Hình tròn là một hình học cơ bản với nhiều đặc điểm độc đáo. Bài viết này chúng ta sẽ cùng MATHX tìm hiểu hình tròn, tâm đường kính, bán kính hình tròn và một số bài tập vận dụng. Show
ÔN TẬP LÝ THUYẾT CẦN NHỚHình tròn, tâm, đường kính, bán kínhGiới thiệu về hình trònHình tròn là hình bao gồm các điểm nằm bên trong và bên trên đường tròn. Hình tròn là một hình học có dạng đặc biệt, được định nghĩa là tập hợp của tất cả các điểm nằm cách một điểm cố định, gọi là tâm, cùng một khoảng cách không đổi, gọi là bán kính. Mọi điểm trên đường viền của hình tròn đều có khoảng cách bằng nhau đến tâm. Hình tròn không có cạnh hay góc, chỉ gồm các điểm nằm trên đường viền và điểm tâm. Tâm của hình tròn là điểm trung tâm, nơi tất cả các bán kính của hình tròn gặp nhau. Các đặc tính của hình tròn làm cho nó được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý, kỹ thuật và các ứng dụng thực tế, nhờ vào tính chất đối xứng và đều đặn của nó. Bán kính, đường kính, và tâm là những yếu tố quan trọng khi nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến hình tròn.
Tính chất của hình trònHình tròn là một hình học có nhiều tính chất đặc biệt và quan trọng trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Tính chất đặc biệt của hình tròn giúp chúng ta hiểu rõ cấu trúc và tính chất của nó, từ đó áp dụng vào giải các bài toán và ứng dụng thực tế.
Hình tròn bên có:
Vẽ hình trònDùng compa để vẽ hình tròn: Cách vẽ hình tròn bằng compa đơn giản nhất
BÀI TẬP VẬN DỤNG VỀ HÌNH TRÒN\>>> Tham khảo thêm: TOÁN NÂNG CAO LỚP 5 - DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN 1. Cho hình tròn dưới đây. Điền vào chỗ chấm: a, Tâm của hình tròn đã cho là:… b, Các bán kính của hình tròn đã cho là:… c, Các đường kính của hình tròn đã cho là:… Giải: a, Tâm của hình tròn đã cho là: O a, Tâm của hình tròn đã cho là: OA, OB, OC, OD, OM, OQ, OP c, Các đường kính của hình tròn đã cho là: BC, PQ 2. Cho hình tròn tâm O, đường kính AB = 10cm. Hãy tính: a, Độ dài bán kính OA b, Độ dài bán kính OB Giải: Áp dụng công thức: bán kính = đường kính : 2 ta tính được: a, OA = AB : 2 = 10 : 2 = 5cm b, OB = AB : 2 = 10 : 2 = 5cm 3. Cho hình dưới đây: Biết bán kính OM = 25cm. Tính chu vi và diện tích hình vuông ABCD Giải: Theo hình vẽ ta có: OA = OB = OM = 25 (cm) (vì cùng là bán kính đường tròn tâm O) Từ đó ta tính được độ dài đoạn thẳng AB và cũng là một cạnh của hình vuông ABCD AB = OA + OB = 25 + 25 = 50 (cm) Chu vi hình vuông ABCD = AB x 4 = 50 x 4 = 200 (cm) Diện tích hình vuông ABCD = AB x AB = 50 x 50 = 2500 (cm2) 4. Bán kính Trái đất là 6370km. Xác định bán kính Mặt trăng, biết rằng nó là một trong các số 1200km, 1740km, 2100km và bán kính Trái đất gấp khoảng 4 lần bán kính Mặt trăng. Giải: Theo dữ kiện đề bài ta có bán kính trái đất gấp khoảng 4 lần bán kính mặt trăng Suy ra: bán kính mặt trăng sẽ khoảng = bán kính trái đất : 4 = 6370 : 4 = 1592 (dư 2) (km) Trong các số 1200, 1740, 2100 thì số 1740 gần với số 1592 nhất. Vậy bán kính Mặt Trăng là 1740km Học sinh học thêm các bài giảng tuần 22 trong mục Học tốt toán hàng tuần trên mathx.vn để hiểu bài tốt hơn. Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn. Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R) Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi "đường tròn" ranh giới của hình, "hình tròn" bao gồm cả ranh giới và phần bên trong. Một đường tròn (đen) với chu vi (C), đường kính (D, xanh lam), bán kính (R, đỏ) và tâm (O, xanh lục)Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương. Một số thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]Sự xác định đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó, hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của nó. Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta có thể vẽ được một và chỉ một đường tròn. Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]Trong hình học phẳng, đường tròn và hình tròn là hai khái niệm khác nhau. Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trong và nằm trên đường tròn hay tập hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Đường tròn không có diện tích như hình tròn. Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]Chiếc com-pa trong bản thảo viết tay từ thế kỉ 13 là biểu tượng của Đấng tạo hóa. Đồng thời vòng hào quang cũng có dạng tròn.Từ circle có nguồn gốc từ tiếng Hy Lap κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), nghĩa là "vòng" hay "nhẫn". Một mảnh lụa Mông Cổ hình trònĐường tròn trong những bản vẽ thiên văn Ả Rập cổ.Đường tròn đã được biết đến từ trước khi lịch sử ghi nhận được. Những hình tròn trong tự nhiên hẳn đã được quan sát, ví dụ như Mặt Trăng, Mặt Trời... Đường tròn là nền tảng để phát triển bánh xe, mà cùng với những phát minh tương tự như bánh răng, là thành phần quan trọng trong máy móc hiện đại. Trong toán học, việc nghiên cứu đường tròn đã dẫn đến sự phát triển của hình học, thiên văn học và vi tích phân. Khoa học sơ khai, đặc biệt là hình học, thiên văn học và chiêm tinh học, thường được nhiều học giả thời trung cổ kết nối với thánh thần, và nhiều người tin rằng có gì đó "thiêng liêng" và "hoàn hảo" ở hình tròn. Một số dấu mốc trong lịch sử đường tròn:
