho hệ phương trình a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhấtb) Tìm m để hệ có nghiệm ngun.c) Chứng tỏ rằng điểm M(x ; y) (với (x ; y) là nghiệm của hệ đã cho) luôn nằm trên một đườngthẳng cố định.mx 2my m 1 x (m 1) y 2Bài 21: Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ rằng nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) ln nằm trên một đường thẳngcố định.b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất.Gợi ý: Điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất x > 0 và y > 0c) Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng5.Gợi ý: Điểm thuộc đường trịn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5 . x2 + y2 = ( 5 )2 . Giải phương trình tìm được m.2 x my 1mx 2 y 1Bài 22: Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ rằng nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳngcố định.b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là các số nguyên.6 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLCKhu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hàc) Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng2.2mx 4 y 10 m(m là tham số) x my 4Bài 23: Cho hệ phương trình a) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x > 0, y > 0b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương(m 1) x my 3m 12 x y m 5Bài 24: Cho hệ phương trình : a) Giải và biện luận hệ phương trình theo mb) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong gócphần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxyc) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2y x m 1Bài 25: Cho hệ phương trình: 2 x y m 2(1)a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1.b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x2 + y2 đạtgiá trị nhỏ nhất. 2y x m 12 x y m 2(1)Bài 26: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1.b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x2 + y2 đạtgiá trị nhỏ nhất. x y 2a 1Bài 27: Cho hệ phương trình: 222 x y a 2a 3Tìm giá trị của a để hệ phương trình thỏa mãn tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất.Bài 28: Tìm m để hai hệ phương trình sau tương đương3x 5 y 7a) Hệ (I) 2 x y 64 x 3 y 52 x 5 y 9a) Hệ (I) 3 x 5 y 7Hệ (II) 1 x 2 y m4 x 3 y 53 x my 2Hệ (II) 7 |
