Sử dụng máy tính casio fx-570es giải toán véc tơ năm 2024

( Trích bài 15, trang 117, sách BT Hình Học NC 12, Văn Như Cương(cb) - Phạm Khắc Ban - Lê Huy Hùng - Tạ Mân )

Giải:

Giải trên máy tính Casio fx-570MS( Casio fx-570ES tương tự)

Dùng chương trình giải toán vecto có cài sẵn trên máy.

Quy trình bấm phím như sau:

1. Chọn chương trình giải toán vecto

“Theo sách hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO FX-570MS”

• 1. tính Casio fx 570ES và Casio fx 570MS để giải các bài toán thống kê lớp 10 Chuyên đề điện từ trường dành cho lớp 11 Chuyên đề tính các dạng bài tập giới hạn bằng máy Casio fx 570ES Dùng phương pháp Giản đồ vectơ để giải các dạng bài tập điện xoay chiều Ứng dụng số phức để giải nhanh các dạng bài tập điện xoay chiều Chuyên đề thời gian, quãng đường trong dao động điều hòa Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Toán Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Lí Bộ đĩa DVD ôn thi Đại học. Cách lưu văn bản vào máy Casio Fx 570ES Và còn nhiều chuyên đề khác tại: http://phuongphaphoctap.net Mong các bạn đón xem. Nhöõng taøi lieäu khaùc
• 3. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 28/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Mong nhaän ñöôïc söï uûng hoä cuûa caùc baïn ñeå taøi lieäu ngaøy caøng hay vaø hoaøn thieän hôn nöõa. Moïi yù kieán goùp yù xin göûi veà:  Nguyeãn Troïng Nhaân  [email protected]  http://phuongphaphoctap.net Xin chaân thaønh caûm ôn! Coøn nhieàu taøi lieäu haáp daãn khaùc taïi: http://phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 1/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Giới thiệu chung Vectơ là một phần rất quan trọng trong môn Toán cấp 3. Theo cấu trúc của bộ Giáo dục và Đào tạo thì trong đề thi Đại học, cao đẳng luôn có những phần này và chúng chiếm số điểm tương đối cao. Thông thường khi làm việc với những phần vectơ này, chúng ta thường tính nhẩm hoặc làm trong nháp. Nhưng như thế thì không chính xác và tốn nhiều thời gian, đặc biệt là với những bài phức tạp. Vì vậy chúng ta sẽ tận dụng chức năng tính toán vectơ có sẵn trong máy Casio Fx570ES để giải chính xác những bài này và giúp tiết kiệm nhiều thời gian, đặc biệt là khi đi thi Đại học. Một điều quan trọng nữa là khi các bạn làm bài thi, nếu các bạn biết kết quả mình làm đúng hoặc bước vừa rồi mình làm đúng thì chắc chắn các bạn sẽ tự tin hơn nhiều và bớt phân tâm trong những bài kế tiếp đúng không nào. Bây giờ chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu qua cách bấm vectơ 2 chiều, 3 chiều rồi sau đó ứng dụng vào làm các bài tập.
• 4. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 2/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Muïc luïc I. Vectơ 2 chiều.........................................................................3 1. Nhập vectơ vào máy:...........................................................3 2. Cách gọi vectơ để tính toán.................................................5 3. Phép cộng, trừ các vectơ: ....................................................6 4. Nhân vô hướng 2 vectơ: ......................................................7 5. Độ dài của vectơ :................................................................9 6. Góc giữa 2 vectơ : .............................................................11 II. Vectơ 3 chiều.......................................................................14 7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy: ............................................14 8. Tích có hướng ...................................................................15 III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính: ........17 IV. Bài tập ví dụ ......................................................................18 Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 27/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC):               1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11 MH d(M(ABC)) 31 4 4 Theå tích töù dieän MABC baèng 3     4t 111 9 V . . 3 3 2 3         5 17 4t 11 6 t hay t . 4 4 Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø:               3 3 1 15 9 11 M ; ; hay M ; ; 2 4 2 2 4 2       N ( ) N(1 2t; 2 t; 3 2t)           2 2 ABN 1 1 2 3 2 S [NA; NB] 32t 128t 146 (4t 8) 9 2 2 2 2        ABN 3 2 maxS 4t 8 0 t 2. 2 Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1). Phần này có tham số nên ta bắt buộc phải làm tay. Có cách để kiểm tra nhanh kết quả phần này nhưng không thuộc mode vectơ nên mình sẽ không trình bày vào đây.