Đặc điểm[sửa | sửa mã nguồn]Độ dài đường tròn (chu vi hình tròn)[sửa | sửa mã nguồn]Tỉ số của độ dài đường tròn với đường kính của nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 3.141592654, vậy chu vi của hình tròn (còn được gọi là viên chu), là độ dài của đường tròn, bằng tích của pi với đường kính hoặc 2 lần pi nhân với bán kính. Công thức:
Diện tích bao kín[sửa | sửa mã nguồn]Trong bản luận "Sự đo đạc của một hình tròn" của Archimedes, diện tích hình tròn A bằng diện tích của tam giác có cạnh đáy bằng chu vi đường tròn và đường cao bằng bán kính hình tròn, tức A bằng π nhân cho bình phương bán kính:
Tương tự, ký hiệu đường kính là d,
tức khoảng 79% diện tích hình vuông ngoại tiếp đường tròn (với độ dài cạnh là d). Đường tròn cũng là hình phẳng bao kín nhiều diện tích nhất với chu vi cho trước. Phương trình[sửa | sửa mã nguồn]Hệ tọa độ Descartes[sửa | sửa mã nguồn]Đường tròn có bán kính r = 1, tâm (a, b) = (1.2, −0.5)Trong hệ tọa độ Descartes, vòng tròn có tâm tại (a, b) và bán kính r là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn:
Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, xuất phát từ Định lý Pytago áp dụng cho một điểm trên đường tròn: Như trong hình bên, bán kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |x − a| và |y − b|. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), thì phương trình được thu gọn thành:
Phương trình có thể viết dưới dạng tham số sử dụng các hàm lượng giác sin và cosin như sau
với t là tham số trong khoảng từ 0 đến 2π, một cách hình học, t tương đương với góc tạo bởi tia đi qua (a, b), (x, y) và trục x dương. Một phương trình tham số khác của đường tròn là:
Tuy nhiên ở sự tham số hóa này, t không chỉ chạy qua tất cả số thực mà còn chạy tới vô hạn, nếu không thì điểm dưới cùng của đường tròn sẽ không được thể hiện. Trong hệ tọa độ đồng nhất, mỗi đường conic với phương trình của đường tròn có dạng:
Hệ tọa độ cực[sửa | sửa mã nguồn]Trong hệ tọa độ cực phương trình của một đường tròn là:
với a là bán kính của đường tròn, là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và là tọa độ cực của tâm đường tròn (tức r0 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và φ góc ngược chiều kim đồng hồ từ trục hoành đường thẳng đi qua tâm và gốc tọa độ). Với đường tròn có tâm ở gốc tọa độ, tức r0 = 0, thì được đơn giản hóa còn r = a. Khi r0 = a, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành:
Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cho r
Chú ý rằng nếu không có dấu ±, trong một số trường hợp phương trình chỉ mô tả nửa đường tròn. Mặt phẳng phức[sửa | sửa mã nguồn]Trong mặt phẳng phức, một đường tròn có tâm tại c và bán kính (r) có phương trình . Ở dạng tham số hóa: . Phương trình tổng quát cho các số thực p, q và số phức g đôi khi được gọi là đường tròn tổng quát. Phương trình này trở thành phương trình ở trên với , vì . Không phải đường tròn tổng quát nào cũng là đường tròn thực sự: đường tròn tổng quát hoặc là đường tròn thực sự hoặc là một đường thẳng. Đường tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]Đường tiếp tuyến qua một điểm P trên đường tròn vuông góc đường kính đi qua P. Nếu P = (x1, y1) và đường tròn có tâm (a, b) và bán kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua (a, b) và (x1, y1), nên nó có dạng (x1 − a)x + (y1 – b)y = c. Tính với (x1, y1) xác định giá trị của c và kết quả phương trình của đường tiếp tuyến là:
hay
Nếu y1 ≠ b thì độ dốc của đường thẳng là
Kết quả này cũng có thể được suy ra sử dụng đạo hàm hàm ẩn. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì phương trình tiếp tuyến là và độ dốc của nó là Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]Tính chất chung[sửa | sửa mã nguồn]
Dây cung[sửa | sửa mã nguồn]
Tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]
Định lý[sửa | sửa mã nguồn]Định lý hai cát tuyến
Sagitta[sửa | sửa mã nguồn]Sagitta là đoạn thẳng xanh.
