ĐÁP ÁN BÀI TẬP TÍCH PHÂN MẶTIích phân mặt loại 1 Show
Câu 1: Tính ∫∫ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆𝑆 với S là mặt 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 − 4 = 0 giới hạn trong mặt trụ 2𝑥2 + 3𝑦2 \= 6.𝑧 =−𝑥+2𝑦+ 3 →{𝑧𝑥 ′ \= −1 3 𝑧𝑦 ′ \=2 3 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 02𝑥2 + 3𝑦2 ≤ 6𝐼𝑆 \=∫∫𝑥𝑦 3 (−𝑥 + 2𝑦 + 4)√1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦\=√ 14 9 ∫∫(−𝑥2 𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 4 𝑥𝑦)𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦\= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔) Câu 2: Tính ∫∫ 𝑥𝑦𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑏𝑖ê𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑣ậ𝑡 𝑡ℎể 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑏ở𝑖 𝑧 =√𝑥 2 + 𝑦2 𝑆 , 𝑧 =1, 𝑥 ≥ 0𝑧 =√𝑥2 + 𝑦2 → {𝑧𝑥 ′ \=𝑥 √𝑥 2 +𝑦 2 𝑧𝑦 ′ \=𝑦 √ 𝑥 2 +𝑦 2 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷: { 𝑧 = 0, 𝑥 ≥ 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1𝐼𝑆 \=∫∫𝑥𝑦𝐷 √1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦\=√ 2∫∫𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑦 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑥) Câu 3: Tính ∫∫ 𝑥𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑡𝑟ụ 𝑥 2 + 𝑦2 \= 4 𝑛ằ𝑚 𝑔𝑖ữ𝑎 ℎ𝑎𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑧 = 𝑆 0 𝑣à 𝑧 = 6 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4𝐼𝑆 \=∫∫𝑥𝐷 √1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦\=∫∫𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑥 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑦) Câu 4: Tính ∫∫ 𝑦𝑥2 𝑑𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑛ó𝑛 𝑦 =√𝑥 2 + 𝑧2 𝑆 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑦 =√𝑥2 + 𝑧2 → {𝑦𝑥 ′ \=𝑥 √ 𝑥 2 +𝑧 2 𝑦𝑧 ′ \=𝑧 √𝑥 2 +𝑧 2 Hình chiếu của S lên Oxz là 𝐷:{ 𝑦 = 01 ≤ 𝑥2 + 𝑧2 ≤ 4𝐼𝑆 \=∫∫𝑥2 𝐷 √𝑥2 + 𝑧2 √1 + 𝑦𝑥 ′ 2 + 𝑦𝑧 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑧\=√ 2∫∫𝑥2 𝐷 √𝑥2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑧\=√ 2∫cos 2 𝜑2𝜋 0 𝑑𝜑∫𝑟4 𝑑𝑟2 1 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) \=31𝜋 √ 2 5 Câu 5: Tính ∫∫ √1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑆𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 2𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦2 , 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1𝑧 =𝑥 2 +𝑦 2 2 → {𝑧𝑥 ′ \= 𝑥𝑧𝑦 ′ \= 𝑦Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 00 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1𝐼𝑆 \=∫∫√1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝐷 √1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦\=∫∫(1 + 𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=∫𝑑𝑥1 0 ∫(1 + 𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝑦1 0 \=∫(1 + 𝑥2 +1 3 )𝑑𝑥1 0 \=5 3 𝑧 = 4𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2 → {𝑧𝑥 ′ \= 4 − 2𝑥𝑧𝑦 ′ \= −2𝑦Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 ≤ 4𝐼𝑆 \=∫∫√1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=∫∫√1 + 4(𝑥 − 2)2 + 4𝑦2 𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦\=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑟√1 + 4𝑟2 𝑑𝑟2 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) \= 2𝜋∫1 8 √1 + 4𝑟2 𝑑(1 + 4𝑟2 )2 0 \=𝜋 6 ( 17√17 − 1) (đ𝑣𝑑𝑡) Câu 9: Tính diện tích mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧2 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑥 = 𝑦2 + 𝑧2 → {𝑥𝑦 ′ \= 2𝑦𝑥𝑧 ′ \= 2𝑧Hình chiếu của S lên Oyz là 𝐷:{ 𝑥 = 0𝑧2 + 𝑦2 ≤ 1𝐼𝑆 \=∫∫√1 + 𝑥𝑦 ′ 2 + 𝑥𝑧 ′ 2 𝑑𝑦𝑑𝑧𝐷 \=∫∫√1 + 4𝑦2 + 4𝑧2 𝐷 𝑑𝑦𝑑𝑧\=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑟√1 + 4𝑟2 𝑑𝑟1 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) \= 