• 5. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 26/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Ta lại có:            [AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n, vôùi    n (1; 2; 2) Suy ra phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô  n: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.          2 2 2 ABC 1 1 9 S [AB; AC] ( 3) ( 6) 6 . 2 2 2 Chúng ta tính tiếp diện tích tam giác ABC : Vì kết quả tính tích có hướng đã được tự động lưu vào vectơ Ans nên ta không cần phải nhập lại nữa. Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào Nhấn =, ta được kết quả : Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 3/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio I. Vectơ 2 chiều 1. Nhập vectơ vào máy: Gọi ( , )u a b và 1 1(a , )v b là 2 vectơ tùy ý trong không gian 2 chiều. Ví dụ: (2,3)u  và (4,5)v  Khi đó chúng ta lưu 2 vectơ này vào máy bằng cách: Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR) Máy có thể lưu tối đa 3 vectơ theo thứ tự là VTA, VTB, VTC Chúng ta nhấn 1 để lưu vectơ u vào biến vectơ A trên máy tính. Máy sẽ chờ chúng ta chọn số chiều của vectơ A. Vì vectơ u có 2 chiều nên sẽ chọn số 2 (nếu 3 chiều thì sẽ chọn số 1).
• 6. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 4/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Chúng ta nhấp tọa độ của vectơ u vào: Sau đó chúng ta sẽ nhập vectơ v vào biến vectơ B trên máy tính bằng cách: nhấn Shift 5 để vào Mode riêng của chức năng vectơ: Nhấn chọn 1 (Dim) để nhập vectơ vào biến vectơ trên máy: Chọn 2 để lưu biến vectơ v vào biến vectơ B (Lúc này biến VTA đã lưu vectơ u rồi nên không lưu vào biến VTA được). Chọn số chiều và nhập tọa độ theo các bước giống như khi lưu vectơ u: Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 25/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Bài 4 : Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng () : x 1 y 2 z 3 2 1 2       1. Tìm ñieåm M thuoäc () ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3. 2. Tìm ñieåm N thuoäc () ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát. Giải: Phöông trình tham soá cuûa (D):           x 1 2t y 2 t z 3 2t Ta có       M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)      AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1) Tìm vectơ pháp tuyến bằng cách nhân có hướng AB  và AC  . Ta nhập 2 vectơ vào máy. Tính tích có hướng 2 vectơ này :
• 7. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 24/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Diện tích tam giác ABC : 1 1 . 5.10 25 2 2 S AB AC   Bấm máy Nhấn = Kiểm tra lại bằng máy trong trường hợp chưa tính độ dài ở trên : Nhấn = Chúng ta kiểm tra 15 5 5 có phải là số này không bằng cách tương tự ở trên. Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 5/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Vậy là đã kết thúc phần lưu vectơ vào máy, chúng ta nhấn AC hay On để xóa màn hình. Khi đó các biến vectơ A, B vẫn còn giữ nguyên giá trị mà không bị mất vì chúng ta đã lưu vào máy. Lưu ý: không được chuyển mode khi tính toán với vectơ (Vd: chuyển từ mode Vectơ sang mode giải phương trình), vì như thế sẽ làm mất giá trị của các biến vectơ A, B. 2. Cách gọi vectơ để tính toán. Sau khi đã lưu các vectơ vào máy tính, mỗi lần cần tính toán với vectơ nào thì chúng ta sẽ gọi vectơ ấy ra và tính toán với chúng. Cách gọi như sau: Nhấn Shift 5 để vào mode riêng của vectơ. Chúng ta thấy số 3, 4, 5 là tên của các vectơ A, B, C. Cho nên khi cần gọi vectơ nào ra thì chúng ta sẽ nhấn số tương ứng của tên vectơ đó. Ví dụ: chúng ta cần gọi vectơ A ra thì sẽ nhấn Shift 5 rồi chọn số 3.