Một chứng minh khác của kết quả này sử dụng tính chất hai dây cung như sau: Cho dây cung có độ dài y và sagitta có độ dài x, vì sagitta đi qua trung điểm của dây cung, nó phải là một phần đường kính. Do đường kính dài gấp đôi bán kinh, phần "bị thiếu" của đường kính có độ dài (2r − x). Do một phần của một dây cung này nhân phần kia không đổi khi dây quay quanh giao điểm, ta tìm được . Giải tìm r, ta nhận được kết quả như trên. Dựng hình[sửa | sửa mã nguồn]Có nhiều phép dựng hình bằng thước kẻ và compa cho ra đường tròn. Đơn giản và căn bản nhất là phép dựng hình đã biết tâm đường tròn và một điểm nằm trên đường tròn. Đặt chân trụ của com-pa trên tâm, chân xoay lên điểm trên đường tròn và quay com-pa. Dựng đường tròn với đường kính cho trước[sửa | sửa mã nguồn]
Dựng đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng[sửa | sửa mã nguồn]
Dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn O tại 2 điểm, khi đó 2 điểm đó là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đi qua điểm A. Đường tròn của Apollonius[sửa | sửa mã nguồn]Định nghĩa đường tròn của Apollonius: d1/d2 constantApollonius của Pergaeus chỉ ra rằng đường tròn còn có thể định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có tỉ số không đổi (khác 1) của khoảng cách tới hai tiêu điểm, A và B. (Nếu tỉ số là 1 thì tập hợp ấy là đường trung trực của đoạn thẳng AB.) Chứng minh gồm hai phần. Đầu tiên ta cần chứng minh, cho hai tiêu điểm A và B một tỉ số, bất kì điểm P thỏa mãn tỉ số phải nằm trên một đường tròn nhất định. Gọi C là một điểm thỏa mãn tỉ số và nằm trên đoạn thẳng AB. Từ định lý đường phân giác suy ra PC sẽ chia đôi góc trong APB:
Tương tự, đoạn thẳng PD qua điểm D trên đường thẳng AB chia đôi góc ngoài BPQ với Q nằm trên tia AP kéo dài. Do góc ngoài và góc trong bù nhau, góc CPD phải bằng 90 độ. Tập hợp các điểm P sao cho góc CPD là góc vuông tạo thành một đường tròn với CD là đường kính. Thứ hai, xem :tr.15 để chứng minh rằng các điểm trên đường tròn vừa tạo thỏa mãn tỉ số. Tỉ số kép[sửa | sửa mã nguồn]Một tính chất của đường tròn liên quan đến hình học của tỉ số kép của các điểm trên mặt phẳng phức. Nếu A, B, và C cho như trên thì đường tròn của Apollonius của ba điểm là tập hợp các điểm P sao cho giá trị tuyệt đối của tỉ số kép bằng 1:
Nói cách khác, P là điểm trên đường tròn của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép (A,B;C,P) nằm trên đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức. Đường tròn tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]Nếu C là trung điểm của đoạn AB thì tập hợp các điểm P thỏa mãn điều kiện Apollonius
không tạo thành một đường tròn mà thành một đường thẳng. Vậy nên nếu A, B, C là các điểm phân biệt trên mặt phẳng thì quỹ tích điểm P thỏa mãn phương trình trên gọi là "đường tròn tổng quát". Nó có thể là một đường tròn hoặc một đường thẳng. Trong trường hợp này, một đường thẳng là một đường tròn tổng quát có bán kính vô hạn. Đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp[sửa | sửa mã nguồn]Trong mỗi tam giác, một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn nội tiếp nếu nó tiếp xúc với ba cạnh tam giác. Với mọi tam giác một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn ngoại tiếp, nếu nó đi qua ba đỉnh của tam giác. Một đa giác ngoại tiếp là một đa giác lồi bất kỳ mà một đường tròn có thể nội tiếp được và tiếp xúc với các cạnh của đa giác. Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác ngoại tiếp. Một đa giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là một đa giác lồi bất kỳ mà một đường tròn có thể bao quanh, đi qua tất các các đỉnh. Một trường hợp được nghiên cứu kỹ càng là tứ giác nội tiếp. Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác nội tiếp. Một đa giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp được gọi là đa giác lưỡng tâm. Bất kỳ đa giác đều nào cũng đều có đúng 1 đường tròn ngoại tiếp và có đúng 1 đường tròn nội tiếp Một đường cong hypocycloid là đường cong nằm trong một đường tròn, vẽ bằng cách theo dấu một điểm cố định trên một đường tròn nhỏ hơn lăn trong đường tròn đã cho và tiếp xúc với nó.. Vị trí tương đối[sửa | sửa mã nguồn]Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Ta có bảng sau: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Vị trí tương đối Số điểm chung So sánh OH với R Đường thẳng cắt đường tròn 2 OH < R Đường thẳng tiếp xúc đường tròn 1 OH = R Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 OH > R Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm I bán kính r. Ta có bảng sau: Số điểm chung Vị trí tương đối So sánh OI với R và r Số tiếp tuyến chung 2 2 đường tròn cắt nhau R - r < OI < R + r 2 1 2 đường tròn tiếp xúc nhau Tiếp xúc ngoài OI=R+r 3 Tiếp xúc trong1 0 2 đường tròn không giao nhau (O) và (I) ở ngoài nhau OI>R+r 4 (O) đựng (I)0 Đường tròn dưới dạng đặc biệt của những hình khác[sửa | sửa mã nguồn]Đường tròn có thể xem là một trường hợp giới hạn của một số hình khác:
Góc với đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]Góc ở tâm và góc nội tiếpGóc ở tâm - số đo cung[sửa | sửa mã nguồn]2 cạnh của góc ở tâm cắt nhau tại 2 điểm, chia đường tròn thành 2 cung: Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa đường tròn. Số đo của nửa đường tròn là Khi 2 đầu của cung trùng nhau, ta có cung không có số đo và cả đường tròn có số đo Trong cùng một đường tròn hoặc trong các đường tròn bằng nhau, 2 cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau. Cho điểm C nằm trên cung AB và chia cung AB thành 2 cung là cung AC và cung CB. Khi đó số đo của cung AB bằng tổng số đo cung AC và cung CB. Góc nội tiếp[sửa | sửa mã nguồn]
Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung[sửa | sửa mã nguồn]Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung là góc có 1 cạnh là dây của đường tròn, cạnh kia tạo bởi tia tiếp tuyến của đường tròn và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn. Số đo của góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng nửa số đo cung bị chắn. Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó Tính chất của góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa tổng số đo 2 cung bị chắn. Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn trên đường tròn đó 2 cung thì số đo của góc đó bằng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn. Cầu phương hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]Cầu phương hình tròn là bài toán đưa ra bởi các nhà hình học cổ đại, yêu cầu dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho trong hữu hạn bước bằng thước thẳng và com-pa. Năm 1882, bài toán được chứng minh là không thể thực hiện được, như một hệ quả của định lý Lindemann–Weierstrass chứng minh rằng pi (π) là một số siêu việt, chứ không phải là một số đại số vô tỉ; nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất cứ đa thức với hệ số hữu tỉ. Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Đường kính và bán kính hình tròn là gì?- Bán kính (R) của một hình tròn được đo từ tâm của hình tròn đến bất kỳ điểm nào trên đường viền của hình tròn. Bán kính là một nửa của đường kính. - Đường kính (D) của một hình tròn là khoảng cách giữa hai điểm trên đường viền của hình tròn, và đi qua tâm của hình tròn. Đường kính là gấp đôi bán kính. Đường tròn và hình tròn khác nhau như thế nào?Trong hình học phẳng, đường tròn và hình tròn là hai khái niệm khác nhau. Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trong và nằm trên đường tròn hay tập hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Đường tròn không có diện tích như hình tròn. Thế nào là đường tròn lớp 5?Đường tròn là ranh giới của hình tròn. 2. Bán kính và đường kính: Bán kính là khoảng cách từ tâm của hình tròn đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn. Đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn qua tâm. Muốn tính đường kính của hình tròn ta làm thế nào?Để tính đường kính hình tròn khi biết chu vi, ta có thể áp dụng công thức D = C / π. Trong đó, D là đường kính, C là chu vi và π có giá trị xấp xỉ 3,14. Ví dụ: Nếu chu vi của hình tròn là 10 cm, ta có thể tính đường kính bằng cách thay C = 10 vào công thức trên: D = 10 / 3,14 = 3,18 cm. |