2𝜋∫1 8 √1 + 4𝑟2 𝑑(1 + 4𝑟2 )1 0 \=𝜋 6 ( 5√5 − 1) (đ𝑣𝑑𝑡) Câu 10: Tính diện tích mặt S: 𝑧 = 2 +√𝑥 2 + 𝑦2 , 𝑧 ≤ 3𝑧 = 2 +√𝑥2 + 𝑦2 → {𝑧𝑥 ′ \=𝑥 √𝑥 2 +𝑦 2 𝑧𝑦 ′ \=𝑦 √ 𝑥 2 +𝑦 2 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1(ℎì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1) 𝐼𝑆 \=∫∫√1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=√2∫∫𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=√2 𝑆𝐷 \= 𝜋√2Câu 11: Tính ∫∫ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦 → {𝑧𝑥 ′ \= −𝑧𝑦 ′ \= −Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥 + 𝑦 ≤ 1; 𝑥, 𝑦 ≥ 0𝐼𝑆 \=∫∫ 𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)√1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=√3∫∫(𝑥𝑦 − 𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=√ 3∫𝑑𝑥1 0 ∫(𝑥𝑦 − 𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦2 )𝑑𝑦1−𝑥 0 \=√ 3∫[(𝑥 − 𝑥2 )(1−𝑥) 2 2 − 𝑥(1−𝑥) 3 3 ] 𝑑𝑥1 0 \=√ 3 120 Câu 12: Tính ∫∫ |𝑥𝑦𝑧|𝑑𝑆𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦2 𝑏ị 𝑐ắ𝑡 𝑏ở𝑖 𝑚ặ𝑡 𝑧 = 1 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 → {𝑧𝑥 ′ \= 2𝑥𝑧𝑦 ′ \= 2𝑦Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1𝐼𝑆 \=∫∫|𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2 )|√1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=∫∫ |𝑥𝑦|(𝑥2 + 𝑦2 )𝐷 √1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦\= 4∫∫|𝑟2 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑|𝑟2 √1 + 4𝑟2 𝐷 ′ . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 (𝐷′ : {0 ≤ 𝜑 ≤𝜋 2 0 ≤ 𝑟 ≤ 1)\= 8∫𝑠𝑖𝑛2𝜑 2 𝑑𝜑𝜋 2 0 ∫1 8 𝑟4 √1 + 4𝑟2 1 0 𝑑(1 + 4𝑟2 )\=1 2 ∫(1+4𝑟 2 − 4 )1 0 2 √1 + 4𝑟2 𝑑(1 + 4𝑟2 )\=√2∫∫𝑥√𝑥2 + 𝑦2 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 ( 𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑦 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑥) \=√2∫∫𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜑(Đ𝑏 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐 𝐷 ′ : {0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑐𝑜𝑠𝜑−𝜋 2 ≤ 𝜑 ≤𝜋 2 )𝐷 ′ \=√ 2∫𝑑𝜑𝜋 2 − 𝜋 2 ∫𝑟3 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜑 0 \=√ 2 4 ∫(2𝑐𝑜𝑠𝜑)4 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝜑𝜋 2 − 𝜋 2 \= 8√2∫cos 5 𝜑𝑑𝜑𝜋 2 0 \= 8√ 24!! 5!! (𝑇í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑊𝑎𝑙𝑙𝑖𝑠) \=64 √ 2 15 II. Tích phân mặt loại 2 Câu 15: Tính ∫∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là nửa mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 \= 1 nằm trên Oxy, mặt S hướng lên trên. (𝑛⃗𝑆 , 𝑂𝑧)≤𝜋 2 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1(𝐻ì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1) → 𝐼𝑆 \= +∫∫1𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆𝐷 𝐷 \= 𝜋Câu 16: Tính ∫∫ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là phía ngoài mặt 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 \= 1,𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0∗ 𝐼1 \=∫∫𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧𝑆 𝑦 = √1 − 𝑥2 − 𝑧2 ,(𝑛⃗𝑆 , 𝑂𝑦)≤𝜋 2 Hình chiếu của S lên Oxz là 𝐷:{ 𝑦 = 0𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0→ 𝐼1 \= +∫∫√1 − 𝑥2 − 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑧𝐷 \=∫𝑑𝜑∫𝑟√1 − 𝑟2 𝑑𝑟1 0 𝜋 2 0 \=𝜋 6 ∗ 𝐼2 \=∫∫𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 𝑧 =√1 − 𝑥2 − 𝑦2 ,(𝑛⃗𝑆 , 𝑂𝑧)≤𝜋 2 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷 ′ :{𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0→ 𝐼2 \= +∫∫(1 − 𝑥2 − 𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 ′ \=∫𝑑𝜑𝜋 2 0 ∫𝑟(1 − 𝑟2 )𝑑𝑟1 0 \=𝜋 8 𝑉ậ𝑦 𝐼 𝑆 \= 𝐼1 + 𝐼2 \=𝜋 6 +𝜋 8 \=7𝜋 24 Câu 17: Tính ∫∫ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là phần ngoài của mặt 