• 8. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 6/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Màn hình hiển thị: Vậy là vectơ A đã được gọi ra và sẵn sàng để tính toán. Các vectơ B, C cũng tương tự. 3. Phép cộng, trừ các vectơ: Ta có công thức: 1 1( , ) (6,8)u v a a b b     1 1( , ) ( 2, 2)u v a a b b       Thực hiện trên máy: Gọi vectơ A, nhấn +, rồi gọi tiếp vectơ B. Khi đó màn hình hiển thị: Nhấn = để máy tính hiện kết quả: Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 23/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio 2 2 8 6 10AC     2 2 11 2 125 5 5BC      Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Chu vi tam giác ABC : 5 10 5 5 15 5 5P AB AC BC        Ta bấm máy : Kết quả ra 11.830 giống kết quả đã ghi nháp phía trên ! Lưu ý là không ra khỏi mode vectơ vì sẽ làm mất giá trị của các biến vectơ lưu trong máy. Nếu ra cũng được, tuy nhiên nếu tính tiếp thì ta vào vào nhập lại các vectơ này.
• 9. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 22/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Suy ra AB vuông góc với AC Ta lại có : 2 2 ( 3) 4AB      5 Ta tiếp tục kiểm tra độ dài các cạnh xem ngoài vuông ra, tam giác này có cân hay không. Ta nhấn ABS(vectơ A) Suy ra độ dài vectơ AB là 5, và chúng ta ghi kết quả vào phần trình bày bên dưới. Tương tự cho vectơ B và C Ta thấy độ dài vectơ C là số phẩy không tuần hoàn nên ta biết chắc nó sẽ chứa căn. Vì vậy ta ghi 3 chữ số đầu của số này vào nháp (11.180) để lát nữa kiểm tra lại kết quả trong trình bày. Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 7/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Phép – cũng tương tự phép +, chỉ cần thay đổi dấu + thành – là xong. Gọi vectơ A, nhấn -, rồi gọi tiếp vectơ B. Lưu ý: khi màn hình hiển thị kết quả, các bạn sẽ thấy trên màn hình có ghi là vectơ Ans. Điều đó có nghĩa là vectơ kết quả vừa tính sẽ tự động lưu vào biến vectơ Ans. Và biến vectơ này có thể được gọi ra bằng cách nhấn Shift 5 và chọn số 6. Chức năng này giống như chức năng của phím Ans trên máy tính, chỉ khác là biến Ans tự động lưu số vừa tính, còn biến vectơ Ans tự động lưu vectơ vừa tính. 4. Nhân vô hướng 2 vectơ: Theo công thức ta có: 1 1. . . 2.4 3.5 23u v a a b b     Mặt khác, tích vô hướng giữa 2 vectơ là 1 số nên nó sẽ tự động lưu vào biến Ans (chứ không phải biến vectơ Ans). Cách thực hiện trên máy như sau: Gọi vectơ A ra (Shift 5 3)
• 10. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 8/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Nhấn Shift 5, chọn 7 (Dot) Sau đó gọi tiếp vectơ B (Shift 5 4). Màn hình hiển thị: Nhấn =, ra kết quả là 32. Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 21/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio (9 1;8 2) (8;6)AC      (9 ( 2);8 6) (11;2)BC       Ta thấy . 3.8 4.6 0AB AC       Lúc này ta không biết ∆ABC cân tại đâu nên ta sẽ dùng máy tính để kiểm tra nhanh tích vô hướng : Nhập 3 vectơ này vào máy tính tương ứng theo thứ tự A, B, C Tính vectơ A.vectơ B (tương ứng .AB AC   ) : Nhấn = May quá ! Kết quả ra 0 nên ta biết AB vuông góc AC. Nếu kết quả chưa ra 0 thì ta kiểm tra tương tự với các cạnh còn lại
