Chọn 5 người từ 10 người để lập một nhóm có \( C_{10}^5\) cách.
Chọn 3 người từ 5 người còn lại để lập một nhóm có \( C_{5}^3\) cách.
Hai người còn lại vào nhóm khác có 1 cách.
Vậy số cách chia là \( C_{10}^5.C_5^3\)
- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.
2. Số các hoán vị
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
- Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1
- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: Pn = n!.
- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.
Lời giải:
Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa.
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.
2. Số các chỉnh hợp
- Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .
- Định lí:Ank = n(n−1)...(n−k+ 1)
- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập được bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.
Lời giải:
Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Số vecto khác 0→ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:
Do đó, ta có: A52 = 5.4.3= 60 vectơ thỏa mãn đầu bài.
- Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1 ta có: Ank = n!(n−k)!; 1 ≤ k ≤n.
b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Vì vậy: Pn = Ann.
III. Tổ hợp
1. Định nghĩa.
- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.
Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.
2. Số các tổ hợp.
Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).
- Định lí: Cnk = n!k!(n−k)!.
Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.
`a)`
`+` Chọn `5` người từ `12` người có `C_12^5` cách
`+` Chọn `4` người từ `12-5=7` người có `C_7^4` cách
`+` Chọn `3` người từ `7-4=3` người có `C_3^3` cách
`=>` Có `C_12^5*C_7^4*C_3^3=27720` cách tạo nhóm
`b)`
`+` Bạn Nhân luôn ngồi giữa `=>` Có `1` cách sắp xếp
`+` Xếp `4` bạn còn lại có `4!` cách
`=>` Có `4!*1=24` cách sắp xếp
$\\$
`\bb\color{#3a34eb}{\text{@hoanganhnguyen09302}}`
Chọn 2 trong 10 học sinh chia thành nhóm 2 người có: C102 cách.
Chọn 3 trong 8 học sinh còn lại chia thành nhóm 3 người có: C83 cách.
Chọn 5 trong 5 học sinh còn lại chia thành nhóm 5 có C55 cách.
Vậy có C102.C83.C55 cách.
Chọn đáp án B
Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3; 5 học sinh là:
A.C102+C103+C105
Nội dung chính Show
B.C102.C83.C55
Đáp án chính xác
C.C102+C83+C55
D.C105+C53+C22
Xem lời giải