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 \= 1,𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0𝑧 =√1 − 𝑥2 − 𝑦2 ,(𝑛⃗𝑆 , 𝑂𝑧)≤𝜋 2 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1𝐼𝑆 \= +∫∫𝑥𝑦√1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \= 0 (ℎà𝑚 𝑙ẻ đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑥 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑂𝑦) Câu 18: Tính ∫∫ 𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là mặt ngoài của 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 \= 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0𝐼𝑆 \= 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑐ó 𝑣𝑎𝑖 𝑡𝑟ò 𝑛ℎư 𝑛ℎ𝑎𝑢 → 𝐼 = 3𝐼 1 𝑥 =√1 − 𝑦2 − 𝑧2 ,(𝑛⃗𝑆 , 𝑂𝑥)≤𝜋 2 Hình chiếu của S lên Oyz là 𝐷:{ 𝑥 = 0𝑧2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0→ 𝐼𝑆 \= 3. +∫∫(1 − 𝑦2 − 𝑧2 )𝑑𝑦𝑑𝑧𝐷 \= 3∫𝑑𝜑𝜋 2 0 ∫𝑟(1 − 𝑟2 )𝑑𝑟1 0 \=3𝜋 8 Câu 19: Tính ∫∫ 𝑧(𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là mặt ngoài của nửa cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 \= 1, 𝑧 ≥ 0𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾: { 𝑦 = 00 ≤ 𝑧 ≤ 2−√𝑧≤ 𝑥 ≤√𝑧, ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ 𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑦. Hình chiếu của K lên Oxz là 𝐾 → 𝐼𝐾 \= −∫∫ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 = −∫ 𝑑𝑧∫ 𝑥𝑑𝑥√ 𝑧 − √ 𝑧 2 𝐾 0 \= 0𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: { 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2𝑦 ≥ 0𝑃 = 0, 𝑄 = 𝑥, 𝑅 = 𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S U K hướng ra ngoài → 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫𝑑𝜑𝜋 0 ∫𝑑𝑟√ 2 0 ∫2𝑧𝑟𝑑𝑧2 𝑟 2 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) \= 𝜋∫𝑟(4 − 𝑟4 )𝑑𝑟√ 2 0 \=8𝜋 3 → 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \=8𝜋 3 Câu 23: Tính ∫∫ 𝑥𝑧2 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆 + 4𝑦𝑥2 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 9𝑧𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là mặt elipsoid 4𝑥2 + 9𝑦2 + 𝑧2 \= 1, ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: 4𝑥 2 + 9𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1𝑃 = 𝑥𝑧2 , 𝑄 = 4𝑦𝑥2 , 𝑅 = 9𝑧𝑦2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼𝑆 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫(𝑧2 + 4𝑥2 + 9𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝜋 0 ∫𝑟4 𝑑𝑟1 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ầ𝑢) \=4𝜋 5 Câu 24: Tính ∫∫ 2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là phần 𝑧 =√𝑥 2 + 𝑦2 nằm dưới mặt 𝑧 = 1, hướng xuống dưới Chọn mặt 𝐾:{ 𝑧 = 1𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1ℎướ 𝑛𝑔 𝑡ℎ 𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧 Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1(ℎì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1) → 𝐼𝐾 \= +∫∫𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \= 𝜋𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: {√𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1𝑃 = 2𝑥, 𝑄 = 𝑦, 𝑅 = 𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛 𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫(3 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑑𝑟∫𝑟(3 + 2𝑧)𝑑𝑧1 𝑟 1 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) \= 2𝜋∫(4𝑟 − 3𝑟2 − 𝑟3 )𝑑𝑟1 0 \=3𝜋 2 → 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \=3𝜋 2 − 𝜋 =𝜋 2 Câu 25: Tính ∫∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆 +(𝑥 + 𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑧 +(4𝑥 + 𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 với mặt kín S là biên của miền V: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: { 