• 11. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 20/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Tọa độ trọng tâm G : Nhấn =, kết quả 7 (1, ) 3 :  Kết hợp máy tính trong trình bày tự luận : Bài 3 : Cho tam giác ABC có (1;2), ( 2;6), (9;8)A B C 1/Tam giác ABC là tam giác gì ? 2/Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. Giải Ta có : ( 2 1;6 2) ( 3;4)AB        Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 9/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio 5. Độ dài của vectơ : Độ dài của vectơ được định nghĩa như sau : 2 2 2 2 2 3 13 3,606u a b       Cách hiển thị trên máy Casio rất trực quan. Các bạn thấy cách ghi độ dài của vectơ giống như là mình ghi trị tuyệt đối của vectơ vậy. Vì thế mình bấm trên máy như sau: Bấm ABS (trị tuyệt đối) Sau đó nhập vectơ A vào : Tương đương với chúng ta nhập u  Sau đó chúng ta nhấn = (Có thể bỏ qua dấu đóng ngoặc cũng được vì Casio sẽ tự đóng ngoặc cho mình)
• 12. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 10/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Lưu ý : Trong mode vectơ, kết quả sẽ được hiển thị dưới dạng một dòng (line) chứ không hiển thị dưới dạng toán học (Math) được. Vì vậy các phép căn cũng sẽ hiển thị dưới dạng số phẩy chứ không hiển thị dạng căn được. Để khắc phục điều này ta làm như sau : Các bạn nhấn tiếp tục dấu -, rồi nhập kết quả tính tay phía trên vào. Sau đó nhấn =, nếu kết quả =0 thì có nghĩa là ta đã tính đúng. Còn nếu kết quả khác 0 thì chúng ta đã làm sai ! Hoặc có cách khác là sau khi bấm Abs(Vct A) =, chúng ta ghi kết quả trên máy tính vào nháp. Sau đó nhấn AC, nhập kết quả tính tay phía trên vào, rồi chuyển sang số phẩy. Nếu số đó giống số trong nháp thì ta đã làm đúng, ngược lại thì đã sai và cần kiểm tra lại . Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 19/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Gọi I(x,y) là trung điểm AB, ta có : 2 0 1 2 (1,2) 0 4 2 2 x I y         Gọi G(xG,yG) là trọng tâm ∆ABC, ta có : 2 0 1 1 73 (1, ) 0 4 3 7 3 3 3 G G x G y           Bấm máy : Nhập tọa độ 3 điểm A,B,C : Tọa độ trung điểm I : Nhấn =, kết quả (1,2) :
• 13. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 18/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio IV. Bài tập ví dụ Bài 1 : Cho         a (1; 2), b (3;4),c (5, 1). Tìm tọa độ vectơ 2u a b c       . Giải Ta có 2 (2.1 3 5;2.( 2) 4 ( 1)) (0;1)u a b c               Bấm máy : Nhấn = ra kết quả : Bài 2 : Cho A(2,0), B(0,4), C(1,3). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. Giải Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 11/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio 6. Góc giữa 2 vectơ : Ta có công thức tính góc giữa 2 vectơ như sau : . cos( , ) u v u v u v        Ta có thể phát biểu bằng lời như sau : Góc giữa 2 vectơ bằng tích vô hướng chia cho tích độ dài của 2 vectơ đó! Chúng ta bấm máy dựa theo cách phát biểu bằng lời này. Tức là bấm tích vô hướng của 2 vectơ sau đó chi cho tích độ dài. Thực hiện trên máy : Chúng ta nhập tích vô hướng của 2 vectơ như đã hướng dẫn trong phần trước : Sau đó chúng ta nhấn dấu chia : Vì tích vô hướng này chia cho một tích nên ta phải đưa tích ở mẫu vào ngoặc.
