Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm hai đường phân giác của hai góc ngoài của tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của góc trong và một trong hai đường phân giác của góc ngoài không kề với nó. Show Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé! Ví dụ:Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng các tiếp điểm trên cạnh BC của đường tròn bàng tiếp góc A và của đường tròn nội tiếp đối xứng với nhau qua trung điểm của BC. Giải: Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp, O là tâm của đường tròn bàng tiếp góc A, D là tiếp điểm của (I) trên BC. Gọi P, F, Q là tiếp điểm của (O) với các đường thẳng AB, BC, AC. Đặt BC = a; AC = b; AB = c. Theo tính chất các tiếp tuyến của đường tròn (O): CF = CQ = AQ – AC (1) AP + AQ = 2AQ = chu vi ABC (2) Từ 1 và 2 suy ra: 2CF = 2QA – 2AC = (a + b + c) – 2b = a + c – b (3) Theo tính chất các tiếp tuyến của đường tròn (I) ta có 2BD = a + c – b (4) Từ 3 và 4 suy ra CF = BD. Vậy D và F đối xứng với nhau qua trung điểm của BC. Bài tập tự luyện:Bài 1: Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác ABC; ha; hb; hc là các đường cao tương ứng; Ra; Rb; Rc là bán kính của các đường tròn bàng tiếp tương ứng; r là bán kính của đường tròn nội tiếp; p là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng: S = Ra(p – a) = Rb(p – b) = Rc(p – c); 1/r = 1/Ra + 1/Rb + 1/Rc; 1/Ra = 1/hc + 1/hb – 1/ha; Bài 2: Tính cạnh huyền của một tam giác vuông, biết r là bán kính của đường tròn nội tiếp và R là bán kính của đường tròn bàng tiếp góc vuông. Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi (P), (Q), (R) theo thứ tự là các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C. 1. Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đó gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. 2. Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. Quảng cáo 3. Bất cứ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. Trong đa giác đều tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
Bài 1: Nêu cách vẽ tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước. Tính cạnh của tam giác ABC theo R. Hướng dẫn giải Cách vẽ: Trên đường tròn (O; R) cho trước đặt liên tiếp các điểm A, M, B, N, C, P sao cho . Nối AB, BC, CA ta được tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). Quảng cáo Thật vậy: \=> AB = BC = CA Do đó tam giác ABC đều. * Tính cạnh của tam giác ABC theo R. Vì ΔABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là trực tâm và trọng tâm của ΔABC Nối AO cắt BC tại H ta có: OA = 2/3AH Mà OA = R => AH = 3/2 R Xét ΔABH vuông tại H nên: AB2 = AH2 + BH2 ⇔ AB2 = 3R2 ⇔ AB = √3 R Vậy cạnh của ΔABC là AB = BC = CA = √3R . Bài 2: Cho đa giác đều n cạnh A1A2..An có O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó và a là độ dài cạnh đa giác. Tính bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp đa giác đó theo a và n. Hướng dẫn giải Vì A1A2..An là đa giác đều và O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác nên O cũng là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đó. Nối OA1, OA2 và kẻ OH ⊥ A1A2 . Xét ΔOA1H vuông tại H có: Lại có: OH = r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác và OH = A1H. cotg ∠A1OH = a/2 cotg (180o/n) Bài 3: Chứng minh rằng với mọi đa giác đều có cùng số cạnh thì tỉ số giữa chu vi đa giác với đường kính của đường tròn ngoại tiếp không phụ thuộc độ dài của đường kính. Quảng cáo Hướng dẫn giải Xét hai đa giác đều cạnh: A1A2..An có độ dài cạnh là a và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R1 Đa giác đều B1B2..Bn có độ dài cạnh là b và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R2 Theo ví dụ 2 ta có: \=> Chu vi đa giác A1A2..An là: p1 = n.a = 2R1.n.sin (180o/n) Do đó p1 /2R1 = n.sin (180o/n) = p2 / 2R2 Vậy tỉ số giữa chu vi và độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp một đa giác đều không phụ thuộc vào độ dài đường kính. Bài 4: Trên đường tròn (O; R) lần lượt đặt theo cùng một chiều kẻ từ điểm A, cung AB = 45o , cung BC = 90o , cung CD = 45o .
Hướng dẫn giải
\=> A, O, D thẳng hàng. Vì Sđ BC = 90o suy ra ΔBOC vuông cân ở O nên: ∠OBC = 45o => ∠OBC = ∠BOA Mà hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra BC // AD (1) Lại có: Sđ BD = Sđ AC = 90o + 45o = 135o (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Quảng cáo
\=> BC = √2R Gọi I là điểm chính giữa của cung BC , nối AI cắt OB tại H. Dễ thấy ΔAHO vuông cân tại H, có OA = R => AH = R√2/2 = HO Do đó: BH = OB - OH = R - R√2/2 . Xét ΔABH vuông tại H nên: AB2 = AH2 + BH2 Vậy chu vi hình thang ABCD là: Dễ thấy: SΔABO = SΔCDO = R2√2 /4 SΔCBO = R2/2 Do đó diện tích của hình thang ABCD là: Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Săn SALE shopee tháng 12:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