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 𝑦𝑃 = 2𝑥𝑦, 𝑄 = 𝑥 + 𝑦2 , 𝑅 = 4𝑥 + 𝑦2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼𝑆 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫4𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫ 𝑑𝑥1 0 ∫ 𝑑𝑦1−𝑥 0 ∫ 4𝑦𝑑𝑧1−𝑥−𝑦 0 \= −𝜋∫(3 − 1 + 𝑟2 )√1 − 𝑟2 𝑑(1 − 𝑟2 )1 0 \= 𝜋∫(3 − 𝑡)√𝑡1 0 𝑑𝑡 =8𝜋 5 → 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \=8𝜋 5 Câu 28: Tính ∫∫ 𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆 + 𝑦3 𝑑𝑧𝑑𝑥 với S là mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 \= 1 hướng ra ngoài. S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1𝑃 = 𝑥2 , 𝑄 = 𝑦3 , 𝑅 = 0 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼𝑆 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫(2𝑥 + 3𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \= 3∫∫∫𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 ) \= 3∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫cos 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝜋 2 0 ∫𝑟4 𝑑𝑟1 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ầ𝑢) \=2𝜋 5 Câu 29: Tính ∫∫ 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là mặt 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 hướng lên trên. 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 →{𝑧𝑥 ′ \= 2𝑥𝑧𝑦 ′ \= 2𝑦,(𝑛𝑆 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑧)≤𝜋 2 Hình chiếu của S lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 00 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2→ 𝐼𝑆 \= +∫∫𝑦(𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=∫ 𝑑𝑥1 0 ∫ 𝑦(𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝑦2 0 \=14 3 Câu 30: Tính ∫∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆
2 − 𝑦2 + 𝑧2 \= 0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1,hướng theo chiều âm trục Oy. Chọn mặt 𝐾:{ 𝑦 = 1𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1, ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ 𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑦 Hình chiếu của K lên Oxz là 𝐷:{ 𝑦 = 0𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1→ 𝐼𝐾 \= +∫∫2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧𝐷 \= 0 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑧 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 𝐷 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑧 = 0) 𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: {√ 𝑥2 + 𝑧2 ≤ 𝑦 ≤ 1𝑃 = 𝑥𝑦, 𝑄 = 2𝑦𝑧, 𝑅 = 0 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫(𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑧,𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑧 = 0) \=∫ 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫ 𝑑𝑟1 0 ∫ 𝑦𝑟𝑑𝑦1 𝑟 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) \= 2𝜋∫ (𝑟 2 −𝑟 3 2 )𝑑𝑟1 0 \=𝜋 4 → 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \=𝜋 4 Câu 31: Tính ∫∫ (𝑥3 + 2 𝑦𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆 +(3𝑥2 𝑦 + 𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (6𝑦2 𝑧 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 trong đó S là mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦2 với 𝑧 ≤ 1 hướng xuống dưới. Chọn mặt 𝐾:{ 𝑧 = 1𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ 𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧 Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1→ 𝐼𝐾 \= +∫∫ 𝑥𝑦 + 6𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=∫∫6𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑦 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑦 = 0) 𝐷 \=∫sin 2 𝜑 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫6𝑟3 𝑑𝑟1 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) \=3𝜋 2 𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾:{ 𝑧 = −𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ 𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧 Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1(𝐻ì𝑛ℎ 𝑡𝑟ò𝑛 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 1) → 𝐼𝐾 \= −∫∫−1𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \= 𝜋𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: −1 ≤ 𝑧 ≤ −√𝑥 2 + 𝑦2 𝑃 = 𝑥, 𝑄 = 0, 𝑅 = 𝑧 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧\= 2∫∫∫𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \= 2∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑑𝑟1 0 ∫𝑟𝑑𝑧−𝑟 − (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) \= 4𝜋∫ 𝑟(−𝑟 + 1)𝑑𝑟1 0 \=2𝜋 3 → 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \=2𝜋 3 − 𝜋 = −𝜋 3 Câu 34: Tính ∫∫𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑥 3 𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑦3 + 𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥𝑆 với S là mặt dưới của mặt 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2 , 𝑧 ≤ 8 khi nhìn từ 1 điểm trên chiều dương Oz cách xa gốc tọa độ 𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾:{ 𝑧 = 8𝑥2 + 2𝑦2 ≤ 8, ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ 𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 â𝑚 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧 Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 2𝑦2 ≤ 8→ 𝐼𝐾 \= −∫∫𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \= 0 ( 𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑥 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑥 = 0) 𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: 𝑥 2 + 2𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 8𝑃 = 𝑥3 , 𝑄 = 𝑦3
𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑣à𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 → 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= −∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧\= −∫∫∫(𝑥2 + 𝑦2 )𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛: { 𝑥 = 2√2 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑧 = 𝑧→|𝐽|\= 4√ 2 𝑟 → 𝑉′ : {0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋8𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 80 ≤ 𝑟 ≤ 1→ 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= −∫∫∫(8𝑟2 cos 2 𝜑 + 4𝑟2 sin 2 𝜑). 4√2 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧𝑉 ′ \= − 12√ 2∫∫∫(4𝑟2 𝑉 + 4𝑟2 cos 2 𝜑)𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧\= − 48√ 2∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑑𝑟1 0 ∫(𝑟2 + 𝑟2 cos 2 𝜑) 𝑑𝑧8 8𝑟 2 \= − 48√ 2 ∫ 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫ 𝑟2 (1 + cos 2 𝜑)(8 − 8𝑟2 )𝑑𝑟1 0 \= − 48√ 2 ∫ (1 + cos 2 𝜑 ) 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫ 𝑟2 (8 − 8𝑟2 )𝑑𝑟1 0 \= − 48√2. 3𝜋.16 15 \= −768𝜋 √ 2 5 → 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \= −768𝜋 √ 2 5 Câu 35: Cho O(0,0,0); A(1,0,0); B(0,1,0); C(0,0,1). Tính ∫∫ 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥 +𝑆 𝑧𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 với S là mặt ngoài của tứ diện OABC. S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉: { 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 𝑦𝑃 = 𝑥𝑦, 𝑄 =𝑦𝑧, 𝑅 =𝑧𝑥 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài → 𝐼𝑆 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫∫∫(𝑦 + 𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \=∫ 𝑑𝑥1 0 ∫ 𝑑𝑦1−𝑥 0 ∫ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧1−𝑥−𝑦 0 \=∫𝑑𝑥1 0 ∫ [(𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑥 − 𝑦)+(1−𝑥−𝑦) 2 2 ]𝑑𝑦1−𝑥 0 \=∫ 𝑑𝑥1 0 ∫ [(𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑥 − 𝑦)+(1−𝑥−𝑦) 2 2 ]𝑑(𝑦 + 𝑥)1−𝑥 0 \=∫ 𝑑𝑥1 0 ∫ [𝑡(1 − 𝑡)+(1−𝑡) 2 2 ]𝑑𝑡1 𝑥 𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: − √16−𝑥 2 −𝑦 2 2 ≤ 𝑧 ≤ 0𝑃 = 2𝑥 +𝑥𝑦, 𝑄 = 𝑦 + 2𝑥𝑧, 𝑅 = 1 + 6𝑧 + 𝑧2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑣à𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 → 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= −∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧\= −∫∫∫(2 + 𝑦 + 1 + 6 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \= −∫∫∫(𝑦 + 9 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 \= −∫∫∫(9 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 (𝐻à𝑚 𝑙ẻ 𝑣à 𝑚𝑖ề𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔) \= −∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑑𝑟4 0 ∫(9 + 2𝑧). 𝑟𝑑𝑧0 − √ 16−𝑟 2 2 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) \= −2𝜋∫[9𝑟√16−𝑟 2 2 − 𝑟(16−𝑟 2 2 )]𝑑𝑟4 0 \= 2𝜋∫9 √16−𝑟 2 2 4 0 𝑑(16−𝑟 2 2 )+ 2𝜋∫𝑟(16−𝑟 2 2 )𝑑𝑟4 0 \= − 192𝜋√2 + 64𝜋→ 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \= ( 80 − 192√2 )𝜋Câu 38: Tính ∫∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 3𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là mặt ngoài của 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 , 𝑧 ≤ 4𝐶ℎọ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝐾:{ 𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4, ℎướ𝑛𝑔 𝑡ℎ 𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ𝑐 𝑂𝑧 Hình chiếu của K lên Oxy là 𝐷:{ 𝑧 = 0𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4→ 𝐼𝐾 \= +∫∫4. 𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 \=∫cos 2 𝜑 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫4𝑟3 𝑑𝑟1 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑐ự𝑐) \= 𝜋𝑆 𝑈 𝐾 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑔 𝑘í𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉: 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4𝑃 = 𝑥, 𝑄 = 3𝑦, 𝑅 = 𝑧𝑥2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 𝑆 𝑈 𝐾 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 → 𝐼𝑆𝑈𝐾 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧\=∫∫∫(4 + 𝑥2 )𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧\=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑑𝑟2 0 ∫(4 + 𝑟2 cos 2 𝜑). 𝑟𝑑𝑧 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) 4 𝑟 2 \=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫(4 + 𝑟2 cos 2 𝜑). 𝑟(4 − 𝑟2 )𝑑𝑟2 0 \=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫4𝑟(4 − 𝑟2 )𝑑𝑟 +2 0 ∫cos 2 𝜑 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑟2 . 𝑟(4 − 𝑟2 )𝑑𝑟2 0 \= 2𝜋.16 + 𝜋.. 3 \=112𝜋 3 → 𝐼𝑆 \= 𝐼𝑆𝑈𝐾 − 𝐼𝐾 \=112𝜋 3 − 𝜋 =109𝜋 3 Câu 39: Tính ∫∫ 3𝑥𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑦3 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 với S là biên của miền được giới hạn bởi 𝑧 = 5 − 2𝑥 2 − 2𝑦2 , 𝑥2 + 𝑦2 \= 1 𝑣à 𝑧 = 0, hướng ra ngoài S là mặt cong kín giới hạn miền 𝑉:{ 0 ≤ 𝑧 ≤ 5 − 2𝑥2 − 2𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1𝑃 = 3𝑥𝑦2 , 𝑄 = −𝑦3 , 𝑅 = 𝑧𝑥2 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑉 S hướng ra ngoài. → 𝐼𝑆 \= +∫∫∫(𝑃𝑥 ′ + 𝑄𝑦 ′ + 𝑅𝑧 ′ )𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧\=∫∫∫𝑥2 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧\=∫𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑑𝑟1 0 ∫𝑟3 cos 2 𝜑 𝑑𝑧5−2𝑟 2 0 (Đổ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ọ𝑎 độ 𝑡𝑟ụ) \=∫cos 2 𝜑 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫𝑟3 (5 − 2𝑟2 )𝑑𝑟1 0 \=11𝜋 12 Câu 40: Tính ∫∫ 1 √1+4𝑥 2 +4𝑦 2 (−2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 2𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦)𝑆 với S là mặt |