• 14. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 12/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Chúng ta nhấn dấu mở ngoặc : Sau đó nhập độ dài vectơ A như đã hướng dẫn ở phần trước: Lưu ý: Abs sẽ tự động mở ngoặc cho chúng ta, cho nên sau khi gọi xong vectơ A ra, ta phải đóng ngoặc của Abs lại. Vì tích 2 độ dài là phép nhân 2 số bình thường nên ta nhấn dấu nhân rồi nhập tiếp độ dài vectơ B : Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 17/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính: - Mode vectơ thích hợp cho việc kiểm tra nhanh kết quả. Đối với bài toán lớn, các bước tính vectơ nhỏ nếu thầy cô cho phép bỏ qua thì các bạn bấm máy và ghi kết quả luôn, không cần làm tay. - Máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ vì vậy các bạn phải nắm chắc lý thuyết và phải biết giải thuần thục bằng tay. - Để bấm nhanh, chúng ta nên nhớ thứ tự bước mà không cần phải nhớ chi tiết từng bước. Ví dụ để khai báo vectơ A, ta phải nhớ shift 5 1 1 và chọn 1 nếu 3 chiều, chọn 2 nếu 2 chiều. Lúc đó ta không cần nhớ là phải vào mode vectơ rồi chọn dim, sau đó chọn vectơ A rồi chọn chiều… cách này rất lâu, tuy nhiên chúng ta phải biết các từ này. Các bạn cố gắng tập làm sau mà khi mình chọn chức năng, màn hình hiển thị không kịp thao tác mình bấm, như vậy mới tiết kiệm thời gian. Ví dụ nữa là khi mình lấy vectơ A nhân vô hướng vectơ B thì ta vừa nhẩm vừa bấm : shift 53, shift 57, shift 54. Nếu các bạn biết kỹ thuật đặt tay và lướt tay thì thao tác này chỉ tốn 2s mà thôi! - Khi đang thao tác trên mode vectơ, nếu các bạn chuyển qua mode khác thì dữ liệu vectơ trong máy sẽ bị mất và phải nhập lại.
• 15. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 16/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Hoặc chúng ta có thể bấm đơn giản hơn là: Bỏ qua dấu X giữa 2 vectơ luôn, lúc này máy tính sẽ hiểu ngầm là có dấu nhân có hướng ở giữa. Nhấn =, kết quả hiển thị: Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 13/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Chúng ta nhấn = mà không cần đóng ngoặc cũng được, vì Casio sẽ tự đóng giúp chúng ta. Kết quả hiển thị : 0.99624 Tuy nhiên đây là giá trị của Cos, muốn tìm giá trị của góc thì ta phải lấy arccos (hay gọi là lấy cos ngược). Chúng ta nhấn tiếp : Shift Cos, nhập vào Ans : Nhấn = : Kết quả là 4.97 độ. Lưu ý : Phải xem kỹ đơn vị khi thao tác với góc (độ, radian…)
• 16. phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 14/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio II. Vectơ 3 chiều 7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy: Gọi ( , , )u a b c và 1 1 1(a , , )v b c là 2 vectơ tùy ý trong không gian 3 chiều. Ví dụ: (1, 2,3)u  và (4,5,6)v  Tương tự như vectơ 2 chiều, chúng ta nhập 2 vectơ này vào máy bằng cách: Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR) Có 3 vectơ cho chúng ta lựa chọn Tại bước chọn số chiều của vectơ, chúng ta sẽ nhấn 1 để chọn số chiều là 3. Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Trang 15/28 phuongphaphoctap.netTính vectơ duøng Casio Sau đó nhập vectơ u vào: Các phép tính vectơ 3 chiều hoàn toàn tương tự như vectơ 2 chiều. Nên các bạn chỉ cần xem cách làm đối với vectơ 2 chiều rồi dễ dàng suy ra cách làm đối với vectơ 3 chiều. Tuy nhiên vectơ 3 chiều có thêm 1 điểm khác mà vectơ 2 chiều không có, đó chính là: Tích có hướng. 8. Tích có hướng Nếu tích vô hướng của 2 vectơ trong Casio là dot (.) thì tích có hướng chính là dấu nhân (X) trên bàn phím. Sau khi nhập xong 2 vectơ, để tính tích có hướng của 2 vectơ, ta bấm: Nhấn =, kết quả là (-3;6;-3) :